সম্ভাব্যতার স্বতঃসিদ্ধ সূত্রগুলো কী কী? সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা।

মূল পাতা » বিজ্ঞান » গণিত » পরিসংখ্যান » সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধগুলো কী কী? সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা

“সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধগুলো কী?”—এই প্রশ্নটি শুনতে সহজ মনে হলেও, এর উত্তরটি একটি অত্যন্ত সুদৃঢ় গাণিতিক কাঠামোর দিকে নিয়ে যায় , যা বিংশ শতাব্দীতে আন্দ্রেই কোলমোগোরভের কাজের মাধ্যমে কঠোরভাবে বিন্যস্ত হতে শুরু করে। এই স্বতঃসিদ্ধগুলোই কার্যত সমস্ত আধুনিক সম্ভাবনা তত্ত্বের ভিত্তি; জুয়ার খেলার অধ্যয়ন থেকে শুরু করে ডেটা সায়েন্স, ফিনান্স এবং ইঞ্জিনিয়ারিং-এ ব্যবহৃত জটিল পরিসংখ্যানিক মডেল পর্যন্ত এর বিস্তৃতি।

কলমোগোরভের আনুষ্ঠানিকীকরণের আগে , সম্ভাবনাকে আরও স্বজ্ঞামূলকভাবে বোঝা হতো, যা পৌনঃপুনিকতা বা সুযোগের ধারণার সাথে যুক্ত ছিল এবং বিভিন্ন গণিতবিদ ভিন্ন ভিন্ন ব্যাখ্যা ব্যবহার করতেন। আজ, যখন আমরা সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধের কথা বলি, তখন আমরা এমন এক ন্যূনতম নিয়মাবলীর সমষ্টিকে বোঝাই যা যেকোনো সম্ভাবনা অপেক্ষককে অবশ্যই মেনে চলতে হয়, যাতে আমরা সুসংগত গণনা করতে, স্ববিরোধিতা এড়াতে এবং শক্তিশালী উপপাদ্য নির্মাণ করতে পারি।

মৌলিক অন্তর্দৃষ্টি: এলোমেলো অভিজ্ঞতা এবং ঘটনা

সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধগুলো বোঝার জন্য, প্রথম ধাপ হলো দৈব পরীক্ষা কী এবং ঘটনা বলতে আমরা কাকে বুঝি তা জানা । দৈব পরীক্ষা হলো এমন যেকোনো পদ্ধতি যার ফলাফল নিশ্চিতভাবে ভবিষ্যদ্বাণী করা যায় না, যদিও আমরা সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল জানি; এর চিরায়ত উদাহরণ হলো মুদ্রা নিক্ষেপ করা বা ছক্কা গড়ানো।

এই পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে আমরা নমুনা ক্ষেত্র বলি, যা সাধারণত Ω দ্বারা প্রকাশ করা হয় । উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করি, তাহলে নমুনা ক্ষেত্রটিকে Ω = {H, T} আকারে লেখা যেতে পারে, যেখানে H হলো 'হেডস' এবং T হলো 'টেইলস'। Ω-এর প্রতিটি উপাদানকে একটি প্রাথমিক ফলাফল বলা হয়।

একটি ঘটনা হলো Ω-এর যেকোনো উপসেট যা আমরা পর্যবেক্ষণ করতে আগ্রহী । সুতরাং, যদি পরীক্ষাটি একটি মুদ্রা নিক্ষেপ হয়, তবে {H} সেটটি হলো "হেডস" ঘটনা, {T} সেটটি হলো "টেইলস" ঘটনা, এবং Ω নিজেই হলো "হেডস অথবা টেইলস" ঘটনা, অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট ঘটনা।

কিছু ঘটনা বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ: অসম্ভব ঘটনা, প্রাথমিক ঘটনা এবং নিশ্চিত ঘটনা । শূন্য সেট ∅ অসম্ভব ঘটনাকে বোঝায়, কারণ এর কোনো ফলাফল নেই; Ω-এর অন্তর্ভুক্ত ω-সহ একটিমাত্র উপাদানবিশিষ্ট সেট {ω} একটি প্রাথমিক ঘটনাকে বোঝায়; এবং Ω নিজেই হলো নিশ্চিত ঘটনা, যা পরীক্ষাটি করার সময় সর্বদা ঘটে থাকে।

সেট তত্ত্বের ভাষা সম্ভাব্যতা অধ্যয়নে খুব সহায়ক । যদি A এবং B দুটি ঘটনা হয়, তবে A ∩ B দ্বারা A এবং B-এর যুগপৎ সংঘটন, A ∪ B দ্বারা এদের মধ্যে অন্তত একটির সংঘটন, এবং A-এর পূরক , যা প্রায়শই ̄A বা Ω \ A হিসেবে লেখা হয়, দ্বারা “A-এর অসংঘটন” বোঝানো হয়। এই প্রতীক এবং সেটের বৈশিষ্ট্যগুলো স্বতঃসিদ্ধগুলো প্রণয়নে সরাসরি ব্যবহৃত হবে।

সম্ভাব্যতার ধারণার ব্যাখ্যা

যদিও কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধগুলো সম্ভাবনার গাণিতিক ভিত্তি প্রদান করে, 'সম্ভাবনা' শব্দটি নিজেই বিভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে । ঐতিহাসিকভাবে, কোনো একটি ঘটনা A-কে P(A) সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করার অর্থ কী, তা নিয়ে বিভিন্ন ব্যাখ্যা উঠে এসেছে।

ল্যাপ্লেসের চিরায়ত ব্যাখ্যা অনুসারে, যা সমসম্ভাব্য ফলাফলযুক্ত সসীম স্থানের জন্য প্রযোজ্য, A-এর সম্ভাবনা হলো অনুকূল ক্ষেত্রের সংখ্যা এবং সম্ভাব্য ক্ষেত্রের সংখ্যার অনুপাত । যদি নমুনা স্থানে n-সংখ্যক সমসম্ভাব্য ফলাফল থাকে (অর্থাৎ, #Ω = n) এবং ঘটনা A-তে এই ফলাফলগুলোর মধ্যে n_A সংখ্যক ফলাফল থাকে (#A = n_A), তবে সম্ভাবনাটি P(A) = n_A / n দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যখন সমস্ত ফলাফলের ঘটার সম্ভাবনা সমান থাকে, তখন এই সূত্রটি বেশ স্বজ্ঞাত।

ফ্রিকোয়েন্টিস্ট ব্যাখ্যাটি কোনো পরীক্ষার পুনরাবৃত্তিতে পরিলক্ষিত আপেক্ষিক পৌনঃপুনিকতার সাথে সম্ভাব্যতাকে সংযুক্ত করে । এই দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা দৈব পরীক্ষাটি n বার পুনরাবৃত্তি করি এবং ঘটনা A কতবার ঘটে তা গণনা করি, এই সংখ্যাটিকে n_A বলি; তারপর n বাড়ার সাথে সাথে আমরা n_A / n ভগ্নাংশটির সীমা দেখি। A-এর সম্ভাব্যতা হবে P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), যদি এই সীমাটির অস্তিত্ব থাকে।

এর একটি ব্যক্তিনিষ্ঠ ব্যাখ্যাও রয়েছে, যা বেয়েসিয়ান পরিসংখ্যানে বহুল ব্যবহৃত হয়, যেখানে সম্ভাবনাকে একজন যুক্তিবাদী ব্যক্তির বিশ্বাসের মাত্রার সাথে যুক্ত করা হয় । এই পদ্ধতিতে, P(A) উপলব্ধ জ্ঞানকে বিবেচনায় রেখে, কোনো একটি ঘটনার সংঘটনের ব্যাপারে একজন ব্যক্তি কতটা আত্মবিশ্বাসী, তা পরিমাপ করে। এক্ষেত্রে অভিজ্ঞতা সম্ভাবনাকে "বহন" করে না, বরং সেই ব্যক্তিই সম্ভাবনাকে বহন করে, যিনি সুসংগতভাবে অনিশ্চয়তাকে মূল্যায়ন করেন।

এই ভিন্ন ভিন্ন ব্যাখ্যা থাকা সত্ত্বেও, এগুলি সবই কোলমোগোরভের একই স্বতঃসিদ্ধ কাঠামোর মধ্যে সহাবস্থান করতে পারে । অর্থাৎ, আপনি চিরায়ত, ফ্রিকোয়েন্টিস্ট বা ব্যক্তিনিষ্ঠ—যে দৃষ্টিকোণই পছন্দ করুন না কেন, শেষ পর্যন্ত সম্ভাবনাকে গাণিতিকভাবে P নামক একটি ফাংশন দ্বারা মডেল করা হবে, যা একটি ঘটনা পরিসর সম্পর্কিত অল্প কিছু স্বতঃসিদ্ধ মেনে চলে।

আনুষ্ঠানিক গঠন: সম্ভাব্যতা স্থান এবং σ-বীজগণিত

কলমোগোরভ সম্ভাবনাকে (Ω, F, P) নামক একটি ত্রয়ীর মাধ্যমে বর্ণনা করেছেন, যাকে সম্ভাবনা জগৎ বলা হয় । এই ত্রয়ীতে, Ω হলো নমুনা জগৎ, F হলো সম্ভাব্য ঘটনাসমূহের সেট (প্রযুক্তিগতভাবে, Ω-এর উপসেটসমূহের একটি σ-বীজগণিত), এবং P হলো সম্ভাবনা অপেক্ষক।

একটি σ-বীজগণিত F হলো Ω-এর উপসেটসমূহের একটি বিশেষ সংগ্রহ যা নির্দিষ্ট কিছু বৈশিষ্ট্য পূরণ করে । সাধারণভাবে বলতে গেলে, F-কে অবশ্যই শূন্য সেট ধারণ করতে হবে, পরিপূরকের অধীনে আবদ্ধ হতে হবে (যদি A, F-এ থাকে, তবে তার পরিপূরকও F-এ থাকবে), এবং গণনযোগ্য সংযোগের অধীনে আবদ্ধ হতে হবে (যদি A₁, A₂, … F-এ থাকে, তবে তাদের সকলের সংযোগও F-এ থাকবে)। এই কাঠামোটি নিশ্চিত করে যে আমরা সু-সংজ্ঞায়িত সম্ভাবনাযুক্ত ঘটনাগুলোর জগৎ থেকে বেরিয়ে না গিয়েই সেট অপারেশন নিয়ে কাজ করতে পারি।

আনুষ্ঠানিকভাবে, F হলো Ω-এর উপর একটি σ-বীজগণিত, যখন: শূন্য সেট ∅ F-এর অন্তর্ভুক্ত হয়; যদি A, F-এর অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে Ω-তে A-এর পূরকও F-এর অন্তর্ভুক্ত হয়; এবং যদি A₁, A₂, … F-এর উপাদানগুলোর একটি (সসীম বা গণনাযোগ্য অসীম) অনুক্রম হয়, তবে তাদের সংযোগ A₁ ∪ A₂ ∪ …-ও F-এর অন্তর্ভুক্ত হয়। অনেক ক্ষেত্রে, F-কে বোরেল ক্ষেত্র বা σ-ক্ষেত্রও বলা হয়।

সম্ভাবনা ফাংশন P, F-এর উপর সংজ্ঞায়িত এবং এটি F-এর প্রতিটি ঘটনা E-কে একটি অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা প্রদান করে। তখন আমরা বলি যে P(E) ℝ-এ অবস্থিত এবং F-এর সকল E-এর জন্য P(E) ≥ 0। সাধারণ পরিমাপ তত্ত্বে, পরিমাপসমূহ অসীম মান গ্রহণ করতে পারে, কিন্তু প্রমিত সম্ভাবনা তত্ত্বে, P(E) সর্বদা সসীম, যা আরও সাধারণ পরিমাপসমূহের তুলনায় কিছু পার্থক্য নিয়ে আসে।

P(Ω) = 1 সহ এই কাঠামো (Ω, F, P)-কে আমরা সম্ভাব্যতা জগৎ বলি । P(Ω) = 1 শর্তটি অপরিহার্য, কারণ এটি এই ধারণাটিকে প্রকাশ করে যে, পরীক্ষাটি করার সময় Ω-এর মধ্যে থাকা কোনো একটি ফলাফল অবশ্যই ঘটবে; নমুনা জগতের বাইরে কোনো "লুকানো ফলাফল" নেই।

কলমোগোরভের তিনটি স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্ব

কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্ব তিনটি মৌলিক স্বতঃসিদ্ধের উপর ভিত্তি করে গঠিত, যা যেকোনো সম্ভাব্যতা অপেক্ষককে অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হয় । এগুলো বিবৃত করা সহজ, কিন্তু অত্যন্ত শক্তিশালী, কারণ সম্ভাবনার প্রায় সমস্ত প্রচলিত বৈশিষ্ট্যই এগুলো থেকে উদ্ভূত হয়েছে।

প্রথম স্বতঃসিদ্ধ — অঋণাত্মকতা: σ-বীজগণিত F-এর অন্তর্গত যেকোনো ঘটনা A-এর জন্য, P(A) ≥ 0 হয়। অর্থাৎ, সম্ভাবনা কখনো ঋণাত্মক হয় না। কিছু আরও অভিনব তত্ত্বে 'ঋণাত্মক সম্ভাবনা'র কথা বলা হয়, কিন্তু এই ধারণাগুলো কোলমোগোরভের চিরায়ত কাঠামো থেকে বিচ্যুত।

দ্বিতীয় স্বতঃসিদ্ধ — স্বাভাবিকীকরণ: কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা ১-এর সমান, অর্থাৎ, P(Ω) = 1। এই স্বতঃসিদ্ধটি এই প্রথা প্রতিষ্ঠা করে যে, ১ হলো ১০০% নিশ্চয়তা এবং ০ হলো অসম্ভবতা। আরও প্রাথমিক সংস্করণে, এই স্বতঃসিদ্ধটিকে এভাবেও বোঝা যেতে পারে যে, Ω-এর সমস্ত প্রাথমিক ফলাফলের সম্ভাবনার যোগফল ১-এর সমান।

তৃতীয় স্বতঃসিদ্ধ — সিগমা-সংযোজনশীলতা: যদি A₁, A₂, … পরস্পর বিযুক্ত (যাকে পারস্পরিকভাবে বর্জনশীলও বলা হয়) ঘটনাসমূহের একটি অনুক্রম হয়, তবে P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ)। এটি সসীম এবং গণনাযোগ্য অসীম উভয় প্রকার ঘটনার সংগ্রহের জন্যই সত্য। এই গণনাযোগ্য সংযোজনশীলতার বৈশিষ্ট্যটিই নিছক সসীম সংযোজনশীলতার তুলনায় প্রধান পার্থক্য।

সরলতর প্রেক্ষাপটে, কিছু লেখক কেবল সসীম সংযোজনশীলতা নিয়ে কাজ করেন , যার জন্য প্রয়োজন হয় যে বিযুক্ত ঘটনা A এবং B-এর ক্ষেত্রে P(A ∪ B) = P(A) + P(B) হবে এবং এটি সসীম সংখ্যক সেট পর্যন্ত বিস্তৃত হবে। এক্ষেত্রে, একটি সেট বীজগণিত নিয়ে কাজ করাই যথেষ্ট, অগত্যা সেটি σ-বীজগণিত না হলেও চলে, কিন্তু আধুনিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বে σ-সংযোজনশীলতার শর্ত আরোপ করাই হলো আদর্শ পদ্ধতি।

এই তৃতীয় স্বতঃসিদ্ধটি থেকেই বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ অনুসিদ্ধান্ত উদ্ভূত হয়, যেমন সমতা, অসমতা এবং সম্ভাবনার সূত্রাবলী । এটি সম্ভাবনা এবং পরিমাপ তত্ত্বের মধ্যকার সংযোগের কেন্দ্রবিন্দুতেও রয়েছে, যা অত্যন্ত সাধারণ উপায়ে সেটের পরিমাপ নিয়ে অধ্যয়ন করে।

স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রাপ্ত বৈশিষ্ট্য

কলমোগোরভের তিনটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে আমরা বেশ কিছু মৌলিক ও অত্যন্ত দরকারি বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে পারি । এই বৈশিষ্ট্যগুলো আগে থেকে ধরে নেওয়া হয় না: এগুলো হলো স্বতঃসিদ্ধগুলোর যৌক্তিক পরিণতি।

প্রথম বৈশিষ্ট্যগুলোর মধ্যে একটি হলো সম্ভাবনার একঘেয়েমি । যদি A এবং B, F-এর দুটি ঘটনা হয় এবং A, B-এর অন্তর্ভুক্ত থাকে (A ⊆ B), তাহলে P(A) ≤ P(B)। ধারণাটি সহজবোধ্য: যদি B, A-তে যা কিছু ঘটতে পারে তার সবকিছুকে, এবং সম্ভবত তার চেয়েও বেশি কিছুকে, অন্তর্ভুক্ত করে, তাহলে B-এর সম্ভাবনা A-এর চেয়ে কম হতে পারে না।

আরেকটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো যে একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য । আনুষ্ঠানিক দৃষ্টিকোণ থেকে, σ-সংযোজনশীলতা ব্যবহার করে, আমরা এমন একটি অনুক্রম বিবেচনা করি যেখানে E₁ = A, E₂ = B \ A এবং i ≥ 3 এর জন্য Eᵢ = ∅, এমন একটি পরিস্থিতিতে যেখানে A ⊆ B। যেহেতু Eᵢ গুলি পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং তাদের সংযোগ হলো B, তাই সম্ভাবনাগুলির যোগফল অবশ্যই P(B)-তে অভিসারী হবে। যদি আমরা ধরে নিই যে P(∅) = a > 0, তাহলে অসীম সংখ্যক বার P(∅)-এর যোগফল অসীমে পৌঁছে যাবে, যা সসীম P(B)-এর সাথে অসামঞ্জস্যপূর্ণ। সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে P(∅) = 0।

অতএব, আমরা F-এর যেকোনো ঘটনা E-এর জন্য 0 ≤ P(E) ≤ 1 অসমতাটি বলতে পারি। আমরা প্রথম স্বতঃসিদ্ধ থেকে আগেই জানতাম যে P(E) ≥ 0। P(Ω) = 1 জেনে এবং E ⊆ Ω শর্তে একঘেয়েমি ব্যবহার করে, এটি প্রতীয়মান হয় যে P(E) ≤ P(Ω) = 1। সুতরাং, প্রতিটি সম্ভাবনা সর্বদা ০ এবং ১-এর মধ্যে থাকে।

যেকোনো দুটি ঘটনার জন্য একটি বহুল ব্যবহৃত অভেদ হলো তথাকথিত যোগসূত্র । F-এর অন্তর্গত ঘটনা A এবং B-এর জন্য, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) হয়। এই সূত্রটি সাধারণ ঘটনা A ∩ B-এর "দ্বৈত গণনা" সংশোধন করে, যা কোনো সমন্বয় ছাড়াই P(A) এবং P(B)-কে যোগ করলে দুইবার যোগ হয়ে যায়।

এর আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল হলো কোনো ঘটনা এবং তার পরিপূরকের মধ্যে সম্পর্ক । যদি আমরা A-এর পরিপূরককে ̄A দ্বারা প্রকাশ করি, তাহলে P(̄A) = 1 − P(A)। এই সমতাটি এই ধারণাটি প্রকাশ করে যে, "হয় A ঘটে অথবা A ঘটে না," এবং Ω-এর মধ্যে অন্য কোনো সম্ভাবনা নেই।

এ থেকে এটাও স্পষ্ট হয়ে যায় যে, P(A) = 0 হলেই যে A একটি অসম্ভব ঘটনা হবে, এমনটা নয় । গাণিতিকভাবে, কোনো ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য হওয়া সম্ভব, কিন্তু তা শূন্য সেট নাও হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, অবিচ্ছিন্ন স্থানে এমনটা দেখা যায়), তবে সবচেয়ে প্রাথমিক স্তরে, P(A) = 0 সাধারণত প্রায়োগিকভাবে অসম্ভব ঘটনাগুলোর সাথেই সম্পর্কিত।

ব্যবহারিক উদাহরণ: একটি মুদ্রা উল্টানো

কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধগুলো কল্পনা করার জন্য একটি চিরায়ত এবং অত্যন্ত শিক্ষামূলক উদাহরণ হলো মুদ্রা নিক্ষেপ । শুরুতেই ধরে নেওয়া যাক যে, মুদ্রাটি কেবল 'হেডস' (H) বা 'টেইলস' (T) পড়তে পারে এবং এগুলোই একমাত্র সম্ভাব্য ফলাফল।

এরপর আমরা নমুনা ক্ষেত্রকে Ω = {H, T} হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি । সম্ভাব্য ঘটনাগুলো {∅, {H}, {T}, {H, T} দ্বারা গঠিত একটি σ-বীজগণিত F তৈরি করে। এই প্রসঙ্গে, অসম্ভব ঘটনাটি হলো ∅, মৌলিক ঘটনাগুলো হলো {H} এবং {T}, এবং নিশ্চিত ঘটনাটি হলো {H, T}।

কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে, আমরা জানি যে P(∅) = 0 এবং P(Ω) = 1। যদি আমরা ধরে নিই যে মুদ্রাটি নিরপেক্ষ, অর্থাৎ এটি কোনো এক পক্ষকে সমর্থন করে না, তাহলে প্রতিসাম্য অনুসারে P({H}) = P({T})। যেহেতু P({H}) + P({T}) এর যোগফল অবশ্যই 1 হবে, তাই আমরা এই সিদ্ধান্তে আসি যে উভয়ই 1/2 এর সমান।

সুতরাং, 'হেডস বা টেইলস' পাওয়ার সম্ভাবনা হলো P({H, T}) = 1 , 'হেডস' পাওয়ার সম্ভাবনা হলো P({H}) = 1/2, এবং 'টেইলস' পাওয়ার সম্ভাবনা হলো P({T}) = 1/2। মৌলিক ঘটনাগুলোর সম্ভাবনার যোগফলই হলো পরিসরটির মোট সম্ভাবনা।

এই মডেলটি সরল হলেও, এটি ব্যাখ্যা করে যে স্বতঃসিদ্ধগুলো বাস্তবে কীভাবে কাজ করে এবং কীভাবে এগুলো সম্ভাব্যতা গণনার অসঙ্গতি প্রতিরোধ করে । যদি আমরা নমুনা ক্ষেত্রটি সতর্কতার সাথে সংজ্ঞায়িত না করি, তবে আমরা গুরুতর ভুল করতে পারি, কারণ যেকোনো ঘটনা সর্বদা Ω-এর একটি উপসেট; যদি উপসেটটি Ω-এর মধ্যে না ধরে, তবে তার সম্ভাব্যতাও সংজ্ঞায়িত হয় না।

সসীম এবং গণনাযোগ্য স্থানে সম্ভাব্যতা

যখন নমুনা ক্ষেত্র সসীম বা গণনাযোগ্য হয়, তখন সম্ভাবনাকে খুব সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করা যায় । ধরা যাক, Ω = {ω₁, ω₂, …} হলো সম্ভাব্য ফলাফলের একটি সসীম বা গণনাযোগ্য সেট।

যদি A এমন একটি ঘটনা হয় যাতে এই ফলাফলগুলোর কয়েকটি অন্তর্ভুক্ত থাকে, যেমন A = ​​{ω₁*, …, ω_{k*}, …} , তাহলে A-এর সম্ভাবনাকে সংশ্লিষ্ট মৌলিক ঘটনাগুলোর সম্ভাবনার যোগফল হিসেবে দেখা যেতে পারে: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}})। এটি হলো বিযুক্ত সেটের উপর যোগশীলতার (বা σ-যোগশীলতার) একটি সরাসরি প্রয়োগ।

বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে নমুনা ক্ষেত্র সসীম, যেখানে #Ω = n, এবং সমস্ত ফলাফল সমসম্ভাব্য , সেখানে প্রতিটি i-এর জন্য P({ωᵢ}) = 1/n হয়। যদি A-তে Ω-এর মধ্যে k-টি স্বতন্ত্র ফলাফল থাকে, তাহলে P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω)। এটি ঠিক ক্লাসিক ল্যাপ্লেস সূত্রেরই আধুনিক স্বতঃসিদ্ধ কাঠামোর মধ্যে পুনর্ব্যাখ্যা।

যখন নমুনা ক্ষেত্র গণনাযোগ্যভাবে অসীম হয়, তখনও মৌলিক ঘটনাগুলোর সম্ভাবনার যোগফলকে ১-এর দিকে অভিসারী হতে হয়। অর্থাৎ, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1। এখানেই সিগমা-সংযোজনশীলতা তার শক্তি প্রদর্শন করে, যা আমাদের কেবল সসীম যোগফল নিয়েই নয়, বরং অসীম ঘটনা-ধারা নিয়েও কাজ করার সুযোগ করে দেয়।

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা এবং স্বতঃসিদ্ধের ভূমিকা।

এই তত্ত্বের একটি কেন্দ্রীয় দিক হলো, যখন আমরা জানি যে একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ইতিমধ্যেই ঘটে গেছে, তখন সম্ভাবনা কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা বোঝা । এখানেই শর্তাধীন সম্ভাবনার বিষয়টি আসে, যা সাধারণত P(A | B) আকারে লেখা হয়, যার অর্থ হলো "B ঘটার সাপেক্ষে A ঘটার সম্ভাবনা"।

শর্তাধীন সম্ভাবনার মৌলিক সূত্রটি হলো P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), যেখানে P(B) > 0। এই সংজ্ঞাটি কোলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধগুলোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং প্রকৃতপক্ষে, P(B) > 0 এমন প্রতিটি B-এর জন্য, যখন আমরা ঘটনা ক্ষেত্রকে B-তে সীমাবদ্ধ করি, তখন A ↦ P(A | B) ফাংশনটি আবারও তিনটি স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে।

এর অর্থ হলো যে P(· | B) নিজেই “নতুন” নমুনা ক্ষেত্র B-এর উপর একটি সম্ভাব্যতা অপেক্ষক। ফলস্বরূপ, শর্তাধীন সম্ভাবনার সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্য প্রযোজ্য হয়: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, শর্তাধীন একঘেয়েমি (যদি A₁ ⊆ A₂ হয়, তবে P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) এবং সূত্র P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B)।

শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞাটিও P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) এই গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক থেকে উদ্ভূত হয়, যেখানে P(A) > 0। প্রতিসমভাবে, আমরা P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) লিখতে পারি, যদি P(B) > 0 হয়। এই সমতাগুলো যৌথ সম্ভাবনাকে বিশ্লেষণ করতে সাহায্য করে এবং বেয়েসের উপপাদ্যের মতো বেশ কিছু ফলাফলের ভিত্তি হিসেবে কাজ করে।

এটি লক্ষণীয় যে, "শর্তহীন" সম্ভাবনাকে শর্তাধীন সম্ভাবনার একটি বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে দেখা যেতে পারে । প্রকৃতপক্ষে, আমরা লিখতে পারি P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), যেহেতু P(Ω) = 1। এটি এই ধারণাটিকে আরও শক্তিশালী করে যে, ধারণাগতভাবে, সমস্ত সম্ভাবনাই কোনো না কোনো পারিপার্শ্বিক তথ্যের উপর শর্তাধীন, এমনকি যদি সেই তথ্যটি কেবল এই জ্ঞানও হয় যে আমরা Ω-এর পরিসরে কাজ করছি।

ঘটনার স্বাধীনতা

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা স্বতঃসিদ্ধের উপর নির্ভর করে, তা হলো ঘটনাগুলোর মধ্যে স্বাধীনতা । দুটি ঘটনা A এবং B স্বাধীন হয় যদি একটির সংঘটন অন্যটির সম্ভাব্যতাকে পরিবর্তন না করে।

আনুষ্ঠানিক ভাষায়, A এবং B স্বাধীন হয় যখন P(A ∩ B) = P(A) P(B) হয় । শর্তাধীন সম্ভাবনার পরিপ্রেক্ষিতে, এর অর্থ হলো যদি P(B) > 0 হয়, তাহলে P(A | B) = P(A), এবং যদি P(A) > 0 হয়, তাহলে P(B | A) = P(B)। অর্থাৎ, B ঘটেছে এটা জানা থাকলে A-এর সম্ভাবনার কোনো পরিবর্তন হয় না, এবং এর বিপরীতটিও সত্য।

প্রতিটি ঘটনা অসম্ভব ঘটনা ∅ এবং নিশ্চিত ঘটনা Ω থেকে স্বাধীন । শূন্য সেটের জন্য, P(A ∩ ∅) = 0 এবং P(∅) = 0, সুতরাং সম্পর্কটি তুচ্ছভাবেই সত্য। নিশ্চিত ঘটনার জন্য, P(A ∩ Ω) = P(A) এবং P(Ω) = 1, অতএব P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A)।

একটি সাধারণ প্রশ্ন হলো, দুটি বিযুক্ত ঘটনা স্বাধীন হতে পারে কি না । সাধারণভাবে, যদি A এবং B বিযুক্ত হয় এবং উভয়েরই সম্ভাবনা ধনাত্মক হয়, তাহলে P(A ∩ B) = 0 হয়, কিন্তু P(A) ≠ P(B) > 0 হয়, যা স্বাধীনতার সংজ্ঞা লঙ্ঘন করে। সুতরাং, অনেক ক্ষেত্রে, অশূন্য সম্ভাবনাসহ দুটি বিযুক্ত ঘটনা স্বাধীন হয় না, কারণ একটির সংঘটন অন্যটির সম্ভাবনাকে বাতিল করে দেয়।

দুইয়ের অধিক ঘটনা নিয়ে কাজ করার সময় স্বাধীনতার বিভিন্ন ধারণা উদ্ভূত হয় । এক্ষেত্রে জোড়ায় জোড়ায় স্বাধীনতা, যৌথ স্বাধীনতা এবং অন্যান্য প্রকারের স্বাধীনতা থাকতে পারে। তবে, এই সকল ক্ষেত্রেই কোলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধ এবং শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে P(A ∩ B) = P(A) P(B) সম্পর্কটিই মূল ভিত্তি হিসেবে থাকে।

সম্ভাব্যতার ব্যবহারিক নিয়ম এবং ধ্রুপদী সূত্র

আনুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্যগুলোর বাইরেও, স্বতঃসিদ্ধগুলো আমাদের আরও বেশি কার্যকরী সূত্র বিবৃত করার সুযোগ দেয়, যা সম্ভাব্যতা গণনাকারীদের দৈনন্দিন কাজে উপযোগী । এর মধ্যে একটি হলো তথাকথিত যোগের সূত্র, যা পূর্বে P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) আকারে উল্লেখ করা হয়েছে এবং যাকে অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতির মাধ্যমে আরও বেশি সংখ্যক ঘটনার ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যায়।

আরেকটি বহুল ব্যবহৃত নিয়ম হলো একটি ঘটনা এবং অন্য একটি ঘটনার "বাইরের" অংশের মধ্যে সম্পর্ক । F-এর A এবং B-এর জন্য, নিম্নলিখিতটি প্রযোজ্য: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B)। এটি সহজভাবে A-কে দুটি অংশে বিভক্ত করে: যে অংশটি B-এর সাথে একসাথে ঘটে (A ∩ B) এবং যে অংশটি B ছাড়া ঘটে (A ∩ ̄B)। এই দুটি অংশ পরস্পর বিচ্ছিন্ন, এবং এদের সংযোগ হলো A, যা যোগফলের মাধ্যমে পূর্ববর্তী সমতার দিকে পরিচালিত করে।

মোট সম্ভাবনার সূত্র এবং বেয়েসের উপপাদ্য, যদিও এখানে সম্পূর্ণরূপে বিশদভাবে বর্ণনা করা হয়নি, সরাসরি স্বতঃসিদ্ধগুলোর উপর নির্ভর করে । মোট সম্ভাবনার সূত্র শর্তাধীন সম্ভাবনাগুলোকে নমুনা ক্ষেত্রের একটি বিভাজনে একত্রিত করে, অপরদিকে বেয়েসের উপপাদ্য শর্তাধীন সম্ভাবনাগুলোকে "বিপরীত" করে, যা নতুন প্রমাণের ভিত্তিতে সম্ভাবনাগুলোকে হালনাগাদ করার সুযোগ দেয়।

আরও শিক্ষামূলক সংস্করণগুলিতে, সহজে মনে রাখার মতো কিছু "ব্যবহারিক স্বতঃসিদ্ধ" তালিকাভুক্ত করা হয় , যেমন: সর্বোচ্চ সম্ভাবনা হলো ১ (১০০%); নমুনা ক্ষেত্রের সমস্ত উপাদানের সম্ভাবনার যোগফল ১-এর সমান; এবং কোনো ঘটনা X-এর সম্ভাবনার সাথে 'X না হওয়ার' সম্ভাবনা যোগ করলে তা সর্বদা ১ হয়। এই বিবৃতিগুলো আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধগুলোর সরাসরি প্রতিফলন।

এই সূত্রগুচ্ছের সাহায্যে সাধারণ ভাগ্য-নির্ভর খেলা থেকে শুরু করে বহু চলকবিশিষ্ট জটিল মডেল পর্যন্ত বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা সম্ভব হয় । এর সবচেয়ে বড় সুবিধা হলো, সমস্ত সূত্র এবং গণনার কৌশলের আড়ালে যৌক্তিক ভিত্তি হিসেবে সেই একই স্বতঃসিদ্ধ ত্রিপদীটি থেকে যায়।

কোলমোগোরভের সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধগুলো অনিশ্চয়তা মোকাবেলার জন্য একটি কঠোর অথচ নমনীয় ভিত্তি প্রদান করে । অঋণাত্মকতা, স্বাভাবিকীকরণ এবং σ-সংযোজনশীলতা—এই তিনটি সরল নীতি থেকে একটি সমৃদ্ধ তত্ত্ব গড়ে উঠেছে, যা চিরায়ত, ফ্রিকোয়েন্টিস্ট এবং বিষয়ীগত ব্যাখ্যা অন্তর্ভুক্ত করতে, সসীম বা অসীম পরিসর পরিচালনা করতে, শর্তাধীন সম্ভাবনা ও স্বাধীনতা বর্ণনা করতে এবং কার্যত সকল বৈজ্ঞানিক ও প্রযুক্তিগত ক্ষেত্রে প্রয়োগ সমর্থন করতে সক্ষম।