توزيعات الاحتمالات المنفصلة هي نماذج رياضية تصف وقوع أحداث ذات قيم منفصلة ومحدودة. تتميز هذه التوزيعات بخصائصها، مثل مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة التي تساوي 1، ووجود معامل يحدد شكل التوزيع. في هذه المقالة، سنستكشف خصائص توزيعات الاحتمالات المنفصلة الأكثر شيوعًا، مثل توزيع برنولي، والتوزيع ذي الحدين، وتوزيع بواسون، والتوزيع الهندسي، بالإضافة إلى تقديم بعض التمارين العملية لفهم هذه المفاهيم بشكل أفضل.
فهم مفهوم توزيع الاحتمالات المنفصلة: شرح بسيط وواضح.
لفهم مفهوم توزيع الاحتمالات المنفصلة، من المهم فهم أنه دالة رياضية تربط احتمالًا بكل نتيجة محتملة لتجربة عشوائية. بمعنى آخر، يسمح لنا توزيع الاحتمالات المنفصلة بتحديد احتمالية حدوث كل نتيجة ضمن مجموعة محدودة أو قابلة للعد من الاحتمالات.
يتميز توزيع الاحتمالات المنفصل بدالة الاحتمال الخاصة به، والتي تعين لكل نتيجة قيمة غير سلبية، حيث يكون مجموع كل الاحتمالات مساويًا لـ 1. علاوة على ذلك، تكون النتائج الممكنة متميزة ومعزولة، مع عدم وجود إمكانية لحدوث قيم وسيطة.
من الأمثلة الكلاسيكية على توزيع الاحتمالات المنفصلة توزيع بواسون، المستخدم على نطاق واسع في عمليات العد، مثل عدد الأحداث التي تقع خلال فترة زمنية محددة. ومن الأمثلة الشائعة الأخرى التوزيع ثنائي الحدين، الذي يُنمذج التجارب بنتيجتين محتملتين فقط، كالنجاح أو الفشل.
لتطبيق نظرية توزيعات الاحتمالات المنفصلة، من الضروري فهم خصائصها وخصائصها المحددة، بالإضافة إلى القدرة على حساب الاحتمالات وتفسير النتائج. وتُعد التمارين العملية أساسية لتعميق الفهم وتطوير المهارات في هذا المجال من الاحتمالات.
تعرف على التوزيعات المنفصلة الرئيسية المستخدمة في الإحصاء والاحتمالات.
تعرف على التوزيعات المنفصلة الرئيسية المستخدمة في الإحصاء والاحتمالات. تُعد توزيعات الاحتمالات المنفصلة أدوات مهمة في التحليل الإحصائي، إذ تُمكّن من نمذجة الأحداث العشوائية والتنبؤ بها. ومن أهم هذه التوزيعات: توزيع برنولي، والتوزيع ثنائي الحدين، والتوزيع الهندسي، وتوزيع بواسون، والتوزيع فوق الهندسي.
A توزيع برنولي يتم استخدامه لنمذجة التجارب التي تحتوي على نتيجتين محتملتين فقط، مثل النجاح والفشل. التوزيع الثنائي يتم تطبيقه في المواقف التي يكون فيها عدد ثابت من التجارب المستقلة، مع وجود نتيجتين محتملتين فقط في كل تجربة، مثل النجاح والفشل.
A التوزيع الهندسي يتم استخدامه لنمذجة عدد المحاولات حتى النجاح الأول في سلسلة من التجارب المستقلة. توزيع بواسون يتم استخدامه لنمذجة حدوث الأحداث النادرة في فترة زمنية أو مكانية محددة.
وأخيرا، فإن التوزيع فوق الهندسي يتم استخدامه لنمذجة التجارب التي يكون فيها اختيار دون استبدال للعناصر من عدد محدود من السكان، مع الاهتمام بعدد النجاحات في عينة محددة.
لفهم هذه التوزيعات المنفصلة بشكل أفضل وكيفية تطبيقها، من المهم التدرب عليها من خلال التمارين. حلّ المسائل المتعلقة بهذه التوزيعات يُسهم في ترسيخ المعرفة وصقل المهارات الإحصائية والاحتمالية.
لذلك، عند دراسة الإحصاء والاحتمالات، من الضروري معرفة خصائص وتطبيقات التوزيعات المنفصلة الرئيسية، مثل توزيع برنولي، والتوزيع الثنائي، والتوزيع الهندسي، وتوزيع بواسون، والتوزيع فوق الهندسي.
أنواع توزيعات الاحتمالات: تعرف على الأشكال المختلفة للتوزيعات الإحصائية.
توزيعات الاحتمالات هي نماذج رياضية تصف السلوك العشوائي لظاهرة ما. هناك أنواع مختلفة من توزيعات الاحتمالات، لكل منها خصائصه وتطبيقاته. في هذه المقالة، سنركز على توزيعات الاحتمالات المنفصلة، المرتبطة بمتغيرات منفصلة - أي تلك التي يمكن أن تأخذ قيمًا محددة وقابلة للعد.
من أكثر توزيعات الاحتمالات المنفصلة شيوعًا: التوزيع المنتظم، والتوزيع ثنائي الحد، وتوزيع بواسون، والتوزيع الهندسي. لكلٍّ من هذه التوزيعات خصائصه الخاصة، ويُستخدم في سياقات إحصائية مختلفة.
على سبيل المثال، يتميز التوزيع المنتظم بإسناد نفس الاحتمال لجميع القيم الممكنة لمتغير منفصل. ويُستخدم التوزيع ثنائي الحدين لنمذجة عدد النجاحات في سلسلة من التجارب المستقلة، ولكل منها نفس احتمال النجاح. أما توزيع بواسون، فيُستخدم بدوره لنمذجة عدد الأحداث النادرة في فترة زمنية أو مكانية. ويُستخدم التوزيع الهندسي لنمذجة عدد المحاولات اللازمة حتى تحقيق أول نجاح في سلسلة من التجارب المستقلة.
لفهم آلية عمل هذه التوزيعات بشكل أفضل، من المهم التدرب عليها من خلال التمارين. على سبيل المثال، يمكننا حساب احتمال ظهور ثلاث صور بالضبط في خمس رميات لعملة واحدة باستخدام التوزيع الثنائي. أو يمكننا تحديد احتمال وقوع حدثين على الأقل خلال فترة زمنية محددة باستخدام توزيع بواسون.
ومن خلال فهم خصائص وتطبيقات هذه التوزيعات، يمكن لمحترفي الإحصاء والعلوم ذات الصلة اتخاذ قرارات أكثر دقة واستنارة بناءً على البيانات الاحتمالية.
ما هي المتغيرات التي تعتبر منفصلة في الاحتمالية؟
في علم الاحتمالات، المتغيرات المنفصلة هي تلك التي يمكن أن تأخذ عددًا محدودًا أو قابلًا للعد. هذا يعني أن المتغيرات المنفصلة هي تلك التي يمكن عدّها، وعادةً ما تُمثَّل بأعداد صحيحة. على سبيل المثال، عدد السيارات في موقف السيارات، وعدد الطلاب في الفصل، وعدد الوجوه على حجر النرد، كلها أمثلة على المتغيرات المنفصلة.
تختلف هذه المتغيرات عن المتغيرات المستمرة، التي يمكن أن تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم ضمن نطاق محدد. فبينما للمتغيرات المنفصلة قيم محددة ومنفصلة، يمكن للمتغيرات المستمرة أن تأخذ أي قيمة ضمن نطاق مستمر. على سبيل المثال، طول الشخص، والوقت اللازم لإنجاز مهمة، ودرجة حرارة الغرفة، كلها أمثلة على المتغيرات المستمرة.
لذلك، فإن المتغيرات المنفصلة في الاحتمالات هي تلك التي يمكن حسابها وتأخذ قيمًا محددة ومنفصلة، على عكس المتغيرات المستمرة التي يمكن أن تأخذ أي قيمة ضمن نطاق.
توزيعات الاحتمالات المنفصلة: الخصائص والتمارين
As توزيعات الاحتمالات المنفصلة هي دالة مرتبطة بكل عنصر من عناصر X(S) = {x1, x2, …, xi, …}، حيث X متغير عشوائي منفصل مُعطى وS مساحة العينة، أي احتمال وقوع هذا الحدث. تُسمى هذه الدالة f لـ X(S) المُعرّفة على أنها f(xi) = P(X = xi) أحيانًا دالة الاحتمال الشامل.
عادةً ما تُمثَّل كتلة الاحتمال هذه في جدول. بما أن X متغير عشوائي منفصل، فإن X(S) له عدد محدود أو غير محدود من الأحداث. من بين أكثر توزيعات الاحتمال المنفصلة شيوعًا: التوزيع المنتظم، والتوزيع ثنائي الحد، وتوزيع بواسون.
ملامح
يجب أن تفي دالة توزيع الاحتمالات بالشروط التالية:
علاوة على ذلك، إذا كان X يأخذ عددًا محدودًا فقط من القيم (على سبيل المثال، x1، x2، …، xn)، فإن p(xi) = 0 إذا كان i > n، وبالتالي تصبح السلسلة اللانهائية من الشروط b هي السلسلة المحدودة
تلبي هذه الوظيفة أيضًا الخصائص التالية:
ليكن B حدثًا مرتبطًا بالمتغير العشوائي X. هذا يعني أن B موجود في X(S). على وجه التحديد، لنفترض أن B = {xi1, xi2,…}. لذلك:
بمعنى آخر: احتمال وقوع الحدث ب يساوي مجموع احتمالات النتائج الفردية المرتبطة بالحدث ب.
ومن هذا يمكننا أن نستنتج أنه إذا كان
نوع
توزيع منتظم عند n نقطة
يُقال إن المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا يتميز بأنه موحد عند n نقطة إذا كانت لكل قيمة نفس الاحتمالية. دالة كتلة الاحتمالية له هي:
لنفترض أن لدينا تجربة بنتيجتين محتملتين: قد تكون رمي عملة معدنية تكون نتيجتها المحتملة وجهًا أو ظهرًا، أو اختيار عدد صحيح قد تكون نتيجته عددًا فرديًا أو زوجيًا؛ يُعرف هذا النوع من التجارب باسم اختبار برنولي.
بشكل عام، تُسمى النتيجتان المحتملتان النجاح والفشل، حيث p هو احتمال النجاح و1-p هو احتمال الفشل. يُمكن تحديد احتمال x نجاح في n تجربة برنولي مستقلة بالتوزيع التالي.
التوزيع الثنائي
تمثل هذه الدالة احتمالية الحصول على x نجاحات في n تجربة برنولي مستقلة، واحتمالية نجاحها p. دالة كتلة الاحتمالية هي:
يمثل الرسم البياني التالي دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة من معلمات التوزيع الثنائي.
التوزيع التالي يرجع اسمه إلى عالم الرياضيات الفرنسي سيمون بواسون (1781-1840)، الذي حصل عليه كحد للتوزيع الثنائي.
توزيع بواسون
يقال أن المتغير العشوائي X له توزيع بواسون للمعامل λ عندما يمكنه استقبال القيم الصحيحة الموجبة 0,1,2,3،XNUMX،XNUMX،XNUMX، … بالاحتمالية التالية:
في هذا التعبير، λ هو متوسط عدد مرات حدوث الحدث لكل وحدة زمنية و x هو عدد المرات التي يحدث فيها الحدث.
دالة احتمالية كتلتها هي:
فيما يلي رسم بياني يمثل دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة من معلمات توزيع بواسون.
لاحظ أنه طالما كان عدد النجاحات منخفضًا وكان عدد الاختبارات التي تم إجراؤها على التوزيع الثنائي مرتفعًا، فيمكننا دائمًا تقريب هذه التوزيعات، نظرًا لأن توزيع بواسون هو حد التوزيع الثنائي.
الفرق الرئيسي بين هذين التوزيعين هو أنه في حين يعتمد الثنائي على معاملين - nep -، يعتمد بواسون فقط على λ، والذي يُطلق عليه أحيانًا شدة التوزيع.
حتى الآن، تحدثنا فقط عن توزيعات الاحتمالات للحالات التي تكون فيها التجارب المختلفة مستقلة عن بعضها البعض؛ أي عندما لا تتأثر نتيجة تجربة واحدة بنتيجة تجربة أخرى.
عندما لا تكون التجارب مستقلة، يكون التوزيع فوق الهندسي مفيدًا جدًا.
التوزيع فوق الهندسي
ليكن N هو العدد الإجمالي للأشياء في مجموعة محدودة، والتي يمكننا التعرف على k منها بطريقة ما، وتشكل مجموعة فرعية K، والتي يتكون مكملها من العناصر Nk المتبقية.
إذا اخترنا n عنصرًا عشوائيًا، فسيكون للمتغير العشوائي X، الذي يمثل عدد العناصر التي تنتمي إلى K في هذا الاختيار، توزيعٌ هندسيٌّ فائقٌ للمعلمات N وn وk. دالة احتمال كتلته هي:
يمثل الرسم البياني التالي دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة من معلمات التوزيع الهندسي الفائق.
تمارين محلولة
التمرين الأول
لنفترض أن احتمال عمل أنبوب راديو (مُثبّت في نوع مُعيّن من الأجهزة) لأكثر من 500 ساعة هو 0,2. إذا تم اختبار 20 أنبوبًا، فما احتمال عمل k منها تحديدًا لأكثر من 500 ساعة؟ k = 0، 1,2، 20، ...، XNUMX؟
المحلول
إذا كان X هو عدد الأنابيب التي تعمل لأكثر من 500 ساعة، فسنفترض أن X له توزيع ثنائي. ثم
وهكذا:
بالنسبة لـ k ≥ 11، الاحتمالات أقل من 0,001
وبالتالي، يمكننا أن نلاحظ كيف تتزايد احتمالية عمل k من هؤلاء لأكثر من 500 ساعة، حتى تصل إلى أقصى قيمة لها (مع k = 4) ثم تبدأ في الانخفاض.
التمرين الثاني
تُرمى قطعة نقود ست مرات. عندما تكون النتيجة وجهًا، نعتبرها ناجحة. ما هو احتمال ظهور وجهين بالضبط؟
المحلول
في هذه الحالة، لدينا n = 6 واحتمال النجاح والفشل هو p = q = 1/2
لذلك، فإن احتمال وجود وجهين (أي، k = 2) هو
التمرين الثالث
ما هو احتمال العثور على أربعة وجوه على الأقل؟
المحلول
في هذه الحالة، لدينا k = 4 أو 5 أو 6
التمرين الثالث
افترض أن ٢٪ من المنتجات المُنتَجة في مصنعٍ ما معيبة. أوجد الاحتمال P لوجود ثلاثة منتجات معيبة في عينة من ١٠٠ منتج.
المحلول
في هذه الحالة، يمكننا تطبيق التوزيع الثنائي لـ n = 100 وp = 0,02، للحصول على النتيجة التالية:
ومع ذلك، بما أن p صغيرة، فإننا نستخدم تقريب بواسون مع λ = np = 2. وبالتالي
المراجع
- كاي لاي تشونغ: نظرية الاحتمالات الأولية مع العمليات العشوائية. دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك.
- كينيث هـ. روزن - الرياضيات المنفصلة وتطبيقاتها. سامجرو هيل / إنترأمريكانو دي إسبانيا.
- بول إل. ماير، الاحتمالات والتطبيقات الإحصائية. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- سيمور ليبشوتز، دكتوراه، ٢٠٠٠، مسائل محلولة في الرياضيات المنفصلة، ماكجرو هيل
- سيمور ليبشوتز، دكتوراه، مسائل في النظرية والاحتمالات. ماكجرو هيل