Tipus de relacions matemàtiques degudes a la variabilitat: teoria, prova i aplicacions

Inici » Sense categoria » Consells sobre relacions matemàtiques entre variables: teoria, proves i aplicacions

Capire che type di legam c'è tra due variabili è una delle domande più frequenti in statistica applicata, scienza dei dati e ricerca sperimentale e ricerca quantitative . A l'inrevés la relació és lineal i sempre forma part del cogliere, un altre camí de tornada és monòton però no lineal, oppure coinvolge categoria i non numeri, l'àncora depèn d'una tercera variable que confonde le acque: insomma, non è una passeggiata.

En aquesta guia pràctica i teòrica en italià, veiem de manera orgànica els aspectes principals de les relacions matemàtiques entre variables , com ara el diagnòstic visual i amb una prova formal, l'ús de coeficients qualitatius (Pearson, Spearman, Kendall), amb múltiples variables (chi-quadre d'independència, prova d'exactitud de Fisher, V de Cramér, coeficient de contingència, phi), com mesurar el valor amb la Kappa i com gestionar la variabilitat del procés de concordança, la correlació entre parcials. A més, apliquem una finestra sobre l' àlgebra de les relacions (en sentit siemístic i computacional), essencial per formalitzar conceptes com ara domini, composició, inversa i funcions.

Què pretenem per a "relació" a causa de la variabilitat

En llenguatge matemàtic, una relació R entre A i B és un sottoinsieme del prodotto cartesià A×B : l'ordenada de còpia (a, b) aparent a R indica que l'element a di A està "en relació" amb l'element b di B. In termini applicati, una relació può essere deterministica (funzione) o probabilistica (associazione stocastica): en el primer cas servim un b, a ogni tendència o la correspondència. fort) i no un legam uno-a-uno.

Totes les relacions d'àlgebra interna (en un sentit insímic) són propietats interessants com ara la riflexió (cada a és en relació amb aquesta relació), la simetria ((a, b) implica (b, a)), l'antisimetria (si (a, b) i (b, a) aleshores a = b) i la transitivitat (ja que (a, b) i (b, c) segueixen (a, w)). Aquesta propietat és crucial: si una relació és complexa, simètrica i transitiva , revela una relació d'equivalència que "divideix" A en la classe d'elements equivalents. Si en canvi és riflexiva, antisimètrica i transitiva, tenim una relació d'ordre.

En aquesta anàlisi, traduïm aquesta idea a la pràctica: avaluant el tipus de variabilitat (quantitative continua, ordinali, nominali/dicotomiche) i la classificazione nalle statistiche e scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, sabent que "relazione" no sempre significa "causa-efecte".

Ispezione visual: menjar reconegut patró i direcció

Prima di buttarsi nei numeri, un gràfic i una dispersió és sovint la demostració més intel·ligent. Un núvol al llarg d'una línia recta suggereix una relació lineal (positiva o negativa); estructura la corba indicant relacions no lineals (però monòtones). Si no introduïu un patró, la relació lineal pot destruir l'assentiment.

Amb valors variables, els panells de diagrama de dispersió (i exemple a R amb parells (dati) ) i la línia de tendència smussate (geom_smooth a ggplot2) poden ajudar a notar associacions, clústers i valors atípics . Atenció: els casos atípics poden influenzar moltíssim i coeficients, espècie Pearson.

Per exemple, a R pots començar així: pairs(dati)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Un primer cribratge visual, corregit pel número, ajuda a controlar la prova en funció de la forma, la monotonia i la linealitat aparent.

Comproveu la seva normalitat: quan serviu davvero

La prova paramètrica (així com la prova de Pearson) assumeix, en alguns casos, amb normalitat o amb una estructura simètrica sense codi pesat. Per controlar l'ipotesi, si parteix d'instruments gràfics com a istogrammi amb densitat i QQ-plot.

En R, una bateria mínima pot incloure:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Per comparar les quantitats observades amb un estàndard normal, el diagrama QQ no és institucional:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

En vista d'això, si no puc utilitzar la prova de normalitat formal per acumular evidència: Kolmogorov-Smirnov amb paràmetres estadístics, Lilliefors, Cramér-von Mises, Shapiro-Wilk, Shapiro-France, Anderson-Darling i la prova de normalitat de Pearson (chi-quadro).

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Si tornés a la normalitat i la relació fos lineal , el coeficient de Pearson és una bona escollida prèvia; altrament, és prudent preferir barrejar basades sui ranghi amb Spearman o Kendall.

Relació entre variabilitat quantitativa: covariància i correlació

La covariància entre El problema és la covariància que depèn de la unitat mixta , que és poc comparable.

La correlació lineal de Pearson resol el problema d'estandardització de la desviació estàndard: el coeficient r varia entre -1 i 1, donant valors que van des de ±1 que indica una forta relació lineal (positiva o negativa) i 0 que suggereix linealitat. Atenció: r = 0 no exclou les relacions no lineals.

Càlcul per correlació a R:

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Quan la relació és monòtona però no lineal o quan no és normal (el valor atípic), té sentit utilitzar Spearman (ranghi; robust i adaptat a campioni mitjà-gran) o Kendall τ (basato su concordanze/discordanze; preferibile su campioni piccoli o con molti pareggi):

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Una idea útil: el coeficient per determinar R² en un model lineal sense restituir la variable de velocitat de Y spiegata linealment des de X. En R:

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

Per a la dicotomia vs. variabilitat quantitativa, el coeficient biserial puntual coincideix amb el càlcul de Pearson amb una variable codificada 0/1; a la pràctica, cor(dicotòmic, quantitatiu) amb mètode = “pearson”.

Categories variables: indipendenza, força de l'associació i piccoli campioni

Quan entra en joc la variabilitat del son nominal o ordinal , la relació s'estudia amb una taula de contingència (freqüència amb classificació doppia). La ipotesi típica és: H0 = autonomia (associació necessària), control H1 = dependència.

La prova de la diferència és el marc de la khi d'indipendenza . Si el teu son és freqüentment inferior a això (normalment < 5), si fas servir la correlació de Yates per a 2×2 o superes la prova de Fisher , està particularment indicat amb els campions petits.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Per quantificar la intensitat de l'associació a la taula I×J si feu servir: V di Cramér (0–1), coeficient de contingència (0–1, limitació), i en 2×2 il phi (φ) , que formalment és una aplicació de la r de Pearson a la taula binària.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Si l'interès és comparar grups amb variables quantitatives (reddit per professió), si la prova és valorada , ANOVA i l'alternativa respectiva no paramètrica, no hi ha interval confidencial. En general, és coherent amb el tipus de variabilitat i el mètode és fonamental.

Acordo tra valutatori: Kappa di Cohen

Quan due (the più) giudici classifica gli stessi oggetti en categoria, no n'hi ha prou amb barrejar el percentatge d'acord, perché a quota può essere dovuta en aquest cas . Il Kappa di Cohen quantifica l'acord correcte per a l'acord casual: el valoro més enllà de 0 indicant l'acord pari al cas, el valoro maggiori suggereix en l'acord creixent (interpretazioni comuni: scarso, discret, moderato, good, molto good).

A R és possible estimar Kappa anche in versione ponderata (per categoria ordinali):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Si la categoria no és inusualment natural (i de vegades, lleu/moderada/severa), Kappa considera la penalització menys en desacords "vicini" i menys "lontani", donant com a resultat una categoria molt més informativa.

Relazioni i variabili di confusione: la correlazione parziale

Può capitare che due variabile En qüestió, si calculeu la correlació entre X i Y controlant Z.

En R, amb ggm::pcor si ottiene la correlazione parziale di primo ordine e si può provar la significatività. És útil comparar el clàssic i el parziale per capire com Z “spiega” del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

Si l'aixeta "s'esmuny" en control, aleshores Z era un soci important . Quan la variable de control és la categoria (és a dir, la professió), no puc utilitzar enfocaments o models similars que incloguin la categoria com a factor.

Límit i bones pràctiques en l'ús de la correlació

El coeficient de Pearson només combina la linealitat . Si la relació no és lineal (quadràtica, esponencial, logarítmica), pot resultar en 0 pur en presència d'una dependència forta. En aquest cas, els valors de Spearman , transformant el model no lineal en conseqüència.

Els valors atípics poden distorsionar el resultat. Per aquest motiu, en primer lloc, és convenient comprovar el gràfic i, si cal, dur a terme una anàlisi robusta o comprovar la sensibilitat del resultat en eliminar punts extrems.

Un altre clàssic: correlació ≠ causalitat . A causa de la variabilitat, no puc correlacionar perquè el son influenzate dóna un tercer factor, només coincidència o per efecte d'un mecanisme invers. Servono disegni sperimentali, strumenti causali o models appropriati per parlare di causa-efecte.

Tipus de relació: lineal, monòtona, nul·la, categorial

Sovint és mixt (quantitatiu vs dicotòmic/nominal/ordinari) si es converteix en una prova de comparació entre grups, correlacions biseriali/punt-biserial o un model (i exemple de regressió amb factor predictiu). With variabili enterbe categoriali , ci si affida a chi-quadro/Fisher e alle misure di force dell'associazione già viste.

Funcions mengen relacions especials

Una funció és una relació que, per cada element del domini, associa estretament un element del codomini. Al final, és un subconjunt d'A×B que cada component d'A compara una sola volta amb el primer component. Altres operacions importants en l'àlgebra d'aquesta relació són: unió (R1 ∪ R2), intersecció (R1 ∩ R2), composició (R2 ∘ R1) i inversa (R^{-1}, que és una còpia simple de (a, b) a (b, a)).

Questi mattoni conceptuali tornano utili sia nella matematica pure (equivalenze, ordini, classi di equivalenza) sia in applications concrete dove serves formalizzare relacions fra entità.

Àlgebra de relacions i ciència que vaig impartir

En el món de les bases de dades, l' àlgebra relativa és l'estructura teòrica de l'SQL: operacions com ara selecció, projecció, unió, unió i intersecció . Aquesta formalització és una arma poderosa per descriure, optimitzar i manipular coses ràpidament.

En el context de la intel·ligència artificial i l'aprenentatge automàtic, la capacitat de modelar relacions entre entitats permet la construcció rendible de coneixement, sistemes de recomanació i pipeline per a la integració; aquest valor és vàlid en economia, bioestadística i ciències socials, gairebé sempre és " qui és legat a qui, i en mode ".

Exemples clàssics de relacions en la teoria d'insiemi

Relació d' equivalència : son realista, simètric i transitiu. Esempi tipici inclou “avere lo stesso valore assoluto” sui reali o la congruenza modulo n sugli interi. Ogni relació d'equivalència indueix classi di equivalenza que ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relacions d' ordine : reflexives, antisimmetriques i transitives. Esempi: ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), o “divide” (|) sui naturali. Sono fondamentali per definee ordinamenti totali o parziali e per ragionare su massimi, minimi, catene i antichains.

Ordre en sicografia : el que he dit. És un ordre en una seqüència (cadena, nombre escrit en seqüència) que compara element per element; Hi ha un soroll important en aquesta estructura i descuido els algoritmes.

Aquesta secció és útil perquè cirda que la "relazione" en matemàtiques és un concepte principal de l'única correlació : inclou uguaglianze, ordini, composició i molt més, tots indispensables per modelare sistemi complessi.

Flux de treball pràctic: controla'l i els seus resultats

És possible fer fluir la feina sense perdre-la durant la construcció i, de vegades:

• Inspecció gràfica: diagrama de dispersió, suavització, istogrammi, QQ-plot. Occhio a outlier i forma non lineari.
• Comprovar: si funciona, prova la normalitat; Controls d'omoscedasticitat si es preveu un model lineal.
• Escollida del coeficient: Pearson (lineare, dati circa normali), Spearman/Kendall (monotona/non normale/piccoli campioni).
• Categòric: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Per a la comparació de grups, prova t/ANOVA o alternativa.
• Confundenti: correlacionar el model parziale o multivariant (incloent la categoria fattori).

Qualunque sia la scelta, interpretae nel context è la clau: grandezza dell'effetto, significatività statistica, ampiezza del campione i qualitat dei data contano com (se no more) del numero final.

Exemples del codi R recurrent

En resum, podeu utilitzar aquest mètode per fer que sigui més precís en l'anàlisi de la relació entre variables i després adaptar-lo al vostre conjunt de dades:

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Nota pràctica : les escollides "justes" depenen de les dades. Val la pena validar la hipòtesi, comparar el mètode i, quan funciona, construir un petit guió per diagnosticar la qüestió ràpidament de manera fiable.

Hem vist que “relazione” pot significar més sovint que no: la forma lineal amb Pearson, la monotonia amb Spearman/Kendall, thin all'association dins de la categoria amb chi-quadro/Fisher i misure amb V di Cramér i φ; senza oblidar l'acord entre giudici (Kappa) i la direcció vaig donar confondenti amb la correlació parziale. Per tant, l'àlgebra relacional proporciona i mattoni concettuali per domini definidor, invers i composició, entre l'àlgebra relacional guia el mode en què arxivo i interroghiamo i dati nei la base de dades. La idea clau és triar l'instrument a la base del tipus di variabili, alla forma del legam e agli obiettivi dell'analisi , recordando que cap coefficient, da solo, può raccontare tutta la storia.