Lineaarne interpoleerimine on meetod, mida kasutatakse kahe teadaoleva punkti vaheliste vaheväärtuste hindamiseks. See meetod arvestab teadaolevate punktide vahelist lineaarset seost, et määrata huvipakkuv väärtus. Seda protsessi kasutatakse laialdaselt erinevates valdkondades, näiteks matemaatikas, statistikas, inseneriteaduses ja mujal.
Selles artiklis käsitleme lineaarse interpolatsiooni meetodit, selgitades samm-sammult, kuidas seda tüüpi arvutusi teha. Samuti toome näiteid lahendatud harjutustest, et hõlbustada selle meetodi mõistmist ja praktilist rakendamist. Sellega loodame panustada lineaarse interpolatsiooni mõistmisse ja tõhusasse kasutamisse erinevates kontekstides.
Samm-sammult juhend interpolatsiooniarvutuse tõhusaks teostamiseks.
Interpolatsiooni arvutuse tõhusaks teostamiseks toimige järgmiselt.
1. samm: Koguge interpoleerimisülesande jaoks vajalikud andmed. See hõlmab teadaolevaid võrdluspunktide väärtusi ja x-väärtust, mille jaoks soovite interpoleerida.
2. samm: Arvutage teadaolevate x väärtuste vahe, mis on kõige lähemal soovitud x väärtusele. See aitab määrata interpolatsiooniintervalli.
3. samm: Arvutage lähimatele võrdluspunktidele vastavate y-väärtuste vahe. See määrab y-väärtuse variatsiooni interpolatsiooniintervallis.
4. samm: Lineaarse interpolatsiooni valemi abil arvutage y väärtus soovitud x väärtuse jaoks. Valem on antud järgmise valemiga:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
5. samm: Asendage teadaolevad väärtused valemisse ja lahendage, et saada y väärtus, mis vastab soovitud x väärtusele.
Neid samme järgides saate interpolatsiooniarvutuse tõhusalt läbi viia ja saada käsitletava probleemi jaoks täpseid tulemusi.
Millal on lineaarse interpolatsiooni kasutamine matemaatilises analüüsis või modelleerimises asjakohane?
Lineaarne interpolatsioon on matemaatilises analüüsis või modelleerimises kasutatav meetod, kui soovitakse teadaolevate väärtuste põhjal leida vaheväärtusi. See meetod sobib juhul, kui andmed on jaotatud lineaarselt ja pidevalt.
Näiteks kui meil on tabel funktsiooni väärtustega diskreetsetes punktides ja me tahame hinnata funktsiooni väärtust vahepunkti jaoks, võib lineaarne interpolatsioon olla hea valik. See seisneb sirge joone tõmbamises kahe teadaoleva punkti vahele ja selle joone kasutamises soovitud väärtuse hindamiseks.
Oluline on rõhutada, et lineaarne interpolatsioon ei pruugi sobida juhtudel, kus andmed käituvad mittelineaarselt, näiteks kõverate või võnkumiste korral. Sellistel juhtudel võivad sobivamad olla muud keerukamad interpolatsioonimeetodid.
Kuidas tabelis lünki tõhusalt vaheväärtustega täita.
Lineaarne interpoleerimine on meetod, mida kasutatakse tabeli lünkade tõhusaks täitmiseks vaheväärtustega. See meetod seisneb puuduvate väärtuste arvutamises tabeli teadaolevate väärtuste põhjal, kasutades lihtsat valemit.
Lineaarse interpolatsiooni rakendamiseks on vaja tabelis vähemalt kahte teadaolevat punkti. Nende punktide põhjal saate vaheväärtused arvutada järgmise valemi abil:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Kus Y on vaheväärtus, mida soovime leida, Y1 ja Y2 on tabelist teadaolevad väärtused, X1 ja X2 on vastavad X väärtused ning X on X väärtus, mille jaoks soovime leida vaheväärtuse Y.
Illustreerimiseks lahendame praktilise ülesande lineaarse interpolatsiooni abil. Oletame, et meil on järgmine tabel:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Nüüd kasutame lineaarse interpolatsiooni valemit, et leida Y väärtus, kui X on võrdne 2-ga:
Y = 3 + (2–1) * (7–3) / (3–1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Seega on Y väärtus 2, kui X on võrdne 5-ga.
Nagu näeme, on lineaarne interpolatsioon lihtne ja tõhus meetod tabeli lünkade täitmiseks vaheväärtustega. Selle tehnika abil saame kiiresti ja lihtsalt täpseid tulemusi.
Praktiline juhend ruutinterpolatsiooni efektiivseks sooritamiseks.
Ruutvõrrelatsiooni efektiivseks teostamiseks on oluline järgida mõnda lihtsat sammu. Esiteks on vaja teada punkte, mida interpolatsiooniks kasutatakse. Seejärel tuleb arvutada neid punkte läbiva ruutfunktsiooni kordajad.
Ruutfunktsiooni kordajate arvutamiseks saame kasutada vähimruutude meetodit. See meetod seisneb ruutfunktsiooni leidmises, mis minimeerib teadaolevate punktide arvutatud väärtuste ja tegelike väärtuste erinevuste ruutude summa.
Kui ruutfunktsiooni kordajad on arvutatud, saame seda kasutada väärtuste interpoleerimiseks teadaolevate punktide vahel. Selleks sisestage lihtsalt soovitud väärtus ruutfunktsiooni ja saate vastava interpoleeritud väärtuse.
Oluline on märkida, et ruutinterpolatsioon on täpsem kui lineaarne interpolatsioon, kuna see võtab arvesse andmete kõverust. Siiski on oluline märkida, et ruutinterpolatsioon võib viia vähem täpsete tulemusteni piirkondades, mis asuvad teadaolevatest punktidest kaugel.
Seega on ruutinterpolatsiooni tegemisel oluline tagada, et teadaolevad punktid oleksid ühtlaselt jaotunud ja ruutfunktsioon oleks õigesti arvutatud. See võimaldab saada täpsemaid ja usaldusväärsemaid interpolatsioonitulemusi.
Lineaarne interpolatsioon: meetod, lahendatud ülesanded
Lineaarne interpolatsioon on Newtoni üldisest interpolatsioonist ja lähendusest tuletatud meetod kahe arvu vahelise tundmatu väärtuse määramiseks; st leitakse vahepealne väärtus. Seda rakendatakse ka ligikaudsete funktsioonide puhul, kus f (a) ja f (b) väärtused on teada ja soovitakse teada f (x) vahepealset väärtust.
Interpoleerimist on erinevat tüüpi, sealhulgas lineaarne, ruut-, kuup- ja kõrgema järgu interpoleerimine, millest lihtsaim on lineaarne lähendus. Lineaarse interpoleerimise kompromiss seisneb selles, et tulemus ei ole nii täpne kui kõrgema järgu funktsioonide abil lähendatud meetodite puhul.
Määratlus
Lineaarne interpoleerimine on protsess, mis võimaldab teil tuletada väärtuse kahe täpselt määratletud väärtuse vahel, mis võivad olla tabelis või lineaarsel graafikul.
Näiteks kui teate, et 3 liitrit piima on väärt 4 dollarit ja 5 liitrit 7 dollarit, aga soovite teada, mis on 4 liitri piima väärtus, siis interpoleerite selle vahepealse väärtuse leidmiseks.
Meetod
Funktsiooni vaheväärtuse hindamiseks lähendatakse funktsiooni f (x) sirge r (x) abil , mis tähendab, et funktsioon muutub lineaarselt "x"-iga lõigul "x = a" ja "x = b"; see tähendab, et väärtuse "x" korral vahemikus (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) antakse "y" väärtus punktide vahelise sirge abil ja seda väljendatakse järgmise seosega:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Selleks, et interpolatsioon oleks lineaarne, peab interpolatsioonipolünoom olema esimese astme (n = 1), nii et see sobiks x0 ja x1 väärtustega.
Lineaarne interpolatsioon põhineb kolmnurkade sarnasusel, nii et eelmise avaldise geomeetrilise tuletamise teel on võimalik saada „y“ väärtus, mis tähistab tundmatut „x“ väärtust.
Seetõttu peate:
a = tan Ɵ = (vastasjalg 1 ÷ külgnev jalg 1 ) = (vastasjalg 2 ÷ külgnev jalg 2 )
Teisisõnu öeldes on see:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Eemaldades avaldistest sõna „ja“, on tulemuseks:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Seega saadakse lineaarse interpolatsiooni üldvõrrand:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Üldiselt annab lineaarne interpolatsioon tegeliku funktsiooni väärtuse osas väikese vea, kuigi viga on leitud arvule lähedase arvu intuitiivselt arvutatud arvuga võrreldes minimaalne.
See viga ilmneb kõvera väärtuse sirgjoonelise lähendamise katsel; sellistel juhtudel tuleb intervalli suurust täpsema lähenduse saamiseks vähendada.
Parima lähendustulemuse saavutamiseks on interpoleerimiseks soovitatav kasutada 2., 3. või isegi kõrgema astme funktsioone. Sellistel juhtudel on Taylori teoreem väga kasulik tööriist.
Lahendatud harjutused
Harjutus 1
Bakterite arv ruumalaühiku kohta inkubatsiooni ajal x tunni möödudes on näidatud järgmises tabelis. Sa tahad teada bakterite mahtu 3,5-tunnise perioodi jooksul.
Lahendus
Võrdlustabel ei määra väärtust, mis näitaks bakterite arvu 3,5 tunni jooksul, kuid seal on kõrgemad ja madalamad väärtused, mis vastavad vastavalt 3 ja 4 tunni pikkusele perioodile. Seega:
x0 = 3 ja 0 = 91
x = 3,5 y =?
x1 = 4 ja 1 = 135
Nüüd rakendatakse interpoleeritud väärtuse leidmiseks matemaatilist võrrandit, mis on järgmine:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Seejärel asendatakse vastavad väärtused:
y = 91 + (135–91) * [(3,5–3) ÷ (4–3)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Seega saadakse, et 3,5 tunni jooksul on bakterite hulk 113, mis kujutab endast vahepealset taset 3 ja 4 tunni jooksul eksisteerivate bakterite mahu vahel.
Harjutus 2
Luis omab jäätisevabrikut ja soovib läbi viia uuringu, et määrata oma augustikuu sissetulek kulude põhjal. Ettevõtte administraator loob graafiku, mis seda seost kajastab, kuid Luis tahab teada:
Milline on augusti tulu, kui tehti 55.000 XNUMX dollari suurune kulu?
Lahendus
Esitatakse graafik, mis näitab tulude ja kulude numbreid. Luis tahab teada, milline on augusti tulu, kui tehase kulu on 55.000 XNUMX dollarit. See arv ei kajastu graafikul otseselt, kuid arvud on sellest suuremad ja väiksemad.
Esiteks luuakse tabel väärtuste hõlpsaks seostamiseks:
Nüüd kasutatakse y väärtuse määramiseks interpoleerimisvalemit
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Seejärel asendatakse vastavad väärtused:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 XNUMX dollarit.
Kui augustis tehti 55.000 68.936 dollari suurune kulu, oli tulu XNUMX XNUMX dollarit.
Viited
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra ja trigonomeetria koos analüütilise geomeetriaga. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Geomeetrilise grupiteooria teemad. Chicago Ülikooli Kirjastus.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineaarne interpolatsioon », Matemaatikaentsüklopeedia.
- JM (1998). Numbriliste meetodite elemendid inseneriteaduses. UASLP.
- E. (2002). Interpolatsiooni kronoloogia: antiik-astronoomiast tänapäevase signaali- ja pilditöötluseni. IEEE toimetised.
- numbriline, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.