Kolmioluvut ovat luonnollisten lukujen sarja, joka voidaan esittää tasasivuisena kolmiona, jossa jokaisella rivillä on yksi alkio enemmän kuin edellisellä rivillä. Kolmiolukusarja alkaa numeroilla 1, 3, 6, 10, 15 ja niin edelleen.
Yksi kolmiolukujen ominaisuuksista on, että ne voidaan laskea kaavalla n*(n+1)/2, jossa n on järjestysnumero. Lisäksi kolmioluvut liittyvät muihin matematiikan alueisiin, kuten lukuyhdistelmiin ja Pascalin kaavaan.
Tässä yhteydessä kolmiolukujen ominaisuuksia voidaan osoittaa matemaattisen induktion avulla käyttämällä edellä mainittua kaavaa ja algebrallisia manipulaatioita haluttujen johtopäätösten saavuttamiseksi. Nämä demonstraatiot ovat tärkeitä kolmiolukujen ymmärtämisen ja soveltamisen kannalta matematiikan ja tieteen eri alueilla.
Tutustu kolmiolukuihin 1–100 tässä käytännön oppaassa.
Mitä ovat kolmioluvut? Kolmioluvut ovat lukujonoja, jotka voidaan esittää visuaalisesti kolmion muotoisina. Ne saadaan laskemalla yhteen luonnolliset luvut luvusta 1 tiettyyn lukuun n asti. Esimerkiksi luku 6 on kolmiomainen, koska se voidaan esittää kuviolla, jossa on kuusi kärkeä muodostaen kolmion.
Kolmilukujen ominaisuudet: Yksi kolmilukujen ominaisuuksista on, että ne voidaan esittää kaavalla n*(n+1)/2, jossa n on haluttu kolmiluku. Lisäksi kolmiluvuilla on myös suhde neliölukuihin siten, että n:s kolmiluku on yhtä suuri kuin n ensimmäisen luonnollisen luvun summa.
Kolmiolukujen löytämiseksi 1:stä 100:aan, käytä yllä mainittua kaavaa jokaiselle n:n arvolle 1:stä 100:aan. Esimerkiksi kymmenes kolmioluku saadaan kaavasta 10*(10+10)/1 = 2.
Kolmiolukujen löytäminen 1:stä 100:aan on yksinkertainen tehtävä, kun käytetään oikeaa kaavaa jokaiselle n:n arvolle.
Figuoristen numeroiden merkitys ja merkitys Pythagoraan filosofiassa.
Pythagoralaisessa filosofiassa kuvaannolliset numerot ovat keskeisessä asemassa, sillä ne edustavat abstrakteja käsitteitä ja symboloivat maailmankaikkeuden järjestystä ja harmoniaa. Näillä numeroilla on syvällisiä merkityksiä, ja pythagoralaiset pitivät niitä pyhinä, sillä he uskoivat matematiikan olevan avain maailman luonteen ymmärtämiseen.
Pythagoralaisen filosofian yleisimmät figuratiiviset luvut ovat kolmiomuotoisia lukuja, jotka muodostetaan järjestämällä pisteitä kolmiomuotoon. Näillä luvuilla on mielenkiintoisia matemaattisia ominaisuuksia, ja niitä käytetään usein geometrisissa esityksissä ja laskelmissa.
Kolmioluvut saadaan laskemalla yhteen peräkkäisiä luonnollisia lukuja alkaen luvusta 1. Esimerkiksi ensimmäinen kolmioluku on 1, toinen on 1 + 2 = 3, kolmas on 1 + 2 + 3 = 6 ja niin edelleen. Tämä lukujono muodostaa sarjan, joka voidaan esittää geometrisesti pisteistä koostuvalla kolmiolla.
Kolmiolukujen mielenkiintoinen ominaisuus on, että ne voidaan esittää luonnollisten lukujen summana, mikä voidaan osoittaa yksinkertaisesti algebrallisilla laskutoimituksilla. Tämä ominaisuus on hyödyllinen useissa matemaattisissa yhteyksissä ja sitä käytetään usein laskelmissa ja lauseiden todistamisessa.
Niiden mielenkiintoiset matemaattiset ominaisuudet ja filosofinen merkitys tekevät niistä kiehtovan tutkimusaiheen matematiikasta ja filosofiasta kiinnostuneille.
Kolmionmuotoisen kertotaulun määritelmän ja ominaisuuksien ymmärtäminen.
Kolmioluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää tasasivuisen kolmion muodossa. Ne syntyvät, kun laskemme yhteen peräkkäisiä luonnollisia lukuja alkaen luvusta 1. Esimerkiksi luku 1 on kolmionmuotoinen, koska se voidaan esittää pisteellä. Luku 3 on kolmionmuotoinen, koska se voidaan esittää kolmen pisteen muodostamalla suoralla. Ja niin edelleen.
Kolmiolukuihin liittyvä käsite on kolmion kertotaulu . Se koostuu taulukosta, joka näyttää kolmiolukujen kertolaskun keskenään. Esimerkiksi jos kerromme kolmioluvun 3 kolmioluvulla 6, tulos on 36.
Kolmiokertotaulukon ominaisuuksiin kuuluu symmetria päälävistäjän suhteen, mikä tarkoittaa, että kahden kolmioluvun kertolasku on aina sama riippumatta siitä, missä järjestyksessä ne kerrotaan. Lisäksi kolmiokertotaulukolla on myös yhteys kolmiolukuihin , koska tuloksena olevat tulot ovat aina kolmiolukuja.
Kolmiokertotaulukon ominaisuuksien havainnollistamiseksi voimme käyttää kolmiolukujen yleistä kaavaa, joka on n(n+1)/2. Kertomalla kaksi kolmiolukua saadaan kahden lausekkeen tulo n(n+1)/2, joka johtaa kolmioluvuun.
Neliö- ja kolmiolukujen välinen suhde: mikä yhteys niiden välillä on?
Mitä ovat kolmioluvut? Kolmioluvut ovat luonnollisten lukujen sarja, joka voidaan esittää kolmion muodossa. Ne syntyvät, kun järjestämme pisteet tasasivuisen kolmion muotoon, jossa ensimmäinen kolmioluku on 1, toinen on 3 (1+2), kolmas on 6 (1+2+3) ja niin edelleen.
Kolmiolukujen mielenkiintoinen ominaisuus on niiden suhde neliölukuihin . Kolmioluku voidaan esittää peräkkäisten luonnollisten lukujen summana , kun taas neliöluku voidaan esittää kahden yhtäsuuren luvun tulona.
Tämä suhde voidaan osoittaa matemaattisesti. Voimme esimerkiksi todeta, että mikä tahansa kolmioluku voidaan ilmaista puolikkaana neliöluvusta, eli T(n) = (n*(n+1))/2 = (n^2+n)/2. Tämä osoittaa, kuinka kolmio- ja neliöluvut ovat tyylikkäästi yhteydessä toisiinsa.
Voimme siis päätellä, että kolmio- ja neliöluvuilla on mielenkiintoinen matemaattinen yhteys, jossa ne voidaan yhdistää toisiinsa yksinkertaisten lausekkeiden avulla. Tämä suhde antaa meille mahdollisuuden tutkia numeerisia malleja ja matemaattisia ominaisuuksia syvällisemmin.
Mitä ovat kolmioluvut? Ominaisuudet ja todisteet
Sitä kutsutaan kolmioluvuiksi , koska järjestysnumerot saadaan järjestämällä tai muodostamalla tasasivuisia kolmionmuotoisia pisteitä. Järjestyksen ensimmäiset numerot ovat: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
Ensimmäinen kolmioluku on 1, toinen on 3, koska se saadaan lisäämällä kahden pisteen muodostama viiva edelliseen, jolloin muodostuu tasasivuinen kolmio, jossa on kolme elementtiä.
Kolmas on luku 6, joka saadaan lisäämällä edelliseen asetteluun kolmen pisteen rivi, jolloin muodostuu kolmio, jossa on kolme pistettä sivua kohden. Luku 10 saadaan lisäämällä edelliseen asetteluun uusi rivi, jolloin muodostuu kolmio, jossa on neljä pistettä sivua kohden.
Kaava, jonka avulla voimme löytää kolmioluvun n:nnen elementin kolmioluvusta, on:
Tn = Tn -1 + n
Ensimmäiset kuusi kolmiolukua muodostavat seuraavan luettelon:
Ensimmäinen : 1
Sekunti : 1 + 2 = 3
Kolmas : (1 + 2 ) + 3 = 3 + 3 = 6
– Neljäs : (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10
Viides : (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15
Kuudes : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21
Kolmiolukujen ominaisuudet
1. Kolmiolukujonon n:s kolmioluku Tn on puolet n:stä kerrottuna n + 1:llä:
Tn = ½n(n + 1)
2.- n:nnen kolmioluvun ja edellisen kolmioluvun eli (n-1):nnen summa on n:nnen neliö:
T <sub>n</sub> + T <sub>n-1</sub> = n<sup> 2 </sup>
3.- n:nnen kolmioluvun ja n:nnen kolmioluvun ja yhden erotus on n:
T <sub>n </sub> – T <sub>n-1 </sub> = n
4.- Ensimmäisten n kolmioluvun summaa kutsutaan tetraedriluvuksi Sn ja se on yhtä suuri kuin kuudesosa tulon n kerrottuna (n + 1) ja kerrottuna (n + 2) tulolla:
Sn = ⅙n(n + 1)(n + 2)
5. Jokainen luonnollinen luku N on kolmen kolmioluvun summan tulos:
N = Δ1 + Δ1 + Δ3
Tämän viimeisen ominaisuuden tai lauseen löysi suuri matemaatikko Carl Friedrich Gauss vuonna 1796, ja hän kirjoitti siitä päiväkirjaansa käyttäen kreikkalaista huudahdusta Eureka!, joka tarkoittaa "Olen tehnyt sen!".
Kreikkalainen Arkhimedes käytti samaa sanaa kauan sitten määrittäessään uponneen kappaleen näennäispainoa.
Tässä suhteessa lukua nolla pidetään kolmionmuotoisena ja sitä voidaan toistaa.
Mielenosoitukset
– Esittely 1
Todista, että n:s kolmioluku on:
Tn = ½n(n + 1)
Yllä oleva kaava on helppo johtaa, jos ymmärrämme, että voimme lisätä kolmioon yhtä monta pistettä muodostaaksemme pisteiden nelikulmion.
Koska nelisivumatriisin pisteiden kokonaismäärä on rivien lukumäärä n kerrottuna sarakkeiden lukumäärällä (n + 1) , kolmiomatriisissa on vain puolet nelisivumatriisin pisteistä.
Tässä se on havainnollistettu kuvassa 2.
– Esittely 2
Todista, että n:nnen kolmioluvun ja n:nnen miinus kolmioluvun summa on n:nnen neliö:
T <sub>n</sub> + T <sub>n-1</sub> = n<sup> 2 </sup>
On jo osoitettu, että kolmion numero n saadaan kaavasta:
Tn = ½n(n + 1)
Siksi edellinen kolmioluku on:
Tn -1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n(n – 1)
Molempien summa jää jäljelle:
Tn + Tn −1 = ½n(n+1) + ½n(n–1)
Yhteistä tekijää ½ n käytetään laskemaan:
Tn + Tn −1 = ½n [(n + 1) + (n – 1)] = ½n [n + 1 + n – 1]
Ja heti suluissa oleva lauseke yksinkertaistuu:
Tn + Tn -1 = ½n [2n] = ½2n⋅n
Muistaen, että ½ kertaa 2 on 1 ja että n kertaa n on n:n potenssiin korotettuna, meillä on:
T <sub>n</sub> + T <sub>n-1</sub> = n<sup> 2 </sup>
Tämä ominaisuus voidaan osoittaa myös geometrisessa muodossa yksinkertaisesti täydentämällä kolmio neliöksi, kuten kuvassa 3 on esitetty.
– Esittely 3
N:nnen kolmioluvun ja n-1:n kolmioluvun välinen erotus on n:
T <sub>n </sub> – T <sub>n-1 </sub> = n
Tämä voidaan todistaa yksinkertaisesti muistamalla, että seuraava kolmioluku saadaan edellisestä luvusta kaavalla:
Tn = Tn -1 + n
Tästä on selvää, että T <sub>n</sub> – T <sub>n-1</sub> = n. Tämä on myös helppo visualisoida graafisesti, kuten kuvassa 4 on esitetty.
– Esittely 5
Ensimmäisten n kolmioluvun summa S<sub> n</sub> on yhtä suuri kuin kuudesosa tulon n kerrottuna (n + 1) ja kerrottuna (n + 2) tulolla:
Sn = ⅙n(n + 1)(n + 2)
Käytetään n:ttä kolmiolukua: T <sub>n</sub> = ½ n (n + 1) . Ensimmäisten n kolmioluvun summaa merkitään S <sub>n</sub>.
Esimerkiksi S 1 tarkoittaa ensimmäisen kolmioluvun summaa, joka on epäilemättä 1.
Katsotaanpa nyt, onko testaamamme kaava pätevä, kun n = 1:
S1 = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1
Kaava n = 1 on todellakin osunut kohdalleen. On helppo nähdä, että ensimmäisten n + 1 kolmioluvun summa on ensimmäisen n ja seuraavan kolmioluvun summa:
Sn + 1 = Sn + Tn + 1
Oletetaan nyt, että S <sub>n</sub>:n kaava on n, sijoita se edelliseen lausekkeeseen ja lisää siihen kertaluku n + 1 :
Sn + 1 = [⅙n(n + 1)(n + 2)] + [½(n + 1)(n + 2)]
Katsotaanpa askel askeleelta, mitä saat:
-Suoritamme kahden murtolukulausekkeen summan:
Sn + 1 = [2n(n + 1)(n + 2) + 6(n + 1)(n + 2)] / 12
-Yhteinen tekijä poistetaan osoittajasta 2(n + 1)(n + 2) ja sievennetään:
Sn + 1 = 2(n + 1)(n + 2)[n + 3] / 12 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) / 6
Edellinen tulos on yhdenmukainen S n :n kaavan kanssa, jos n korvataan n + 1:llä, mikä osoitettiin induktiolla käyttämällä n:n ensimmäisen kolmiotermin summan kaavaa.
Tetraedrinen luku
Näin saatua tulosta kutsutaan kertalukua n olevaksi tetraedriluvuksi , koska se on kuin kolmiomaisten kerrosten keräämistä, jotka muodostavat tetraedrin, kuten seuraavassa animaatiossa on esitetty.
Viitteet
- Camacho J. Kolmionmuotoisten numeroiden odottamaton esiintyminen. Haettu osoitteesta: masscience.com
- Claudio. Kolmioluvut. Haettu osoitteesta: simplynumbers. Blogspot.com
- Wikipedia. Kolmioluku. Haettu osoitteesta: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Kolmioluku. Haettu osoitteesta: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Kolmikerroksinen luku. Haettu osoitteesta: en.wikipedia.com