Uafhængige begivenheder er begivenheder, der ikke påvirker hinanden, hvilket betyder, at forekomsten af én begivenhed ikke påvirker sandsynligheden for en anden. I denne sammenhæng er demonstrationer, eksempler og øvelser vigtige værktøjer til at forstå og korrekt anvende koncepterne relateret til uafhængige begivenheder. I denne artikel vil vi undersøge, hvordan man identificerer uafhængige begivenheder, præsentere praktiske eksempler for at illustrere deres anvendelse og foreslå øvelser for at teste og forbedre forståelsen af emnet. Vi vil uddybe vores forståelse af uafhængige begivenheder, og hvordan de kan analyseres og anvendes i forskellige situationer.
Eksempler på uafhængige begivenheder: forstå hvordan de fungerer og se praktiske cases.
Uafhængige begivenheder er begivenheder, der ikke har nogen indflydelse på hinanden, hvilket betyder, at forekomsten af én begivenhed ikke påvirker sandsynligheden for, at den anden indtræffer. For bedre at forstå, hvordan uafhængige begivenheder fungerer, lad os se på nogle praktiske eksempler.
Et simpelt eksempel på uafhængige begivenheder er kast med en lige terning. Hvis vi kaster en terning og får et 4, forbliver sandsynligheden for at få et lige tal på næste kast 1/2, da begivenhederne er uafhængige af hinanden.
Et andet almindeligt eksempel er at kaste en mønt. Hvis vi kaster en mønt, og den ender med krone, forbliver sandsynligheden for, at den ender med krone på det næste kast, 1/2, da begivenhederne er uafhængige.
Et praktisk eksempel på uafhængige begivenheder kan findes i et kortspil. Hvis vi trækker et kort fra et sæt, og det er en knægt, forbliver sandsynligheden for at trække en konge ved næste træk 1/13, da begivenhederne er uafhængige.
Det er vigtigt at vide, hvordan man identificerer disse begivenheder for at kunne udføre sandsynlighedsberegninger korrekt.
Identifikation af forholdet mellem begivenheder: afhængighed eller uafhængighed i probabilistiske situationer.
Når man beskæftiger sig med probabilistiske situationer, er det afgørende at identificere forholdet mellem begivenheder for at kunne analysere det korrekt. Der er to hovedtyper af forhold mellem begivenheder: afhængighed og uafhængighed.
Uafhængige begivenheder er dem, hvor forekomsten af én begivenhed ikke påvirker forekomsten af den anden. Med andre ord påvirkes sandsynligheden for, at én begivenhed indtræffer, ikke af, om den anden begivenhed indtræffer eller ikke indtræffer. For eksempel, når man slår en terning og derefter vender en mønt, er resultaterne uafhængige af hinanden.
For at demonstrere uafhængigheden mellem begivenheder kan vi bruge formlen: P(A og B) = P(A) * P(B), hvor P repræsenterer sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer. Med andre ord er sandsynligheden for, at begge begivenheder indtræffer, lig med produktet af sandsynlighederne for hver begivenhed individuelt.
Et simpelt eksempel på uafhængige begivenheder er kast med to terninger. Sandsynligheden for at slå en 4'er på den første terning er 1/6, og sandsynligheden for at slå en 3'er på den anden terning er også 1/6. Ved at gange disse sandsynligheder får vi 1/36, hvilket er sandsynligheden for at slå en 4'er på den første terning og en 3'er på den anden terning.
For at øve sig i at identificere og beregne uafhængige hændelser er det vigtigt at løse nogle øvelser. For eksempel at beregne sandsynligheden for at trække to kort fra et sæt, hvor begge er hjerter, eller sandsynligheden for tilfældigt at vælge to kugler fra en urne, hvor begge er røde.
Uafhængige begivenheder er dem, hvor forekomsten af den ene begivenhed ikke påvirker forekomsten af den anden, og sandsynligheden for, at begge begivenheder indtræffer, er produktet af de individuelle sandsynligheder.
Opdag hvordan man bestemmer sandsynligheden for to begivenheder, der er uafhængige af hinanden.
For at bestemme sandsynligheden for to begivenheder, der er uafhængige af hinanden, er det vigtigt at forstå begrebet uafhængige begivenheder. To begivenheder betragtes som uafhængige, når forekomsten af den ene ikke påvirker forekomsten af den anden.
For at beregne sandsynligheden for to uafhængige begivenheder skal du blot gange sandsynlighederne for hver enkelt begivenhed. Det vil sige, at hvis A og B er to uafhængige begivenheder, er sandsynligheden for, at begge indtræffer på samme tid, givet ved P(A og B) = P(A) * P(B).
Hvis sandsynligheden for, at det regner på en given dag for eksempel er 30 % (P(A) = 0.3), og sandsynligheden for, at nogen bruger en paraply samme dag, er 40 % (P(B) = 0.4), er sandsynligheden for, at det regner, og at nogen bruger en paraply på samme tid, 30 % * 40 % = 12 %.
For at øve os, lad os løse en øvelse. Hvis sandsynligheden for, at et fodboldhold vinder en kamp, er 60%, og sandsynligheden for regn på kampdagen er 20%, hvad er så sandsynligheden for, at holdet vinder kampen, og det regner på kampdagen? Ved at bruge formlen P(A og B) = P(A) * P(B) får vi, at svaret er 60% * 20% = 12%.
Dette er en simpel og effektiv måde at beregne sandsynligheden for uafhængige hændelser på.
Analyse af uafhængigheden af begivenheder i specifikke par.
At analysere uafhængigheden af begivenheder i specifikke par er en vigtig del af sandsynlighedsteorien. To begivenheder betragtes som uafhængige, når forekomsten af den ene ikke påvirker sandsynligheden for, at den anden indtræffer. For at demonstrere uafhængigheden af begivenheder i specifikke par kan vi bruge definitionen af betinget sandsynlighed.
Hvis to begivenheder A og B er uafhængige, er sandsynligheden for, at begge begivenheder indtræffer samtidig, lig med produktet af de individuelle sandsynligheder for hver begivenhed. Det vil sige, P(A og B) = P(A) * P(B).
Et klassisk eksempel på uafhængige begivenheder er møntkast og terningkast. Sandsynligheden for at få krone på mønten har ingen indflydelse på sandsynligheden for at få et specifikt tal på terningen.
For at øve os i at analysere uafhængigheden af begivenheder i specifikke par, kan vi løse nogle øvelser. For eksempel kan vi beregne sandsynligheden for at trække et es fra et sæt kort i to på hinanden følgende begivenheder uden at lægge kortene tilbage. Begivenhederne er uafhængige, fordi sandsynligheden for at trække et es i den anden begivenhed ikke påvirkes af at have trukket et es i den første begivenhed.
Det er vigtigt at vide, hvordan man identificerer uafhængige hændelser, for at kunne udføre nøjagtige beregninger og træffe informerede beslutninger i usikre situationer.
Uafhængige begivenheder: Demonstration, eksempler, øvelser
to begivenheder er uafhængige , når sandsynligheden for, at en af dem sker, ikke påvirkes af, om den anden indtræffer eller ej, i betragtning af at disse begivenheder indtræffer tilfældigt.
Denne omstændighed opstår, når den proces, der genererer udfaldet af begivenhed 1, ikke på nogen måde ændrer sandsynligheden for de mulige udfald af begivenhed 2. Men hvis dette ikke sker, siges begivenhederne at være afhængige.
En situation med uafhængige hændelser er som følger: Antag, at to sekssidede terninger, en blå og en lyserød, bliver kastet. Sandsynligheden for et 1-tal på den blå terning er uafhængig af sandsynligheden for et 1-tal – eller ej – på den lyserøde terning.
Et andet eksempel på to uafhængige begivenheder er at kaste en mønt to gange i træk. Udfaldet af det første kast afhænger ikke af udfaldet af det andet, og omvendt.
Lad os se på følgende eksempel på begivenheder uafhængig En pose med to hvide kugler og to sorte kugler. Sandsynligheden for at trække en hvid eller sort kugle er den samme i første forsøg.
Antag at resultatet var en hvid kugle. Hvis den udtrukne kugle lægges tilbage i posen, gentages den oprindelige situation: to hvide kugler og to sorte kugler.
I en anden begivenhed eller lodtrækning er chancerne for at trække en hvid eller sort kugle således identiske med dem første gang. De er derfor uafhængige begivenheder.
Men hvis den hvide kugle, der blev fjernet i den første begivenhed, ikke lægges tilbage, er der en større chance for, at den anden trækning trækker en sort kugle. Sandsynligheden for, at den anden trækning vender tilbage til hvid, er forskellig fra den første begivenheds og er betinget af det foregående resultat.
Demonstration af to uafhængige begivenheder
For at verificere om to begivenheder er uafhængige, definerer vi begrebet betinget sandsynlighed for én begivenhed i forhold til en anden. For at gøre dette skal vi skelne mellem eksklusive og inkluderende begivenheder:
To begivenheder er eksklusive, hvis de mulige værdier eller elementer i begivenhed A ikke har noget til fælles med værdierne eller elementerne i begivenhed B.
Derfor er skæringsmængden af A med B tom i to eksklusive hændelser:
Udelukkede hændelser: A∩B = Ø
Omvendt, hvis begivenheder er inklusive, kan det ske, at et udfald af begivenhed A også falder sammen med resultatet af en anden begivenhed B, hvor A og B er forskellige begivenheder. I dette tilfælde:
Inkluderende begivenheder: A∩B ≠ Ø
Dette fører os til at definere den betingede sandsynlighed for to inkluderende begivenheder, dvs. sandsynligheden for, at begivenhed A indtræffer, når begivenhed B indtræffer:
P(A¦B) = P(A∩B) / P(B)
Derfor er den betingede sandsynlighed sandsynligheden for, at både A og B forekommer, divideret med sandsynligheden for, at B forekommer. Du kan også definere sandsynligheden for, at B forekommer, betinget af A:
P(B¦A) = P(A∩B) / P(A)
Kriterier for at vide, om to begivenheder er uafhængige
Nedenfor vil vi præsentere tre kriterier for at afgøre, om to begivenheder er uafhængige. Det er tilstrækkeligt, at et af de tre er opfyldt for at begivenhedernes uafhængighed kan påvises.
1.- Hvis sandsynligheden for, at A indtræffer, når B indtræffer, er lig med sandsynligheden for, at A indtræffer, så er de uafhængige begivenheder:
P(A¦B) = P(A) => A er uafhængig af B
2.- Hvis sandsynligheden for forekomst B givet A er lig med sandsynligheden for B, så er der uafhængige hændelser:
P(B¦A) = P(B) => B er uafhængig af A
3.- Hvis sandsynligheden for, at A og B indtræffer, er lig med produktet af sandsynligheden for, at A indtræffer, og sandsynligheden for, at B indtræffer, så er disse uafhængige begivenheder. Det modsatte gælder også.
P(A∩B) = P(A) P(B) <=> A og B er uafhængige hændelser.
Eksempler på uafhængige begivenheder
Gummisåler produceret af to forskellige leverandører sammenlignes. Prøver fra hver producent underkastes adskillige tests for at afgøre, om de opfylder specifikationerne.
Den resulterende opsummering af de 252 prøver er som følger:
Producent 1; 160 opfylder specifikationerne; 8 opfylder ikke specifikationerne.
Producent 2; 80 opfylder specifikationerne; 4 opfylder ikke specifikationerne.
Hændelse A: "At prøven tilhører producent 1".
Hændelse B: "At prøven opfylder specifikationerne."
Vi vil gerne vide, om disse begivenheder A og B er uafhængige, hvilket vi anvender et af de tre kriterier nævnt i det foregående afsnit.
Kriterier: P(B¦A) = P(B) => B er uafhængig af A
P(B) = 240/252 = 0,9523
P(B¦A) = P(A ⋂ B) / P(A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Konklusion: Begivenhederne A og B er uafhængige.
Antag en hændelse C: "at prøven er fra producent 2"
Vil hændelse B være uafhængig af hændelse C?
Vi anvender et af kriterierne.
Kriterier: P(B¦C) = P(B) => B er uafhængig af C
P(B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P(B)
Derfor er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt gummisål opfylder specifikationerne, ifølge de tilgængelige data, uafhængig af producenten.
Øvelser
– Øvelse 1
I en æske placerer vi de 10 kugler fra figur 1, hvoraf 2 er grønne, 4 er blå og 4 er hvide. Der vil blive valgt to tilfældige kugler, én først og én senere. Du bliver bedt om at finde
sandsynligheden for, at ingen af dem er blå, under følgende betingelser:
a) Med substitution, det vil sige at returnere den første kugle til kassen før den anden udvælgelse. Angiv om disse er uafhængige eller afhængige hændelser.
b) Uden genplacering, således at den første kugle, der fjernes, er uden for feltet, når den anden udvælgelse foretages. Angiv ligeledes, om disse er afhængige eller uafhængige hændelser.
Løsning til
Vi beregner sandsynligheden for, at den første udtrukne marmorkugle ikke er blå, hvilket er 1 minus sandsynligheden for, at den er blå P(A), eller direkte at den ikke er blå, fordi den var grøn eller hvid:
P(A) = 4/10 = 2/5
P (ikke blå) = 1 – (2/5) = 3/5
Det gode:
P (grøn eller hvid) = 6/10 = 3/5.
Hvis den udtrukne marmorkugle returneres, vil alt være som før. I denne anden udtrækning er der også en 3/5 chance for, at den udtrukne marmorkugle ikke vil være blå.
P(ikke blå, ikke blå) = (3/5).(3/5) = 25/9.
Begivenhederne er uafhængige, da den udtrukne marmor blev returneret til kassen, og den første hændelse påvirker ikke sandsynligheden for, at den anden hændelse indtræffer.
Løsning b
For den første trækning, fortsæt som i det foregående afsnit. Sandsynligheden for, at den ikke er blå, er 3/5.
Til den anden udtrækning har vi 9 kugler i posen, da den første ikke kom tilbage, men den var ikke blå; derfor er der 9 kugler og 5 ikke-blå i posen:
P (grøn eller hvid) = 5/9.
P(ingen er blå) = P(den første er ikke blå). P(den anden er ikke blå / den første var ikke blå) = (3/5). (5/9) = 1/3
I dette tilfælde er de ikke uafhængige begivenheder, da den første begivenhed betinger den anden.
– Øvelse 2
En butik har 15 skjorter i tre størrelser: 3 små, 6 mellemstore og 6 store. 2 skjorter udvælges tilfældigt.
a) Hvad er sandsynligheden for, at begge valgte skjorter er små, hvis den ene fjernes først og uden at den anden sættes på igen i partiet?
b) Hvad er sandsynligheden for, at begge valgte skjorter er små, hvis den ene fjernes først, lægges tilbage i partiet, og den anden fjernes?
Løsning til
Her er to begivenheder:
Begivenhed A: Den første valgte skjorte er lille
Begivenhed B: Den anden valgte skjorte er lille
Sandsynligheden for hændelse A er: P(A) = 3/15
Sandsynligheden for hændelse B er: P(B) = 2/14, fordi én skjorte allerede er taget af (14 er tilbage), men hændelsen skal også indtræffe. Den første skjorte, der tages af, skal være lille, og der er 2 små tilbage.
Med andre ord er sandsynligheden for, at A og B er produktet af sandsynlighederne:
P(A og B) = P(B¦A) P(A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Derfor er sandsynligheden for, at begivenhed A og B indtræffer, lig med produktet af forekomsten af begivenhed A med sandsynligheden for, at begivenhed B indtræffer, hvis begivenhed A.
Bemærk at:
P (B¦A) = 2/14
Sandsynligheden for hændelse B, uanset om hændelse A indtræffer eller ej, vil være:
P(B) = (2/14) hvis den første er lille, eller P(B) = 3/14 hvis den første ikke er lille.
Generelt kan følgende konkluderes:
P(B¦A) er ikke lig med P(B) => B er ikke uafhængig af A
Løsning b
Igen er der to begivenheder:
Begivenhed A: Den første valgte skjorte er lille
Begivenhed B: Den anden valgte skjorte er lille
P(A) = 3/15
Husk at uanset resultatet, så sættes den skjorte, der er taget ud af partiet, på plads igen, og igen tages skjorten tilfældigt ud. Sandsynligheden for hændelse B, hvis hændelse A indtræffer, er:
P (B¦A) = 3/15
Sandsynligheden for begivenhederne A og B vil være:
P(A og B) = P(B¦A) P(A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Noter det:
P(B¦A) er lig med P(B) => B er uafhængig af A.
– Øvelse 3
Betragt to uafhængige begivenheder A og B. Det er kendt, at sandsynligheden for, at begivenhed A indtræffer, er 0,2, og sandsynligheden for, at begivenhed B indtræffer, er 0,3. Hvad vil sandsynligheden være for, at begge begivenheder indtræffer?
Løsning 2
Da man ved, at begivenhederne er uafhængige, er sandsynligheden for, at begge begivenheder indtræffer, produktet af de individuelle sandsynligheder. Det vil sige,
P(A∩B) = P(A) P(B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Bemærk at dette er en meget lavere sandsynlighed end sandsynligheden for, at hver begivenhed vil indtræffe uafhængigt af udfaldet af den anden. Eller med andre ord, meget lavere end de individuelle sandsynligheder.
Referencer
- Berenson, M. 1985. Statistik for administration og økonomi. Interamericana SA 126-127.
- Monterrey Institute. Sandsynlighed for uafhængige hændelser. Hentet fra: monterreyinstitute.org
- Uafhængige arrangementer for matematiklærere Hentet fra: youtube.com
- Superprof-begivenhedstyper, afhængige begivenheder. Hentet fra: superprof.es
- Virtuel tutor Sandsynlighed Hentet fra: vitutor.net
- Wikipedia Uafhængighed (sandsynlighed). Hentet fra: wikipedia.com