Дискретните вероятностни разпределения са математически модели, които описват настъпването на събития с дискретни, крайни стойности. Тези разпределения се характеризират със своите свойства, като например сумата от вероятностите на всички възможни резултати, равна на 1, и наличието на параметър, който определя формата на разпределението. В тази статия ще разгледаме характеристиките на най-често срещаните дискретни вероятностни разпределения, като например разпределението на Бернули, биномиалното разпределение, разпределението на Поасон и геометричното разпределение, както и ще представим някои практически упражнения за по-добро разбиране на тези понятия.
Разбиране на концепцията за дискретно разпределение на вероятностите: просто и ясно обяснение.
За да разберем концепцията за дискретно разпределение на вероятностите, е важно да разберем, че това е математическа функция, която свързва вероятност с всеки възможен резултат от случаен експеримент. С други думи, дискретното разпределение на вероятностите ни позволява да определим вероятността всеки резултат да се случи в краен или изброим набор от възможности.
Дискретното разпределение на вероятностите се характеризира с вероятностна функция, която присвоява на всеки резултат неотрицателна стойност, като сумата от всички вероятности е равна на 1. Освен това, възможните резултати са различни и изолирани, без възможност за поява на междинни стойности.
Класически пример за дискретно разпределение на вероятностите е разпределението на Поасон, широко използвано в процесите на броене, като например броя на събитията, които се случват в даден период от време. Друг често срещан пример е биномиалното разпределение, което моделира експерименти само с два възможни резултата, като например успех или неуспех.
За да се приложи теорията на дискретните вероятностни разпределения, е необходимо да се разбират техните специфични свойства и характеристики, както и да се умее да се изчисляват вероятности и да се интерпретират резултатите. Практическите упражнения са от съществено значение за задълбочаване на разбирането и развиване на умения в тази област на вероятностите.
Научете за основните дискретни разпределения, използвани в статистиката и вероятностите.
Научете за основните дискретни разпределения, използвани в статистиката и вероятностите. Дискретните вероятностни разпределения са важни инструменти в статистическия анализ, позволяващи моделирането и прогнозирането на случайни събития. Сред основните дискретни разпределения са разпределението на Бернули, биномното разпределение, геометричното разпределение, разпределението на Поасон и хипергеометричното разпределение.
A Разпределение на Бернули се използва за моделиране на експерименти само с два възможни резултата, като успех и неуспех. биномно разпределение Прилага се в ситуации, когато има фиксиран брой независими опити, като само два възможни резултата във всеки опит, като например успех и неуспех.
A геометрично разпределение се използва за моделиране на броя на опитите до първия успех в поредица от независими експерименти. Разпределение на Поасон се използва за моделиране на появата на редки събития в определен времеви или пространствен интервал.
И накрая, хипергеометрично разпределение Използва се за моделиране на експерименти, при които има селекция без заместване на елементи от крайна популация, с интерес към броя на успехите в конкретна извадка.
За да разберете по-добре тези дискретни разпределения и как да ги прилагате, е важно да се упражнявате чрез упражнения. Решаването на задачи, включващи тези разпределения, може да помогне за затвърждаване на знанията и за подобряване на статистическите и вероятностните умения.
Следователно, когато се изучават статистика и вероятности, е от съществено значение да се познават характеристиките и приложенията на основните дискретни разпределения, като например разпределението на Бернули, биномиалното разпределение, геометричното разпределение, разпределението на Поасон и хипергеометричното разпределение.
Видове вероятностни разпределения: научете за различните форми на статистически разпределения.
Вероятностните разпределения са математически модели, които описват случайното поведение на дадено явление. Съществуват различни видове вероятностни разпределения, всяко със свои собствени характеристики и приложения. В тази статия ще се съсредоточим върху дискретните вероятностни разпределения, които са свързани с дискретни променливи – такива, които могат да приемат специфични, преброими стойности.
Някои от най-често срещаните дискретни вероятностни разпределения включват равномерното разпределение, биномното разпределение, разпределението на Поасон и геометричното разпределение. Всяко от тези разпределения има свои собствени свойства и се използва в различни статистически контексти.
Равномерното разпределение, например, се характеризира с присвояване на една и съща вероятност на всички възможни стойности на дискретна променлива. Биномиалното разпределение се използва за моделиране на броя на успехите в поредица от независими опити, всеки с еднаква вероятност за успех. Разпределението на Поасон, от своя страна, се използва за моделиране на броя на редките събития във времеви или пространствен интервал. А геометричното разпределение се използва за моделиране на броя на опитите, необходими до първия успех в поредица от независими опити.
За да разберем по-добре как работят тези разпределения, е важно да се упражняваме. Например, можем да изчислим вероятността да се паднат точно 3 ези при 5 хвърляния на една и съща монета, използвайки биномиалното разпределение. Или можем да определим вероятността поне 2 събития да се случат в определен интервал от време, използвайки разпределението на Поасон.
Чрез разбирането на характеристиките и приложенията на тези разпределения, специалистите по статистика и свързани с нея науки могат да вземат по-информирани и точни решения, основани на вероятностни данни.
Кои променливи се считат за дискретни във вероятностната функция?
В теориите на вероятностите, дискретните променливи са тези, които могат да приемат краен или изброим брой стойности. Това означава, че дискретните променливи са тези, които могат да бъдат преброени, обикновено представени с цели числа. Например, броят на колите на паркинга, броят на учениците в класната стая и броят на лицата на зар са примери за дискретни променливи.
Тези променливи са различни от непрекъснатите променливи, които могат да приемат безкраен брой стойности в рамките на определен диапазон. Докато дискретните променливи имат специфични, дискретни стойности, непрекъснатите променливи могат да приемат всяка стойност в рамките на непрекъснат диапазон. Например, ръстът на човек, времето, необходимо за изпълнение на задача, и температурата в помещението са примери за непрекъснати променливи.
Следователно, дискретните променливи в теорията на вероятностите са тези, които могат да бъдат преброени и да приемат специфични, отделни стойности, за разлика от непрекъснатите променливи, които могат да приемат всяка стойност в даден диапазон.
Дискретни разпределения на вероятностите: характеристики, упражнения
As дискретни вероятностни разпределения са функция, която асоциира с всеки елемент от X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, където X е дадена дискретна случайна променлива, а S е пространството за извадка, вероятността това събитие да се случи. Тази функция f на X(S), дефинирана като f(xi) = P(X = xi), понякога се нарича масова вероятностна функция.
Тази вероятностна маса обикновено се представя под формата на таблица. Тъй като X е дискретна случайна променлива, X(S) има или краен, или безкраен брой събития. Сред най-често срещаните дискретни вероятностни разпределения са равномерното разпределение, биномиалното разпределение и разпределението на Поасон.
Удобства
Функцията за разпределение на вероятностите трябва да отговаря на следните условия:
Освен това, ако X приема само краен брой стойности (например x1, x2, …, xn), тогава p(xi) = 0, ако i > n и следователно безкрайната серия от условия b става крайната серия
Тази функция също така удовлетворява следните свойства:
Нека B е събитие, свързано със случайната променлива X. Това означава, че B се съдържа в X(S). По-конкретно, да предположим, че B = {xi1, xi2,…}. Следователно:
С други думи: вероятността за събитие B е равна на сумата от вероятностите на отделните резултати, свързани с B.
От това можем да заключим, че ако
Тип
Равномерно разпределение в n точки
Случайна променлива X следва разпределение, характеризиращо се с това, че е равномерно в n точки, ако всяка стойност има еднаква вероятност. Нейната функция на вероятностната маса е:
Да предположим, че имаме експеримент с два възможни резултата: това може да е хвърляне на монета, чиито възможни резултати са глави или опашки, или избиране на цяло число, чийто резултат може да бъде четно или нечетно число; Този тип експеримент е известен като тест на Бернули.
Най-общо казано, двата възможни резултата се наричат успех и неуспех, където p е вероятността за успех, а 1-p е вероятността за неуспех. Можем да определим вероятността за x успеха в n независими опита на Бернули със следното разпределение.
Биномно разпределение
Тази функция представлява вероятността за получаване на x успеха в n независими опита на Бернули, чиято вероятност за успех е p. Нейната функция на вероятностната маса е:
Следната графика представя функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на биномното разпределение.
Следното разпределение дължи името си на френския математик Симеон Поасон (1781-1840), който го е получил като граница на биномиалното разпределение.
Разпределение на Поасон
Случайна променлива X се нарича има Поасоново разпределение на параметъра λ, когато може да приеме положителните целочислени стойности 0,1,2,3, ... със следната вероятност:
В този израз λ е средният брой на случванията на събитието за всяка единица време, а x е броят пъти, в които събитието се случва.
Неговата функция на вероятност за маса е:
По-долу е показана графика, представяща функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на разпределението на Поасон.
Обърнете внимание, че докато броят на успехите е нисък, а броят на тестовете, извършени върху биномно разпределение, е висок, винаги можем да апроксимираме тези разпределения, тъй като разпределението на Поасон е границата на биномното разпределение.
Основната разлика между тези две разпределения е, че докато биномиалното зависи от два параметъра – nep –, Поасоновото зависи само от λ, което понякога се нарича интензитет на разпределението.
Досега говорихме само за вероятностни разпределения за случаи, когато различните експерименти са независими един от друг; тоест, когато резултатът от един не е повлиян от резултата от друг.
Когато експериментите не са независими, хипергеометричното разпределение е много полезно.
Хипергеометрично разпределение
Нека N е общият брой обекти в крайно множество, от които можем да идентифицираме k по някакъв начин, образувайки подмножество K, чието допълнение се формира от останалите Nk елементи.
Ако изберем n обекта на случаен принцип, случайната променлива X, представляваща броя на обектите, принадлежащи на K в този избор, ще има хипергеометрично разпределение на параметрите N, n и k. Нейната функция на вероятност за маса е:
Следната графика представя функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на хипергеометричното разпределение.
Решени упражнения
Първо упражнение
Да предположим, че вероятността една радиолампа (поставена в определен тип оборудване) да работи повече от 500 часа е 0,2. Ако се тестват 20 лампи, каква е вероятността точно k от тях да работят повече от 500 часа, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Решение
Ако X е броят на лампите, които работят повече от 500 часа, ще приемем, че X има биномиално разпределение. Тогава
И така:
За k≥11, вероятността е по-малка от 0,001.
По този начин можем да наблюдаваме как вероятността k от тях да работят повече от 500 часа се увеличава, докато достигне максималната си стойност (с k = 4) и след това започва да намалява.
2-ро упражнение
Монета се хвърля 6 пъти. Когато резултатът е ези, го наричаме успешен. Каква е вероятността да се паднат точно две ези?
Решение
За този случай имаме n = 6 и вероятността за успех и неуспех е p = q = 1/2
Следователно, вероятността да са дадени две лица (т.е. k = 2) е
Трето упражнение
Каква е вероятността да се намерят поне четири лица?
Решение
За този случай имаме k = 4, 5 или 6
Трето упражнение
Да предположим, че 2% от произведените в една фабрика артикули са дефектни. Намерете вероятността P в извадка от 100 артикула да има три дефектни артикула.
Решение
За този случай можем да приложим биномиалното разпределение за n = 100 и p = 0,02, получавайки като резултат:
Тъй като p е малко, използваме поасоновото приближение с λ = np = 2. По този начин
Позоваването
- Кай Лай Чунг: Елементарна теория на вероятностите със стохастични процеси. Springer-Verlag New York Inc.
- Кенет.Х. Розен – Дискретна математика и нейните приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Пол Л. Майер Вероятност и статистически приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Сеймур Липшуц, доктор, 2000 г. Решени задачи по дискретна математика. McGraw-HILL
- Сеймур Липшуц, доктор, Проблеми в теорията и вероятностите. McGraw-HILL