Το Θεώρημα του Μπολζάνο, γνωστό και ως Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής, είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης που καθορίζει τις συνθήκες για την ύπαρξη μιας ρίζας μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα. Σε αυτό το άρθρο, θα εξερευνήσουμε μια λεπτομερή εξήγηση του θεωρήματος, τις εφαρμογές του σε διάφορους τομείς των μαθηματικών και θα παρουσιάσουμε μερικές ασκήσεις που θα βοηθήσουν στην κατανόηση και τη μνήμη. Ας βυθιστούμε στον συναρπαστικό κόσμο του Θεωρήματος του Μπολζάνο και ας ανακαλύψουμε τις ιδιότητες και τις χρήσεις του!
Λυμένες ασκήσεις του Θεωρήματος Μπολζάνο σε έως και 15 βήματα.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα το Θεώρημα του Μπολζάνο, ας λύσουμε μερικές πρακτικές ασκήσεις που δείχνουν την εφαρμογή του σε μαθηματικά προβλήματα. Παρακάτω, παρουσιάζουμε ένα παράδειγμα βήμα προς βήμα:
Βήμα 1: Θεωρήστε τη συνάρτηση f(x) = x^3 – 2x – 5.
Βήμα 2: Επιλέξτε δύο τιμές για τα x, a και b, έτσι ώστε τα f(a) και f(b) να έχουν αντίθετα πρόσημα.
Βήμα 3: Υπολογίστε τα f(a) και f(b) για να δείτε αν έχουν αντίθετα πρόσημα.
Βήμα 4: Διαιρέστε το διάστημα [a, b] στο μισό, βρίσκοντας το μέσο σημείο c = (a + b) / 2.
Βήμα 5: Υπολογίστε την f(c) για να προσδιορίσετε σε ποιο υποδιάστημα [a, c] ή [c, b] βρίσκεται η ρίζα της εξίσωσης.
Βήμα 6: Αντικαταστήστε το διάστημα [a, b] με το υποδιάστημα όπου βρίσκεται η ρίζα.
Βήμα 7: Επαναλάβετε τα βήματα 4, 5 και 6 μέχρι να βρείτε μια κατά προσέγγιση ρίζα με την επιθυμητή ακρίβεια.
Βήμα 8: Ελέγξτε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [a, b] για να βεβαιωθείτε για την εφαρμογή του Θεωρήματος του Μπολζάνο.
Βήμα 9: Ελέγξτε αν η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο στο διάστημα [a, b], κάτι που αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ρίζας.
Βήμα 10: Εάν η συνάρτηση πληροί τις συνθήκες του Θεωρήματος του Μπολζάνο, συνεχίστε τη διαδικασία υποδιαίρεσης του διαστήματος μέχρι να βρείτε τη ρίζα.
Βήμα 11: Εάν η συνάρτηση δεν πληροί τις συνθήκες του θεωρήματος, ελέγξτε τους υπολογισμούς και την επιλογή των διαστημάτων.
Βήμα 12: Εφαρμόστε το Θεώρημα του Μπολζάνο για να βεβαιωθείτε ότι η ρίζα που βρέθηκε είναι σωστή.
Βήμα 13: Ελέγξτε αν η ρίζα που προκύπτει ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος που παρουσιάζεται.
Βήμα 14: Επαναλάβετε τους υπολογισμούς εάν είναι απαραίτητο για να βεβαιωθείτε για την ακρίβεια της λύσης που βρέθηκε.
Βήμα 15: Ολοκληρώστε την άσκηση λύνοντας επιπλέον ερωτήσεις για να βελτιώσετε την κατανόησή σας για το Θεωρήμα του Μπολζάνο.
Λυμένες ασκήσεις σε PDF για το Θεώρημα του Μπολζάνο σε 15 βήματα.
Αν ψάχνετε για λυμένες ασκήσεις σε μορφή PDF σχετικά με το Θεώρημα του Μπολζάνο, έχετε έρθει στο σωστό μέρος! Σε αυτό το άρθρο, θα παρέχουμε μια λεπτομερή εξήγηση του Θεωρήματος του Μπολζάνο και των εφαρμογών του και στη συνέχεια θα λύσουμε μερικές ασκήσεις σε 15 βήματα.
Το Θεώρημα του Μπολζάνο, γνωστό και ως Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής, δηλώνει ότι αν μια συνάρτηση συνεχής (f(x)) ορίζεται σε ένα κλειστό διάστημα ([a, b]) και υποθέτει τιμές αντίθετων προσήμων στα (a) και (b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο (c) στο ([a, b]) τέτοιο ώστε (f(c) = 0).
Αυτό το σημαντικό θεώρημα χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών και έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές. Τώρα, ας λύσουμε μερικές ασκήσεις για να εδραιώσουμε την κατανόησή σας. Ακολουθήστε τα 15 παρακάτω βήματα για να λύσετε τις ασκήσεις σε PDF:
- Αρχικά, προσδιορίστε το δεδομένο κλειστό διάστημα.
- Ελέγξτε αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε αυτό το διάστημα.
- Αναλύστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
- Ελέγξτε αν οι τιμές της συνάρτησης στα άκρα έχουν αντίθετο πρόσημα.
- Εάν οι τιμές έχουν αντίθετο πρόσημα, εφαρμόστε το Θεώρημα του Μπολζάνο.
- Βρείτε το μέσο σημείο του διαστήματος.
- Υπολογίστε τη συνάρτηση σε αυτό το μέσο σημείο.
- Ελέγξτε αν η τιμή που βρέθηκε είναι θετική, αρνητική ή μηδέν.
- Μειώστε το εύρος ανάλογα με την τιμή που βρέθηκε.
- Επαναλάβετε τη διαδικασία στα νέα διαστήματα που σχηματίζονται.
- Συνεχίστε να μειώνετε τα διαστήματα μέχρι να βρείτε το σημείο όπου η συνάρτηση μηδενίζεται.
- Ελέγξτε αν το σημείο που βρέθηκε βρίσκεται εντός του δεδομένου εύρους.
- Ελέγξτε αν η λειτουργία ακυρώνεται σε αυτό το σημείο.
- Συγχαρητήρια, βρήκατε το σημείο όπου η συνάρτηση ακυρώνεται!
- Επανεξετάστε τα βήματα και εξασκηθείτε σε περισσότερες ασκήσεις για να βελτιώσετε την κατανόησή σας.
Ελπίζουμε ότι αυτές οι λυμένες ασκήσεις σε μορφή PDF σχετικά με το Θεώρημα του Μπολζάνο σας φάνηκαν χρήσιμες. Συνεχίστε να εξασκείστε και να εξερευνάτε τις εφαρμογές αυτού του σημαντικού θεωρήματος σε διάφορα μαθηματικά πλαίσια. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μη διστάσετε να αναζητήσετε περισσότερες πληροφορίες και διευκρινίσεις. Καλή τύχη στις σπουδές σας!
Θεώρημα Μπολζάνο: εγγύηση της ύπαρξης ριζών σε περιορισμένα και συνεχή διαστήματα.
Το Θεώρημα του Μπολζάνο, γνωστό και ως Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής, είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης που εγγυάται την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα φραγμένο διάστημα. Αυτό το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Μπέρναρντ Μπολζάνο τον 19ο αιώνα.
Με απλά λόγια, το Θεώρημα του Μπολζάνο δηλώνει ότι αν μια συνάρτηση συνεχής (f(x)) έχει τιμές αντίθετων προσήμων σε δύο σημεία (a) και (b) ενός κλειστού διαστήματος ([a, b]), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο (c) στο ανοιχτό διάστημα ((a, b)) όπου η συνάρτηση μηδενίζεται, δηλαδή, (f(c) = 0).
Αυτό το αποτέλεσμα είναι εξαιρετικά σημαντικό στη μαθηματική ανάλυση, καθώς παρέχει εγγύηση για την ύπαρξη ριζών συνεχών συναρτήσεων σε περιορισμένα διαστήματα. Το Θεώρημα του Μπολζάνο χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς των μαθηματικών, όπως ο λογισμός, η άλγεβρα και η αριθμητική ανάλυση.
Για να εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Μπολζάνο, πρέπει να επαληθεύσουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο δεδομένο διάστημα και ότι οι τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος έχουν αντίθετα πρόσημα. Εάν πληρούνται αυτές οι συνθήκες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα.
Για να δείξουμε την εφαρμογή του Θεωρήματος του Μπολζάνο, ας λύσουμε μια απλή άσκηση: να προσδιορίσουμε αν η συνάρτηση (f(x) = x^2 – 4) έχει ρίζες στο διάστημα ([1, 3]). Αρχικά, επαληθεύουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος: (f(1) = -3) και (f(3) = 5), οι οποίες έχουν αντίθετα πρόσημα. Επομένως, από το Θεώρημα του Μπολζάνο, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση (f(x) = x^2 – 4) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ([1, 3]).
Εν ολίγοις, το Θεώρημα του Μπολζάνο είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο στη μαθηματική ανάλυση που εγγυάται την ύπαρξη ριζών συνεχών συναρτήσεων σε περιορισμένα διαστήματα. Η εφαρμογή του είναι ευρεία και απαραίτητη για τη μελέτη διαφόρων πεδίων των μαθηματικών.
Θεώρημα Μπολζάνο εφαρμοσμένο σε πολυώνυμα: εγγύηση τουλάχιστον μίας πραγματικής ρίζας.
Το Θεώρημα του Μπολζάνο είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης που εγγυάται την ύπαρξη τουλάχιστον μίας πραγματικής ρίζας ενός πολυωνύμου σε ένα κλειστό διάστημα, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αλλαγή στο πρόσημο μεταξύ των άκρων αυτού του διαστήματος. Αυτό το θεώρημα χρησιμοποιείται ευρέως για την εύρεση ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων και είναι θεμελιώδες για την ανάλυση συνεχών συναρτήσεων.
Για να εφαρμόσετε το Θεώρημα του Μπολζάνο σε ένα πολυώνυμο, απλώς ελέγξτε για αλλαγή πρόσημου μεταξύ των τιμών του πολυωνύμου στα άκρα ενός κλειστού διαστήματος. Εάν υπάρχει τέτοια αλλαγή, τότε μπορούμε να εγγυηθούμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα σε αυτό το διάστημα. Αυτό είναι εξαιρετικά χρήσιμο για τον προσδιορισμό του σημείου μηδενισμού μιας πολυωνυμικής συνάρτησης και για την εύρεση λύσεων σε πολυωνυμικές εξισώσεις.
Επιπλέον, το Θεώρημα του Μπολζάνο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η ύπαρξη μεγίστων και ελάχιστων σημείων μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα. Επομένως, η εφαρμογή του υπερβαίνει την αναζήτηση ριζών πολυωνύμων, καθιστώντας το ένα θεμελιώδες εργαλείο στη μαθηματική ανάλυση.
Εν ολίγοις, το Θεώρημα του Μπολζάνο είναι ένα ισχυρό μαθηματικό εργαλείο που εγγυάται την ύπαρξη τουλάχιστον μίας πραγματικής ρίζας ενός πολυωνύμου σε ένα κλειστό διάστημα, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αλλαγή πρόσημου μεταξύ των άκρων αυτού του διαστήματος. Η εφαρμογή του είναι θεμελιώδης για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων και την ανάλυση συνεχών συναρτήσεων.
Θεώρημα Μπολζάνο: Εξήγηση, Εφαρμογές και Ασκήσεις
O Θεώρημα Μπολζάνο δηλώνει ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σημείο ενός κλειστού διαστήματος [a, b] και έχει την εικόνα "a", "b" (κάτω συνάρτηση) και έχει αντίθετα πρόσημα, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο "c" στο ανοιχτό διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε η συνάρτηση που αξιολογείται στο "c" να είναι ίση με 0.
Αυτό το θεώρημα διατυπώθηκε από τον φιλόσοφο, θεολόγο και μαθηματικό Μπέρναρντ Μπολζάνο το 1850. Αυτός ο επιστήμονας, γεννημένος στη σημερινή Τσεχική Δημοκρατία, ήταν ένας από τους πρώτους μαθηματικούς στην ιστορία που έδωσε μια επίσημη επίδειξη των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων.
Εξήγηση
Το θεώρημα του Μπολζάνο είναι επίσης γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, το οποίο βοηθά στον προσδιορισμό συγκεκριμένων τιμών, ιδιαίτερα μηδενικών, ορισμένων πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής.
Σε μια δεδομένη συνάρτηση, η f(x) συνεχίζει – δηλαδή, ότι η f(a) και η f(b) συνδέονται με μια καμπύλη – όπου η f(a) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x (είναι αρνητική) και η f(b) βρίσκεται πάνω από τον άξονα x (είναι θετική), ή αντίστροφα, γραφικά, θα υπάρχει ένα σημείο τομής στον άξονα x που θα αντιπροσωπεύει μια ενδιάμεση τιμή «c», η οποία θα βρίσκεται μεταξύ «a» και «b» και η τιμή της f(c) θα είναι ίση με 0.
Αναλύοντας γραφικά το θεώρημα του Μπολζάνο, μπορεί κανείς να γνωρίζει ότι για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [a, b], όπου f(a) * Αν το f(b) είναι μικρότερο από 0, θα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα «c» αυτής της συνάρτησης εντός του διαστήματος (a, b).
Αυτό το θεώρημα δεν καθορίζει τον αριθμό των σημείων σε αυτό το ανοιχτό διάστημα, απλώς δηλώνει ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 σημείο.
Επίδειξη
Για να αποδείξουμε το θεώρημα του Μπολζάνο, υποθέτουμε χωρίς να θίγεται η γενικότητα ότι f(a) < 0 και f(b) > 0. Με αυτόν τον τρόπο, μπορεί να υπάρχουν πολλές τιμές μεταξύ "a" και "b" για τις οποίες f(x) = 0, αλλά χρειάζεται να αποδείξουμε μόνο ότι υπάρχει μία.
Ξεκινάτε υπολογίζοντας την f στο μέσο σημείο (a + b) / 2. Αν f((a + b) / 2) = 0, τότε ο έλεγχος τελειώνει εδώ. Διαφορετικά, τότε η f((a + b) / 2) είναι είτε θετική είτε αρνητική.
Ένα από τα μισά του διαστήματος [a, b] επιλέγεται έτσι ώστε τα πρόσημα της συνάρτησης που αξιολογείται στα άκρα να είναι διαφορετικά. Αυτό το νέο διάστημα θα είναι [a1, b1].
Τώρα, αν η f που υπολογίζεται στο μέσο του [a1, b1] δεν είναι μηδέν, εκτελείται η ίδια λειτουργία όπως πριν. δηλαδή, το μισό αυτού του διαστήματος επιλέγεται και ικανοποιεί τη συνθήκη πρόσημου. Έστω αυτό το νέο διάστημα [a2, b2].
Αν αυτή η διαδικασία συνεχιστεί, θα υπάρχουν δύο ακολουθίες {an} και {bn}, όπως:
Το {an} αυξάνεται και το {bn} μειώνεται:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤… ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ β.
Αν υπολογίσετε τη διάρκεια κάθε διαστήματος [ai, bi], θα έχετε:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
...
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Επομένως, το όριο καθώς το n τείνει στο άπειρο του (bn-an) είναι ίσο με 0.
Η χρήση του {an} είναι αυξανόμενη και οριοθετική και του {bn} φθίνουσα και οριοθετική, πρέπει να υπάρχει μια τιμή "c" τέτοια ώστε:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ δις ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ β.
Το όριο του a είναι "c" και το όριο του {bn} είναι επίσης "c". Επομένως, δεδομένου οποιουδήποτε δ > 0, υπάρχει πάντα ένα "n" τέτοιο ώστε το διάστημα [an, bn] να περιέχεται στο διάστημα (c-δ, c + δ).
Τώρα πρέπει να αποδειχθεί ότι f(c) = 0.
Αν f(c) > 0, τότε επειδή η f είναι συνεχής, υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε η f να είναι θετική στο διάστημα (c – ε, c + ε). Ωστόσο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, υπάρχει μια τιμή «n» τέτοια ώστε η f να αλλάζει πρόσημο στο [an, bn], και επιπλέον, το [an, bn] περιέχεται στο (c – ε, c + ε), το οποίο αποτελεί αντίφαση.
Αν f(c) < 0, τότε επειδή η f είναι συνεχής, υπάρχει ένα ε > 0 τέτοιο ώστε η f να είναι αρνητική στο διάστημα (c – ε, c + ε). Υπάρχει όμως μια τιμή "n" τέτοια ώστε η f να αλλάζει την είσοδο [an, bn]. Αποδεικνύεται ότι το [an, bn] περιέχεται στο (c – ε, c + ε), το οποίο αποτελεί επίσης αντίφαση.
Επομένως, f(c) = 0 και αυτό θέλαμε να δείξουμε.
Σε τι χρησιμεύει;
Από τη γραφική του ερμηνεία, το θεώρημα του Μπολζάνο χρησιμοποιείται για την εύρεση ριζών ή μηδενικών σε μια συνεχή συνάρτηση, μέσω της διχοτόμησης (προσέγγιση), η οποία είναι μια μέθοδος σταδιακής αναζήτησης που διαιρεί πάντα τα διαστήματα σε 2.
Στη συνέχεια, λαμβάνεται ένα διάστημα [a, c] ή [c, b] όπου συμβαίνει η αλλαγή πρόσημου και η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι το διάστημα να γίνεται όλο και μικρότερο, προκειμένου να πλησιάσει την επιθυμητή τιμή, δηλαδή, στην τιμή 0 που εκτελεί η συνάρτηση.
Συνοπτικά, για να εφαρμοστεί το θεώρημα του Μπολζάνο και έτσι να βρεθούν οι ρίζες, να περιοριστούν τα μηδενικά μιας συνάρτησης ή να λυθεί μια εξίσωση, εκτελούνται τα ακόλουθα βήματα:
– Ελέγχει αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [a, b].
– Εάν το εύρος δεν δίνεται, πρέπει να βρεθεί πού η συνάρτηση είναι συνεχής.
– Ελέγξτε αν τα ακρότατα του διαστήματος έχουν αντίθετα πρόσημα όταν αξιολογούνται στο f.
– Εάν δεν ληφθούν αντίθετα πρόσημα, το διάστημα θα πρέπει να διαιρεθεί σε δύο υποδιαστήματα χρησιμοποιώντας το μέσο σημείο.
– Αξιολογήστε τη συνάρτηση στο μέσο και ελέγξτε αν πληρούται η υπόθεση του Bolzano, όπου f(a) * f(β) <0.
– Ανάλογα με το πρόσημο (θετικό ή αρνητικό) της τιμής που βρέθηκε, η διαδικασία επαναλαμβάνεται με ένα νέο υποδιάστημα μέχρι να εκπληρωθεί η προαναφερθείσα υπόθεση.
Λυμένες ασκήσεις
Άσκηση 1
Προσδιορίστε εάν η συνάρτηση f(x) = x 2 – Το 2 έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση στο διάστημα [1,2].
Λύση
Έχετε τη συνάρτηση f(x) = x 2 – 2. Εφόσον είναι πολυωνυμικό, σημαίνει ότι είναι συνεχές σε οποιοδήποτε διάστημα.
Σας ζητείται να προσδιορίσετε αν έχετε μια πραγματική λύση στο διάστημα [1, 2], οπότε τώρα απλώς πρέπει να αντικαταστήσετε τα άκρα του διαστήματος στη συνάρτηση για να μάθετε το πρόσημο αυτών και να μάθετε αν πληρούν την προϋπόθεση ότι είναι διαφορετικά:
f (x) = x 2 - 2
f(1) = 1 2 – 2 = -1 (αρνητικό)
f(2) = 2 2 – 2 = 2 (θετικό)
Επομένως, πρόσημο f(1) ≠ πρόσημο f(2).
Αυτό διασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο «c» που ανήκει στο διάστημα [1,2], στο οποίο f(c) = 0.
Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή του "c" μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως εξής:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Έτσι, √2 ≈ 1,4 ανήκει στο διάστημα [1,2] και πληροί την προϋπόθεση ότι f(√2) = 0.
Άσκηση 2
Αποδείξτε ότι η εξίσωση x 5 + x + 1 = 0 έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση.
Λύση
Καταρχάς, σημειώστε ότι f(x) = x 5 + x + 1 είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, που σημαίνει ότι είναι συνεχής σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
Σε αυτήν την περίπτωση, δεν δίνεται εύρος, επομένως διαισθητικά, θα πρέπει να επιλεγούν τιμές κατά προτίμηση κοντά στο 0 για την αξιολόγηση της συνάρτησης και την εύρεση των αλλαγών σήματος:
Εάν χρησιμοποιείται το εύρος [0, 1], θα πρέπει:
f (x) = x 5 + χ + 1.
f(0) = 0 5 + 0 + 1 = 1 > 0.
f(1) = 1 5 + 1 + 1 = 3 > 0.
Δεδομένου ότι δεν υπάρχει καμία αλλαγή στο σήμα, η διαδικασία επαναλαμβάνεται με ένα ακόμη διάστημα.
Εάν χρησιμοποιείται το εύρος [-1, 0], θα πρέπει:
f (x) = x 5 + χ + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f(0) = 0 5 + 0 + 1 = 1 > 0.
Σε αυτό το διάστημα, υπάρχει μια αλλαγή πρόσημου: πρόσημο της f(-1) ≠ πρόσημο της f(0), που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = x 5 + x + 1 έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα «c» στο διάστημα [-1, 0], έτσι ώστε f(c) = 0. Με άλλα λόγια, ισχύει ότι x 5 + x + 1 = 0 έχει πραγματική λύση στο διάστημα [-1,0].
Αναφορές
- Bronshtein I, SK (1988). Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές. . Εκδοτική έκδοση MIR.
- George, A. (1994). Μαθηματικά και Νους. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Μαθηματική Ανάλυση Σε τρεις τόμους.
- Jesús Gómez, F.G. (2003). Καθηγητές Λυκείου. Τόμος II MAD
- Mateos, ML (2013). Βασικές ιδιότητες της ανάλυσης στο R. Editores, 20 Δεκεμβρίου.
- Piskunov, N. (1980). Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός.
- Sydsaeter K, HP (2005). Μαθηματικά για Οικονομική Ανάλυση. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (χ.η.). Συνεχής Συμμετρία: Από τον Ευκλείδη στον Κλάιν. Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία.