Tipovi matematičkih odnosa usljed varijabilnosti: teorija, testiranje i primjena

Inacio » uncategorized » Tipovi matematičkih odnosa usljed varijabilnosti: teorija, testiranje i primjena

Capire che type of legam c'è tra due variabili To je jedan od njih koji najčešće dominira u statističkim primjenama, podacima iz podataka i eksperimentalnim testovima i kvantitativniObrnuti način odnosa je linearan i uvijek dio sidra, drugi način unatrag je monoton, ali nelinearan, ili sidro koje se sastoji od kategorije i nebrojanih elemenata, sidro ovisi o trećoj varijabli koja kontrolira protok: nesklad, nije prolaznik.

U ovom praktičnom i teorijskom vodiču na italijanskom jeziku, o tome raspravljamo na organski način. Glavni savjet matematičkih odnosa zbog varijabilnosti, kako vizualno dijagnosticirati i formalnim testom, korišteni kvalitativni koeficijenti (Pearson, Spearman, Kendall), kako se mijenjati s varijabilnim kategoričkim varijablama (chi-quadro di indipendenza, test esatto di Fisher, V di Cramér, coefficiente di contingenza, phi), kako pomicati akord rad sa Kappom i kako ga upravljati varijable konfuzije obraditi parziale korelaciju. Osim toga, poboljšat ćemo južni finestraalgebra odnosa (u insiemističkom i računarskom smislu), essenziale per formalizzare concetti dolaze domena, kompozicija, inversa i funzioni.

Šta namjeravamo za „relaciju“ zbog varijabilnosti

Matematičkim jezikom, odnos između A i B je sažetak Kartezijevog proizvoda A×B: ogni coppia ordinata (a, b) appartenente a R označava da je element a di A "u vezi" sa elementom b di B. U termini applicati, odnos koji je deterministički (funkcija) oppure probabilistica (associazione stochastica): u prvom slučaju ad ogni aresponde esattamente una b, u drugom slučaju osserviamo una trend (più ili manje jak) i non un legam uno-a-uno.

Sva 'unutrašnja algebra odnosa (u siemističkom smislu) je zanimljiva svojstvena refleksivnost (ogni a è u odnosu na sebe), simetrija ((a, b) implicira (b, a)), antisimetrija (ako (a, b) i (b, a) alora a = b) i tranzitivnost (iz (a, b) i (b, c) slijedi (a, c)). Ovaj ključni vlasnik imovine: ako je relacija simetrična, simetrična i tranzitivna postaje jedno odnos ekvivalencije che “partiziona” A in classi di elementi equivalenti. Ako je invece riflessivan, antisimetričan i tranzitivan, abbiamo una odnos reda.

U ovoj analizi, ovu ideju pretvaramo u praksu: procjenjujemo vrstu varijabilnosti (kvantitativni nastavak, ordinali, nominali/dicotomiche) i tamo rang u ovoj statistici i scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, znajući da “relazione” ne znači uvijek “uzročno-posledica”.

Vizuelna ispezione: jedite riconoscere uzorak i smjer

Prima di buttarsi nei numeri, un Scatter plot To je težina najinteligentnije stvari. Oblak koji se proteže cijelom dužinom ravne linije sugerira... linearni odnos (pozitivno ili negativno); strukturirati indikativnu krivulju nelinearni odnosi (ma magari monotono). Ako ne uđete u obrazac, linearni odnos može uništiti pristanak.

Sa malom varijabilnosti, koristim dijagram raspršenja (i na primjer u R sa parovi (podaci)) i linija koja teži da se savije (geom_smooth u ggplot2) tako da možete primijetiti asocijacije, klaster i outlierPažnja: gli outlier Podeno influenzare moltissimo i coefficienti, specie Pearson.

Na primjer u R si può iniziare così: parovi (podaci)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Prvi vizuelni pregled, tačan po broju, Idi na scegliere il test giusto zasnovano na formi, monotoniji i prividnoj linearnosti.

Provjerite njegovu normalnost: prilikom serviranja davvera

Parametrički Moltijev test (na primjer Pearsonovog testa) pretpostavljam, u različitim stupnjevima, normalnost Almeno je simetrična struktura bez teškog koda. Za kontrolu hipotezija, dolazi određeni dio grafičke strukture. istogrami s gustoćom e QQ-grafikon.

U R, una minimalna baterija potrebno uključuje:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Da bi se kvantitativna zapažanja uporedila sa normalnim standardom, QQ-grafikon nezamjenjivo:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

Drži to na vidiku, ako to ne mogu koristiti formalni test normalnosti po dokazima akumulacije: Kolmogorov–Smirnov sa procjenama parametara, Lilliefors, Cramér–von Mises, Shapiro–Wilk, Shapiro–Francia, Anderson–Darling e il test di Pearson (chi-quadro) di normalità.

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Ako spavam otprilike normalno i veza je linearnaPearsonov koeficijent je dobar keltski rođak; u suprotnom je razborito preferirati miješanje basate sui ranghi sa Spearmanom ili Kendallom.

Veza između kvantitativne varijabilnosti: kovarijanse i korelacije

La kovarijansa Problem je kovarijansa zavisi od jedinice mjernog polja, onda je to malo slično.

La Pearsonova linearna korelacija Riješite problem standardizacije po standardnoj devijaciji: koeficijent r varira između -1 i 1, dajući vrijednost do ±1. jaka linearna relacija (pozitivno ili negativno) i 0 sugerira assenza di linearità. Imajte na umu: r = 0 ne isključuje nelinearne odnose.

Kalkulacije za korelacije u R-u:

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Kada je odnos monotono ali nelinearno ili kada ne spavam normalno (ili ne mogu zadržati izuzetak), ima smisla koristiti Spearman (ranghi; robustan i prilagođen medio-grandi campioni) Kendall τ (basato su concordanze/discordanze; preferibile su mali šampioni (ili sa mnogo pareggija):

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Korisna ideja: koeficijent determinacije R² od jednog jednostavan linearni model linearno iz X vraća varijabilni udio Y spiegata. U R:

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

Dihotomija per variabili vs. kvantitativna, koeficijent tačkasto-biserijski poklapa se s Pearsonovim izračunom s kodiranom varijablom 0/1; u praksi, boja (dihotomna, kvantitativna) con metoda = "pearson".

Varijabilne kategorije: indipendenza, snaga asocijacije i piccoli campioni

Kada se pojavi varijabilnost sna nominali ili ordinali, odnos ako studiraš sa tabela uvjeta (često sa doppia klasifikacijom). Tipični ipotesi je: H0 = indipendenza (neophodna asocijacija), kontrola H1 = dipendenza.

To je test riferimenta hi-kvadrato nezavisnostiVidiš li koga? često udaraju tropo basse (obično < 5), ako ga koristite Yatesova korekcija po 2×2 ili ako prođeš Fisherov testni uzorak, posebno indicirano sa campioni piccoli.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Po kvantnoj njezi l'intensità dell'associazione u tabeli I×J ako se koristi: V di Cramér (0 – 1), koeficijenti kontingenta (0–1, ograničenje), a u 2×2 il fi (φ), što je formalno Pearson applicato alla tabella binaria.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Kad se interverse suočiš grupe, njena kvantitativna varijabilnost (es. reddito per professione), ako je valutano t-test, ANOVA e le rispettive alternative non parametriche, no intervalli di confidenza. općenito, koherentnost u vrsti varijabilnosti i metodi je kritičan.

Accordo tra valutatori: Kappa di Cohen

Kada due (ili più) giudici svrstavaju no gli stessi oggetti u kategoriju, nije dovoljno pomiješati postotak slaganja, perché a quota può essere dovuta al slučaj. to Kappa di Cohen kvantificira ispravno slaganje za slučajno slaganje: Dodatno sam vrednovao do 0 što ukazuje na slaganje za svaki slučaj, vrednovao sam maggiori suggeriscono rastući dogovor (interpretazioni comuni: scarso, diskretno, moderato, buono, molto buono).

U R è possibile stimare Kappa anche in ponderirane verzije (po rednim kategorijama):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Ako kategorija nije prirodni poredak (ad empio, lieve/moderata/severa), Kappa ponderato penalizza minor u neslaganju “vicini” i più quelli “lontani”, što rezultira spesso più informativnim.

Relazioni e variabili di confusione: la correlazione parziale

Può capitare che due variabili X e Y sembrino molto correlate, ali in realtà la snage dell'associazione sia dovuta a una varijabla konfuzije Z povezano sa entrabe. U pitanju je, ako kliknete na to parcijalna korelacija Kontroliranje X i Y osi po Z osi.

U R, sa ggm::pcor si ottiene la correlazione parziale di primo ordine e si può testne la significatività. Korisno je uporediti klasični r e r parziale per capire kao Z “spiega” del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

Ako spiegata kvota "crollas" dopo il controllo, sada Z je bio važan saveznikKada je kontrolna varijabla kategorija (npr. profesija), ne mogu koristiti slične pristupe ili modele koji uključuju kategoriju kao faktor.

Ograničenje i dobra praksa u korištenju korelacije

Mješavina Pearsonovih koeficijenata samo linearnostAko je odnos nelinearan (kvadratni, sponenzijalni, logaritamski), može rezultirati sa 0 pur u prisustvu jake zavisnosti. U tom slučaju, vrednujte Spearman, transformirajući ga u nelinearni model.

u outliers Ne mogu iskriviti rezultat. Iz tog razloga, prije svega, zgodno je provjeriti grafikon i, ako je potrebno, istovremeno provesti robusnu analizu ili provjeriti osjetljivost rezultata.

Još jedan klasik: korelacija ≠ uzročnost. Zbog varijabilnosti ne mogu korelirati perché sleep influenzate daje treći fattor, samo slučajnost ili po efektu inverznog mehanizma. Servono disegni sperimentali, strumenti causali o modelli appropriati per parlare di causa-effetto.

Vrsta odnosa: linearna, monotona, nulta, kategorička

Nei casi misti (kvantitativno vs dihotomica/nominale/ordinata) prolazi test konfrontacije između grupa, correlazioni biserial/point-biserial oa modeli (primjer regresije oglasa s predviđenim faktorima). S varijabilnosti unesi kategorije, ci si affida a chi-quadro/Fisher e alle misure di power dell'associazione già viste.

Funzioni jede posebne odnose

Una funkcija To je odnos koji, po jednom elementu domene, povezuje tačno jedan element kondominija. Zaključno, to je suptilna priča o A×B koja u A poredi solu voltu sa prvom komponentom. Druge važne operacije u algebri vezanoj za spavanje: Union (R1 ∪ R2), raskrsnica (R1 ∩ R2), sastav (R2 ∘ R1) i obrnuto (R^{-1}, che scambia ciascuna coppia (a, b) u (b, a)).

ovi konceptualni mattoni tornano koristi sia nella čista matematika (equivalenze, ordini, classi di equivalenza) sia in applicazioni betonska golubica služi formalizzare odnosima fra entità.

Algebra odnosa i nauka koju sam dao

U svijetu baze podataka, l'relacijska algebra Ovo je teorijska struktura SQL-a: kako se njime upravlja select, proiezione, join, unione i intersezione sono versioni pratiche di operazioni su relazioni-insiemi. Ova formalizacija je moćno oružje za brzo opisivanje, optimizaciju i manipulaciju stvarima.

U kontekstu vještačka inteligencija i mašinsko učenje, sposobnost modeliranja odnosa da omogući konstrukciju grafova konoscencije, sisteme preporuke i proces integracije; Ova vrijednost važi u ekonomiji, biostatistici i društvenim naukama, gotovo uvijek je „chi je legato a chi, iu che modu".

Klasični primjeri odnosa u teoriji insiemija

Relacije ekvivalencija: riflessive, simetrični i tranzitivni san. Primjeri uključujući „imati ovu vrijednost kao rješenje“ su zaista stvarni ili postoje kongruencija po modulu n Interno sam predložio. Ognijev odnos ekvivalencije indukuje klase ekvivalencije che ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relacijered: riflessive, antisimetriche i tranzitivan. Esempi: ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), o “divide” (|) sui naturali. Fondamentali san po definiciji ukupnih ili djelomičnih naredbi i po regiji su njegovi masimi, minimi, kateni i antilanci.

poredak lesikografskiTo sam i rekao. To je redoslijed u nizu (niz, broj napisan u nizu) koji upoređuje element po element; U ovoj strukturi postoji važan šum, a ja zanemarujem algoritme.

Ovaj odjeljak je koristan za razumijevanje da je "relazione" u matematici koncept più ampio della sole correlazione: uključuje uguaglianze, ordini, kompoziciju i još mnogo toga, sve je neophodno za modellare system complessi.

Praktični tijek rada: kontrolišite rezultate

Moguće radni tok tako da ga ne izgubite ako koristite instrument i gdje:

• Grafički pregled: dijagram raspršenja, izravnavanje, istogrammi, QQ-graf. Occhio a outlier e forma non lineari.
• Provjeri: ako radi, testirati normalnost; Kontrole omoscedasticità ako je predviđen linearni model.
• Scelta del coefficiente: Pearson (lineare, dati circa normali), Spearman/Kendall (monotona/non normale/piccoli campioni).
• Kategoričan: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Za grupno poređenje, t-test/ANOVA ili alternativa.
• Zbunjeni: korelacijski parziale ili multivarijantni model (uključujući kategoriju fattori).

Koliki je to udarac, tumačenja u kontekstu To je chiave: grandezza dell'effetto, significative statistica, ampiezza del campione e qualità dei dati contano como (ako ne più) del numero finale.

Primjeri koda R za prikupljanje

Nejasan odgovor komunalna usluga što ga čini preciznijim u analizi odnosa između varijabli i koji se može prilagoditi vašem skupu podataka:

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Praktična napomena: "Giuste" se temelji na podacima. Vrijedi potvrditi hipotezu, uporediti metodu i, kada ona funkcionira, konstruirati pikolo skriptu za brzo i pouzdano dijagnosticiranje pitanja.

Abbiamo je vidio da “relazione” može značiti češće nego ne: linearni oblik sa Pearsonom, monotonija sa Spearmanom/Kendallom, tanka all'asocijacija unutar kategorije sa chi-quadro/Fisherom i misure sa V di Cramérom i φ; senza dimenticare sporazum između giudicija (Kappa) i uprave dao sam confondenti s parziale korelacijom. Stoga, relaciona algebra fornisce i mattoni concettuali per definee dominio, inversa e composizione, mentre relacijske algebre vodi način u kojem arhiviram i interroghiamo i dati nei bazu podataka. Chiave ideja je scegliere lo strumento in base al type di variabili, alla forma del legam e agli obiettivi dell'analisi, ricordandoci che nessun coefficiente, da solo, può raccontare tutta la storia.