Diskretne distribucije vjerovatnoće su matematički modeli koji opisuju pojavu događaja sa diskretnim, konačnim vrijednostima. Ove distribucije karakteriziraju njihova svojstva, kao što su zbir vjerovatnoća svih mogućih ishoda jednak 1 i prisustvo parametra koji određuje oblik distribucije. U ovom članku ćemo istražiti karakteristike najčešćih diskretnih distribucija vjerovatnoće, kao što su Bernoullijeva distribucija, binomna distribucija, Poissonova distribucija i geometrijska distribucija, kao i predstaviti neke praktične vježbe za bolje razumijevanje ovih koncepata.
Razumijevanje koncepta diskretne raspodjele vjerovatnoće: jednostavno i jasno objašnjenje.
Da bismo razumjeli koncept diskretne raspodjele vjerovatnoće, važno je shvatiti da je to matematička funkcija koja povezuje vjerovatnoću sa svakim mogućim ishodom slučajnog eksperimenta. Drugim riječima, diskretna raspodjela vjerovatnoće nam omogućava da odredimo vjerovatnoću da se svaki ishod pojavi u konačnom ili nabrojivom skupu mogućnosti.
Diskretna distribucija vjerovatnoće karakterizira se svojom funkcijom vjerovatnoće, koja svakom ishodu dodjeljuje nenegativnu vrijednost, pri čemu je zbir svih vjerovatnoća jednak 1. Nadalje, mogući ishodi su različiti i izolovani, bez mogućnosti pojave međuvrijednosti.
Klasičan primjer diskretne raspodjele vjerovatnoće je Poissonova raspodjela, koja se široko koristi u procesima brojanja, kao što je broj događaja koji se dešavaju u datom vremenskom periodu. Drugi uobičajeni primjer je binomna raspodjela, koja modelira eksperimente sa samo dva moguća ishoda, kao što su uspjeh ili neuspjeh.
Da bi se primijenila teorija diskretnih raspodjele vjerovatnoće, potrebno je razumjeti njihova specifična svojstva i karakteristike, kao i biti u stanju izračunati vjerovatnoće i interpretirati rezultate. Praktične vježbe su neophodne za produbljivanje razumijevanja i razvoj vještina u ovoj oblasti vjerovatnoće.
Saznajte više o glavnim diskretnim distribucijama koje se koriste u statistici i vjerovatnoći.
Saznajte više o glavnim diskretnim distribucijama koje se koriste u statistici i vjerovatnoći. Diskretne distribucije vjerovatnoće su važni alati u statističkoj analizi, omogućavajući modeliranje i predviđanje slučajnih događaja. Među glavnim diskretnim distribucijama su Bernoullijeva distribucija, binomna distribucija, geometrijska distribucija, Poissonova distribucija i hipergeometrijska distribucija.
A Bernoullijeva distribucija koristi se za modeliranje eksperimenata sa samo dva moguća ishoda, kao što su uspjeh i neuspjeh. binomna distribucija Primjenjuje se u situacijama gdje postoji fiksni broj nezavisnih pokušaja, sa samo dva moguća ishoda u svakom pokušaju, kao što su uspjeh i neuspjeh.
A geometrijska distribucija se koristi za modeliranje broja pokušaja do prvog uspjeha u nizu nezavisnih eksperimenata. Poissonova distribucija koristi se za modeliranje pojave rijetkih događaja u određenom vremenskom ili prostornom intervalu.
Konačno, hipergeometrijska distribucija Koristi se za modeliranje eksperimenata u kojima postoji selekcija bez zamjene elemenata iz konačne populacije, s interesom za broj uspjeha u određenom uzorku.
Da biste bolje razumjeli ove diskretne distribucije i kako ih primijeniti, važno je vježbati kroz vježbe. Rješavanje problema koji uključuju ove distribucije može pomoći u učvršćivanju znanja i usavršavanju statističkih i vjerovatnosnih vještina.
Stoga je, prilikom proučavanja statistike i vjerovatnoće, neophodno poznavati karakteristike i primjenu glavnih diskretnih distribucija, kao što su Bernoullijeva distribucija, binomna distribucija, geometrijska distribucija, Poissonova distribucija i hipergeometrijska distribucija.
Vrste distribucija vjerovatnoće: saznajte više o različitim oblicima statističkih distribucija.
Distribucije vjerovatnoće su matematički modeli koji opisuju slučajno ponašanje fenomena. Postoje različite vrste distribucija vjerovatnoće, svaka sa svojim karakteristikama i primjenama. U ovom članku ćemo se fokusirati na diskretne distribucije vjerovatnoće, koje su povezane s diskretnim varijablama - onima koje mogu pretpostaviti specifične, prebrojive vrijednosti.
Neke od najčešćih diskretnih distribucija vjerovatnoće uključuju uniformnu distribuciju, binomnu distribuciju, Poissonovu distribuciju i geometrijsku distribuciju. Svaka od ovih distribucija ima svoja svojstva i koristi se u različitim statističkim kontekstima.
Na primjer, uniformna distribucija karakterizira se dodjeljivanjem iste vjerovatnoće svim mogućim vrijednostima diskretne varijable. Binomna distribucija se koristi za modeliranje broja uspjeha u nizu nezavisnih pokušaja, pri čemu svaki ima istu vjerovatnoću uspjeha. Poissonova distribucija se, pak, koristi za modeliranje broja rijetkih događaja u vremenskom ili prostornom intervalu. A geometrijska distribucija se koristi za modeliranje broja pokušaja potrebnih do prvog uspjeha u nizu nezavisnih pokušaja.
Da bismo bolje razumjeli kako ove distribucije funkcionišu, važno je vježbati. Na primjer, možemo izračunati vjerovatnoću da dobijemo tačno 3 glave u 5 bacanja istog novčića koristeći binomnu distribuciju. Ili možemo odrediti vjerovatnoću da se najmanje 2 događaja dogode u određenom vremenskom intervalu koristeći Poissonovu distribuciju.
Razumijevanjem karakteristika i primjene ovih distribucija, stručnjaci za statistiku i srodne nauke mogu donositi informiranije i preciznije odluke na osnovu vjerovatnosnih podataka.
Koje se varijable smatraju diskretnim u vjerovatnoći?
U vjerovatnoći, diskretne varijable su one koje mogu pretpostaviti konačan ili prebrojiv broj vrijednosti. To znači da su diskretne varijable one koje se mogu prebrojati, obično predstavljene cijelim brojevima. Na primjer, broj automobila na parkingu, broj učenika u učionici i broj strana na kocki su sve primjeri diskretnih varijabli.
Ove varijable se razlikuju od kontinuiranih varijabli, koje mogu imati beskonačan broj vrijednosti unutar određenog raspona. Dok diskretne varijable imaju specifične, diskretne vrijednosti, kontinuirane varijable mogu imati bilo koju vrijednost unutar kontinuiranog raspona. Na primjer, visina osobe, vrijeme potrebno za završetak zadatka i temperatura prostorije su primjeri kontinuiranih varijabli.
Stoga, diskretne varijable u vjerovatnoći su one koje se mogu prebrojati i koje uzimaju specifične, odvojene vrijednosti, za razliku od kontinuiranih varijabli koje mogu uzeti bilo koju vrijednost unutar raspona.
Diskretne distribucije vjerovatnoće: Karakteristike, Vježbe
As diskretne raspodjele vjerovatnoće su funkcije koje svakom elementu skupa X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, gdje je X data diskretna slučajna varijabla, a S je prostor uzorkovanja, pridružuju vjerovatnoću da se taj događaj dogodi. Ova funkcija f od X(S), definirana kao f(xi) = P(X = xi), ponekad se naziva funkcijom masene vjerovatnoće.
Ova masa vjerovatnoće se obično predstavlja u obliku tabele. Pošto je X diskretna slučajna varijabla, X(S) ima ili konačan ili beskonačan broj događaja. Među najčešćim diskretnim distribucijama vjerovatnoće su uniformna distribucija, binomna distribucija i Poissonova distribucija.
Karakteristike
Funkcija raspodjele vjerovatnoće mora ispunjavati sljedeće uslove:
Nadalje, ako X uzima samo konačan broj vrijednosti (npr. x1, x2, ..., xn), tada je p(xi) = 0 ako je i > n i, stoga, beskonačni niz uslova b postaje konačni niz
Ova funkcija također zadovoljava sljedeća svojstva:
Neka je B događaj povezan sa slučajnom varijablom X. To znači da je B sadržano u X(S). Konkretno, pretpostavimo da je B = {xi1, xi2,…}. Stoga:
Drugim riječima: vjerovatnoća događaja B jednaka je zbiru vjerovatnoća pojedinačnih ishoda povezanih s B.
Iz ovoga možemo zaključiti da ako
Vrste
Uniformna distribucija u n tačkama
Kaže se da slučajna varijabla X prati distribuciju koja je karakterizirana uniformnošću u n tačkama ako svakoj vrijednosti je dodijeljena ista vjerovatnoća. Njena funkcija mase vjerovatnoće je:
Pretpostavimo da imamo eksperiment s dva moguća ishoda: to bi moglo biti bacanje novčića čiji su mogući ishodi glava ili rep, ili odabir cijelog broja čiji bi ishod mogao biti neparan ili paran broj; Ova vrsta eksperimenta poznata je kao Bernoullijev test.
Općenito, dva moguća ishoda nazivaju se uspjeh i neuspjeh, gdje je p vjerovatnoća uspjeha, a 1-p vjerovatnoća neuspjeha. Vjerovatnoću x uspjeha u n nezavisnih Bernoullijevih pokušaja možemo odrediti sljedećom distribucijom.
Binomna distribucija
Ova funkcija predstavlja vjerovatnoću postizanja x uspjeha u n nezavisnih Bernoullijevih pokušaja, čija je vjerovatnoća uspjeha p. Njena funkcija mase vjerovatnoće je:
Sljedeći grafikon predstavlja funkciju mase vjerovatnoće za različite vrijednosti parametara binomne distribucije.
Sljedeća distribucija duguje svoje ime francuskom matematičaru Simeonu Poissonu (1781-1840), koji ju je dobio kao granicu binomne distribucije.
Poissonova distribucija
Kaže se da slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju parametra λ kada može primiti pozitivne cijele brojeve vrijednosti 0,1,2,3, ... sa sljedećom vjerovatnoćom:
U ovom izrazu, λ je prosječan broj pojavljivanja događaja za svaku jedinicu vremena, a x je broj puta koliko se događaj ponavlja.
Njegova funkcija vjerovatnoće mase je:
Ispod je grafik koji predstavlja funkciju mase vjerovatnoće za različite vrijednosti parametara Poissonove distribucije.
Imajte na umu da sve dok je broj uspjeha nizak, a broj testova izvršenih na binomnoj distribuciji visok, uvijek možemo aproksimirati ove distribucije, budući da je Poissonova distribucija granica binomne distribucije.
Glavna razlika između ove dvije distribucije je u tome što, dok binomna distribucija zavisi od dva parametra – nep –, Poissonova distribucija zavisi samo od λ, što se ponekad naziva intenzitetom distribucije.
Do sada smo govorili samo o raspodjelama vjerovatnoće za slučajeve kada su različiti eksperimenti nezavisni jedan od drugog; to jest, kada ishod jednog nije pod utjecajem ishoda drugog.
Kada eksperimenti nisu nezavisni, hipergeometrijska distribucija je veoma korisna.
Hipergeometrijska distribucija
Neka je N ukupan broj objekata u konačnom skupu, od kojih možemo na neki način identificirati k, formirajući podskup K, čiji komplement formira preostalih Nk elemenata.
Ako nasumično odaberemo n objekata, slučajna varijabla X koja predstavlja broj objekata koji pripadaju K u tom izboru imat će hipergeometrijsku distribuciju parametara N, n i k. Njena funkcija vjerovatnoće mase je:
Sljedeći grafikon predstavlja funkciju mase vjerovatnoće za različite vrijednosti parametara hipergeometrijske distribucije.
Riješene vježbe
Prva vježba
Pretpostavimo da je vjerovatnoća da će radio cijev (smještena u određenu vrstu opreme) raditi duže od 500 sati jednaka 0,2. Ako se testira 20 cijevi, koja je vjerovatnoća da će tačno k od njih raditi duže od 500 sati, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Rješenje
Ako je X broj cijevi koje rade duže od 500 sati, pretpostavit ćemo da X ima binomnu distribuciju. Tada
I tako:
Za k ≥ 11, vjerovatnoća je manja od 0,001.
Dakle, možemo posmatrati kako se vjerovatnoća da k od njih radi više od 500 sati povećava, sve dok ne dostigne svoju maksimalnu vrijednost (sa k = 4), a zatim počinje da se smanjuje.
2. vježba
Novčić se baca 6 puta. Kada rezultat bude glava, to nazivamo uspjehom. Kolika je vjerovatnoća da će pasti tačno dvije glave?
Rješenje
U ovom slučaju, imamo n = 6 i vjerovatnoća uspjeha i neuspjeha je p = q = 1/2.
Stoga je vjerovatnoća da su data dva lica (tj. k = 2)
Treća vježba
Kolika je vjerovatnoća da se pronađu barem četiri lica?
Rješenje
U ovom slučaju, imamo k = 4, 5 ili 6
Treća vježba
Pretpostavimo da je 2% artikala proizvedenih u fabrici neispravno. Izračunajte vjerovatnoću P da u uzorku od 100 artikala postoje tri neispravna artikla.
Rješenje
U ovom slučaju, možemo primijeniti binomnu distribuciju za n = 100 i p = 0,02, što rezultira:
Međutim, budući da je p malo, koristimo Poissonovu aproksimaciju sa λ = np = 2. Dakle,
Reference
- Kai Lai Chung: Elementarna teorija vjerovatnoće sa stohastičkim procesima. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diskretna matematika i njene primjene. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Vjerovatnoća i statističke primjene. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, doktorirao 2000. godine, Riješeni problemi iz diskretne matematike. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, doktorat, Problemi u teoriji i vjerovatnoći. McGraw-HILL