Linearna interpolacija je metoda koja se koristi za procjenu međuvrijednosti između dvije poznate tačke. Ova metoda uzima u obzir linearni odnos između poznatih tačaka kako bi se odredila vrijednost od interesa. Ovaj proces se široko koristi u raznim oblastima, kao što su matematika, statistika, inženjerstvo i druge.
U ovom članku ćemo obraditi metodu linearne interpolacije, objašnjavajući korak po korak kako izvršiti ovu vrstu proračuna. Također ćemo predstaviti primjere riješenih zadataka kako bismo olakšali razumijevanje i praktičnu primjenu ove metode. Nadamo se da ćemo time doprinijeti razumijevanju i efikasnoj upotrebi linearne interpolacije u različitim kontekstima.
Korak-po-korak vodič za efikasno izvođenje interpolacijskog izračuna.
Da biste efikasno izvršili interpolacijski izračun, slijedite ove korake:
Korak 1: Prikupite podatke potrebne za problem interpolacije. To uključuje poznate vrijednosti referentnih tačaka i x-vrijednost za koju želite interpolirati.
Korak 2: Izračunajte razliku između poznatih vrijednosti x koje su najbliže željenoj vrijednosti x. Ovo će pomoći u određivanju interpolacijskog intervala.
Korak 3: Izračunajte razliku između y-vrijednosti koje odgovaraju najbližim referentnim tačkama. Ovo će odrediti varijaciju y u interpolacionom intervalu.
Korak 4: Koristeći formulu linearne interpolacije, izračunajte vrijednost y za željenu vrijednost x. Formula je data kao:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Korak 5: Zamijenite poznate vrijednosti u formulu i riješite da biste dobili vrijednost y koja odgovara željenoj vrijednosti x.
Slijedeći ove korake, moći ćete efikasno izvršiti interpolacijski izračun i dobiti tačne rezultate za dati problem.
Kada je prikladno koristiti linearnu interpolaciju u matematičkoj analizi ili modeliranju?
Linearna interpolacija je metoda koja se koristi u matematičkoj analizi ili modeliranju kada je potrebno procijeniti međuvrijednosti iz poznatih vrijednosti. Ova metoda je pogodna kada su podaci distribuirani linearno i kontinuirano.
Na primjer, kada imamo tabelu s vrijednostima funkcije u diskretnim tačkama i želimo procijeniti vrijednost funkcije za međutačku, linearna interpolacija može biti dobar izbor. Sastoji se od crtanja prave linije između dvije poznate tačke i korištenja te linije za procjenu željene vrijednosti.
Važno je naglasiti da linearna interpolacija možda nije prikladna u slučajevima kada podaci pokazuju nelinearno ponašanje, poput krivulja ili oscilacija. U tim slučajevima, druge složenije metode interpolacije mogu biti prikladnije.
Kako efikasno popuniti praznine u tabeli međuvrijednostima.
Linearna interpolacija je metoda koja se koristi za efikasno popunjavanje praznina u tabeli međuvrijednostima. Ova metoda se sastoji od izračunavanja nedostajućih vrijednosti na osnovu poznatih vrijednosti u tabeli, korištenjem jednostavne formule.
Za primjenu linearne interpolacije potrebne su vam najmanje dvije poznate tačke u tabeli. Iz ovih tačaka možete izračunati međuvrijednosti koristeći sljedeću formulu:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Gdje je Y međuvrijednost koju želimo pronaći, Y1 i Y2 su poznate vrijednosti iz tabele, X1 i X2 su odgovarajuće vrijednosti X, a X je vrijednost X za koju želimo pronaći međuvrijednost Y.
Radi ilustracije, riješimo praktičnu vježbu koristeći linearnu interpolaciju. Pretpostavimo da imamo sljedeću tabelu:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Sada, koristimo formulu linearne interpolacije da pronađemo vrijednost Y kada je X jednako 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Stoga, vrijednost Y kada je X jednako 2 je 5.
Kao što vidimo, linearna interpolacija je jednostavna i efikasna metoda za popunjavanje praznina u tabeli međuvrijednostima. Korištenjem ove tehnike možemo brzo i jednostavno dobiti tačne rezultate.
Praktični vodič za efikasno izvođenje kvadratne interpolacije.
Da biste efikasno izvršili kvadratnu interpolaciju, važno je slijediti nekoliko jednostavnih koraka. Prvo, potrebno je imati poznate tačke koje će se koristiti za interpolaciju. Zatim, potrebno je izračunati koeficijente kvadratne funkcije koja prolazi kroz te tačke.
Za izračunavanje koeficijenata kvadratne funkcije možemo koristiti metodu najmanjih kvadrata. Ova metoda se sastoji u pronalaženju kvadratne funkcije koja minimizira zbir kvadrata razlika između izračunatih vrijednosti i stvarnih vrijednosti poznatih tačaka.
Nakon što su koeficijenti kvadratne funkcije izračunati, možemo je koristiti za interpolaciju vrijednosti između poznatih tačaka. Da biste to učinili, jednostavno unesite željenu vrijednost u kvadratnu funkciju i dobijete odgovarajuću interpoliranu vrijednost.
Važno je napomenuti da je kvadratna interpolacija preciznija od linearne interpolacije jer uzima u obzir zakrivljenost podataka. Međutim, važno je napomenuti da kvadratna interpolacija može dovesti do manje tačnih rezultata u područjima daleko od poznatih tačaka.
Stoga je pri izvođenju kvadratne interpolacije ključno osigurati da su poznate tačke ravnomjerno raspoređene i da se kvadratna funkcija ispravno izračuna. To omogućava preciznije i pouzdanije rezultate interpolacije.
Linearna interpolacija: Metoda, Riješene vježbe
Linearna interpolacija je metoda izvedena iz opće Newtonove interpolacije i aproksimacije za određivanje nepoznate vrijednosti koja se nalazi između dva broja; to jest, pronalazi se međuvrijednost. Također se primjenjuje na približne funkcije gdje su vrijednosti f (a) i f (b) poznate, a želite znati međuvrijednost f (x).
Postoje različite vrste interpolacije, uključujući linearnu, kvadratnu, kubnu i interpolaciju višeg reda, pri čemu je najjednostavnija linearna aproksimacija. Nedostatak linearne interpolacije je taj što rezultat neće biti toliko tačan kao kod aproksimacija korištenjem funkcija višeg reda.
Definicija
Linearna interpolacija je proces koji vam omogućava da izvučete vrijednost između dvije dobro definirane vrijednosti, koje mogu biti u tabeli ili linearnom grafu.
Na primjer, ako znate da 3 litre mlijeka vrijede 4 dolara, a 5 litara 7 dolara, ali želite znati koja je vrijednost 4 litre mlijeka, interpolirate da biste pronašli tu međuvrijednost.
Metoda
Da bi se procijenila međuvrijednost funkcije, funkcija f (x) se aproksimira pomoću prave r (x) , što znači da se funkcija linearno mijenja s "x" za presjek "x = a" i "x = b"; to jest, za vrijednost "x" u intervalu (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , vrijednost "y" je data pravom između tačaka i izražena sljedećom relacijom:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Da bi interpolacija bila linearna, interpolacijski polinom mora biti stepena jedan (n = 1) tako da odgovara vrijednostima x0 i x1.
Linearna interpolacija se zasniva na sličnosti trouglova, tako da se geometrijskim izvođenjem prethodnog izraza može dobiti vrijednost «y», koja predstavlja nepoznatu vrijednost za «x».
Stoga, morate:
a = tan Ɵ = (suprotna strana 1 ÷ susjedna strana 1 ) = (suprotna strana 2 ÷ susjedna strana 2 )
Izraženo na drugi način, to je:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Uklanjanjem "i" iz izraza dobijate:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Dakle, dobija se opšta jednačina za linearnu interpolaciju:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Generalno, linearna interpolacija daje malu grešku u stvarnoj vrijednosti prave funkcije, iako je greška minimalna u poređenju sa intuitivnim brojem broja bliskog pronađenom.
Do ove greške dolazi pri pokušaju aproksimacije vrijednosti krive pomoću prave linije; u takvim slučajevima, veličina intervala mora se smanjiti kako bi aproksimacija bila preciznija.
Za najbolje rezultate aproksimacije, preporučljivo je koristiti funkcije stepena 2, 3 ili čak i višeg stepena za izvođenje interpolacije. U tim slučajevima, Taylorov teorem je vrlo koristan alat.
Riješene vježbe
Vježba 1
Broj bakterija po jedinici volumena u inkubaciji nakon x sati prikazan je u sljedećoj tabeli. Želite znati volumen bakterija tokom perioda od 3,5 sata.
Rješenje
Referentna tabela ne utvrđuje vrijednost koja pokazuje broj bakterija tokom perioda od 3,5 sata, ali postoje više i niže vrijednosti koje odgovaraju periodu od 3, odnosno 4 sata. Dakle:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3,5 y = ?
x 1 = 4 i 1 = 135
Sada se primjenjuje matematička jednačina za pronalaženje interpolirane vrijednosti, koja je sljedeća:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Zatim se zamjenjuju odgovarajuće vrijednosti:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Dakle, dobijeno je da je, tokom perioda od 3,5 sata, količina bakterija 113, što predstavlja srednji nivo između količine bakterija koje postoje u vremenima od 3 i 4 sata.
Vježba 2
Luis posjeduje tvornicu sladoleda i želi provesti studiju kako bi utvrdio svoj prihod u augustu na osnovu svojih troškova. Administrator kompanije kreira grafikon koji odražava ovaj odnos, ali Luis želi znati:
Koliki je prihod za august ako je ostvaren trošak od 55.000 dolara?
Rješenje
Obezbijeđen je grafikon koji prikazuje prihode i rashode. Luis želi znati koliki će biti prihod u augustu ako fabrika ima rashod od 55.000 dolara. Ova cifra nije direktno prikazana na grafikonu, ali su cifre veće i niže od toga.
Prvo se pravi tabela kako bi se vrijednosti lakše povezale:
Sada se interpolacijska formula koristi za određivanje vrijednosti y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Zatim se zamjenjuju odgovarajuće vrijednosti:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 dolara.
Ako je u augustu ostvaren trošak od 55.000 dolara, prihod je iznosio 68.936 dolara.
Reference
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Teme iz geometrijske teorije grupa. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linearna interpolacija », Enciklopedija matematike.
- JM (1998). Elementi numeričkih metoda za inženjerstvo. UASLP.
- E. (2002). Hronologija interpolacije: od antičke astronomije do moderne obrade signala i slike. Zbornik radova IEEE-a.
- numerički, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.