Un angle inscrit d'una circumferència és un angle el vèrtex del qual es troba a la circumferència i els costats del qual són cordes de la circumferència. Aquests angles tenen propietats interessants que es poden explorar a través de diversos teoremes.
Alguns dels teoremes més importants relacionats amb els angles inscrits inclouen el teorema de l'angle inscrit, que estableix que un angle inscrit en una circumferència és igual a la meitat de l'angle central corresponent, i el teorema de la tangent, que estableix que un angle inscrit que interseca el mateix arc que una corda és igual a l'angle format per la corda i la tangent a la circumferència en el punt d'intersecció.
Per a una millor comprensió, analitzem alguns exemples pràctics d'aplicació d'aquests teoremes en problemes geomètrics que impliquen angles inscrits en circumferències.
Quins són els diferents angles que es formen en un cercle?
En un cercle, es poden formar diversos angles. Un dels angles més importants és el angle inscritUn angle inscrit és aquell el vèrtex del qual es troba a la circumferència i els costats del qual tallen la circumferència en dos punts diferents. Aquest angle és la meitat de l'arc que interseca.
Hi ha diversos teoremes relacionats amb els angles inscrits en una circumferència. Un dels més importants és el teorema de l'angle inscrit, que estableix que un angle inscrit en una circumferència és igual a la meitat de la longitud de l'arc que interseca. Aquest teorema és molt útil per resoldre problemes que impliquen angles inscrits en una circumferència.
Per il·lustrar-ho millor, vegem un exemple: si un arc d'un cercle mesura 120 graus, l'angle inscrit corresponent serà de 60 graus. Això és degut a que l'angle inscrit sempre és la meitat de l'arc que intercepta.
Si entens el teorema de l'angle inscrit i practiques amb exemples, pots resoldre fàcilment problemes que impliquen angles inscrits en una circumferència.
Descobreix la fórmula per calcular l'angle inscrit en una circumferència.
L'angle inscrit en una circumferència es defineix com l'angle format per dos raigs que parteixen del centre de la circumferència i la tallen en dos punts diferents. Per calcular l'angle inscrit en una circumferència, fem servir la fórmula:
Angle inscrit = 2 * Angle central
On l'angle central és l'angle format per dos raigs que parteixen del centre del cercle i el tallen en dos punts diferents. Aquest teorema és fonamental per resoldre problemes relacionats amb cercles, com ara trobar angles en figures geomètriques o en problemes de trigonometria.
Per exemple, si l'angle central d'una circumferència mesura 60 graus, l'angle inscrit serà:
Angle inscrit = 2 * 60 = 120 graus
Així, podem calcular fàcilment l'angle inscrit en una circumferència a partir de l'angle central. Aquesta fórmula és útil en diverses aplicacions matemàtiques i geomètriques, facilitant el càlcul d'angles en circumferències.
Conèixer els 5 elements essencials per descriure completament una circumferència.
Per descriure completament un cercle, cal conèixer els cinc elements essencials que el caracteritzen. Aquests elements són el radi, el diàmetre, el centre, la corda i l'angle inscrit.
O raig és la distància des del centre del cercle fins a qualsevol punt de la seva circumferència. El diàmetre és el doble del radi i passa pel centre del cercle. El centre és el punt central de la circumferència, des d'on comencen totes les mesures. El corda és un segment de línia recta que uneix dos punts de la circumferència. I el angle inscrit és l'angle format per dos arcs de circumferència que tenen un vèrtex a la circumferència.
L'angle inscrit d'una circumferència és la mesura de l'angle format per dos arcs que tenen un vèrtex a la circumferència. Aquest tipus d'angle s'utilitza àmpliament en problemes de geometria i trigonometria, ja que es relaciona amb diverses propietats de les circumferències.
Hi ha diversos teoremes que impliquen l'angle inscrit en una circumferència. Un dels més coneguts és teorema de l'angle inscrit, que estableix que la mesura d'un angle inscrit en una circumferència és igual a la meitat de la mesura de l'arc corresponent.
Per exemple, si un arc de cercle mesura 120 graus, l'angle inscrit corresponent serà de 60 graus. Aquest teorema és molt útil per resoldre problemes que impliquen angles inscrits en cercles.
Per tant, conèixer els cinc elements essencials per descriure completament un cercle, inclòs l'angle inscrit, és fonamental per entendre i resoldre qüestions de geometria que impliquen cercles.
Relació entre l'angle inscrit i l'angle central d'una circumferència: quina és la connexió?
Els angles inscrits d'un cercle estan directament relacionats amb els angles centrals que comparteixen el mateix arc corresponent. Aquesta relació és fonamental per entendre la geometria d'un cercle i es regeix per diversos teoremes importants.
Um angle inscrit és aquella el vèrtex de la qual es troba a la circumferència i els costats de la qual són cordes de la mateixa. El/La angle central és aquell que té el vèrtex al centre del cercle i els costats del qual són radis del mateix. La connexió entre aquests dos tipus d'angles es deu al fet que l'angle central és el doble de l'angle inscrit que té el mateix arc corresponent.
Aquesta relació es pot formalitzar mitjançant diversos teoremes, com ara Teorema de l'angle inscrit i Teorema de l'angle centralEl primer teorema estableix que un angle inscrit en una circumferència és la meitat de l'angle central que té el mateix arc corresponent. El segon teorema estableix que la suma d'un angle inscrit i un angle central que tenen el mateix arc corresponent sempre és igual a 180 graus.
Per il·lustrar aquesta relació, podem considerar un exemple senzill: si tenim un angle inscrit de 60 graus en un cercle, l'angle central corresponent serà de 120 graus. Això és degut a que l'angle central és el doble de l'angle inscrit.
Aquesta connexió ens permet establir propietats i teoremes importants que faciliten la resolució de problemes que impliquen cercles i angles.
Angle inscrit d'una circumferència: definició, teoremes, exemples
O angle inscrit d'un cercle és aquell que té el seu vèrtex en el cercle i els seus radis són secants o tangents a aquest. Com a conseqüència, l'angle inscrit sempre serà convex o pla.
La figura 1 mostra diversos angles inscrits a les seves circumferències respectives. L'angle ∠EDF està inscrit amb el seu vèrtex D a la circumferència i els seus dos semirectes [DE) i [DF) secants a la circumferència.
De la mateixa manera, l'angle GHGI està inscrit, ja que té el vèrtex en el cercle i els costats secants.
Els angles JKJR i ∠UST també estan inscrits a la circumferència. El primer té un costat secant i l'altre tangent, mentre que el segon té els dos costats tangents a la circumferència, formant un angle inscrit al pla (180º).
Alguns autors anomenen l'angle semiinscrit un dels costats tangents al cercle, però en aquest article es considera inscrit.
Cada angle inscrit defineix o subtendeix un arc que hi està associat. Per exemple, a la Figura 2, l'angle inscrit ∠ABC subtendeix l'arc A⌒C de longitud d.
La mateixa figura mostra l'angle EDOE, que no està inscrit a la circumferència perquè no té el seu vèrtex a la circumferència, sinó al centre O.
Angle central
A més de l'angle inscrit, el angle central es pot definir en un cercle, que és el angle el vèrtex del qual és al centre de la circumferència i els costats del qual tallen la circumferència.
La mesura en radians d'un angle central és el quocient entre l'arc subtendent, és a dir, l'arc de cercle comprès entre els costats de l'angle i el radi del cercle.
Si la circumferència és unitat (radi 1), la longitud de l'arc en les mateixes unitats de radi és la mesura de l'angle en radians.
I quan es requereix la mesura de l'angle en graus, la mesura de radians es multiplica pel factor 180º / π.
Els instruments de mesura d'angles sempre utilitzen un angle central, i la longitud de l'arc subtendit per aquest es calibra directament en graus. Això significa que sempre que es mesura un angle, el que es mesura a la part inferior és la longitud de l'arc subtendit per l'angle central.
Teoremes
– Teorema 1 (angle inscrit i angle central)
La mesura d'un angle inscrit és la meitat de la mesura de l'angle central si els dos angles subtenden el mateix arc. .
A la figura 4 es mostren dos angles ∠ABC i ∠AOC, que intersequen el mateix arc de cercle A⌒C.
Si la mesura de l'angle inscrit és α, aleshores la mesura β de l'angle central és el doble de la mesura de l'angle inscrit (β = 2 α) perquè tots dos subtenden el mateix arc de mesura d.
Demostració 1a
Per demostrar el Teorema 1, començarem mostrant diversos casos particulars, fins a arribar al cas general.
Suposem un angle inscrit, en què un dels seus costats passa pel centre del cercle, com es mostra a la figura 5.
En aquest cas, es forma el triangle isòsceles COB, ja que [OC] = [OB].
En un triangle isòsceles, els angles adjacents a la base són iguals; per tant, tenim que ∠BCO = ∠ABC = α. D'altra banda, BCOB = 180º – β.
Considerant la suma dels angles interns del triangle COB, tenim:
α + α + (180º – β) = 180º
Del que es dedueix que 2α = β, o el que és equivalent: α = β / 2. Això coincideix amb el que estableix el Teorema 1: la mesura de l'angle inscrit és la meitat de l'angle central, si tots dos angles subtenden la mateixa corda [AC].
Demostració 1b
En aquest cas, tenim un angle inscrit ∠ABC, en què el centre O del cercle es troba dins de l'angle.
Per demostrar el teorema 1 en aquest cas, dibuixem el raig auxiliar [BO], de manera que tinguem dos angles inscrits ∠ABO i ∠OBC adjacents a aquest raig.
De la mateixa manera, hi ha angles centrals p 1 i β 2 adjacent a aquest raig. Així, tenim la mateixa situació que la mostrada a 1a, de manera que es pot dir que α 2 = β 2 /2 i ct 1 = β 1 /2. Com que α = α 1 + α 2 i β = β 1 + β 2 per tant, α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2
En conclusió, α = β / 2, la qual cosa concorda amb el Teorema 1.
– Teorema 2
Si dos o més angles inscrits representen el mateix arc, tenen la mateixa mesura.
– Teorema 3
Els angles inscrits que subtenden cordes de la mateixa mesura són iguals .
Exemples
– Exemple 1
Demostreu que l'angle inscrit que subtendeix el diàmetre és un angle recte.
Solució
L'angle central ∠AOB associat al diàmetre és un angle pla, la mesura del qual és de 180º.
Segons el teorema 1, tot angle inscrit a la circumferència que subtendeix el mateix cable (en aquest cas, el diàmetre), té com a mesura la meitat de l'angle central que subtendeix el mateix cable, que en el nostre exemple és 180º / 2 = 90º.
– exemple 2
La recta (BC) tangent a A al cercle C determina l'angle inscrit ∠BAC (vegeu la figura 10).
Comproveu si es compleix el teorema 1 dels angles inscrits.
Solució
L'angle ∠BAC està inscrit perquè el seu vèrtex és a la circumferència, i els seus costats [AB) i [AC) són tangents a la circumferència, per tant, es compleix la definició de l'angle inscrit.
D'altra banda, l'angle inscrit ∠BAC subtendeix l'arc A⌒A, que és el cercle complet. L'angle central que subtendeix l'arc A⌒A és un angle convex la mesura del qual és l'angle complet (360º).
L'angle inscrit que subtendeix tot l'arc mesura la meitat de l'angle central associat, és a dir, ACBAC = 360º / 2 = 180º.
Amb tot l'anterior, resulta que aquest cas concret compleix amb el Teorema 1.
Referències
- Baldor. (1973). Geometria i trigonometria. Editorial Cultural Centroamericana.
- EA (2003). Elements de geometria: amb exercicis i geometria amb compàs. Universitat de Medellín.
- Geometria 1r ESO. Angles del cercle. Obtingut de: edu.xunta.es/
- Tota la ciència. Exercicis proposats sobre els angles d'un cercle. Obtingut de: francesphysics.blogspot.com
- Viquipèdia. Angle inscrit. Obtingut de: es.wikipedia.com