Koji su aksiomi vjerovatnoće? Potpuno objašnjenje.

Inacio » Nauka » Matematika » Statistika » Koji su aksiomi vjerovatnoće? Potpuno objašnjenje.

Pitanje "koji su aksiomi vjerovatnoće?" izgleda jednostavno, ali odgovor vodi do vrlo čvrste matematičke konstrukcije., koja je počela biti rigorozno organizirana u 20. stoljeću radom Andreja Kolmogorova. Ovi aksiomi su osnova gotovo cijele moderne teorije vjerovatnoće, od proučavanja igara na sreću do složenih statističkih modela koji se koriste u nauci o podacima, finansijama i inženjerstvu.

Prije Kolmogorovljeva formalizacijaU to vrijeme, vjerovatnoća se shvatala na intuitivniji način, povezanu s idejom učestalosti ili slučajnosti.I različiti matematičari su koristili različita tumačenja. Danas, kada govorimo o aksiomima vjerovatnoće, mislimo na minimalni skup pravila kojih se svaka funkcija vjerovatnoće mora pridržavati kako bismo mogli vršiti koherentne proračune, izbjegavati kontradikcije i konstruirati moćne teoreme.

Osnovna intuicija: slučajna iskustva i događaji

Da bismo razumjeli aksiome vjerovatnoće, prvi korak je znati šta je slučajni eksperiment i šta nazivamo događajem.Slučajni eksperiment je svaki postupak čiji se ishod ne može sa sigurnošću predvidjeti, čak i ako znamo sve moguće rezultate; klasični primjeri su bacanje novčića ili kocke.

Prostor uzorka, obično označen sa Ω, nazivamo skupom svih mogućih ishoda ovog eksperimenta.Ako bacimo novčić, na primjer, prostor uzorka može se zapisati kao Ω = {H, T}, gdje H predstavlja "glavu", a T predstavlja "rep". Svaki element Ω naziva se elementarni ishod.

Događaj je bilo koji podskup od Ω koji nas zanima posmatranje.Dakle, ako je eksperiment bacanje novčića, skup {H} je događaj "pada glava", skup {T} je događaj "pada pismo", a sam Ω je događaj "pada glava ili pismo", odnosno određeni događaj.

Neki događaji su posebno važni: nemogući događaj, elementarni događaj i izvjesni događaj.Prazan skup ∅ predstavlja nemoguć događaj, jer ne sadrži ishod; skup s jednim elementom {ω}, gdje je ω u Ω, predstavlja elementarni događaj; a sam Ω je siguran događaj, onaj koji se uvijek događa kada se eksperiment izvodi.

Jezik teorije skupova je veoma koristan u proučavanju vjerovatnoće.Ako su A i B događaji, onda A ∩ B predstavlja istovremeno pojavljivanje A i B, A ∪ B predstavlja pojavljivanje barem jednog od njih, i Komplement od A, često zapisano kao ̄A ili Ω \ A, predstavlja „nepojavljivanje A“. Ova notacija i svojstva skupova će se direktno koristiti u formulaciji aksioma.

Tumačenja koncepta vjerovatnoće

Iako Kolmogorovljevi aksiomi pružaju matematičku osnovu za vjerovatnoću, sama riječ "vjerovatnoća" može se tumačiti na različite načine.Historijski gledano, pojavila su se različita tumačenja o tome šta znači dodijeliti broj P(A) događaju A.

U klasičnoj interpretaciji Laplacea, koja važi za konačne prostore sa jednako vjerovatnim ishodima, vjerovatnoća A je odnos između broja povoljnih slučajeva i broja mogućih slučajeva.Ako prostor uzorka ima n jednako vjerovatnih ishoda (tj. #Ω = n) i događaj A sadrži n_A ovih ishoda (#A = n_A), tada je vjerovatnoća data sa P(A) = n_A / n. Ova formula je prilično intuitivna kada svi ishodi imaju istu šansu da se dogode.

Ja frekventistička interpretacija Povezuje vjerovatnoću sa relativnom učestalošću uočenom u ponavljanjima eksperimenta.Sa ove tačke gledišta, ponavljamo slučajni eksperiment n puta i brojimo koliko se puta dogodi događaj A, nazivajući taj broj n_A; zatim posmatramo granicu, kako n raste, razlomka n_A / n. Vjerovatnoća A bi bila P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), pod uslovom da ova granica postoji.

Postoji i subjektivna interpretacija, koja se široko koristi u Bayesovoj statistici, u kojoj je vjerovatnoća povezana sa stepenom uvjerenja racionalnog subjekta.U ovom pristupu, P(A) kvantificira koliko je neko siguran u pojavu A, uzimajući u obzir dostupno znanje. Nije iskustvo to koje "nosi" vjerovatnoću, već subjekt koji koherentno procjenjuje neizvjesnost.

Uprkos ovim različitim interpretacijama, sve one mogu koegzistirati unutar istog aksiomatskog okvira Kolmogorova.Drugim riječima, bez obzira da li preferirate klasično, frekventističko ili subjektivno gledište, vjerovatnoća će u konačnici biti matematički modelirana funkcijom P koja se pokorava malom skupu aksioma o prostoru događaja.

Formalna konstrukcija: vjerovatnosni prostori i σ-algebre

Kolmogorov je opisao vjerovatnoću u terminima trojke (Ω, F, P), koja se naziva prostor vjerovatnoće.U ovoj trojci, Ω je prostor uzorka, F je skup mogućih događaja (tehnički, σ-algebra podskupova od Ω), a P je funkcija vjerovatnoće.

σ-algebra F je specijalna kolekcija podskupova od Ω koja zadovoljava neka svojstva.Općenito govoreći, F treba da sadrži prazan skup, da bude zatvoren u odnosu na komplement (ako je A u F, onda je i njegov komplement u F) i da bude zatvoren u odnosu na prebrojive unije (ako su A₁, A₂, ... u F, onda je i unija svih njih u F). Ova struktura osigurava da možemo raditi sa operacijama nad skupovima bez napuštanja univerzuma događaja koji imaju dobro definiranu vjerovatnoću.

Formalno, F je σ-algebra nad Ω kada: Prazan skup ∅ pripada F; ako je A u F, onda komplement od A u Ω također pripada F; a ako je A₁, A₂, … (konačan ili prebrojivo beskonačan) niz elemenata od F, onda je unija A₁ ∪ A₂ ∪ … također u F. U mnogim kontekstima, F se naziva i Borelovo polje ili σ-polje.

Funkcija vjerovatnoće P je definisana na F i svakom događaju E u F dodjeljuje nenegativan realni broj.Tada kažemo da je P(E) u ℝ i P(E) ≥ 0 za sve E u F. U opštoj teoriji mjere, mjere mogu poprimiti beskonačne vrijednosti, ali u standardnoj teoriji vjerovatnoće, P(E) je uvijek konačna, što donosi neke razlike u odnosu na opštije mjere.

Ova struktura (Ω, F, P) sa P(Ω) = 1 je ono što nazivamo vjerovatnosnim prostorom.Uslov P(Ω) = 1 je bitan jer predstavlja ideju da se, prilikom izvođenja eksperimenta, neki rezultat u Ω sigurno javlja; ne postoje "skriveni rezultati" izvan prostora uzorka.

Kolmogorovljeve tri aksiome

Kolmogorovljeva aksiomatska teorija zasniva se na tri fundamentalna aksioma koje svaka funkcija vjerovatnoće mora zadovoljiti.Jednostavni su za navesti, ali izuzetno moćni, jer su praktično sva uobičajena svojstva vjerovatnoće izvedena iz njih.

Prvi aksiom - Nenegativnost: Za bilo koji događaj A koji pripada σ-algebri F, imamo P(A) ≥ 0. To jest, vjerovatnoće nikada nisu negativne. U nekim egzotičnijim teorijama, govori se o "negativnim vjerovatnoćama", ali ove ideje odstupaju od Kolmogorovljevog klasičnog okvira.

Drugi aksiom - Normalizacija: Vjerovatnoća da će se određeni događaj dogoditi jednaka je 1, tj. P(Ω) = 1. Ovaj aksiom uspostavlja konvenciju da 1 odgovara 100% sigurnosti, a 0 odgovara nemogućnosti. U elementarnijim verzijama, ovaj aksiom se također može shvatiti kao da kaže da je zbir vjerovatnoća svih elementarnih ishoda Ω jednak 1.

Treći aksiom — σ-aditivnost: Ako je A₁, A₂, ... niz parno disjunktnih (također nazvanih međusobno isključivim) događaja, tada je P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Ovo važi i za konačan i za prebrojivo beskonačan skup događaja. Ovo svojstvo prebrojive aditivnosti je glavna razlika u poređenju sa pukom konačnom aditivnošću.

U jednostavnijim kontekstima, neki autori rade samo s konačnom aditivnošću., što zahtijeva da P(A ∪ B) = P(A) + P(B) za disjunktne događaje A i B, i da se ovo proteže na konačan broj skupova. U ovom slučaju, dovoljno je raditi s algebrom skupova, ne nužno σ-algebrom, ali standardni pristup u modernoj vjerovatnoći je zahtjev za σ-aditivnošću.

Iz ovog trećeg aksioma proizilazi nekoliko važnih posljedica, kao što su jednakosti, nejednakosti i zakoni vjerovatnoće.On je također u središtu veze između vjerovatnoće i teorije mjere, koja proučava mjere u skupovima na prilično općenit način.

Svojstva izvedena iz aksioma

Na osnovu tri Kolmogorovljeva aksioma, uspjeli smo dokazati nekoliko osnovnih i izuzetno korisnih svojstava.Ova svojstva se ne pretpostavljaju unaprijed: ona su logičke posljedice aksioma.

Jedno od prvih svojstava je monotonost vjerovatnoće.Ako su A i B događaji u F i A je sadržan u B (A ⊆ B), tada je P(A) ≤ P(B). Ideja je intuitivna: ako B obuhvata sve što se može dogoditi u A, a možda i više, tada B ne može imati manju vjerovatnoću od A.

Još jedno fundamentalno svojstvo je da je vjerovatnoća nemogućeg događaja jednaka nuli.Sa formalnog stanovišta, koristeći σ-aditivnost, razmatramo niz gdje je E₁ = A, E₂ = B \ A i Eᵢ = ∅ za i ≥ 3, u scenariju gdje A ⊆ B. Pošto su Eᵢ disjunktni i njihova unija je B, zbir vjerovatnoća mora konvergirati ka P(B). Ako pretpostavimo da je P(∅) = a > 0, tada bi zbir P(∅) beskonačno mnogo puta eksplodirao u beskonačnost, što je nekompatibilno sa konačnim P(B). Stoga zaključujemo da je P(∅) = 0.

Stoga, možemo navesti nejednakost 0 ≤ P(E) ≤ 1 za bilo koji događaj E u F.Već smo znali da je P(E) ≥ 0 iz prvog aksioma. Znajući da je P(Ω) = 1 i koristeći monotonost sa E ⊆ Ω, slijedi da je P(E) ≤ P(Ω) = 1. Dakle, svaka vjerovatnoća je uvijek između 0 i 1, uključujući te vrijednosti.

Često korišten identitet je takozvani aditivni zakon za bilo koja dva događaja.Za događaje A i B u F, važi da je P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Ova formula ispravlja „dvostruko brojanje“ zajedničkog događaja A ∩ B, koji se dodaje dva puta ako saberemo P(A) i P(B) bez prilagođavanja.

Druga važna posljedica je odnos između događaja i njegovog komplementa.Ako komplement od A označimo sa ̄A, tada je P(̄A) = 1 − P(A). Ova jednakost prenosi ideju da se "ili A dešava ili se A ne dešava", i da ne postoji druga mogućnost unutar Ω.

Iz ovoga također postaje jasno da P(A) = 0 ne mora nužno značiti da je A nemoguć događaj.U matematičkim terminima, moguće je da događaj ima nultu vjerovatnoću, a da nije prazan skup (ovo se pojavljuje, na primjer, u neprekidnim prostorima), ali na najelementarnijem nivou, P(A) = 0 se obično povezuje sa praktično nemogućim događajima.

Praktičan primjer: bacanje novčića

Klasičan i vrlo didaktički primjer za vizualizaciju Kolmogorovljevih aksioma je bacanje novčića.Pretpostavimo, za početak, da novčić može pasti samo na "glavu" (H) ili "pis" (T), i da su to jedini mogući ishodi.

Zatim definiramo prostor uzorka kao Ω = {H, T}Mogući događaji formiraju σ-algebru F sastavljenu od {∅, {H}, {T}, {H, T}}. U ovom kontekstu, nemogući događaj je ∅, elementarni događaji su {H} i {T}, a siguran događaj je {H, T}.

Iz Kolmogorovljevih aksioma znamo da je P(∅) = 0 i P(Ω) = 1Ako pretpostavimo da je novčić fer, odnosno da ne favorizuje nijednu stranu, onda simetrija sugerira da je P({H}) = P({T}). Budući da zbir P({H}) + P({T}) mora biti jednak 1, zaključujemo da oba vrijede 1/2.

Stoga je vjerovatnoća dobijanja "glave ili repa" P({H, T}) = 1Vjerovatnoća dobijanja "glave" je P({H}) = 1/2, a vjerovatnoća dobijanja "repa" je P({T}) = 1/2. Zbir vjerovatnoća elementarnih događaja iscrpljuje ukupnu vjerovatnoću prostora.

Ovaj model, iako jednostavan, ilustruje kako se aksiomi ponašaju u praksi i kako sprečavaju nedosljednosti u proračunima vjerovatnoće.Ako pažljivo ne definiramo prostor uzorka, možemo napraviti ozbiljne greške, jer je svaki događaj uvijek podskup skupa Ω; ako se podskup ne uklapa u Ω, njegova vjerovatnoća nije ni definirana.

Vjerovatnoća u konačnim i prebrojivim prostorima

Kada je prostor uzorka konačan ili prebrojiv, vjerovatnoća se može opisati na vrlo konkretan način.Pretpostavimo da je Ω = {ω₁, ω₂, …} konačan ili prebrojiv skup mogućih ishoda.

Ako je A događaj koji sadrži neke od ovih rezultata, kao što je A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Stoga, vjerovatnoća A može se posmatrati kao zbir vjerovatnoća odgovarajućih elementarnih događaja: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Ovo je direktna primjena aditivnosti (ili σ-aditivnosti) na disjunktne skupove.

U konkretnom slučaju gdje je prostor uzorka konačan, sa #Ω = n, i svi ishodi su jednakovjerovatniImamo P({ωᵢ}) = 1/n za svako i. Ako A sadrži k različitih ishoda u Ω, tada je P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Ovo je upravo klasična Laplasova formula reinterpretirana unutar modernog aksiomatskog okvira.

Kada je prostor uzorka prebrojivo beskonačan, zbir vjerovatnoća elementarnih događaja i dalje treba da konvergira ka 1.To jest, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Ovdje σ-aditivnost pokazuje svoju snagu, omogućavajući nam da se bavimo ne samo konačnim sumama, već i beskonačnim nizovima događaja.

Uslovna vjerovatnoća i uloga aksioma.

Centralni aspekt teorije je razumijevanje kako se vjerovatnoća mijenja kada znamo da se određeni događaj već dogodio.Tu nastupa uslovna vjerovatnoća, koja se obično piše kao P(A | B), što znači "vjerovatnoća da se A dogodio s obzirom na to da se B dogodio".

Osnovna formula za uslovnu vjerovatnoću je P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), pod uslovom da je P(B) > 0Ova definicija je u skladu s Kolmogorovljevim aksiomima i, u stvari, za svaki B sa P(B) > 0, funkcija A ↦ P(A | B) ponovo zadovoljava tri aksioma kada ograničimo prostor događaja na B.

To znači da je P(· | B) sama po sebi funkcija vjerovatnoće nad „novim“ prostorom uzorka B.Kao posljedica toga, sva osnovna svojstva važe za uslovne vjerovatnoće: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, uslovna monotonost (ako je A₁ ⊆ A₂, onda je P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) i formula P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Definicija uslovne vjerovatnoće također dovodi do važne relacije P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), kada je P(A) > 0.Simetrično, možemo napisati P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), pod uslovom da je P(B) > 0. Ove jednakosti pomažu u dekompoziciji združenih vjerovatnoća i osnova su za nekoliko rezultata, kao što je Bayesov teorem.

Zanimljivo je primijetiti da se "bezuvjetna" vjerovatnoća može posmatrati kao poseban slučaj uvjetne vjerovatnoće.Zaista, možemo napisati P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), budući da je P(Ω) = 1. Ovo pojačava ideju da je, konceptualno, sva vjerovatnoća uslovljena nekim pozadinskim informacijama, čak i ako je to samo znanje s kojim radimo unutar Ω.

Nezavisnost događaja

Još jedan ključni koncept koji se oslanja na aksiome je koncept nezavisnosti između događaja.Dva događaja A i B su nezavisna ako pojava jednog ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog.

U formalnom jeziku, A i B su nezavisni kada je P(A ∩ B) = P(A) P(B)U smislu uslovne vjerovatnoće, ovo implicira da ako P(B) > 0, onda je P(A | B) = P(A), a ako je P(A) > 0, onda je P(B | A) = P(B). To jest, saznanje da se dogodio događaj B ne mijenja vjerovatnoću događaja A, i obrnuto.

Svaki događaj je nezavisan od nemogućeg događaja ∅ i sigurnog događaja Ω.Za prazan skup, P(A ∩ ∅) = 0 i P(∅) = 0, tako da relacija trivijalno vrijedi. Za određeni događaj, P(A ∩ Ω) = P(A) i P(Ω) = 1, stoga je P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Često pitanje je da li dva disjunktna ​​događaja mogu biti nezavisna.Općenito, ako su A i B disjunktni i oba imaju pozitivnu vjerovatnoću, tada je P(A ∩ B) = 0, ali P(A) P(B) > 0, što krši definiciju nezavisnosti. Dakle, u mnogim slučajevima, dva disjunktna ​​događaja sa vjerovatnoćom različitom od nule nisu nezavisna, jer pojava jednog isključuje mogućnost drugog.

Kada se radi o više od dva događaja, javlja se nekoliko različitih pojmova nezavisnosti.Možemo imati parnu nezavisnost, združenu nezavisnost i druge tipove. Međutim, u svim ovim slučajevima, polazna tačka ostaje relacija P(A ∩ B) = P(A) P(B), zasnovana na Kolmogorovljevim aksiomima i definiciji uslovne vjerovatnoće.

Praktična pravila i klasični zakoni vjerovatnoće

Pored svojih formalnih svojstava, aksiomi omogućavaju formulisanje operativnijih zakona, korisnih u svakodnevnom radu onih koji vrše proračune vjerovatnoće.Jedan od njih je takozvani zakon sabiranja, već spomenut u obliku P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), koji se može proširiti na veći broj događaja putem principa uključivanja i isključivanja.

Još jedno često korišteno pravilo je odnos između događaja i njegovog "vanjskog" dijela drugog događaja.Za A i B u F, vrijedi sljedeće: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Ovo je jednostavno rastavljanje A na dva dijela: dio koji se pojavljuje zajedno s B (A ∩ B) i dio koji se pojavljuje bez B (A ∩ ̄B). Ova dva dijela su disjunktna, a njihova unija je A, što vodi do prethodne jednakosti putem aditivnosti.

Zakon totalne vjerovatnoće i Bayesov teorem, iako ovdje nisu u potpunosti detaljno objašnjeni, također se direktno oslanjaju na aksiome.Zakon totalne vjerovatnoće kombinuje uslovne vjerovatnoće u particiju prostora uzorka, dok Bayesov teorem "invertuje" uslovne izraze, omogućavajući ažuriranje vjerovatnoća na osnovu novih dokaza.

U didaktičnijim verzijama, navedeni su i neki lako pamtljivi "praktični aksiomi".Na primjer: maksimalna vjerovatnoća je 1 (100%); zbir vjerovatnoća svih elemenata u prostoru uzorka jednak je 1; a vjerovatnoća događaja X dodana vjerovatnoći "ne X" uvijek je 1. Ove tvrdnje su direktni odraz formalnih aksioma.

S ovim skupom zakona, postaje moguće rješavati probleme koji se kreću od jednostavnih igara na sreću do sofisticiranih modela s mnogo varijabli.Velika prednost je u tome što, iza svih formula i računskih trikova, logička podrška ostaje isti aksiomatski tronožac.

Kolmogorovljevi aksiomi vjerovatnoće pružaju rigoroznu, ali fleksibilnu osnovu za rješavanje problema neizvjesnosti.Na osnovu tri jednostavna principa - nenegativnosti, normalizacije i σ-aditivnosti - konstruisana je čitava bogata teorija, sposobna da uključi klasične, frekventne i subjektivne interpretacije, da rukuje konačnim ili beskonačnim prostorima, da opiše uslovne vjerovatnoće i nezavisnost, te da podrži primjene u gotovo svim naučnim i tehnološkim oblastima.