La interpolació lineal és un mètode que s'utilitza per estimar valors intermedis entre dos punts coneguts. Aquest mètode considera una relació lineal entre els punts coneguts per determinar el valor d'interès. Aquest procés s'utilitza àmpliament en diversos camps, com ara les matemàtiques, l'estadística, l'enginyeria i altres.
En aquest article, tractarem el mètode d'interpolació lineal, explicant pas a pas com realitzar aquest tipus de càlcul. També presentarem exemples d'exercicis resolts per facilitar la comprensió i l'aplicació pràctica d'aquest mètode. Amb això, esperem contribuir a la comprensió i l'ús eficient de la interpolació lineal en diversos contextos.
Guia pas a pas per realitzar un càlcul d'interpolació de manera eficient.
Per realitzar un càlcul d'interpolació de manera eficient, seguiu aquests passos:
Pas 1: Recopileu les dades necessàries per al problema d'interpolació. Això inclou els valors coneguts dels punts de referència i el valor x per al qual voleu interpolar.
Pas 2: Calcula la diferència entre els valors coneguts de x més propers al valor desitjat de x. Això ajudarà a determinar l'interval d'interpolació.
Pas 3: Calculeu la diferència entre els valors de y corresponents als punts de referència més propers. Això determinarà la variació de y en l'interval d'interpolació.
Pas 4: Utilitzant la fórmula d'interpolació lineal, calculeu el valor de y per al valor desitjat de x. La fórmula ve donada per:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Pas 5: Substituïu els valors coneguts a la fórmula i resoleu per obtenir el valor de y que correspon al valor desitjat de x.
Seguint aquests passos, podreu realitzar un càlcul d'interpolació de manera eficient i obtenir resultats precisos per al problema en qüestió.
Quan és apropiat utilitzar la interpolació lineal en l'anàlisi o la modelització matemàtica?
La interpolació lineal és un mètode utilitzat en l'anàlisi matemàtica o la modelització quan es vol estimar valors intermedis a partir de valors coneguts. Aquest mètode és adequat quan les dades es distribueixen de manera lineal i contínua.
Per exemple, quan tenim una taula amb valors d'una funció en punts discrets i volem estimar el valor de la funció per a un punt intermedi, la interpolació lineal pot ser una bona opció. Consisteix a dibuixar una línia recta entre dos punts coneguts i utilitzar aquesta línia per estimar el valor desitjat.
És important emfatitzar que la interpolació lineal pot no ser adequada en casos on les dades presenten un comportament no lineal, com ara corbes o oscil·lacions. En aquests casos, altres mètodes d'interpolació més complexos poden ser més apropiats.
Com omplir de manera eficient els buits d'una taula amb valors intermedis.
La interpolació lineal és un mètode que s'utilitza per omplir de manera eficient els buits d'una taula amb valors intermedis. Aquest mètode consisteix a calcular els valors que falten basant-se en els valors coneguts de la taula, utilitzant una fórmula senzilla.
Per aplicar la interpolació lineal, necessiteu almenys dos punts coneguts a la taula. A partir d'aquests punts, podeu calcular els valors intermedis mitjançant la fórmula següent:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
On Y és el valor intermedi que volem trobar, Y1 i Y2 són els valors coneguts de la taula, X1 i X2 són els valors corresponents de X i X és el valor de X per al qual volem trobar el valor intermedi Y.
Per il·lustrar-ho, resolem un exercici pràctic utilitzant interpolació lineal. Suposem que tenim la taula següent:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Ara, fem servir la fórmula d'interpolació lineal per trobar el valor de Y quan X és igual a 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Per tant, el valor de Y quan X és igual a 2 és 5.
Com podem veure, la interpolació lineal és un mètode senzill i eficient per omplir els buits d'una taula amb valors intermedis. Amb aquesta tècnica, podem obtenir resultats precisos de manera ràpida i senzilla.
Guia pràctica per realitzar la interpolació quadràtica de manera eficient.
Per dur a terme una interpolació quadràtica de manera eficient, és important seguir uns quants passos senzills. Primer, cal conèixer els punts que s'utilitzaran per a la interpolació. A continuació, cal calcular els coeficients de la funció quadràtica que passa per aquests punts.
Per calcular els coeficients d'una funció quadràtica, podem utilitzar el mètode dels mínims quadrats. Aquest mètode consisteix a trobar la funció quadràtica que minimitza la suma dels quadrats de les diferències entre els valors calculats i els valors reals dels punts coneguts.
Un cop calculats els coeficients de la funció quadràtica, podem utilitzar-la per interpolar valors entre punts coneguts. Per fer-ho, simplement introduïm el valor desitjat a la funció quadràtica i obtenim el valor interpolat corresponent.
És important tenir en compte que la interpolació quadràtica és més precisa que la interpolació lineal perquè té en compte la curvatura de les dades. Tanmateix, és important tenir en compte que la interpolació quadràtica pot donar lloc a resultats menys precisos en regions allunyades de punts coneguts.
Per tant, quan es realitza una interpolació quadràtica, és crucial assegurar-se que els punts coneguts estiguin distribuïts uniformement i que la funció quadràtica es calculi correctament. Això permet obtenir resultats d'interpolació més precisos i fiables.
Interpolació lineal: mètode, exercicis resolts
La interpolació lineal és un mètode derivat de la interpolació i aproximació generals de Newton per determinar un valor desconegut que es troba entre dos nombres; és a dir, es troba un valor intermedi. També s'aplica a funcions aproximades on es coneixen els valors f (a) i f (b) i es vol conèixer el valor intermedi de f (x).
Hi ha diferents tipus d'interpolació, incloent-hi la interpolació lineal, quadràtica, cúbica i d'ordre superior, sent la més simple l'aproximació lineal. El compromís amb la interpolació lineal és que el resultat no serà tan precís com amb les aproximacions que utilitzen funcions d'ordre superior.
Definició de
La interpolació lineal és un procés que permet deduir un valor entre dos valors ben definits, que poden estar en una taula o en un gràfic lineal.
Per exemple, si saps que 3 litres de llet valen 4 dòlars i 5 litres valen 7 dòlars, però vols saber quin és el valor de 4 litres de llet, interpoles per trobar aquest valor intermedi.
Mètode
Per estimar un valor intermedi d'una funció, la funció f (x) s'aproxima mitjançant la recta r (x) , la qual cosa significa que la funció varia linealment amb "x" per a una secció "x = a" i "x = b"; és a dir, per a un valor "x" en l'interval (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , el valor de "y" ve donat per la recta entre els punts i s'expressa mitjançant la següent relació:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Perquè una interpolació sigui lineal, el polinomi d'interpolació ha de ser de grau u (n = 1) de manera que s'ajusti als valors de x₀ i x₁.
La interpolació lineal es basa en la semblança dels triangles, de manera que derivant geomètricament l'expressió anterior, és possible obtenir el valor de «y», que representa el valor desconegut de «x».
Per tant, heu de:
a = tan Ɵ = (cateta oposada 1 ÷ poteta adjacent 1 ) = (cateta oposada 2 ÷ poteta adjacent 2 )
Dit d'una altra manera, és:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Si eliminem "i" de les expressions, tenim:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Així, s'obté l'equació general per a la interpolació lineal:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
En general, la interpolació lineal dóna un petit error sobre el valor real de la funció real, tot i que l'error és mínim en comparació amb el nombre intuïtiu d'un nombre proper al trobat.
Aquest error es produeix quan s'intenta aproximar el valor d'una corba amb una línia recta; en aquests casos, cal reduir la mida de l'interval per fer que l'aproximació sigui més precisa.
Per obtenir els millors resultats d'aproximació, és recomanable utilitzar funcions de grau 2, 3 o fins i tot graus superiors per realitzar la interpolació. Per a aquests casos, el teorema de Taylor és una eina molt útil.
Exercicis resolts
Exercici 1
El nombre de bacteris per unitat de volum en una incubació després de x hores es mostra a la taula següent. Voleu saber el volum de bacteris durant el període de 3,5 hores.
Solució
La taula de referència no estableix un valor que indiqui el nombre de bacteris durant un període de 3,5 hores, però hi ha valors superiors i inferiors que corresponen a un període de 3 i 4 hores, respectivament. Així:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 i 1 = 135
Ara s'aplica l'equació matemàtica per trobar el valor interpolat, que és el següent:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Aleshores es substitueixen els valors corresponents:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Així, s'obté que, durant un període de 3,5 hores, la quantitat de bacteris és de 113, la qual cosa representa un nivell intermedi entre el volum de bacteris existent en moments de 3 i 4 hores.
Exercici 2
En Lluís és propietari d'una fàbrica de gelats i vol dur a terme un estudi per determinar els seus ingressos d'agost en funció de les seves despeses. L'administrador de l'empresa crea un gràfic que reflecteix aquesta relació, però en Lluís vol saber:
Quins són els ingressos de l'agost si es va fer una despesa de 55.000 $?
Solució
Es proporciona un gràfic que mostra les xifres d'ingressos i despeses. En Luis vol saber quins seran els ingressos de l'agost si la fàbrica té una despesa de 55.000 $. Aquesta xifra no es reflecteix directament al gràfic, però les xifres són superiors i inferiors.
Primer, es fa una taula per relacionar fàcilment els valors:
Ara s'utilitza la fórmula d'interpolació per determinar el valor de y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Aleshores es substitueixen els valors corresponents:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 $.
Si es va fer una despesa de 55.000 dòlars a l'agost, els ingressos van ser de 68.936 dòlars.
Referències
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Àlgebra i trigonometria amb geometria analítica. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Temes de teoria de grups geomètrics. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolació lineal », Enciclopèdia de Matemàtiques.
- JM (1998). Elements de mètodes numèrics per a l'enginyeria. UASLP.
- E. (2002). Una cronologia de la interpolació: des de l'astronomia antiga fins al processament modern de senyals i imatges. Actes de l'IEEE.
- numèric, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.