"পাওয়ার সিরিজ: উদাহরণ এবং অনুশীলন" এমন একটি বই যা পাওয়ার সিরিজের সাথে কাজ করার জন্য একটি ব্যবহারিক এবং গতিশীল পদ্ধতি প্রদান করে। স্পষ্ট উদাহরণ এবং ধাপে ধাপে অনুশীলনের মাধ্যমে, বইটি শিক্ষার্থী এবং পেশাদার উভয়কেই পাওয়ার সিরিজের মৌলিক ধারণাগুলি বুঝতে এবং প্রয়োগ করতে সাহায্য করে, যা শেখাকে আরও সহজলভ্য এবং কার্যকর করে তোলে। সহজ, বস্তুনিষ্ঠ ভাষায় লেখা, এই কাজটি তাদের জন্য একটি অপরিহার্য হাতিয়ার যারা গণিতের এই ক্ষেত্রে তাদের জ্ঞান আরও গভীর করতে চান।
বিভিন্ন সামাজিক, সাংস্কৃতিক এবং রাজনৈতিক প্রেক্ষাপটে কর্তৃত্ব এবং প্রভাবের প্রদর্শন।
বিভিন্ন সামাজিক, সাংস্কৃতিক এবং রাজনৈতিক প্রেক্ষাপটে কর্তৃত্ব এবং প্রভাবের প্রদর্শন সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, ক্ষমতা-চালিত ধারাবাহিকগুলিতে, আমরা স্পষ্টভাবে দেখতে পাই যে চরিত্রগুলি কীভাবে তাদের লক্ষ্য অর্জনের জন্য তাদের প্রভাব ব্যবহার করে।
সামাজিক প্রেক্ষাপটে, অঙ্গভঙ্গি, দেহভাষা এবং এমনকি একজন ব্যক্তির পোশাকের মাধ্যমে কর্তৃত্ব প্রদর্শন করা যেতে পারে। একটি নির্দিষ্ট সংস্কৃতিতে, ক্ষমতার কিছু প্রতীক অন্যদের তুলনায় বেশি মূল্যবান হতে পারে, যা সরাসরি কর্তৃত্বকে কীভাবে উপলব্ধি করা হয় তা প্রভাবিত করে।
রাজনৈতিক ক্ষেত্রে, কর্তৃত্ব এবং প্রভাব আরও স্পষ্ট। রাজনৈতিক নেতারা তাদের ক্ষমতার অবস্থান বজায় রাখার জন্য প্ররোচনামূলক বক্তৃতা, কৌশলগত জোট এবং এমনকি বল প্রয়োগ করেন। কিছু ক্ষেত্রে, গণতান্ত্রিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে কর্তৃত্বকে বৈধতা দেওয়া হয়, অন্যদিকে অন্যান্য রাজনৈতিক শাসনব্যবস্থায়, প্রভাব আরও কর্তৃত্ববাদী পদ্ধতিতে প্রয়োগ করা হয়।
আমাদের সমাজের ক্ষমতার গতিশীলতা আরও ভালোভাবে বোঝার জন্য বিভিন্ন পরিস্থিতিতে এই উপাদানগুলি কীভাবে প্রকাশ পায় তা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ।
সমসাময়িক সমাজে ক্ষমতার বিভিন্ন প্রকাশ।
সমসাময়িক সমাজে, আমরা সামাজিক ও রাজনৈতিক সম্পর্কের মধ্যে ক্ষমতার বিভিন্ন প্রকাশ লক্ষ্য করতে পারি। ক্ষমতা বিভিন্ন উপায়ে নিজেকে প্রকাশ করতে পারে, তা সরকারি প্রতিষ্ঠান, বহুজাতিক কর্পোরেশন, সংগঠিত সামাজিক গোষ্ঠী, এমনকি প্রভাবশালী ব্যক্তিদের মাধ্যমেও হোক।
ক্ষমতার প্রকাশের একটি স্পষ্ট উদাহরণ হল একটি দেশের অর্থনীতি এবং রাজনীতির উপর বৃহৎ কর্পোরেশনগুলির নিয়ন্ত্রণ। কোম্পানিগুলি বহুজাতিক স্থানীয় সরকারের তুলনায় তাদের প্রায়শই বেশি প্রভাব থাকে, তারা এমন নীতি এবং সিদ্ধান্ত নির্ধারণ করতে সক্ষম যা সরাসরি মানুষের জীবনকে প্রভাবিত করে। এই ধরণের অর্থনৈতিক শক্তি সমসাময়িক সমাজে ক্ষমতার সবচেয়ে দৃশ্যমান মুখগুলির মধ্যে একটি।
অধিকন্তু, ক্ষমতা সংগঠিত সামাজিক গোষ্ঠীগুলির মাধ্যমেও নিজেকে প্রকাশ করতে পারে, যেমন সামাজিক আন্দোলন, ইউনিয়ন এবং বেসরকারি সংস্থা। এই গোষ্ঠীগুলি প্রায়শই নির্দিষ্ট কারণের পিছনে বিপুল সংখ্যক লোককে একত্রিত করতে সক্ষম হয়, সরকার এবং প্রতিষ্ঠানগুলিকে সমাজের নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর উপকারে আসে এমন ব্যবস্থা গ্রহণের জন্য চাপ দেয়।
পরিশেষে, ক্ষমতা ব্যক্তি পর্যায়েও উপস্থিত থাকতে পারে, তাদের সম্প্রদায় বা সংগঠনে নেতৃত্বের পদে অধিষ্ঠিত ব্যক্তিদের মাধ্যমে। এই প্রভাবশালী ব্যক্তিরা এমন সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যা সরাসরি অনেক মানুষের ভাগ্যকে প্রভাবিত করে, এইভাবে তাদের উপর এক ধরণের ক্ষমতা প্রয়োগ করে।
দর্শনে ক্ষমতার সংজ্ঞা: এর সারমর্ম, ধারণা এবং এর প্রকৃতির প্রতিফলন।
ক্ষমতা দর্শনের একটি মৌলিক ধারণা, যা ইতিহাস জুড়ে ব্যাপকভাবে আলোচিত হয়েছে। এর সারমর্ম অন্যান্য ব্যক্তি, গোষ্ঠী বা পরিস্থিতিকে প্রভাবিত ও নিয়ন্ত্রণ করার ক্ষমতার সাথে সম্পর্কিত। ক্ষমতা বিভিন্ন উপায়ে প্রয়োগ করা যেতে পারে, তা বলপ্রয়োগমূলক, প্ররোচনামূলক বা বৈধ হোক।
দর্শনে, ক্ষমতাকে প্রায়শই সমাজে বিদ্যমান আধিপত্য এবং বশ্যতার কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত করে বিশ্লেষণ করা হয়। মিশেল ফুকো এবং ফ্রিডরিখ নিটশে-এর মতো দার্শনিকরা ক্ষমতার প্রকৃতি অন্বেষণ করেছিলেন, জ্ঞান, নৈতিকতা এবং ক্ষমতার সম্পর্কের সাথে এর সম্পর্ক তুলে ধরেছিলেন।
ক্ষমতার বিভিন্ন ধারণা রয়েছে, যেমন রাজনৈতিক ক্ষমতা, অর্থনৈতিক ক্ষমতা এবং প্রতীকী ক্ষমতা। এই প্রতিটি ধরণের ক্ষমতার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য এবং তাৎপর্য রয়েছে, যা সমাজে সামাজিক সম্পর্ক এবং ক্ষমতার গতিশীলতাকে প্রভাবিত করে।
ক্ষমতার ধারা হলো বিভিন্ন প্রেক্ষাপটে ক্ষমতা কীভাবে নিজেকে প্রকাশ করে তার বাস্তব উদাহরণ। ক্ষমতার ধারার একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হলো সামরিক শ্রেণিবিন্যাস, যেখানে ব্যক্তিরা বিভিন্ন স্তরের কর্তৃত্ব এবং প্রভাব ধারণ করে। আরেকটি উদাহরণ হলো একটি কোম্পানির মধ্যে ক্ষমতার গতিশীলতা, যেখানে ব্যবস্থাপকরা কর্মীদের উপর ক্ষমতা প্রয়োগ করেন।
ক্ষমতার প্রকৃতি আরও ভালোভাবে বোঝার জন্য, বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ক্ষমতার সম্পর্ক অন্বেষণ করে এমন ব্যবহারিক অনুশীলন পরিচালনা করা গুরুত্বপূর্ণ। এর মধ্যে থাকতে পারে ক্ষমতার মালিক কে, কীভাবে তা প্রয়োগ করা হয় এবং জড়িতদের জন্য এই ক্ষমতার সম্পর্কের পরিণতি কী তা বিশ্লেষণ করা।
ক্ষমতার প্রকৃতি নিয়ে চিন্তাভাবনা করে এবং বিভিন্ন প্রেক্ষাপটে ক্ষমতার ধারা পরীক্ষা করে, আমরা সমাজে ক্ষমতার সম্পর্ক এবং সম্প্রদায়ের জীবনের উপর তাদের প্রভাব সম্পর্কে আমাদের ধারণাকে প্রসারিত করতে পারি।
বিভিন্ন প্রেক্ষাপটে এবং আন্তঃব্যক্তিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে প্রভাব এবং কর্তৃত্বের বিভিন্ন রূপ।
বিভিন্ন প্রেক্ষাপট এবং আন্তঃব্যক্তিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে, আমরা বিভিন্ন ধরণের প্রভাব এবং কর্তৃত্ব লক্ষ্য করতে পারি যা জড়িত ব্যক্তিদের উপর ক্ষমতা প্রয়োগ করে। একটি প্রতিষ্ঠান, একটি পরিবার, অথবা বন্ধুদের একটি গোষ্ঠী যাই হোক না কেন, ক্ষমতার গতিশীলতা সর্বদা উপস্থিত থাকে এবং বিভিন্ন উপায়ে নিজেদের প্রকাশ করতে পারে।
ক্ষমতা প্রয়োগের একটি স্পষ্ট উদাহরণ হল একটি কোম্পানিতে বিদ্যমান শ্রেণিবিন্যাস। বসের তার অধস্তনদের উপর কর্তৃত্ব থাকে এবং তিনি তাদের সিদ্ধান্ত, আচরণ এবং কাজের পারফরম্যান্সকে প্রভাবিত করতে পারেন। পুরষ্কার, শাস্তি এবং প্রতিক্রিয়ার মাধ্যমে, তিনি তার প্রভাব প্রয়োগ করেন এবং দলের উপর তার কর্তৃত্ব বজায় রাখেন।
বন্ধুদের একটি দলের মধ্যে আরেকটি প্রভাব লক্ষ্য করা যায়, যেখানে একজন ক্যারিশম্যাটিক এবং প্ররোচনাপ্রবণ ব্যক্তি অন্যান্য সদস্যদের উপর ক্ষমতা প্রয়োগ করতে পারেন। তাদের মতামত এবং পছন্দগুলি দলের সিদ্ধান্তগুলিকে প্রভাবিত করতে পারে এবং তাদের মিথস্ক্রিয়া এবং কার্যকলাপকে একসাথে রূপ দিতে পারে।
পরিবারে, সন্তানদের উপর পিতামাতার কর্তৃত্ব ক্ষমতা প্রয়োগের একটি সর্বোত্তম উদাহরণ। নিয়ম, সীমা এবং মূল্যবোধের মাধ্যমে, পিতামাতারা তাদের সন্তানদের আচরণ এবং বিকাশকে প্রভাবিত করেন, তাদের পরিচয় এবং মূল্যবোধ গঠনে তাদের নির্দেশনা দেন।
বিভিন্ন সামাজিক প্রেক্ষাপটে সুস্থ ও সুষম সহাবস্থানের জন্য ক্ষমতার এই রূপগুলিকে স্বীকৃতি দেওয়া এবং বোঝা মৌলিক।
পাওয়ার সিরিজ: উদাহরণ এবং অনুশীলনী
উমা পাওয়ার সিরিজ চলকের ঘাত আকারে পদের যোগফল নিয়ে গঠিত x , অথবা আরও সাধারণভাবে, এর xc , কোথায় c একটি ধ্রুবক বাস্তব সংখ্যা। সমষ্টি স্বরলিপিতে, একটি ঘাত ধারা নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়:
Na n (x -c) n = একটি o + একটি 1 (x – c) + a 2 (x - c) 2 + একটি 3 (x - c) 3 +… + ক n (x - c) n
যেখানে সহগ a o , একটি 1 , একটি 2 … হল বাস্তব সংখ্যা এবং সিরিজটি n = 0 থেকে শুরু হয়।
এই সিরিজটি মূল্যবোধ-কেন্দ্রিক c যা ধ্রুবক, কিন্তু আপনি এটি বেছে নিতে পারেন c 0 এর সমান; এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার সিরিজটি সরলীকৃত করা হয়েছে:
Na n x n = একটি o + একটি 1 x + a 2 x 2 + একটি 3 x 3 +… + এ n x n
সিরিজটি শুরু হয় um o (এক্সসি) 0 e a ou x 0, যথাক্রমে। কিন্তু আমরা জানি যে:
(এক্সসি) 0 = এক্স 0 = 1
অতএব, um o (এক্সসি) 0 = um ou x 0 = um o (স্বাধীন শব্দ)
পাওয়ার সিরিজের ভালো দিক হলো, এগুলো দিয়ে ফাংশন প্রকাশ করা যায়, এবং এর অনেক সুবিধা আছে, বিশেষ করে যদি আপনি জটিল ফাংশন নিয়ে কাজ করতে চান।
এই ক্ষেত্রে, ফাংশনটি সরাসরি ব্যবহার করার পরিবর্তে, পাওয়ার সিরিজে এর বিকাশ ব্যবহার করা হয়, যা সংখ্যাসূচকভাবে আহরণ, সংহত বা কাজ করা সহজ হতে পারে।
অবশ্যই, সবকিছুই সিরিজের অভিসারণের উপর নির্ভর করে। একটি সিরিজ তখন একত্রিত হয় যখন প্রচুর সংখ্যক পদ যোগ করা হয়, যার ফলে একটি নির্দিষ্ট মান তৈরি হয়। এবং যদি আমরা আরও বেশি পদ যোগ করি, তাহলে আমরা সেই মান পেতে থাকব।
পাওয়ার সিরিজ হিসেবে কাজ করে
একটি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করা একটি ফাংশনের উদাহরণ হিসাবে, আসুন আমরা নিই চ (এক্স) = ই x .
এই ফাংশনটিকে একটি পাওয়ার সিরিজের মাধ্যমে নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে:
e x ≈ ১ + x + (x 2 /2!) + (x 3 /3!) + (x 4 /4!) + (x 5 / ৫টি!) + …
যেখানে ! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … এবং আপনি 0 ! = 1 পাবেন।
চলুন একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে যাচাই করি যে সিরিজটি আসলে স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট ফাংশনের সাথে মেলে কিনা। উদাহরণস্বরূপ, x = 0 সেট করে শুরু করা যাক।
আমরা জানি যে এবং 0 = ১. দেখা যাক সিরিজটি কী করে:
e 0 ≈ ১ + ০ + (০) 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 / ৫!) + … = ১
আর এখন চেষ্টা করা যাক এক্স = 1 । একটি ক্যালকুলেটর দেখায় যে e 1 = 2,71828 এবং তারপর আমরা এটি সিরিজের সাথে তুলনা করি:
e উমা ≈ ১ + ০ + (০) 2 /2!) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 / ৫!) + … = ২ + ০.৫০০০ + ০.১৬৬৭ + ০.০৪১৭ + ০.০০৮৩ + … ≈ ২.৭১৬৭
মাত্র ৫টি পদের সাথে, আমাদের ইতিমধ্যেই একটি সঠিক মিল রয়েছে এবং 2.71 । আমাদের সিরিজে আরও কিছু শব্দের অভাব রয়েছে, কিন্তু যত বেশি শব্দ যোগ করা হচ্ছে, এটি অবশ্যই সঠিক মানের সাথে মিলিত হচ্ছে e । উপস্থাপনাটি সঠিক হয় যখন n → ∞ .
যদি পূর্ববর্তী বিশ্লেষণটি পুনরাবৃত্তি করা হয় n = 2 , খুব অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যায়।
এইভাবে, আমরা নিশ্চিত যে সূচকীয় ফাংশন চ (এক্স) = ঙ x এই পাওয়ার সিরিজ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:
জ্যামিতিক শক্তি সিরিজ
কাজ চ (এক্স) = ঙ x এটিই একমাত্র ফাংশন নয় যা পাওয়ার সিরিজ উপস্থাপনা সমর্থন করে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন f ( x) = ১/১ – x দেখতে অনেকটা সুপরিচিতটির মতো। অভিসারী জ্যামিতিক ধারা :
ডালিম n = a / 1 – r
c = 1 কে কেন্দ্র করে এই ফাংশনের জন্য একটি উপযুক্ত সিরিজ পেতে a = 0 এবং r = x সেট করুন:
তবে, এটা জানা যায় যে এই সিরিজটি │r│ <1 এর জন্য অভিসারী, তাই, উপস্থাপনাটি শুধুমাত্র ব্যবধান (-1,1) তে বৈধ, যদিও ফাংশনটি x = 1 ব্যতীত সকল x এর জন্য বৈধ।
যখন আপনি এই ফাংশনটি অন্য কোনও পরিসরে সংজ্ঞায়িত করতে চান, তখন কেবল একটি উপযুক্ত মানের উপর ফোকাস করুন এবং আপনার কাজ শেষ।
একটি ফাংশনের ক্ষমতার ক্রমিক বিকাশ কীভাবে খুঁজে পাবেন
যেকোনো ফাংশনকে c কেন্দ্র করে একটি পাওয়ার সিরিজে বিকশিত করা যেতে পারে, যদি x = c তে সমস্ত ক্রমের ডেরিভেটিভ থাকে। পদ্ধতিটি নিম্নলিখিত উপপাদ্য ব্যবহার করে, যাকে বলা হয় টেলরের উপপাদ্য:
ধরা যাক f হল একটি ফাংশন (x) যার ক্রম ডেরিভেটিভ আছে n , হিসাবে নির্দেশিত f (ঢ) , যা শক্তির ধারাবাহিক বিকাশকে সমর্থন করে I এর বিকাশ টেলর সিরিজ তারকা:
যাতে:
চ (এক্স) = চ (গ) + চ '(গ), (এক্সসি) + চ' '(গ) (এক্সসি) 2 /2 + f”' (c) (XC) 3 /৬ + … আর n
যেখানে আর n , যা সিরিজের নবম পদ, তাকে বলা হয় অবশিষ্ট :
যখন c = 0, তখন ধারাটিকে বলা হয় ম্যাকলরিন সিরিজ .
এখানে উপস্থাপিত এই সিরিজটি শুরুতে উপস্থাপিত সিরিজের অনুরূপ, কিন্তু এখন আমাদের কাছে প্রতিটি পদের সহগগুলি স্পষ্টভাবে খুঁজে বের করার একটি উপায় আছে, যা নিম্নরূপ:
তবে, এটি নিশ্চিত করতে হবে যে সিরিজটি যে ফাংশনটি উপস্থাপন করা হবে তার সাথে মিলিত হয়। দেখা যাচ্ছে যে সমস্ত টেলর সিরিজ অগত্যা f(x) তে মিলিত হয় না, যা সহগ গণনার সময় বিবেচনা করা হয়েছিল। a n .
এটি ঘটে কারণ সম্ভবত ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি, মূল্যায়ন করা হয়েছে x = গ, অন্যটির ডেরিভেটিভের মতো একই মানের সাথে মিলে যায়, এছাড়াও x = গ । এই ক্ষেত্রে, সহগগুলি একই হবে, কিন্তু বিকাশ অস্পষ্ট হবে, কারণ এটি কোন ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত তা নিশ্চিত ছিল না।
সৌভাগ্যবশত, এটি খুঁজে বের করার একটি উপায় আছে:
কনভারজেন্স মানদণ্ড
অস্পষ্টতা এড়াতে, যদি R n → 0 যখন n → ∞ ব্যবধান I-এর সকল x-এর জন্য, সিরিজটি f (x)-এ একত্রিত হয়।
অনুশীলন
– সমাধান করা অনুশীলনী ২
ফাংশনটির জ্যামিতিক শক্তি ধারা খুঁজুন চ (এক্স) = ১/২ – এক্স c = 0 কে কেন্দ্র করে।
সমাধান
প্রদত্ত ফাংশনটি এমনভাবে প্রকাশ করতে হবে যাতে এটি 1/1 x এর সাথে যতটা সম্ভব ঘনিষ্ঠভাবে মিলে যায়, যার সিরিজটি জানা। অতএব, আসুন মূল রাশিটি পরিবর্তন না করে লব এবং হর পুনর্লিখন করি:
১/২ – x = (১/২) / [১ – (x / ২)]
যেহেতু ½ ধ্রুবক, এটি যোগফল বাদ দেয় এবং নতুন চলক x / 2 এর পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয়:
মনে রাখবেন যে x = 2 ফাংশনের ডোমেনের অন্তর্গত নয় এবং বিভাগে প্রদত্ত অভিসৃতি মানদণ্ড অনুসারে জ্যামিতিক শক্তি সিরিজ , ডেভেলপমেন্টটি │x / 2│ <1 বা সমতুল্য -2 এর জন্য বৈধ
– সমাধান করা অনুশীলনী ২
f (x) = sin x ফাংশনের ম্যাকলরিন সিরিজের বিকাশের প্রথম 5টি পদ খুঁজুন।
সমাধান
ধাপ 1
প্রথমে, আমরা ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই:
-ক্রম 0 এর ডেরিভেটিভ: এটি একই ফাংশন f (x) = sin x
-প্রথম ডেরিভেটিভ: (sin x) ´ = cos x
-দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = – sin x
-তৃতীয় ডেরিভেটিভ: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = – cos x
-পঞ্চম ডেরিভেটিভ: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x
ধাপ 2
তারপর প্রতিটি ডেরিভেটিভকে x = c এ মূল্যায়ন করা হয়, ঠিক যেমন ম্যাকলরিন ডেভেলপমেন্ট, c = 0:
পাপ 0 = 0; cos 0 = 1; - পাপ 0 = 0; -cos 0 = -1; পাপ 0 = 0
পর্যায় 3
সহগ a n নির্মিত হয় ;
a o = ০/০! = ০; ক 1 = ০/০! = ০; ক 2 = ০/০! = ০; ক 3 = -১ / ৩! ক 4 = ০/৪! = ০
ধাপ 4
অবশেষে, সিরিজটি নিম্নলিখিত অনুসারে একত্রিত করা হয়েছে:
পাপ x ≈ 0.x 0 + ১. এক্স 1 + ০ .x 2 – (১/৩!) x 3 + 0 x 4 … = x – (১/৩!)) x 3 +...
পাঠকের কি আরও বেশি শব্দের প্রয়োজন? যত বেশি শব্দ থাকবে, সিরিজটি ফাংশনের তত কাছাকাছি হবে।
লক্ষ্য করুন যে সহগগুলিতে একটি প্যাটার্ন রয়েছে, পরবর্তী অ-শূন্য পদটি হল 5 এবং সমস্ত বিজোড় সংখ্যা 0 থেকেও আলাদা, পর্যায়ক্রমিক চিহ্ন, যেমন:
পাপ x ≈ x – (১/৩!)) x 3 + (১/৫!)) x 5 – (১/৭!)) x 7 +….
এটি একত্রিত হয় কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য এটি একটি অনুশীলন হিসাবে রেখে দেওয়া হয়েছে, মানদণ্ড do ভাগফল সিরিজ কনভারজেন্সের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।
তথ্যসূত্র
- CK-12 ফাউন্ডেশন। পাওয়ার সিরিজ: ফাংশন এবং অপারেশন প্রতিনিধিত্ব করে। সংগৃহীত: ck12.org থেকে।
- এংলার, এ. ২০১৯। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। জাতীয় উপকূল বিশ্ববিদ্যালয়।
- লারসন, আর. ২০১০। এক-চলকীয় ক্যালকুলাস। ৯ম সংস্করণ। ম্যাকগ্রা হিল।
- বিনামূল্যে গণিতের পাঠ্য। পাওয়ার সিরিজ। সংগৃহীত: math.liibretexts.org থেকে।
- উইকিপিডিয়া। পাওয়ার সিরিজ। es.wikipedia.org থেকে সংগৃহীত।