Les distribucions de probabilitat discretes són models matemàtics que descriuen l'ocurrència d'esdeveniments amb valors finits i discrets. Aquestes distribucions es caracteritzen per les seves propietats, com ara la suma de les probabilitats de tots els resultats possibles iguals a 1 i la presència d'un paràmetre que determina la forma de la distribució. En aquest article, explorarem les característiques de les distribucions de probabilitat discretes més comunes, com ara la distribució de Bernoulli, la distribució binomial, la distribució de Poisson i la distribució geomètrica, i també presentarem alguns exercicis pràctics per entendre millor aquests conceptes.
Comprensió del concepte de distribució de probabilitat discreta: una explicació senzilla i clara.
Per entendre el concepte de distribució de probabilitat discreta, és important entendre que és una funció matemàtica que associa una probabilitat a cada resultat possible d'un experiment aleatori. En altres paraules, la distribució de probabilitat discreta ens permet determinar la possibilitat que cada resultat es produeixi en un conjunt finit o enumerable de possibilitats.
Una distribució de probabilitat discreta es caracteritza per la seva funció de probabilitat, que assigna a cada resultat un valor no negatiu, sent la suma de totes les probabilitats igual a 1. A més, els possibles resultats són diferents i aïllats, sense possibilitat que es produeixin valors intermedis.
Un exemple clàssic de distribució de probabilitat discreta és la distribució de Poisson, àmpliament utilitzada en processos de recompte, com ara el nombre d'esdeveniments que es produeixen en un període de temps determinat. Un altre exemple comú és la distribució binomial, que modela experiments amb només dos resultats possibles, com ara l'èxit o el fracàs.
Per aplicar la teoria de les distribucions de probabilitat discretes, cal comprendre les seves propietats i característiques específiques, així com ser capaç de calcular probabilitats i interpretar-ne els resultats. Els exercicis pràctics són essencials per aprofundir en la comprensió i desenvolupar habilitats en aquest camp de la probabilitat.
Coneix les principals distribucions discretes utilitzades en estadística i probabilitat.
Coneix les principals distribucions discretes utilitzades en estadística i probabilitat. Les distribucions de probabilitat discretes són eines importants en l'anàlisi estadística, que permeten la modelització i la predicció d'esdeveniments aleatoris. Entre les principals distribucions discretes hi ha la distribució de Bernoulli, la distribució binomial, la distribució geomètrica, la distribució de Poisson i la distribució hipergeomètrica.
A Distribució de Bernoulli s'utilitza per modelar experiments amb només dos resultats possibles, com ara l'èxit i el fracàs. distribució binomial S'aplica en situacions on hi ha un nombre fix d'assajos independents, amb només dos resultats possibles a cada assaig, com ara l'èxit i el fracàs.
A distribució geomètrica s'utilitza per modelar el nombre d'assajos fins al primer èxit en una seqüència d'experiments independents. Distribució de Poisson s'utilitza per modelar l'ocurrència d'esdeveniments rars en un interval de temps o espai específic.
Finalment, el fitxer distribució hipergeomètrica S'utilitza per modelar experiments en què hi ha una selecció sense reemplaçament d'elements d'una població finita, amb interès en el nombre d'èxits en una mostra específica.
Per entendre millor aquestes distribucions discretes i com aplicar-les, és important practicar mitjançant exercicis. Resoldre problemes que impliquen aquestes distribucions pot ajudar a consolidar els coneixements i a millorar les habilitats estadístiques i probabilístiques.
Per tant, a l'hora d'estudiar estadística i probabilitat, és essencial conèixer les característiques i aplicacions de les principals distribucions discretes, com ara la distribució de Bernoulli, la distribució binomial, la distribució geomètrica, la distribució de Poisson i la distribució hipergeomètrica.
Tipus de distribucions de probabilitat: apreneu sobre les diferents formes de distribucions estadístiques.
Les distribucions de probabilitat són models matemàtics que descriuen el comportament aleatori d'un fenomen. Hi ha diferents tipus de distribucions de probabilitat, cadascuna amb les seves pròpies característiques i aplicacions. En aquest article, ens centrarem en les distribucions de probabilitat discretes, que s'associen a variables discretes, és a dir, aquelles que poden assumir valors específics i comptables.
Algunes de les distribucions de probabilitat discretes més comunes inclouen la distribució uniforme, la distribució binomial, la distribució de Poisson i la distribució geomètrica. Cadascuna d'aquestes distribucions té les seves pròpies propietats i s'utilitza en diferents contextos estadístics.
La distribució uniforme, per exemple, es caracteritza per assignar la mateixa probabilitat a tots els valors possibles d'una variable discreta. La distribució binomial s'utilitza per modelar el nombre d'èxits en una seqüència d'assajos independents, cadascun amb la mateixa probabilitat d'èxit. La distribució de Poisson, al seu torn, s'utilitza per modelar el nombre d'esdeveniments rars en un interval de temps o espai. I la distribució geomètrica s'utilitza per modelar el nombre d'assajos necessaris fins al primer èxit en una seqüència d'assajos independents.
Per entendre millor com funcionen aquestes distribucions, és important practicar amb exercicis. Per exemple, podem calcular la probabilitat d'obtenir exactament 3 cares en 5 llançaments d'una moneda equilibrada utilitzant la distribució binomial. O podem determinar la probabilitat que almenys 2 esdeveniments es produeixin en un interval de temps específic utilitzant la distribució de Poisson.
En comprendre les característiques i les aplicacions d'aquestes distribucions, els professionals de l'estadística i les ciències relacionades poden prendre decisions més informades i precises basades en dades probabilístiques.
Quines variables es consideren discretes en probabilitat?
En probabilitat, les variables discretes són aquelles que poden assumir un nombre finit o comptable de valors. Això significa que les variables discretes són aquelles que es poden comptar, generalment representades per nombres enters. Per exemple, el nombre de cotxes en un aparcament, el nombre d'estudiants en una aula i el nombre de cares d'un dau són exemples de variables discretes.
Aquestes variables són diferents de les variables contínues, que poden assumir un nombre infinit de valors dins d'un rang específic. Mentre que les variables discretes tenen valors discrets i específics, les variables contínues poden assumir qualsevol valor dins d'un rang continu. Per exemple, l'alçada d'una persona, el temps que es triga a completar una tasca i la temperatura ambient són exemples de variables contínues.
Per tant, les variables discretes en probabilitat són aquelles que es poden comptar i prendre valors específics i separats, a diferència de les variables contínues que poden prendre qualsevol valor dins d'un interval.
Distribucions de probabilitat discretes: característiques, exercicis
As distribucions de probabilitat discretes són una funció que associa a cada element de X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, on X és una variable aleatòria discreta donada i S és l'espai de mostreig, la probabilitat que aquest esdeveniment passi. Aquesta funció f de X(S) definida com f(xi) = P(X = xi) de vegades s'anomena funció de probabilitat de massa.
Aquesta massa de probabilitat se sol representar en forma de taula. Com que X és una variable aleatòria discreta, X(S) té un nombre finit o infinit d'esdeveniments. Entre les distribucions de probabilitat discretes més comunes hi ha la distribució uniforme, la distribució binomial i la distribució de Poisson.
Característiques
La funció de distribució de probabilitat ha de complir les condicions següents:
A més, si X només pren un nombre finit de valors (per exemple, x1, x2, …, xn), aleshores p(xi) = 0 si i > n i, per tant, la sèrie infinita de condicions b esdevé la sèrie finita
Aquesta funció també compleix les propietats següents:
Sigui B un esdeveniment associat a la variable aleatòria X. Això significa que B està contingut a X(S). Concretament, suposem que B = {xi1, xi2,…}. Per tant:
En altres paraules: la probabilitat d'un esdeveniment B és igual a la suma de les probabilitats dels resultats individuals associats amb B.
D'això podem concloure que si el
Tipus
Distribució uniforme en n punts
Es diu que una variable aleatòria X segueix una distribució que es caracteritza per ser uniforme en n punts si cada valor té la mateixa probabilitat assignada. La seva funció de massa de probabilitat és:
Suposem que tenim un experiment amb dos resultats possibles: podria ser llançar una moneda al aire i sortir cara o creu, o triar un nombre enter que pugui ser un nombre parell o senar; aquest tipus d'experiment es coneix com a prova de Bernoulli.
En general, els dos resultats possibles s'anomenen èxit i fracàs, on p és la probabilitat d'èxit i 1-p és la probabilitat de fracàs. Podem determinar la probabilitat de x èxits en n assajos de Bernoulli independents amb la següent distribució.
distribució binomial
Aquesta funció representa la probabilitat d'obtenir x èxits en n assajos independents de Bernoulli, la probabilitat d'èxit dels quals és p. La seva funció de massa de probabilitat és:
El següent gràfic representa la funció de probabilitat de massa per a diferents valors dels paràmetres de la distribució binomial.
La següent distribució deu el seu nom al matemàtic francès Simeon Poisson (1781-1840), que la va obtenir com a límit de la distribució binomial.
Distribució de Poisson
Es diu que una variable aleatòria X té una distribució de Poisson del paràmetre λ quan pot rebre els valors enters positius 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, ... amb la següent probabilitat:
En aquesta expressió, λ és el nombre mitjà d'ocurrències de l'esdeveniment per a cada unitat de temps i x és el nombre de vegades que l'esdeveniment es produeix.
La seva funció de probabilitat de massa és:
A continuació es mostra un gràfic que representa la funció de probabilitat de massa per a diferents valors dels paràmetres de la distribució de Poisson.
Cal tenir en compte que sempre que el nombre d'èxits sigui baix i el nombre de proves realitzades sobre una distribució binomial sigui alt, sempre podem aproximar aquestes distribucions, ja que la distribució de Poisson és el límit de la distribució binomial.
La principal diferència entre aquestes dues distribucions és que, mentre que la binomial depèn de dos paràmetres –nep–, la de Poisson només depèn de λ, que de vegades s'anomena intensitat de la distribució.
Fins ara, només hem parlat de distribucions de probabilitat per a casos en què els diferents experiments són independents entre si; és a dir, quan el resultat d'un no es veu afectat pel resultat d'un altre.
Quan els experiments no són independents, la distribució hipergeomètrica és molt útil.
Distribució hipergeomètrica
Sigui N el nombre total d'objectes d'un conjunt finit, dels quals podem identificar k d'alguna manera, formant un subconjunt K, el complement del qual està format pels Nk elements restants.
Si escollim n objectes a l'atzar, la variable aleatòria X que representa el nombre d'objectes que pertanyen a K en aquesta elecció tindrà una distribució hipergeomètrica de paràmetres N, n i k. La seva funció de probabilitat de massa és:
El següent gràfic representa la funció de probabilitat de massa per a diferents valors dels paràmetres de distribució hipergeomètrica.
Exercicis resolts
Primer exercici
Suposem que la probabilitat que un tub de ràdio (col·locat en un cert tipus d'equip) funcioni durant més de 500 hores és de 0,2. Si es proven 20 tubs, quina és la probabilitat que exactament k d'ells funcionin durant més de 500 hores, k = 0, 1,2, 20, ..., XNUMX?
Solució
Si X és el nombre de tubs que funcionen durant més de 500 hores, suposarem que X té una distribució binomial. Aleshores
I així:
Per a k≥11, les probabilitats són inferiors a 0,001
Així, podem observar com la probabilitat que k d'aquests treballin més de 500 hores augmenta, fins que arriba al seu valor màxim (amb k = 4) i després comença a disminuir.
2n exercici
Es llança una moneda 6 vegades. Quan el resultat és cara, diem que ha sortit bé. Quina és la probabilitat que surtin exactament dues cares?
Solució
Per a aquest cas, tenim n = 6 i la probabilitat d'èxit i fracàs és p = q = 1/2
Per tant, la probabilitat que es donin dues cares (és a dir, k = 2) és
Tercer exercici
Quina és la probabilitat de trobar almenys quatre cares?
Solució
Per a aquest cas, tenim k = 4, 5 o 6
Tercer exercici
Suposem que el 2% dels articles produïts en una fàbrica són defectuosos. Trobeu la probabilitat P que hi hagi tres articles defectuosos en una mostra de 100 articles.
Solució
Per a aquest cas, podem aplicar la distribució binomial per a n = 100 i p = 0,02, obtenint com a resultat:
Tanmateix, com que p és petit, fem servir l'aproximació de Poisson amb λ = np = 2. Per tant
Referències
- Kai Lai Chung: Teoria elemental de la probabilitat amb processos estocàstics. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Matemàtica discreta i les seves aplicacions. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Probabilitat i aplicacions estadístiques. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, doctorat, 2000. Problemes resolts de matemàtica discreta. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, doctor en teoria i probabilitat. McGraw-HILL