Tipos de relaciones matemáticas debidas a la variabilidad: teoría, pruebas y aplicaciones

Inicio » Otros » Tipos de relaciones matemáticas debidas a la variabilidad: teoría, pruebas y aplicaciones

Capire che tipo de legam c'è tra due variabili Es uno de ellos que domina con mayor frecuencia en aplicaciones estadísticas, datos de los datos y pruebas experimentales y cuantitativo. La otra forma de relación es lineal y siempre parte del cogliere, la otra forma de regreso es monótona pero no lineal, oppure coinvolge category y non numeri, el ancla depende de una tercera variabile que confonde le acque: insomma, non è una passeggiata.

En esta guía práctica y teórica en italiano lo abordamos de manera orgánica. Consejo principal de las relaciones matemáticas debido a la variabilidad., cómo diagnosticar visualmente y con una prueba formal, coeficientes cualitativos utilizados (Pearson, Spearman, Kendall), cómo cambiar con variabili variables categóricas (chi-quadro di indipendenza, test esatto di Fisher, V di Cramér, coeficiente de contingencia, phi), cómo medir el acuerdo Trabajar con Kappa y cómo gestionarlo variabili di confundimento Procesar la correlación parcial. Además, mejoraremos la Finestra Sur.álgebra delle relazioni (en sentido insiemista y computacional), essenziale per formalizzare concetti come domain, composición, inversa y funzioni.

Lo que entendemos por “relazione” debido a la variabilidad

En lenguaje matemático, una relación entre A y B es un resumen del producto cartesiano A×B: ogni coppia ordinata (a, b) appartenente a R indica que el elemento a di A está “en relación” con el elemento b di B. In termini applicati, una relación que es determinista (función) oppure probabilistica (associazione stochastica): en el primer caso ad ogni a corresponde esattamente una b, en el segundo osserviamo una propensión (più o menos fuerte) y non un legam uno-a-uno.

Todo 'álgebra interna de relaciones' (en sentido siemístico) es una propiedad interesante. riflessività (ogni a è en relación consigo mismo), simetría ((a, b) implica (b, a)), antisimetría (si (a, b) y (b, a) entonces a = b) y transitividad (de (a, b) y (b, c) se sigue (a, c)). Este crucial propietario de la propiedad: Si una relación es simétrica, simétrica y transitiva. se convierte en uno relación de equivalencia che “partiziona” A in classi di elementi equivalentei. Si invece es riflesivo, antisimétrico y transitivo, abbiamo una relación de orden.

En este análisis, traducimos esta idea a la práctica: evaluamos el tipo de variabilidad (continuación cuantitativa, ordinali, nominali/dicotomiche) y allí rango en esta estadística y scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, sabiendo que “relazione” no siempre significa “causa-efecto”.

Ispezione visual: comer patrón y dirección riconoscere

Prima di buttarsi nei numeri, onu diagrama de dispersión Es el peso de lo más inteligente. Una nube que recorre toda una línea recta sugiere... relación lineal (positiva o negativa); estructurar la curva indicativa relaciones no lineales (ma magari monótono). Si no se introduce un patrón, la relación lineal puede destruir el asentimiento.

Con poca variabilidad, hago pannelli di scatter plot (y por ejemplo en R con pares(datos)) y una línea que tiende a suavizarse (geom_smooth en ggplot2) para que puedas notarlo asociaciones, clústeres y valores atípicos. Precaución: valor atípico de gli Podeno influenzae moltissimo i coeficientes, especie Pearson.

Por ejemplo en R si può iniziare così: pares(datos)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Una primera evaluación visual, correcta hasta el número, Ir al scegliere il test giusto basado en la forma, monotonía y linealidad aparente.

Comprueba su normalidad: al servir davvero

Muchas pruebas paramétricas (un ejemplo de la prueba de Pearson) Supongo que, en distintos grados, normalidad El almeno es una estructura simétrica sin código pesado. Para controlar la hipotesis, una parte específica de la estructura gráfica viene... istogrammi con densità e Diagrama QQ.

En R, una batería mínima puede incluir:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Para comparar las observaciones cuantitativas con las de un estándar normal, Diagrama QQ è insostituibile:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

Tenlo a la vista, si no puedo usarlo test formali di normalità por evidencia acumulada: Kolmogorov-Smirnov con estimaciones de parámetros, Lilliefors, Cramér-von Mises, Shapiro-Wilk, Shapiro-Francia, Anderson-Darling e il test di Pearson (chi-quadro) di normalità.

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Si me acuesto con alguien normal y la relación es linealEl coeficiente de Pearson es un buen primo celta; de lo contrario, es prudente preferir mezclar basate sui ranghi con Spearman o Kendall.

Relación entre variabilidad cuantitativa: covarianza y correlación

La covarianza El problema es la covarianza depende dall'unità di misura, quindi è poco comparabile.

La Correlación lineal de Pearson Resolver el problema estandarizando por desviación estándar: el coeficiente r varía entre -1 y 1, dando un valor a ±1 indicado fuerte relación lineal (positivo o negativo) y 0 sugiere assenza di linearità. Tenga en cuenta: r = 0 no excluye relaciones no lineales.

Calcoli per correlazioni en R:

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Quando la relazione è monótona pero no lineal o cuando no duermo normalmente (o contengo el valor atípico), tiene sentido utilizar Lancero (ranghi; robusto y adaptado a medio-grandi campioni) Kendall τ (basato su concordanze/discordanze; preferibile su pequeños campeones (o con muchos pareggi):

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Una idea útil: el coeficiente de determinación R² de un modello lineare semplice restaura la parte variable de Y spiegata linealmente desde X. En R:

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

Por dicotomía de variabilidad vs cuantitativa, el coeficiente punto-biserial coincide con el cálculo de Pearson con una variable codificada 0/1; en la práctica, color (dicotómico, cuantitativo) con método = “pearson”.

Categorías variables: independencia, fuerza de asociación y piccoli campioni

Cuando entra en juego la variabilidad del sueño nominales o ordinales, la relazione si studia con tabelle di contingentza (frecuentemente con clasificación doppia). La ipotesi típica es: H0 = indipendenza (asociación necesaria), control H1 = dipendenza.

Il test di riferimento è il chi-quadro di indipendenza. Se ci sono frequenze attese troppo basse (normalmente <5), si lo utilizas Corrección de Yates per 2×2 o si passa al prueba de estado de Fisher, especialmente indicado con campioni piccoli.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Por quantcare la intensidad de la asociación in tabelle I×J si usano: V de Cramér (0 – 1), coeficiente de contingencia (0–1, limitación), y en 2×2 il fi (φ), que es formalmente una aplicación de Pearson en la tabla binaria.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Se l'intersse è confrontore gruppi su variabilidad cuantitativa (es. reddito per professione), si valutano prueba t, ANOVA e le rispettive Alternative non parametriche, no intervaloli di confidenza. En general, coherencia en el tipo de variabilidad y método Es fundamental.

Acuerdo entre valoraciones: Kappa di Cohen

Cuando debido (o más) giudici clasificar no gli stessi oggetti en categoría, no basta con mezclar el porcentaje de acuerdo, perché a cuota può essere dovuta al caso. El Kappa de Cohen cuantifica el acuerdo correcto para el acuerdo casual: valoré además 0 indicando el acuerdo para cada caso, valoré maggiori suggeriscono acuerdo creciente (interpretazioni comuni: scarso, discreto, moderato, buono, molto buono).

In R è possibile stimare Kappa anche in versión ponderada (por categorías ordinarias):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Si la categoría no es un orden natural (ad empio, lieve/moderata/severa), Kappa ponderato penalizza minor in desacuerdo “vicini” y più quelli “lontani”, resultando en un spesso più informativo.

Relaciones y variaciones de confusión: la correlación parcial

Può capitare che due variabili X e Y sembrino molto correlate, pero en realidad la fuerza de la asociación sia dovuta a una variabile di confundimento Z correlacionado con entrabe. En cuestión, si hace clic en él correlación parcial tra X e Y controlando por Z.

En R, con ggm::pcor si ottiene la correlazione parziale di primo ordine e si può testne la significatività. Es útil comparar clásico r e r parcial per capire como Z “spiega” del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

Si la cuota spiegata “crollas” dopo il controllo, ahora Z era un confederado importante. Cuando la variable de control es una categoría (es decir, profesional), no puedo utilizar enfoques similares al modelo que incluye la categoría como factor.

Límite y buenas prácticas en el uso de la correlación

La mezcla de coeficientes de Pearson solo la linearitàSi la relación no es lineal (cuadrática, exponencial, logarítmica), puede resultar en 0 o en presencia de una fuerte dependencia. En estos casos, valúe Lancero, transformándolo en un modelo no lineal.

Los atípico No puedo distorsionar el resultado. Por eso, en primer lugar, conviene revisar el gráfico y, si es necesario, realizar un análisis robusto o comprobar la sensibilidad de los resultados simultáneamente.

Otro clásico: correlación ≠ causalidad. Debido a la variabilidad no puedo correlacionar perché el sueño influenzate da un tercer factor, mera coincidencia o por efecto de un mecanismo inverso. Servono disegni sperimentali, strumenti causali o modelli appropriati per parlare di causa-effetto.

Tipo de relación: lineal, monótona, nula, categórica

Nei casi misti (cuantitativa vs dicotomica/nominale/ordinata) se pasa una prueba de confrontación entre gruppi, correlazioni biseriali/point-biserial oa modelos (ejemplo de regresión con factores predichos). Con variabilidad. entrar en categorías, ci si affida a chi-quadro/Fisher e alle misure di strong dell'associazione già viste.

Funciones comer relaciones especiales

Una funzione Es una relación que, por cada elemento del dominio, asocia exactamente un elemento del condominio. En conclusión, se trata de un subconjunto de A×B que compara cada componente de A con una sola volta. Otras operaciones importantes en el álgebra relacionada con el sueño: unión (R1 ∪ R2), intersección (R1 ∩ R2), composición (R2 ∘ R1) y marcha atrás (R^{-1}, che scambia ciascuna coppia (a, b) en (b, a)).

estos Mattoni conceptual tornano utili sia nella matemáticas puras (equivalenze, ordini, classi di equivalenza) sia in applicazioni concrete dove sirve para formalizar las relaciones fra entità.

Álgebra de relaciones y ciencia que di

Nel mondo dei database, l'álgebra relacional Esta es la estructura teórica de SQL: cómo operar seleccionar, proiezione, unirse, unione e intersezione Sono versioni pratiche di operazioni su relazioni-insiemi. Esta formalización es un arma poderosa para describir, optimizar y manipular cosas rápidamente.

En el campo inteligencia artificial y aprendizaje automático, la capacidad de modelar relaciones para permitir la construcción de grafos de conocimiento, sistemas de acompañamiento y pipeline de integración; Este valor es válido en economía, bioestadística y ciencias sociales, casi siempre es “chi es legato a chi, y en modo che.

Ejemplos clásicos de relaciones en la teoría de insieme

Relaciones de equivalencia: sueño riflesivo, simétrico y transitivo. Ejemplos como "tener este valor como solución" son realmente reales o existen. congruencia módulo n Sugerí internamente. La relación de equivalencia Ogni induce clases de equivalencia che ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relaciones deorden: riflesivo, antisimmetriche y transitivo. Esempi: ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), o “divide” (|) sui naturali. Sueño fundamental por definición ordinamenti totali o parziali y por región son sus máximos, mínimos, catenos y anticadenas.

Pedido lesicográficoEso es lo que dije. Es un orden en una secuencia (cadena, número escrito en secuencia) que compara elemento por elemento. Hay un ruido importante en esta estructura y descuido los algoritmos.

Esta sección es útil para comprender que “relazione” en matemáticas es un concepto más amplitud de la correlación de soles: incluye uguaglianze, ordini, composición y mucho más, todo indispensable para modelar sistemas completos.

Flujo de trabajo práctico: controla sus resultados

Un posible flujo de trabajo para que no lo pierdas si instrumentas y donde:

• Inspección gráfica: diagrama de dispersión, suavizado, istogramas, diagrama QQ. Occhio a outlier e forma non lineari.
• Cheques:si funciona, probar la normalidad; Controlli di omoscedasticità si se prevé un modelo lineal.
• Selección del coeficiente: Pearson (lineare, dati circa normali), Spearman/Kendall (monotona/non normale/piccoli campioni).
• Categórico: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Para comparación de grupos, prueba t/ANOVA o alternativa.
• Confundenti: correlacionar el modelo parziale o multivariado (incluida la categoría fattori).

Qualunque sia la scelta, interpretae nel contexto Es la clave: grandezza dell'effetto, significativa statistica, ampiezza del campione e qualità dei dati contano como (si no más) del numero finale.

Esempi di codice R ricorenti

Rassisumendo alcune chiamate utili lo que lo hace más preciso al analizar la relación entre variables y que se puede adaptar a su conjunto de datos:

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Nota práctica: las selecciones "justas" dependen de los datos. Vale la pena validar la hipótesis, comparar el método y, cuando funcione, construir un guión pequeño para diagnosticar la cuestión rápidamente y de forma fiable.

Abbiamo vio que “relazione” puede significar la mayoría de las veces: la forma lineal con Pearson, la monotonía con Spearman/Kendall, toda la asociación dentro de la categoría con chi-quadro/Fisher y misure con V di Cramér y φ; Senza dimenticare el acuerdo entre giudici (Kappa) y la dirección di confondenti con la correlación parziale. Por lo tanto, el álgebra relacional forma y mattoni conceptualmente para definir dominio, inversa y composición, mientras que el álgebra relacional guía el modo en que archivo e interroghiamo i datos en la base de datos. La idea de chiave es scegliere lo strumento in base al type di variabili, alla forma del legam e agli obiettivi dell'analisi., ricordandoci che nessun coeficientee, da solo, può raccontare tutta la storia.