Hvad er sandsynlighedsaksiomerne? Fuldstændig forklaring.

Indledning » Videnskab » matematisk » Statistik » Hvad er sandsynlighedsaksiomerne? Fuldstændig forklaring.

Spørgsmålet "hvad er sandsynlighedsaksiomerne?" virker simpelt, men svaret fører til en meget solid matematisk konstruktion., som begyndte at blive stringent organiseret i det 20. århundrede med Andrey Kolmogorovs arbejde. Disse aksiomer er grundlaget for stort set al moderne sandsynlighedsteori, fra studiet af hasardspil til komplekse statistiske modeller, der anvendes inden for datalogi, finans og ingeniørvidenskab.

Før Kolmogorov-formaliseringDengang blev sandsynlighed forstået på en mere intuitiv måde, knyttet til ideen om hyppighed eller tilfældighed.Og forskellige matematikere brugte forskellige fortolkninger. Når vi i dag taler om sandsynlighedsaksiomer, refererer vi til et minimumssæt af regler, som enhver sandsynlighedsfunktion skal overholde, så vi kan foretage sammenhængende beregninger, undgå modsigelser og konstruere stærke sætninger.

Grundlæggende intuition: tilfældige oplevelser og begivenheder

For at forstå sandsynlighedsaksiomerne er det første skridt at vide, hvad et tilfældigt eksperiment er, og hvad vi kalder en begivenhed.Et tilfældigt eksperiment er enhver procedure, hvis resultat ikke kan forudsiges med sikkerhed, selvom vi kender alle de mulige resultater; klassiske eksempler er at slå en mønt eller rulle med en terning.

Vi kalder udfaldsrummet, normalt betegnet med Ω, mængden af ​​alle mulige udfald af dette eksperiment.Hvis vi for eksempel kaster en mønt, kan stikprøverummet skrives som Ω = {H, T}, hvor H repræsenterer "krone" og T repræsenterer "haler". Hvert element i Ω kaldes et elementært udfald.

En begivenhed er enhver delmængde af Ω, som vi er interesserede i at observere.Hvis eksperimentet således er et møntkast, er mængden {H} hændelsen "krydset kommer op", mængden {T} er hændelsen "krydset kommer op", og Ω i sig selv er hændelsen "krydset eller krone kommer op", det vil sige en bestemt begivenhed.

Nogle begivenheder er særligt vigtige: den umulige begivenhed, den elementære begivenhed og den sikre begivenhed.Den tomme mængde ∅ repræsenterer den umulige begivenhed, da den ikke indeholder noget udfald; en mængde med et enkelt element {ω}, hvor ω er i Ω, repræsenterer en elementær begivenhed; og Ω i sig selv er den sikre begivenhed, den der altid indtræffer, når eksperimentet udføres.

Mængdelærerens sprog er meget nyttigt i studiet af sandsynlighed.Hvis A og B er begivenheder, repræsenterer A ∩ B den samtidige forekomst af A og B, A ∪ B repræsenterer forekomsten af ​​mindst en af ​​dem, og komplementet til A, ofte skrevet som ̄A eller Ω \ A, repræsenterer "ikke-forekomsten af ​​A". Denne notation og egenskaberne for mængder vil blive brugt direkte i formuleringen af ​​aksiomerne.

Fortolkninger af sandsynlighedsbegrebet

Selvom Kolmogorovs aksiomer danner det matematiske grundlag for sandsynlighed, kan selve ordet "sandsynlighed" fortolkes på forskellige måder.Historisk set er der opstået forskellige fortolkninger af, hvad det vil sige at tildele et tal P(A) til en begivenhed A.

I den klassiske fortolkning af Laplace, gyldig for endelige rum med ækviprobable udfald, er sandsynligheden for A forholdet mellem antallet af gunstige tilfælde og antallet af mulige tilfælde.Hvis stikprøverummet har n lige sandsynlige udfald (dvs. #Ω = n), og begivenhed A indeholder n_A af disse udfald (#A = n_A), så er sandsynligheden givet ved P(A) = n_A / n. Denne formel er ret intuitiv, når alle udfald har samme chance for at forekomme.

Allerede den frekventistiske fortolkning Den forbinder sandsynlighed med den relative hyppighed observeret i gentagelser af et eksperiment.Fra dette synspunkt gentager vi det tilfældige eksperiment n gange og tæller, hvor mange gange hændelse A forekommer, og kalder dette tal n_A; derefter ser vi på grænsen, efterhånden som n vokser, for brøken n_A / n. Sandsynligheden for A ville være P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), forudsat at denne grænse eksisterer.

Der er også den subjektive fortolkning, der er meget udbredt i Bayesiansk statistik, hvor sandsynlighed er forbundet med graden af ​​tro hos et rationelt subjekt.I denne tilgang kvantificerer P(A), hvor sikker en person er på forekomsten af ​​A, under hensyntagen til den tilgængelige viden. Det er ikke erfaring, der "bærer" sandsynligheden, men subjektet, der vurderer usikkerheden sammenhængende.

Trods disse forskellige fortolkninger kan de alle sameksistere inden for Kolmogorovs samme aksiomatiske ramme.Med andre ord, uanset om du foretrækker et klassisk, frekventistisk eller subjektivt synspunkt, vil sandsynligheden i sidste ende blive matematisk modelleret af en funktion P, der adlyder et lille sæt aksiomer om et hændelsesrum.

Formel konstruktion: sandsynlighedsrum og σ-algebraer

Kolmogorov beskrev sandsynlighed i form af en tredel (Ω, F, P), kaldet sandsynlighedsrummet.I denne tredobbelte funktion er Ω udfaldsrummet, F er mængden af ​​mulige hændelser (teknisk set en σ-algebra af delmængder af Ω), og P er sandsynlighedsfunktionen.

En σ-algebra F er en speciel samling af delmængder af Ω, der opfylder visse egenskaber.Generelt set skal F indeholde den tomme mængde, være lukket under komplement (hvis A er i F, så er dens komplement også i F) og være lukket under tællelige foreninger (hvis A₁, A₂, … er i F, så er foreningen af ​​dem alle også i F). Denne struktur sikrer, at vi kan arbejde med mængdeoperationer uden at forlade universet af begivenheder, der har en veldefineret sandsynlighed.

Formelt er F en σ-algebra over Ω, når: Den tomme mængde ∅ tilhører F; hvis A er i F, så tilhører komplementet til A i Ω også F; og hvis A₁, A₂, … er en (endelig eller tælleligt uendelig) sekvens af elementer i F, så er foreningen A₁ ∪ A₂ ∪ … også i F. I mange sammenhænge kaldes F også Borel-feltet eller σ-feltet.

Sandsynlighedsfunktionen P er defineret på F og tildeler hver hændelse E i F et ikke-negativt reelt tal.Vi siger så, at P(E) er i ℝ, og P(E) ≥ 0 for alle E i F. I generel målteori kan mål antage uendelige værdier, men i standard sandsynlighedsteori er P(E) altid endelig, hvilket medfører nogle forskelle i forhold til mere generelle mål.

Denne struktur (Ω, F, P) med P(Ω) = 1 kalder vi et sandsynlighedsrum.Betingelsen P(Ω) = 1 er essentiel, fordi den repræsenterer ideen om, at der, når eksperimentet udføres, helt sikkert forekommer et resultat i Ω; der er ingen "skjulte resultater" uden for stikprøverummet.

Kolmogorovs tre aksiomer

Kolmogorovs aksiomatiske teori er baseret på tre grundlæggende aksiomer, som enhver sandsynlighedsfunktion skal opfylde.De er enkle at formulere, men ekstremt kraftfulde, fordi stort set alle de sædvanlige sandsynlighedsegenskaber er afledt af dem.

Første aksiom — Ikke-negativitet: For enhver hændelse A, der tilhører σ-algebraen F, har vi P(A) ≥ 0. Det vil sige, at sandsynligheder aldrig er negative. I nogle mere eksotiske teorier tales der om "negative sandsynligheder", men disse ideer afviger fra Kolmogorovs klassiske ramme.

Andet aksiom — Normalisering: Sandsynligheden for, at en bestemt begivenhed indtræffer, er lig med 1, det vil sige, at P(Ω) = 1. Dette aksiom fastslår konventionen om, at 1 svarer til 100% sikkerhed, og 0 svarer til umulighed. I mere elementære versioner kan dette aksiom også forstås som, at summen af ​​sandsynlighederne for alle elementære udfald af Ω er lig med 1.

Tredje aksiom — σ-additivitet: Hvis A₁, A₂, … er en sekvens af parvise disjunkte (også kaldet gensidigt udelukkende) hændelser, så er P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Dette gælder for både en endelig og en tælleligt uendelig samling af hændelser. Denne tællelige additivitetsegenskab er den største forskel i forhold til ren endelig additivitet.

I enklere sammenhænge arbejder nogle forfattere kun med endelig additivitet., hvilket kræver at P(A ∪ B) = P(A) + P(B) for disjunkte hændelser A og B, og at dette strækker sig til et endeligt antal mængder. I dette tilfælde er det tilstrækkeligt at arbejde med en mængdealgebra, ikke nødvendigvis en σ-algebra, men standardtilgangen i moderne sandsynlighedsberegning er at kræve σ-additivitet.

Det er fra dette tredje aksiom, at flere vigtige konsekvenser opstår, såsom ligheder, uligheder og sandsynlighedslove.Han er også kernen i forbindelsen mellem sandsynlighedsteori og målteori, som studerer mål i mængder på en ret generel måde.

Egenskaber afledt af aksiomer

Baseret på Kolmogorovs tre aksiomer var vi i stand til at bevise flere grundlæggende og yderst nyttige egenskaber.Disse egenskaber antages ikke på forhånd: de er logiske konsekvenser af aksiomerne.

En af de første egenskaber er sandsynlighedens monotonicitet.Hvis A og B er begivenheder i F, og A er indeholdt i B (A ⊆ B), så er P(A) ≤ P(B). Ideen er intuitiv: hvis B omfatter alt, der kan ske i A, og måske mere, så kan B ikke have en lavere sandsynlighed end A.

En anden fundamental egenskab er, at sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.Fra et formelt synspunkt, ved hjælp af σ-additivitet, betragter vi en sekvens hvor E₁ = A, E₂ = B \ A og Eᵢ = ∅ for i ≥ 3, i et scenarie hvor A ⊆ B. Da Eᵢ er disjunkte, og deres forening er B, skal summen af ​​sandsynlighederne konvergere mod P(B). Hvis vi antager, at P(∅) = a > 0, så ville summen af ​​P(∅) uendeligt mange gange eksplodere til uendeligheden, hvilket er uforeneligt med endelig P(B). Derfor konkluderer vi, at P(∅) = 0.

Derfor kan vi angive uligheden 0 ≤ P(E) ≤ 1 for enhver hændelse E i F.Vi vidste allerede, at P(E) ≥ 0 fra det første aksiom. Når vi ved, at P(Ω) = 1, og bruger monotonicitet med E ⊆ Ω, følger det, at P(E) ≤ P(Ω) = 1. Således er enhver sandsynlighed altid mellem 0 og 1, inklusive.

En almindeligt anvendt identitet er den såkaldte additive lov for to vilkårlige hændelser.For begivenhederne A og B i F gælder det, at P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Denne formel korrigerer "dobbelttællingen" af den fælles begivenhed A ∩ B, som lægges to gange sammen, hvis vi summerer P(A) og P(B) uden justering.

En anden vigtig konsekvens er forholdet mellem en begivenhed og dens komplement.Hvis vi betegner komplementet til A med ̄A, så er P(̄A) = 1 − P(A). Denne lighed formidler ideen om, at "enten sker A, eller også sker A ikke", og der er ingen anden mulighed inden for Ω.

Ud fra dette bliver det også klart, at P(A) = 0 ikke nødvendigvis betyder, at A er den umulige begivenhed.Matematisk set er det muligt for en begivenhed at have nul sandsynlighed uden at være den tomme mængde (dette forekommer f.eks. i kontinuerlige rum), men på det mest elementære niveau er P(A) = 0 normalt forbundet med praktisk talt umulige begivenheder.

Praktisk eksempel: at kaste en mønt

Et klassisk og meget didaktisk eksempel på at visualisere Kolmogorovs aksiomer er møntkast.Lad os til at begynde med antage, at mønten kun kan lande på "kron" (H) eller "haler" (K), og at disse er de eneste mulige udfald.

Vi definerer derefter samplerummet som Ω = {H, T}De mulige begivenheder danner en σ-algebra F bestående af {∅, {H}, {T}, {H, T}}. I denne sammenhæng er den umulige begivenhed ∅, de elementære begivenheder er {H} og {T}, og den sikre begivenhed er {H, T}.

Fra Kolmogorovs aksiomer ved vi, at P(∅) = 0 og P(Ω) = 1Hvis vi antager, at mønten er fair, dvs. at den ikke favoriserer nogen af ​​siderne, så antyder symmetri, at P({H}) = P({T}). Da summen P({H}) + P({T}) skal være lig med 1, konkluderer vi, at begge er 1/2 værd.

Derfor er sandsynligheden for at få "kron eller krone" P({H, T}) = 1Sandsynligheden for at få "kryd" er P({H}) = 1/2, og sandsynligheden for at få "kryd" er P({T}) = 1/2. Summen af ​​sandsynlighederne for de elementære begivenheder udtømmer den samlede sandsynlighed for rummet.

Denne model, selvom den er enkel, illustrerer hvordan aksiomer opfører sig i praksis, og hvordan de forhindrer uoverensstemmelser i sandsynlighedsberegninger.Hvis vi ikke omhyggeligt definerer stikprøverummet, kan vi begå alvorlige fejl, fordi enhver begivenhed altid er en delmængde af Ω; hvis delmængden ikke passer ind i Ω, er dens sandsynlighed ikke engang defineret.

Sandsynlighed i endelige og tællelige rum

Når stikprøverummet er endeligt eller tælleligt, kan sandsynligheden beskrives på en meget konkret måde.Antag at Ω = {ω₁, ω₂, …} er et endeligt eller tælleligt sæt af mulige udfald.

Hvis A er en begivenhed, der indeholder nogle af disse resultater, såsom A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Derfor kan sandsynligheden for A ses som summen af ​​sandsynlighederne for de tilsvarende elementære begivenheder: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Dette er en direkte anvendelse af additivitet (eller σ-additivitet) på disjunkte mængder.

I det særlige tilfælde hvor stikprøverummet er endeligt, med #Ω = n, og alle udfald er ækvivalenteVi har P({ωᵢ}) = 1/n for hvert i. Hvis A indeholder k forskellige udfald i Ω, så er P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Dette er præcis den klassiske Laplace-formel genfortolket inden for den moderne aksiomatiske ramme.

Når udfaldsrummet er tælleligt uendeligt, skal summen af ​​sandsynlighederne for de elementære begivenheder stadig konvergere mod 1.Det vil sige, at Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Det er her, σ-additiviteten viser sin styrke, da den giver os mulighed for at håndtere ikke kun endelige summer, men også uendelige rækker af begivenheder.

Betinget sandsynlighed og aksiomers rolle.

Et centralt aspekt af teorien er at forstå, hvordan sandsynligheden ændrer sig, når vi ved, at en bestemt begivenhed allerede er indtruffet.Det er her, betinget sandsynlighed kommer ind i billedet, normalt skrevet som P(A | B), hvilket betyder "sandsynligheden for A givet, at B er forekommet".

Den grundlæggende formel for betinget sandsynlighed er P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), forudsat at P(B) > 0Denne definition er i overensstemmelse med Kolmogorovs aksiomer, og faktisk opfylder funktionen A ↦ P(A | B) for hvert B med P(B) > 0 igen de tre aksiomer, når vi begrænser begivenhedsrummet til B.

Det betyder, at P(· | B) i sig selv er en sandsynlighedsfunktion over det "nye" udfaldsrum B.Som følge heraf gælder alle de grundlæggende egenskaber for betingede sandsynligheder: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, betinget monotonicitet (hvis A₁ ⊆ A₂, så er P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) og formlen P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Definitionen af ​​betinget sandsynlighed giver også anledning til den vigtige sammenhæng P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), når P(A) > 0.Symmetrisk kan vi skrive P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), forudsat at P(B) > 0. Disse ligheder hjælper med at dekomponere fælles sandsynligheder og er grundlaget for flere resultater, såsom Bayes' sætning.

Det er interessant at bemærke, at "ubetinget" sandsynlighed kan ses som et særligt tilfælde af betinget sandsynlighed.Vi kan faktisk skrive P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), da P(Ω) = 1. Dette forstærker ideen om, at al sandsynlighed konceptuelt er betinget af en vis baggrundsinformation, selvom det kun er den viden, vi arbejder inden for Ω.

Uafhængighed af begivenheder

Et andet nøglebegreb, der er afhængig af aksiomer, er uafhængigheden mellem begivenheder.To begivenheder A og B er uafhængige, hvis den enes forekomst ikke ændrer sandsynligheden for den anden.

I formelt sprog er A og B uafhængige, når P(A ∩ B) = P(A) P(B)Med hensyn til betinget sandsynlighed indebærer dette, at hvis P(B) > 0, så er P(A | B) = P(A), og hvis P(A) > 0, så er P(B | A) = P(B). Det vil sige, at det at vide, at B forekom, ikke ændrer sandsynligheden for A, og omvendt.

Enhver begivenhed er uafhængig af den umulige begivenhed ∅ og den sikre begivenhed Ω.For den tomme mængde er P(A ∩ ∅) = 0 og P(∅) = 0, så relationen gælder trivielt. For den bestemte hændelse er P(A ∩ Ω) = P(A) og P(Ω) = 1, derfor er P(A ∩ Ω) = P(A) og P(Ω) = P(A).

Et almindeligt spørgsmål er, om to adskilte begivenheder kan være uafhængige.Generelt set, hvis A og B er disjunkte og begge har positiv sandsynlighed, så er P(A ∩ B) = 0, men P(A) P(B) > 0, hvilket overtræder definitionen af ​​uafhængighed. I mange tilfælde er to disjunkte begivenheder med en sandsynlighed, der ikke er nul, således ikke uafhængige, da forekomsten af ​​den ene udelukker muligheden for den anden.

Når man beskæftiger sig med mere end to begivenheder, opstår der flere forskellige opfattelser af uafhængighed.Vi kan have parvis uafhængighed, fælles uafhængighed og andre typer. I alle disse tilfælde forbliver udgangspunktet dog relationen P(A ∩ B) = P(A) P(B), baseret på Kolmogorovs aksiomer og definitionen af ​​betinget sandsynlighed.

Praktiske regler og klassiske sandsynlighedslove

Ud over deres formelle egenskaber tillader aksiomer formulering af mere operationelle love, som er nyttige i det daglige arbejde for dem, der udfører sandsynlighedsberegninger.En af dem er den såkaldte additionslov, allerede nævnt på formen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), som kan udvides til et større antal begivenheder gennem inklusions-eksklusionsprincippet.

En anden almindeligt anvendt regel er forholdet mellem en begivenhed og dens "ydre" del af en anden begivenhed.For A og B i F gælder følgende: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Dette er simpelthen en opdeling af A i to dele: den del, der forekommer sammen med B (A ∩ B), og den del, der forekommer uden B (A ∩ ̄B). Disse to dele er adskilte, og deres forening er A, hvilket fører til den tidligere lighed ved additivitet.

Loven om total sandsynlighed og Bayes' sætning, selvom de ikke er fuldt ud detaljerede her, er også direkte baseret på aksiomerne.Loven om total sandsynlighed kombinerer betingede sandsynligheder i en opdeling af stikprøverummet, mens Bayes' sætning "inverterer" betingede sætninger, hvilket gør det muligt at opdatere sandsynligheder baseret på nye beviser.

I mere didaktiske versioner er der også anført nogle let-at-huske "praktiske aksiomer".For eksempel: den maksimale sandsynlighed er 1 (100%); summen af ​​sandsynlighederne for alle elementer i stikprøverummet er lig med 1; og sandsynligheden for en hændelse X lagt til sandsynligheden for "ikke X" er altid 1. Disse udsagn er direkte afspejlinger af de formelle aksiomer.

Med dette sæt af love bliver det muligt at løse problemer lige fra simple hasardspil til sofistikerede modeller med mange variabler.Den store fordel er, at den logiske støtte bag alle formlerne og beregningstricksene forbliver den samme aksiomatiske stativ.

Kolmogorovs sandsynlighedsaksiomer giver et stringent, men fleksibelt grundlag for håndtering af usikkerhed.Baseret på tre enkle principper - ikke-negativitet, normalisering og σ-additivitet - er en hel og rig teori blevet konstrueret, der er i stand til at inkorporere klassiske, frekventistiske og subjektive fortolkninger, håndtere endelige eller uendelige rum, beskrive betingede sandsynligheder og uafhængighed og understøtte anvendelser inden for stort set alle videnskabelige og teknologiske områder.