Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti jsou matematické modely, které popisují výskyt událostí s diskrétními, konečnými hodnotami. Tato rozdělení jsou charakterizována svými vlastnostmi, jako je součet pravděpodobností všech možných výsledků rovný 1 a přítomnost parametru, který určuje tvar rozdělení. V tomto článku prozkoumáme charakteristiky nejběžnějších diskrétních rozdělení pravděpodobnosti, jako je Bernoulliho rozdělení, binomické rozdělení, Poissonovo rozdělení a geometrické rozdělení, a také představíme některá praktická cvičení pro lepší pochopení těchto konceptů.
Pochopení konceptu diskrétního rozdělení pravděpodobnosti: jednoduché a srozumitelné vysvětlení.
Pro pochopení konceptu diskrétního rozdělení pravděpodobnosti je důležité si uvědomit, že se jedná o matematickou funkci, která přiřazuje pravděpodobnost ke každému možnému výsledku náhodného experimentu. Jinými slovy, diskrétní rozdělení pravděpodobnosti nám umožňuje určit šanci, že se každý výsledek objeví v konečné nebo vyčíslitelné množině možností.
Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti je charakterizováno svou pravděpodobnostní funkcí, která každému výsledku přiřazuje nezápornou hodnotu, přičemž součet všech pravděpodobností je roven 1. Možné výsledky jsou navíc odlišné a izolované, bez možnosti výskytu mezilehlých hodnot.
Klasickým příkladem diskrétního rozdělení pravděpodobnosti je Poissonovo rozdělení, široce používané v procesech počítání, například pro počet událostí, které nastanou v daném časovém období. Dalším běžným příkladem je binomické rozdělení, které modeluje experimenty pouze se dvěma možnými výsledky, jako je úspěch nebo neúspěch.
Pro aplikaci teorie diskrétních rozdělení pravděpodobnosti je nutné porozumět jejich specifickým vlastnostem a charakteristikám a také být schopen vypočítat pravděpodobnosti a interpretovat výsledky. Praktická cvičení jsou nezbytná pro prohloubení znalostí a rozvoj dovedností v této oblasti pravděpodobnosti.
Seznamte se s hlavními diskrétními rozděleními používanými ve statistice a pravděpodobnosti.
Seznamte se s hlavními diskrétními rozděleními používanými ve statistice a pravděpodobnosti. Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti jsou důležitými nástroji ve statistické analýze, které umožňují modelování a predikci náhodných událostí. Mezi hlavní diskrétní rozdělení patří Bernoulliho rozdělení, binomické rozdělení, geometrické rozdělení, Poissonovo rozdělení a hypergeometrické rozdělení.
A Bernoulliho rozdělení se používá k modelování experimentů s pouze dvěma možnými výsledky, jako je úspěch a neúspěch. binomické rozdělení Používá se v situacích, kdy existuje pevný počet nezávislých pokusů, přičemž v každém pokusu jsou pouze dva možné výsledky, například úspěch a neúspěch.
A geometrické rozdělení se používá k modelování počtu pokusů do prvního úspěchu v sekvenci nezávislých experimentů. Poissonovo rozdělení se používá k modelování výskytu vzácných událostí v určitém časovém nebo prostorovém intervalu.
Konečně, hypergeometrické rozdělení Používá se k modelování experimentů, ve kterých dochází k výběru bez nahrazování prvků z konečné populace, se zájmem o počet úspěchů v konkrétním vzorku.
Pro lepší pochopení těchto diskrétních rozdělení a jejich aplikace je důležité procvičovat si je pomocí cvičení. Řešení problémů zahrnujících tato rozdělení může pomoci upevnit znalosti a zdokonalit statistické a pravděpodobnostní dovednosti.
Proto je při studiu statistiky a pravděpodobnosti nezbytné znát charakteristiky a aplikace hlavních diskrétních rozdělení, jako je Bernoulliho rozdělení, binomické rozdělení, geometrické rozdělení, Poissonovo rozdělení a hypergeometrické rozdělení.
Typy rozdělení pravděpodobnosti: seznamte se s různými formami statistických rozdělení.
Rozdělení pravděpodobnosti jsou matematické modely, které popisují náhodné chování jevu. Existují různé typy rozdělení pravděpodobnosti, každý s vlastními charakteristikami a aplikacemi. V tomto článku se zaměříme na diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, která jsou spojena s diskrétními proměnnými – těmi, které mohou nabývat specifických, spočetných hodnot.
Mezi nejběžnější diskrétní rozdělení pravděpodobnosti patří rovnoměrné rozdělení, binomické rozdělení, Poissonovo rozdělení a geometrické rozdělení. Každé z těchto rozdělení má své vlastní vlastnosti a používá se v různých statistických kontextech.
Například rovnoměrné rozdělení je charakterizováno přiřazením stejné pravděpodobnosti všem možným hodnotám diskrétní proměnné. Binomické rozdělení se používá k modelování počtu úspěchů v sekvenci nezávislých pokusů, z nichž každý má stejnou pravděpodobnost úspěchu. Poissonovo rozdělení se zase používá k modelování počtu vzácných událostí v časovém nebo prostorovém intervalu. A geometrické rozdělení se používá k modelování počtu pokusů potřebných k prvnímu úspěchu v sekvenci nezávislých pokusů.
Abychom lépe pochopili, jak tato rozdělení fungují, je důležité si je procvičovat. Například pravděpodobnost, že v 3 hodech spravedlivou mincí padnou přesně 5 panny, můžeme vypočítat pomocí binomického rozdělení. Nebo můžeme pomocí Poissonova rozdělení určit pravděpodobnost, že v určitém časovém intervalu nastanou alespoň 2 události.
Pochopením charakteristik a aplikací těchto rozdělení mohou odborníci v oblasti statistiky a souvisejících věd činit informovanější a přesnější rozhodnutí založená na pravděpodobnostních datech.
Které proměnné jsou v pravděpodobnosti považovány za diskrétní?
V teorii pravděpodobnosti jsou diskrétní proměnné ty, které mohou nabývat konečného nebo spočetného počtu hodnot. To znamená, že diskrétní proměnné jsou ty, které lze spočítat, obvykle reprezentované celými čísly. Například počet aut na parkovišti, počet studentů ve třídě a počet tváří na kostce jsou příklady diskrétních proměnných.
Tyto proměnné se liší od spojitých proměnných, které mohou nabývat nekonečného počtu hodnot v určitém rozsahu. Zatímco diskrétní proměnné mají specifické, diskrétní hodnoty, spojité proměnné mohou nabývat jakékoli hodnoty v rámci spojitého rozsahu. Například výška osoby, doba potřebná k dokončení úkolu a teplota v místnosti jsou příklady spojitých proměnných.
Diskrétní proměnné v pravděpodobnosti jsou tedy ty, které lze spočítat a nabývají specifických, samostatných hodnot, na rozdíl od spojitých proměnných, které mohou nabývat jakékoli hodnoty v daném rozsahu.
Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti: Charakteristiky, Cvičení
As diskrétní rozdělení pravděpodobnosti jsou funkce, která každému prvku X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, kde X je daná diskrétní náhodná proměnná a S je výběrový prostor, přiřazuje pravděpodobnost, že tato událost nastane. Tato funkce f pro X(S), definovaná jako f(xi) = P(X = xi), se někdy nazývá hmotnostní pravděpodobnostní funkce.
Tato pravděpodobnostní hmotnost se obvykle reprezentuje ve formě tabulky. Protože X je diskrétní náhodná proměnná, X(S) má buď konečný, nebo nekonečný počet událostí. Mezi nejběžnější diskrétní rozdělení pravděpodobnosti patří rovnoměrné rozdělení, binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení.
Vlastnosti
Funkce rozdělení pravděpodobnosti musí splňovat následující podmínky:
Dále, pokud X nabývá pouze konečného počtu hodnot (např. x1, x2, …, xn), pak p(xi) = 0, pokud i > n, a proto se nekonečná řada podmínek b stává konečnou řadou
Tato funkce také splňuje následující vlastnosti:
Nechť B je událost spojená s náhodnou proměnnou X. To znamená, že B je obsažena v X(S). Konkrétně předpokládejme, že B = {xi1, xi2,…}. Proto:
Jinými slovy: pravděpodobnost události B se rovná součtu pravděpodobností jednotlivých výsledků spojených s B.
Z toho můžeme usoudit, že pokud
Typ
Rovnoměrné rozdělení v n bodech
Říká se, že náhodná proměnná X sleduje rozdělení, které je charakterizováno tím, že je rovnoměrné v n bodech, pokud má každá hodnota přiřazenu stejnou pravděpodobnost. Její funkce pravděpodobnostní hmotnosti je:
Předpokládejme, že máme experiment se dvěma možnými výsledky: může to být hod mincí, jehož možné výsledky jsou panna nebo orel, nebo výběr celého čísla, jehož výsledek může být liché nebo sudé číslo; tento typ experimentu je známý jako Bernoulliho test.
Obecně se dva možné výsledky nazývají úspěch a neúspěch, kde p je pravděpodobnost úspěchu a 1-p je pravděpodobnost neúspěchu. Pravděpodobnost x úspěchů v n nezávislých Bernoulliho pokusech můžeme určit pomocí následujícího rozdělení.
Binomické rozdělení
Tato funkce představuje pravděpodobnost dosažení x úspěchů v n nezávislých Bernoulliho pokusech, jejichž pravděpodobnost úspěchu je p. Její funkce pravděpodobnostní hmotnosti je:
Následující graf znázorňuje funkci pravděpodobnosti hmotnosti pro různé hodnoty parametrů binomického rozdělení.
Následující rozdělení vděčí za svůj název francouzskému matematikovi Simeonu Poissonovi (1781-1840), který ho získal jako limitu binomického rozdělení.
Poissonovo rozdělení
Říká se, že náhodná proměnná X má Poissonovo rozdělení parametru λ, když může nabývat kladných celočíselných hodnot 0,1,2,3, … s následující pravděpodobností:
V tomto výrazu je λ průměrný počet výskytů události za každou časovou jednotku a x je počet výskytů události.
Jeho funkce pravděpodobnosti hmotnosti je:
Níže je graf znázorňující funkci pravděpodobnosti a hmotnosti pro různé hodnoty parametrů Poissonova rozdělení.
Všimněte si, že dokud je počet úspěchů nízký a počet testů provedených na binomickém rozdělení vysoký, můžeme tato rozdělení vždy aproximovat, protože Poissonovo rozdělení je limitou binomického rozdělení.
Hlavní rozdíl mezi těmito dvěma rozděleními spočívá v tom, že zatímco binomické rozdělení závisí na dvou parametrech – nep –, Poissonovo rozdělení závisí pouze na λ, které se někdy nazývá intenzita rozdělení.
Doposud jsme hovořili pouze o rozděleních pravděpodobnosti pro případy, kdy jsou různé experimenty na sobě nezávislé, tedy kdy výsledek jednoho není ovlivněn výsledkem druhého.
Pokud experimenty nejsou nezávislé, je hypergeometrické rozdělení velmi užitečné.
Hypergeometrické rozdělení
Nechť N je celkový počet objektů v konečné množině, z nichž k můžeme nějakým způsobem identifikovat a vytvořit tak podmnožinu K, jejíž doplněk je tvořen zbývajícími Nk prvky.
Pokud náhodně vybereme n objektů, bude mít náhodná proměnná X představující počet objektů patřících do K v této volbě hypergeometrické rozdělení parametrů N, n a k. Její funkce pravděpodobnosti hmotnosti je:
Následující graf představuje funkci pravděpodobnosti hmotnosti pro různé hodnoty parametrů hypergeometrického rozdělení.
Vyřešené úlohy
První cvičení
Předpokládejme, že pravděpodobnost, že rádiová trubice (umístěná v určitém typu zařízení) bude pracovat déle než 500 hodin, je 0,2. Pokud je testováno 20 trubic, jaká je pravděpodobnost, že přesně k z nich bude pracovat déle než 500 hodin, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Řešení
Pokud je X počet elektronek, které běží déle než 500 hodin, budeme předpokládat, že X má binomické rozdělení. Pak
A tak:
Pro k ≥ 11 je pravděpodobnost menší než 0,001.
Můžeme tedy pozorovat, jak se pravděpodobnost, že k z nich bude pracovat více než 500 hodin, zvyšuje, dokud nedosáhne své maximální hodnoty (k = 4), a poté začne klesat.
2. cvičení
Mince se hodí 6krát. Když padne panna, říkáme, že padne panna. Jaká je pravděpodobnost, že padnou přesně dvě panny?
Řešení
V tomto případě máme n = 6 a pravděpodobnost úspěchu a neúspěchu je p = q = 1/2.
Pravděpodobnost, že jsou dány dvě stěny (tj. k = 2), je tedy
Třetí cvičení
Jaká je pravděpodobnost, že se najdou alespoň čtyři stěny?
Řešení
V tomto případě máme k = 4, 5 nebo 6
Třetí cvičení
Předpokládejme, že 2 % kusů vyrobených v továrně jsou vadné. Určete pravděpodobnost P, že ve vzorku 100 kusů jsou tři vadné kusy.
Řešení
V tomto případě můžeme použít binomické rozdělení pro n = 100 a p = 0,02, čímž získáme výsledek:
Protože je však p malé, používáme Poissonovu aproximaci s λ = np = 2. Tedy
Odkazy
- Kai Lai Chung: Elementární teorie pravděpodobnosti se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth H. Rosen – Diskrétní matematika a její aplikace. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Pravděpodobnost a statistické aplikace. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, Ph.D., 2000, Vyřešené problémy v diskrétní matematice. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, Ph.D. Problémy v teorii a pravděpodobnosti. McGraw-HILL