Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind mathematische Modelle, die das Auftreten von Ereignissen mit diskreten, endlichen Werten beschreiben. Diese Verteilungen zeichnen sich durch ihre Eigenschaften aus, beispielsweise dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich 1 ist und ein Parameter die Form der Verteilung bestimmt. In diesem Artikel untersuchen wir die Merkmale der gängigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie der Bernoulli-Verteilung, der Binomialverteilung, der Poisson-Verteilung und der geometrischen Verteilung, und stellen einige praktische Übungen zum besseren Verständnis dieser Konzepte vor.
Das Konzept der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung verstehen: eine einfache und klare Erklärung.
Um das Konzept einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, dass es sich um eine mathematische Funktion handelt, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Mit anderen Worten: Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ermöglicht es uns, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes Ergebnisses in einer endlichen oder aufzählbaren Menge von Möglichkeiten zu bestimmen.
Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gekennzeichnet, die jedem Ergebnis einen nicht-negativen Wert zuweist, wobei die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist. Darüber hinaus sind die möglichen Ergebnisse unterschiedlich und isoliert, ohne dass Zwischenwerte auftreten können.
Ein klassisches Beispiel für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Poisson-Verteilung, die häufig bei Zählvorgängen verwendet wird, beispielsweise zur Berechnung der Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum. Ein weiteres gängiges Beispiel ist die Binomialverteilung, die Experimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen, wie Erfolg oder Misserfolg, modelliert.
Um die Theorie diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen anwenden zu können, ist es notwendig, ihre spezifischen Eigenschaften und Merkmale zu verstehen sowie Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse interpretieren zu können. Praktische Übungen sind unerlässlich, um das Verständnis zu vertiefen und Fähigkeiten in diesem Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie zu entwickeln.
Erfahren Sie mehr über die wichtigsten diskreten Verteilungen, die in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet werden.
Erfahren Sie mehr über die wichtigsten diskreten Verteilungen, die in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet werden. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind wichtige Werkzeuge in der statistischen Analyse und ermöglichen die Modellierung und Vorhersage von Zufallsereignissen. Zu den wichtigsten diskreten Verteilungen zählen die Bernoulli-Verteilung, die Binomialverteilung, die geometrische Verteilung, die Poisson-Verteilung und die hypergeometrische Verteilung.
A Bernoulli-Verteilung wird verwendet, um Experimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen zu modellieren, beispielsweise Erfolg und Misserfolg. Binomialverteilung Es wird in Situationen angewendet, in denen es eine feste Anzahl unabhängiger Versuche gibt und jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat, beispielsweise Erfolg oder Misserfolg.
A geometrische Verteilung wird verwendet, um die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg in einer Reihe unabhängiger Experimente zu modellieren. Poisson-Verteilung wird verwendet, um das Auftreten seltener Ereignisse in einem bestimmten Zeit- oder Raumintervall zu modellieren.
Schließlich die hypergeometrische Verteilung Es wird zur Modellierung von Experimenten verwendet, bei denen eine Auswahl ohne Ersetzung von Elementen aus einer begrenzten Population erfolgt, wobei die Anzahl der Erfolge in einer bestimmten Stichprobe im Vordergrund steht.
Um diese diskreten Verteilungen und ihre Anwendung besser zu verstehen, ist es wichtig, Übungen durchzuführen. Das Lösen von Problemen mit diesen Verteilungen kann dazu beitragen, das Wissen zu festigen und die statistischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Fähigkeiten zu verbessern.
Daher ist es beim Studium der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung von entscheidender Bedeutung, die Eigenschaften und Anwendungen der wichtigsten diskreten Verteilungen zu kennen, beispielsweise der Bernoulli-Verteilung, der Binomialverteilung, der geometrischen Verteilung, der Poisson-Verteilung und der hypergeometrischen Verteilung.
Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Erfahren Sie mehr über die verschiedenen Formen statistischer Verteilungen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind mathematische Modelle, die das zufällige Verhalten eines Phänomens beschreiben. Es gibt verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit jeweils eigenen Merkmalen und Anwendungsgebieten. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die mit diskreten Variablen verknüpft sind – also mit Variablen, die bestimmte, zählbare Werte annehmen können.
Zu den gängigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gehören die Gleichverteilung, die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die geometrische Verteilung. Jede dieser Verteilungen hat ihre eigenen Eigenschaften und wird in unterschiedlichen statistischen Kontexten verwendet.
Die Gleichverteilung beispielsweise ist dadurch gekennzeichnet, dass allen möglichen Werten einer diskreten Variable die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird. Die Binomialverteilung dient dazu, die Anzahl der Erfolge in einer Folge unabhängiger Versuche mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit zu modellieren. Die Poisson-Verteilung wiederum dient dazu, die Anzahl seltener Ereignisse in einem Zeit- oder Raumintervall zu modellieren. Und die geometrische Verteilung dient dazu, die Anzahl der Versuche zu modellieren, die bis zum ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Versuche erforderlich sind.
Um die Funktionsweise dieser Verteilungen besser zu verstehen, ist es wichtig, mit Übungen zu üben. Beispielsweise können wir mithilfe der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei fünf Würfen einer fairen Münze genau dreimal Kopf zu erhalten. Oder wir können mithilfe der Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass in einem bestimmten Zeitintervall mindestens zwei Ereignisse eintreten.
Durch das Verständnis der Eigenschaften und Anwendungen dieser Verteilungen können Statistiker und Fachleute aus verwandten Wissenschaften fundiertere und genauere Entscheidungen auf der Grundlage probabilistischer Daten treffen.
Welche Variablen gelten in der Wahrscheinlichkeit als diskret?
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind diskrete Variablen solche, die eine endliche oder zählbare Anzahl von Werten annehmen können. Das bedeutet, dass diskrete Variablen zählbar sind und üblicherweise durch ganze Zahlen dargestellt werden. Beispiele für diskrete Variablen sind beispielsweise die Anzahl der Autos auf einem Parkplatz, die Anzahl der Schüler in einem Klassenzimmer oder die Anzahl der Seiten auf einem Würfel.
Diese Variablen unterscheiden sich von kontinuierlichen Variablen, die innerhalb eines bestimmten Bereichs unendlich viele Werte annehmen können. Während diskrete Variablen spezifische, diskrete Werte haben, können kontinuierliche Variablen innerhalb eines kontinuierlichen Bereichs beliebige Werte annehmen. Beispiele für kontinuierliche Variablen sind beispielsweise die Körpergröße einer Person, die Zeit, die zum Erledigen einer Aufgabe benötigt wird, und die Raumtemperatur.
Daher sind diskrete Variablen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung solche, die gezählt werden können und bestimmte, separate Werte annehmen können, im Gegensatz zu kontinuierlichen Variablen, die jeden beliebigen Wert innerhalb eines Bereichs annehmen können.
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Eigenschaften, Übungen
As diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind eine Funktion, die jedem Element von X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, wobei X eine gegebene diskrete Zufallsvariable und S der Stichprobenraum ist, die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass dieses Ereignis eintritt. Diese Funktion f von X(S), definiert als f(xi) = P(X = xi), wird manchmal als Massenwahrscheinlichkeitsfunktion bezeichnet.
Diese Wahrscheinlichkeitsmasse wird üblicherweise in Form einer Tabelle dargestellt. Da X eine diskrete Zufallsvariable ist, hat X(S) entweder eine endliche oder eine unendliche Anzahl von Ereignissen. Zu den gängigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gehören die Gleichverteilung, die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung.
Caracteristicas
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
Wenn X nur eine endliche Anzahl von Werten annimmt (z. B. x1, x2, …, xn), dann ist p(xi) = 0, wenn i > n und daher wird die unendliche Reihe der Bedingungen b zur endlichen Reihe
Diese Funktion erfüllt außerdem die folgenden Eigenschaften:
Sei B ein Ereignis, das mit der Zufallsvariable X verknüpft ist. Dies bedeutet, dass B in X(S) enthalten ist. Nehmen wir insbesondere an, dass B = {xi1, xi2,…} ist. Daher:
Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen mit B verbundenen Ergebnisse.
Daraus können wir schlussfolgern, dass, wenn die
Unsere
Gleichmäßige Verteilung an n Punkten
Eine Zufallsvariable X folgt einer Verteilung, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie an n Punkten gleichmäßig ist, wenn jedem Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen ist. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
Angenommen, wir haben ein Experiment mit zwei möglichen Ergebnissen: Es könnte sich um das Werfen einer Münze handeln, deren mögliche Ergebnisse Kopf oder Zahl sind, oder um die Wahl einer ganzen Zahl, deren Ergebnis eine ungerade oder gerade Zahl sein könnte. Diese Art von Experiment wird als Bernoulli-Test bezeichnet.
Im Allgemeinen werden die beiden möglichen Ergebnisse als Erfolg und Misserfolg bezeichnet, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit und 1-p die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist. Wir können die Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit der folgenden Verteilung bestimmen.
Binomialverteilung
Diese Funktion stellt die Wahrscheinlichkeit dar, x Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen zu erzielen, deren Erfolgswahrscheinlichkeit p ist. Ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion lautet:
Die folgende Grafik stellt die Wahrscheinlichkeitsfunktion für verschiedene Werte der Binomialverteilungsparameter dar.
Die folgende Verteilung verdankt ihren Namen dem französischen Mathematiker Simeon Poisson (1781–1840), der sie als Grenzwert der Binomialverteilung erhielt.
Poisson-Verteilung
Eine Zufallsvariable X hat eine Poisson-Verteilung des Parameters λ, wenn sie die positiven ganzzahligen Werte 0,1,2,3, … mit der folgenden Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
In diesem Ausdruck ist λ die durchschnittliche Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses pro Zeiteinheit und x die Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses.
Seine Massenwahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
Unten sehen Sie ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der Poisson-Verteilungsparameter darstellt.
Beachten Sie, dass wir diese Verteilungen immer approximieren können, solange die Anzahl der Erfolge gering und die Anzahl der an einer Binomialverteilung durchgeführten Tests hoch ist, da die Poisson-Verteilung der Grenzwert der Binomialverteilung ist.
Der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Verteilungen besteht darin, dass die Binomialverteilung von zwei Parametern – nep – abhängt, während die Poissonverteilung nur von λ abhängt, was manchmal als Intensität der Verteilung bezeichnet wird.
Bisher haben wir nur über Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Fälle gesprochen, in denen die verschiedenen Experimente unabhängig voneinander sind, d. h. wenn das Ergebnis des einen nicht durch das Ergebnis eines anderen beeinflusst wird.
Wenn Experimente nicht unabhängig sind, ist die hypergeometrische Verteilung sehr nützlich.
Hypergeometrische Verteilung
Sei N die Gesamtzahl der Objekte in einer endlichen Menge, von denen wir auf irgendeine Weise k identifizieren können, wodurch eine Teilmenge K entsteht, deren Komplement aus den verbleibenden Nk Elementen besteht.
Wenn wir n Objekte zufällig auswählen, weist die Zufallsvariable X, die die Anzahl der zu K gehörenden Objekte dieser Auswahl darstellt, eine hypergeometrische Verteilung der Parameter N, n und k auf. Ihre Massenwahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
Die folgende Grafik stellt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für verschiedene Werte der hypergeometrischen Verteilungsparameter dar.
Gelöste Übungen
Erste Übung
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Radioröhre (in einem bestimmten Gerät) länger als 500 Stunden funktioniert, beträgt 0,2. Wenn 20 Röhren getestet werden, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau k von ihnen länger als 500 Stunden funktionieren (k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX)?
Lösung
Wenn X die Anzahl der Röhren ist, die länger als 500 Stunden laufen, nehmen wir an, dass X eine Binomialverteilung hat. Dann
Und so:
Für k≥11 sind die Chancen kleiner als 0,001
So können wir beobachten, wie die Wahrscheinlichkeit, dass k dieser Personen mehr als 500 Stunden arbeiten, zunimmt, bis sie ihren Maximalwert erreicht (bei k = 4) und dann zu sinken beginnt.
2. Übung
Eine Münze wird sechsmal geworfen. Wenn das Ergebnis Kopf ist, sprechen wir von einem Erfolg. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Kopf-Fälle?
Lösung
In diesem Fall haben wir n = 6 und die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeit ist p = q = 1/2
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Gesichter gegeben sind (d. h. k = 2),
Dritte Übung
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens vier Gesichter zu finden?
Lösung
Für diesen Fall gilt k = 4, 5 oder 6
Dritte Übung
Angenommen, 2 % der in einer Fabrik hergestellten Artikel sind fehlerhaft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P, dass in einer Stichprobe von 100 Artikeln drei fehlerhafte Artikel enthalten sind.
Lösung
Für diesen Fall können wir die Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,02 anwenden und erhalten als Ergebnis:
Da p jedoch klein ist, verwenden wir die Poisson-Näherung mit λ = np = 2. Somit
Referenzen
- Kai Lai Chung: Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie mit stochastischen Prozessen. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Wahrscheinlichkeit und statistische Anwendungen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Gelöste Probleme in der diskreten Mathematik. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Ph.D. Probleme in Theorie und Wahrscheinlichkeit. McGraw-HILL