Quins són els axiomes de la probabilitat? Explicació completa.

Iniciació » Ciència » Matemàtiques » Estadística » Quins són els axiomes de la probabilitat? Explicació completa.

La pregunta "quins són els axiomes de la probabilitat?" sembla simple, però la resposta condueix a una construcció matemàtica molt sòlida., que va començar a organitzar-se rigorosament al segle XX amb el treball d'Andrey Kolmogorov. Aquests axiomes són la base de pràcticament tota la teoria de la probabilitat moderna, des de l'estudi dels jocs d'atzar fins als models estadístics complexos utilitzats en la ciència de dades, les finances i l'enginyeria.

Abans Formalització de KolmogorovEn aquell temps, la probabilitat s'entenia d'una manera més intuïtiva, vinculada a la idea de freqüència o atzar.I diferents matemàtics van utilitzar interpretacions diverses. Avui dia, quan parlem d'axiomes de probabilitat, ens referim a un conjunt mínim de regles que qualsevol funció de probabilitat ha d'obeir per tal que puguem fer càlculs coherents, evitar contradiccions i construir teoremes potents.

Intuïció bàsica: experiències i esdeveniments aleatoris

Per entendre els axiomes de la probabilitat, el primer pas és saber què és un experiment aleatori i què anomenem un esdeveniment.Un experiment aleatori és qualsevol procediment el resultat del qual no es pot predir amb certesa, tot i que coneixem tots els resultats possibles; exemples clàssics són llançar una moneda o un dau.

Anomenem espai mostral, normalment denotat per Ω, el conjunt de tots els resultats possibles d'aquest experiment.Si llancem una moneda, per exemple, l'espai mostral es pot escriure com Ω = {H, T}, on H representa "cara" i T representa "creu". Cada element de Ω s'anomena resultat elemental.

Un esdeveniment és qualsevol subconjunt de Ω que ens interessa observar.Així, si l'experiment és el llançament d'una moneda, el conjunt {H} és l'esdeveniment "surt cara", el conjunt {T} és l'esdeveniment "surt creu" i Ω en si mateix és l'esdeveniment "surt cara o creu", és a dir, un cert esdeveniment.

Alguns esdeveniments són especialment importants: l'esdeveniment impossible, l'esdeveniment elemental i l'esdeveniment cert.El conjunt buit ∅ representa l'esdeveniment impossible, ja que no conté cap resultat; un conjunt amb un sol element {ω}, amb ω a Ω, representa un esdeveniment elemental; i Ω en si mateix és l'esdeveniment cert, aquell que sempre es produeix quan es realitza l'experiment.

El llenguatge de la teoria de conjunts és molt útil en l'estudi de la probabilitat.Si A i B són esdeveniments, aleshores A ∩ B representa l'ocurrència simultània d'A i B, A ∪ B representa l'ocurrència d'almenys un d'ells, i el complement d'A, sovint escrit com a ̄A o Ω \ A, representa la «no-aparició d'A». Aquesta notació i les propietats dels conjunts s'utilitzaran directament en la formulació dels axiomes.

Interpretacions del concepte de probabilitat

Tot i que els axiomes de Kolmogorov proporcionen la base matemàtica de la probabilitat, la paraula "probabilitat" en si mateixa es pot interpretar de diverses maneres.Històricament, han sorgit diferents interpretacions sobre què significa assignar un nombre P(A) a un esdeveniment A.

En la interpretació clàssica de Laplace, vàlida per a espais finits amb resultats equiprobables, la probabilitat d'A és la relació entre el nombre de casos favorables i el nombre de casos possibles.Si l'espai mostral té n resultats igualment probables (és a dir, #Ω = n) i l'esdeveniment A conté n_A d'aquests resultats (#A = n_A), aleshores la probabilitat ve donada per P(A) = n_A / n. Aquesta fórmula és força intuïtiva quan tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de produir-se.

Ja la interpretació freqüentista Relaciona la probabilitat amb la freqüència relativa observada en les repeticions d'un experiment.Des d'aquest punt de vista, repetim l'experiment aleatori n vegades i comptem quantes vegades es produeix l'esdeveniment A, anomenant aquest nombre n_A; després mirem el límit, a mesura que n creix, de la fracció n_A / n. La probabilitat d'A seria P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), sempre que aquest límit existeixi.

També hi ha la interpretació subjectiva, molt utilitzada en l'estadística bayesiana, en què la probabilitat s'associa amb el grau de creença d'un subjecte racional.En aquest enfocament, P(A) quantifica la confiança que té algú en l'ocurrència d'A, tenint en compte el coneixement disponible. No és l'experiència la que "porta" la probabilitat, sinó el subjecte que avalua la incertesa de manera coherent.

Malgrat aquestes diferents interpretacions, totes poden coexistir dins del mateix marc axiomàtic de Kolmogorov.En altres paraules, independentment de si preferiu un punt de vista clàssic, freqüentista o subjectiu, en última instància la probabilitat es modelarà matemàticament mitjançant una funció P que obeeix un petit conjunt d'axiomes sobre un espai d'esdeveniments.

Construcció formal: espais de probabilitat i σ-àlgebres

Kolmogorov va descriure la probabilitat en termes d'un triplet (Ω, F, P), anomenat espai de probabilitat.En aquest triplet, Ω és l'espai mostral, F és el conjunt d'esdeveniments possibles (tècnicament, una σ-àlgebra de subconjunts de Ω) i P és la funció de probabilitat.

Una σ-àlgebra F és una col·lecció especial de subconjunts de Ω que satisfà algunes propietats.En termes generals, F ha de contenir el conjunt buit, ser tancat sota el complement (si A és a F, aleshores el seu complement també és a F) i ser tancat sota unions numerables (si A₁, A₂, ... són a F, aleshores la unió de totes elles també és a F). Aquesta estructura garanteix que puguem treballar amb operacions de conjunts sense sortir de l'univers d'esdeveniments que tenen una probabilitat ben definida.

Formalment, F és una σ-àlgebra sobre Ω quan: El conjunt buit ∅ pertany a F; si A és a F, aleshores el complement d'A a Ω també pertany a F; i si A₁, A₂, … és una seqüència (finita o numerablement infinita) d'elements de F, aleshores la unió A₁ ∪ A₂ ∪ … també és a F. En molts contextos, F també s'anomena camp de Borel o σ-camp.

La funció de probabilitat P està definida a F i assigna a cada esdeveniment E de F un nombre real no negatiu.Aleshores diem que P(E) és a ℝ i P(E) ≥ 0 per a tot E a F. En la teoria general de la mesura, les mesures poden prendre valors infinits, però en la teoria de la probabilitat estàndard, P(E) sempre és finita, cosa que comporta algunes diferències en relació amb mesures més generals.

Aquesta estructura (Ω, F, P) amb P(Ω) = 1 és el que anomenem un espai de probabilitat.La condició P(Ω) = 1 és essencial perquè representa la idea que, en realitzar l'experiment, certament es produeix algun resultat en Ω; no hi ha "resultats ocults" fora de l'espai mostral.

Els tres axiomes de Kolmogorov

La teoria axiomàtica de Kolmogorov es basa en tres axiomes fonamentals que qualsevol funció de probabilitat ha de satisfer.Són fàcils d'enunciar, però extremadament potents, perquè pràcticament totes les propietats habituals de la probabilitat se'n deriven.

Primer axioma — No-negativitat: Per a qualsevol esdeveniment A que pertanyi a la σ-àlgebra F, tenim P(A) ≥ 0. És a dir, les probabilitats mai són negatives. En algunes teories més exòtiques, es parla de "probabilitats negatives", però aquestes idees es desvien del marc clàssic de Kolmogorov.

Segon axioma — Normalització: La probabilitat que ocorri un cert esdeveniment és igual a 1, és a dir, P(Ω) = 1. Aquest axioma estableix la convenció que 1 correspon a una certesa del 100% i 0 correspon a la impossibilitat. En versions més elementals, aquest axioma també es pot entendre com que la suma de les probabilitats de tots els resultats elementals de Ω és igual a 1.

Tercer axioma — σ-additivitat: Si A₁, A₂, … és una seqüència d'esdeveniments disjunts per parells (també anomenats mútuament excloents), aleshores P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Això és cert tant per a una col·lecció d'esdeveniments finita com per a una col·lecció d'esdeveniments numerablement infinita. Aquesta propietat d'additivitat numerable és la principal diferència en comparació amb la mera additivitat finita.

En contextos més simples, alguns autors treballen només amb additivitat finita., que requereix que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) per a esdeveniments disjunts A i B, i que això s'estengui a un nombre finit de conjunts. En aquest cas, n'hi ha prou amb treballar amb una àlgebra de conjunts, no necessàriament una σ-àlgebra, però l'enfocament estàndard en probabilitat moderna és requerir σ-aditivitat.

És d'aquest tercer axioma que sorgeixen diverses conseqüències importants, com ara les igualtats, les desigualtats i les lleis de la probabilitat.També és al centre del vincle entre la probabilitat i la teoria de la mesura, que estudia les mesures en conjunts d'una manera força general.

Propietats derivades d'axiomes

Basant-nos en els tres axiomes de Kolmogorov, vam poder demostrar diverses propietats bàsiques i extremadament útils.Aquestes propietats no s'assumeixen prèviament: són conseqüències lògiques dels axiomes.

Una de les primeres propietats és la monotonia de la probabilitat.Si A i B són esdeveniments a F i A està contingut a B (A ⊆ B), aleshores P(A) ≤ P(B). La idea és intuïtiva: si B engloba tot el que pot passar a A, i potser més, aleshores B no pot tenir una probabilitat més baixa que A.

Una altra propietat fonamental és que la probabilitat d'un esdeveniment impossible és zero.Des d'un punt de vista formal, utilitzant la σ-aditivitat, considerem una seqüència on E₁ = A, E₂ = B \ A i Eᵢ = ∅ per a i ≥ 3, en un escenari on A ⊆ B. Com que les Eᵢ són disjuntes i la seva unió és B, la suma de les probabilitats ha de convergir a P(B). Si assumim que P(∅) = a > 0, aleshores la suma de P(∅) infinitament vegades explotaria fins a l'infinit, cosa que és incompatible amb P(B) finita. Per tant, concloem que P(∅) = 0.

Per tant, podem enunciar la desigualtat 0 ≤ P(E) ≤ 1 per a qualsevol esdeveniment E en F.Ja sabíem que P(E) ≥ 0 del primer axioma. Sabent que P(Ω) = 1 i utilitzant la monotonia amb E ⊆ Ω, es dedueix que P(E) ≤ P(Ω) = 1. Per tant, cada probabilitat sempre està entre 0 i 1, ambdós inclosos.

Una identitat que s'utilitza habitualment és l'anomenada llei additiva per a dos esdeveniments qualssevol.Per als esdeveniments A i B de F, es compleix que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Aquesta fórmula corregeix el "doble recompte" de l'esdeveniment comú A ∩ B, que se suma dues vegades si sumem P(A) i P(B) sense ajustar.

Una altra conseqüència important és la relació entre un esdeveniment i el seu complement.Si denotem el complement d'A per ̄A, aleshores P(̄A) = 1 − P(A). Aquesta igualtat transmet la idea que "o A passa o A no passa", i no hi ha cap altra possibilitat dins de Ω.

A partir d'això, també queda clar que P(A) = 0 no implica necessàriament que A sigui l'esdeveniment impossible.En termes matemàtics, és possible que un esdeveniment tingui probabilitat zero sense ser el conjunt buit (això apareix, per exemple, en espais continus), però al nivell més elemental, P(A) = 0 s'associa normalment amb esdeveniments pràcticament impossibles.

Exemple pràctic: llançar una moneda al aire

Un exemple clàssic i molt didàctic per visualitzar els axiomes de Kolmogorov és el llançament d'una moneda.Suposem, per començar, que la moneda només pot caure sobre "cara" (C) o "crua" (C), i que aquests són els únics resultats possibles.

Aleshores definim l'espai mostral com Ω = {H, T}Els esdeveniments possibles formen una σ-àlgebra F composta de {∅, {H}, {T}, {H, T}}. En aquest context, l'esdeveniment impossible és ∅, els esdeveniments elementals són {H} i {T}, i l'esdeveniment cert és {H, T}.

Dels axiomes de Kolmogorov, sabem que P(∅) = 0 i P(Ω) = 1Si suposem que la moneda és justa, és a dir, que no afavoreix cap dels dos bàndols, la simetria suggereix que P({H}) = P({T}). Com que la suma P({H}) + P({T}) ha de ser igual a 1, concloem que ambdues valen 1/2.

Per tant, la probabilitat d'obtenir "cara o creu" és P({H, T}) = 1La probabilitat d'obtenir "cara" és P({H}) = 1/2 i la probabilitat d'obtenir "creu" és P({T}) = 1/2. La suma de les probabilitats dels esdeveniments elementals esgota la probabilitat total de l'espai.

Aquest model, tot i que simple, il·lustra com es comporten els axiomes a la pràctica i com eviten inconsistències en els càlculs de probabilitat.Si no definim acuradament l'espai mostral, podem cometre errors greus, perquè qualsevol esdeveniment és sempre un subconjunt de Ω; si el subconjunt no encaixa en Ω, la seva probabilitat ni tan sols està definida.

Probabilitat en espais finits i numerables

Quan l'espai mostral és finit o numerable, la probabilitat es pot descriure d'una manera molt concreta.Suposem que Ω = {ω₁, ω₂, …} és un conjunt finit o numerable de possibles resultats.

Si A és un esdeveniment que conté alguns d'aquests resultats, com ara A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Per tant, la probabilitat d'A es pot veure com la suma de les probabilitats dels esdeveniments elementals corresponents: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Aquesta és una aplicació directa de l'additivitat (o σ-additivitat) en conjunts disjunts.

En el cas particular on l'espai mostral és finit, amb #Ω = n, i tots els resultats són equipoprobablesTenim P({ωᵢ}) = 1/n per a cada i. Si A conté k resultats diferents a Ω, aleshores P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Aquesta és exactament la fórmula clàssica de Laplace reinterpretada dins del marc axiomàtic modern.

Quan l'espai mostral és numerablement infinit, la suma de les probabilitats dels esdeveniments elementals encara ha de convergir a 1.És a dir, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Aquí és on la σ-additivitat mostra la seva força, permetent-nos tractar no només amb sumes finites, sinó també amb sèries infinites d'esdeveniments.

Probabilitat condicional i el paper dels axiomes.

Un aspecte central de la teoria és comprendre com canvia la probabilitat quan sabem que un determinat esdeveniment ja ha ocorregut.Aquí entra en joc la probabilitat condicional, que normalment s'escriu com a P(A | B), que significa "la probabilitat que A tingui en compte que B hagi ocorregut".

La fórmula bàsica per a la probabilitat condicional és P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), sempre que P(B) > 0Aquesta definició és coherent amb els axiomes de Kolmogorov, i de fet, per a cada B amb P(B) > 0, la funció A ↦ P(A | B) torna a satisfer els tres axiomes quan restringim l'espai d'esdeveniments a B.

Això significa que P(· | B) és en si mateixa una funció de probabilitat sobre el «nou» espai mostral B.Com a conseqüència, totes les propietats bàsiques es compleixen per a les probabilitats condicionals: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, monotonia condicional (si A₁ ⊆ A₂, aleshores P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) i la fórmula P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

La definició de probabilitat condicional també dóna lloc a la important relació P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), quan P(A) > 0.Simètricament, podem escriure P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), sempre que P(B) > 0. Aquestes igualtats ajuden a descompondre les probabilitats conjuntes i són la base de diversos resultats, com ara el teorema de Bayes.

És interessant observar que la probabilitat "incondicional" es pot veure com un cas particular de probabilitat condicional.De fet, podem escriure P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), ja que P(Ω) = 1. Això reforça la idea que, conceptualment, tota probabilitat està condicionada a alguna informació de fons, fins i tot si només és el coneixement que estem treballant dins de Ω.

Independència dels esdeveniments

Un altre concepte clau que es basa en axiomes és el de la independència entre esdeveniments.Dos esdeveniments A i B són independents si l'ocurrència d'un no altera la probabilitat de l'altre.

En llenguatge formal, A i B són independents quan P(A ∩ B) = P(A) P(B)En termes de probabilitat condicional, això implica que si P(B) > 0, aleshores P(A | B) = P(A), i si P(A) > 0, aleshores P(B | A) = P(B). És a dir, saber que B ha ocorregut no canvia la probabilitat d'A, i viceversa.

Tot esdeveniment és independent de l'esdeveniment impossible ∅ i de l'esdeveniment cert Ω.Per al conjunt buit, P(A ∩ ∅) = 0 i P(∅) = 0, de manera que la relació es compleix trivialment. Per a l'esdeveniment cert, P(A ∩ Ω) = P(A) i P(Ω) = 1, per tant P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Una pregunta freqüent és si dos esdeveniments disjunts poden ser independents.En general, si A i B són disjunts i tots dos tenen probabilitat positiva, aleshores P(A ∩ B) = 0, però P(A) ⋅ P(B) > 0, cosa que viola la definició d'independència. Així, en molts casos, dos esdeveniments disjunts amb probabilitat diferent de zero no són independents, ja que l'ocurrència d'un exclou la possibilitat de l'altre.

Quan es tracta de més de dos esdeveniments, sorgeixen diverses nocions diferents d'independència.Podem tenir independència per parells, independència conjunta i altres tipus. En tots aquests casos, però, el punt de partida continua sent la relació P(A ∩ B) = P(A)₆P(B), basada en els axiomes de Kolmogorov i la definició de probabilitat condicional.

Regles pràctiques i lleis clàssiques de la probabilitat

Més enllà de les seves propietats formals, els axiomes permeten la formulació de lleis més operatives, útils en el treball diari d'aquells que realitzen càlculs de probabilitat.Una d'elles és l'anomenada llei de l'addició, ja esmentada en la forma P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), que es pot estendre a un nombre més gran d'esdeveniments mitjançant el principi d'inclusió-exclusió.

Una altra regla que s'utilitza habitualment és la relació entre un esdeveniment i la seva part "externa" d'un altre esdeveniment.Per a A i B a F, es compleix el següent: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Això és simplement descompondre A en dues parts: la part que es produeix juntament amb B (A ∩ B) i la part que es produeix sense B (A ∩ ̄B). Aquestes dues parts són disjuntes, i la seva unió és A, la qual cosa porta a la igualtat anterior per additivitat.

La llei de la probabilitat total i el teorema de Bayes, tot i que no es detallen completament aquí, també es basen directament en els axiomes.La llei de la probabilitat total combina probabilitats condicionals en una partició de l'espai mostral, mentre que el teorema de Bayes "inverteix" les condicionals, permetent que les probabilitats s'actualitzin en funció de noves proves.

En versions més didàctiques, també s'enumeren alguns "axiomes pràctics" fàcils de memoritzar.Per exemple: la probabilitat màxima és 1 (100%); la suma de les probabilitats de tots els elements de l'espai mostral és igual a 1; i la probabilitat d'un esdeveniment X sumada a la probabilitat que "no sigui X" sempre és 1. Aquestes afirmacions són reflexos directes dels axiomes formals.

Amb aquest conjunt de lleis, es fa possible resoldre problemes que van des de simples jocs d'atzar fins a models sofisticats amb moltes variables.El gran avantatge és que, darrere de totes les fórmules i trucs de càlcul, el suport lògic continua sent el mateix trípode axiomàtic.

Els axiomes de probabilitat de Kolmogorov proporcionen una base rigorosa però flexible per tractar la incertesa.Basant-se en tres principis simples —no-negativitat, normalització i σ-aditivitat—, s'ha construït tota una teoria rica, capaç d'incorporar interpretacions clàssiques, freqüentistes i subjectives, gestionar espais finits o infinits, descriure probabilitats condicionals i independència, i donar suport a aplicacions en pràcticament tots els camps científics i tecnològics.