Diskrete sandsynlighedsfordelinger er matematiske modeller, der beskriver forekomsten af begivenheder med diskrete, endelige værdier. Disse fordelinger er karakteriseret ved deres egenskaber, såsom summen af sandsynlighederne for alle mulige udfald lig med 1 og tilstedeværelsen af en parameter, der bestemmer fordelingens form. I denne artikel vil vi undersøge karakteristikaene for de mest almindelige diskrete sandsynlighedsfordelinger, såsom Bernoulli-fordelingen, binomialfordelingen, Poisson-fordelingen og den geometriske fordeling, samt præsentere nogle praktiske øvelser for bedre at forstå disse begreber.
Forståelse af konceptet diskret sandsynlighedsfordeling: en simpel og klar forklaring.
For at forstå konceptet med en diskret sandsynlighedsfordeling er det vigtigt at forstå, at det er en matematisk funktion, der forbinder en sandsynlighed med hvert muligt udfald af et tilfældigt eksperiment. Med andre ord giver den diskrete sandsynlighedsfordeling os mulighed for at bestemme chancen for, at hvert udfald forekommer i et endeligt eller tælleligt sæt af muligheder.
En diskret sandsynlighedsfordeling er karakteriseret ved dens sandsynlighedsfunktion, som tildeler hvert udfald en ikke-negativ værdi, hvor summen af alle sandsynligheder er lig med 1. Desuden er de mulige udfald adskilte og isolerede, uden mulighed for, at mellemliggende værdier forekommer.
Et klassisk eksempel på en diskret sandsynlighedsfordeling er Poisson-fordelingen, der er meget anvendt i tælleprocesser, såsom antallet af begivenheder, der forekommer i en given tidsperiode. Et andet almindeligt eksempel er binomialfordelingen, som modellerer eksperimenter med kun to mulige udfald, såsom succes eller fiasko.
For at anvende teorien om diskrete sandsynlighedsfordelinger er det nødvendigt at forstå deres specifikke egenskaber og karakteristika, samt at være i stand til at beregne sandsynligheder og fortolke resultaterne. Praktiske øvelser er afgørende for at uddybe forståelsen og udvikle færdigheder inden for dette område af sandsynlighed.
Lær om de vigtigste diskrete fordelinger, der anvendes i statistik og sandsynlighedsberegninger.
Lær om de vigtigste diskrete fordelinger, der anvendes i statistik og sandsynlighedsberegninger. Diskrete sandsynlighedsfordelinger er vigtige værktøjer i statistisk analyse, da de muliggør modellering og forudsigelse af tilfældige begivenheder. Blandt de vigtigste diskrete fordelinger er Bernoulli-fordelingen, binomialfordelingen, den geometriske fordeling, Poisson-fordelingen og den hypergeometriske fordeling.
A Bernoulli-fordeling bruges til at modellere eksperimenter med kun to mulige udfald, såsom succes og fiasko. binomialfordeling Det anvendes i situationer, hvor der er et fast antal uafhængige forsøg med kun to mulige udfald i hvert forsøg, såsom succes og fiasko.
A geometrisk fordeling bruges til at modellere antallet af forsøg indtil den første succes i en sekvens af uafhængige eksperimenter. Poisson-fordeling bruges til at modellere forekomsten af sjældne begivenheder i et specifikt tids- eller ruminterval.
Endelig blev hypergeometrisk fordeling Det bruges til at modellere eksperimenter, hvor der er en selektion uden erstatning af elementer fra en endelig population, med interesse i antallet af succeser i en specifik stikprøve.
For bedre at forstå disse diskrete fordelinger og hvordan man anvender dem, er det vigtigt at øve sig gennem øvelser. Løsning af problemer, der involverer disse fordelinger, kan hjælpe med at styrke viden og skærpe statistiske færdigheder og sandsynlighedsberegninger.
Derfor er det vigtigt, når man studerer statistik og sandsynlighedsberegning, at kende karakteristikaene og anvendelserne af de vigtigste diskrete fordelinger, såsom Bernoulli-fordelingen, binomialfordelingen, den geometriske fordeling, Poisson-fordelingen og den hypergeometriske fordeling.
Typer af sandsynlighedsfordelinger: lær om de forskellige former for statistiske fordelinger.
Sandsynlighedsfordelinger er matematiske modeller, der beskriver et fænomens tilfældige adfærd. Der findes forskellige typer sandsynlighedsfordelinger, hver med sine egne karakteristika og anvendelser. I denne artikel vil vi fokusere på diskrete sandsynlighedsfordelinger, som er forbundet med diskrete variabler - dem, der kan antage specifikke, tællelige værdier.
Nogle af de mest almindelige diskrete sandsynlighedsfordelinger omfatter den uniforme fordeling, den binomiale fordeling, Poisson-fordelingen og den geometriske fordeling. Hver af disse fordelinger har sine egne egenskaber og bruges i forskellige statistiske sammenhænge.
Den uniforme fordeling er for eksempel karakteriseret ved at tildele den samme sandsynlighed til alle mulige værdier af en diskret variabel. Den binomiale fordeling bruges til at modellere antallet af succeser i en sekvens af uafhængige forsøg, hver med den samme sandsynlighed for succes. Poisson-fordelingen bruges til gengæld til at modellere antallet af sjældne hændelser i et tids- eller ruminterval. Og den geometriske fordeling bruges til at modellere antallet af forsøg, der kræves indtil den første succes i en sekvens af uafhængige forsøg.
For bedre at forstå, hvordan disse fordelinger fungerer, er det vigtigt at øve sig med øvelser. For eksempel kan vi beregne sandsynligheden for at få præcis 3 krone i 5 kast med en fair mønt ved hjælp af binomialfordelingen. Eller vi kan bestemme sandsynligheden for, at mindst 2 begivenheder indtræffer inden for et bestemt tidsinterval ved hjælp af Poisson-fordelingen.
Ved at forstå karakteristikaene og anvendelserne af disse fordelinger kan statistikere og relaterede videnskabsfolk træffe mere informerede og præcise beslutninger baseret på probabilistiske data.
Hvilke variabler betragtes som diskrete i sandsynlighed?
I sandsynlighedsberegninger er diskrete variable dem, der kan antage et endeligt eller tælleligt antal værdier. Det betyder, at diskrete variable er dem, der kan tælles, normalt repræsenteret af heltal. For eksempel er antallet af biler på en parkeringsplads, antallet af elever i et klasseværelse og antallet af sider på en terning alle eksempler på diskrete variable.
Disse variabler adskiller sig fra kontinuerlige variabler, som kan antage et uendeligt antal værdier inden for et specifikt interval. Mens diskrete variabler har specifikke, diskrete værdier, kan kontinuerlige variabler antage enhver værdi inden for et kontinuerligt interval. For eksempel er en persons højde, den tid det tager at fuldføre en opgave og stuetemperaturen eksempler på kontinuerlige variabler.
Derfor er diskrete variabler i sandsynlighed dem, der kan tælles og antage specifikke, separate værdier, i modsætning til kontinuerlige variabler, der kan antage enhver værdi inden for et interval.
Diskrete sandsynlighedsfordelinger: Karakteristika, øvelser
As diskrete sandsynlighedsfordelinger er en funktion, der associeres med hvert element af X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, hvor X er en given diskret stokastisk variabel, og S er samplingsrummet, sandsynligheden for, at denne begivenhed indtræffer. Denne funktion f af X(S), defineret som f(xi) = P(X = xi), kaldes undertiden massesandsynlighedsfunktionen.
Denne sandsynlighedsmasse repræsenteres normalt i form af en tabel. Da X er en diskret stokastisk variabel, har X(S) enten et endeligt eller et uendeligt antal hændelser. Blandt de mest almindelige diskrete sandsynlighedsfordelinger er den uniforme fordeling, den binomiale fordeling og Poisson-fordelingen.
Funktionalitet
Sandsynlighedsfordelingsfunktionen skal opfylde følgende betingelser:
Ydermere, hvis X kun antager et endeligt antal værdier (f.eks. x1, x2, …, xn), så er p(xi) = 0 hvis i > n, og derfor bliver den uendelige række af betingelser b den endelige række.
Denne funktion opfylder også følgende egenskaber:
Lad B være en hændelse forbundet med den stokastiske variabel X. Det betyder, at B er indeholdt i X(S). Antag specifikt, at B = {xi1, xi2,…}. Derfor:
Med andre ord: sandsynligheden for en begivenhed B er lig med summen af sandsynlighederne for de individuelle udfald forbundet med B.
Ud fra dette kan vi konkludere, at hvis
Typer
Ensartet fordeling ved n punkter
En stokastisk variabel X siges at følge en fordeling, der er karakteriseret ved at være ensartet i n punkter, hvis hver værdi har den samme tildelte sandsynlighed. Dens sandsynlighedsmassefunktion er:
Antag, at vi har et eksperiment med to mulige udfald: det kunne være at slå en mønt, hvis mulige udfald er krone eller krone, eller at vælge et heltal, hvis udfald kunne være et ulige eller lige tal; Denne type eksperiment er kendt som en Bernoulli-test.
Generelt kaldes de to mulige udfald succes og fiasko, hvor p er sandsynligheden for succes og 1-p er sandsynligheden for fiasko. Vi kan bestemme sandsynligheden for x succeser i n uafhængige Bernoulli-forsøg med følgende fordeling.
Binomialfordeling
Denne funktion repræsenterer sandsynligheden for at opnå x succeser i n uafhængige Bernoulli-forsøg, hvis sandsynlighed for succes er p. Dens sandsynlighedsmassefunktion er:
Følgende graf repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier af binomialfordelingsparametrene.
Den følgende fordeling skylder sit navn til den franske matematiker Simeon Poisson (1781-1840), der beregnede den som grænseværdien for den binomiale fordeling.
Poisson-fordeling
En stokastisk variabel X siges at have en Poisson-fordeling af parameteren λ, når den kan modtage de positive heltalsværdier 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … med følgende sandsynlighed:
I dette udtryk er λ det gennemsnitlige antal forekomster af begivenheden for hver tidsenhed, og x er antallet af gange begivenheden indtræffer.
Dens massesandsynlighedsfunktion er:
Nedenfor er en graf, der repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier af Poisson-fordelingsparametrene.
Bemærk, at så længe antallet af succeser er lavt, og antallet af tests udført på en binomialfordeling er højt, kan vi altid tilnærme disse fordelinger, da Poisson-fordelingen er grænsen for den binomiale fordeling.
Den væsentligste forskel mellem disse to fordelinger er, at mens binomialværdien afhænger af to parametre – nep –, afhænger Poisson-værdien kun af λ, som undertiden kaldes fordelingens intensitet.
Indtil videre har vi kun talt om sandsynlighedsfordelinger for tilfælde, hvor de forskellige eksperimenter er uafhængige af hinanden; det vil sige, når resultatet af det ene ikke påvirkes af resultatet af et andet.
Når eksperimenter ikke er uafhængige, er den hypergeometriske fordeling meget nyttig.
Hypergeometrisk fordeling
Lad N være det samlede antal objekter i en endelig mængde, hvoraf vi kan identificere k på en eller anden måde, hvilket danne en delmængde K, hvis komplement dannes af de resterende Nk-elementer.
Hvis vi vælger n objekter tilfældigt, vil den stokastiske variabel X, der repræsenterer antallet af objekter, der tilhører K i det valg, have en hypergeometrisk fordeling af parametrene N, n og k. Dens massesandsynlighedsfunktion er:
Den følgende graf repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier af de hypergeometriske fordelingsparametre.
Løste øvelser
Første øvelse
Antag, at sandsynligheden for, at et radiorør (placeret i en bestemt type udstyr) vil virke i mere end 500 timer, er 0,2. Hvis 20 rør testes, hvad er så sandsynligheden for, at præcis k af dem vil virke i mere end 500 timer, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Opløsning
Hvis X er antallet af rør, der kører i mere end 500 timer, antager vi, at X har en binomialfordeling.
Og så:
For k≥11 er oddsene mindre end 0,001
Vi kan således observere, hvordan sandsynligheden for, at k af disse arbejder mere end 500 timer, stiger, indtil den når sin maksimale værdi (med k = 4), og derefter begynder at falde.
2. øvelse
En mønt slås 6 gange. Når resultatet er krone, kalder vi det en succes. Hvad er sandsynligheden for præcis to krone?
Opløsning
I dette tilfælde har vi n = 6, og sandsynligheden for succes og fiasko er p = q = 1/2
Derfor er sandsynligheden for, at to flader er givne (dvs. k = 2)
Tredje øvelse
Hvad er sandsynligheden for at finde mindst fire ansigter?
Opløsning
I dette tilfælde har vi k = 4, 5 eller 6
Tredje øvelse
Antag at 2% af de varer, der produceres på en fabrik, er defekte. Find sandsynligheden P for, at der er tre defekte varer i en stikprøve på 100 varer.
Opløsning
I dette tilfælde kan vi anvende binomialfordelingen for n = 100 og p = 0,02, hvilket giver følgende resultat:
Men da p er lille, bruger vi Poisson-approksimationen med λ = np = 2. Således
Referencer
- Kai Lai Chung: Elementær sandsynlighedsteori med stokastiske processer. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diskret matematik og dens anvendelser. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Sandsynlighed og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, ph.d. 2000. Løste problemer i diskret matematik. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Ph.d. Problemer i teori og sandsynlighed. McGraw-HILL