Diskreetit todennäköisyysjakaumat ovat matemaattisia malleja, jotka kuvaavat diskreettien, äärellisten arvojen omaavien tapahtumien esiintymistä. Näille jakaumille on tunnusomaista niiden ominaisuudet, kuten kaikkien mahdollisten tulosten todennäköisyyksien summa, joka on yhtä suuri kuin 1, ja jakauman muodon määrittävän parametrin olemassaolo. Tässä artikkelissa tutkimme yleisimpien diskreettien todennäköisyysjakaumien, kuten Bernoullin jakauman, binomijakauman, Poisson-jakauman ja geometrisen jakauman, ominaisuuksia ja esittelemme myös käytännön harjoituksia näiden käsitteiden ymmärtämiseksi paremmin.
Diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ymmärtäminen: yksinkertainen ja selkeä selitys.
Diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ymmärtämiseksi on tärkeää ymmärtää, että se on matemaattinen funktio, joka yhdistää todennäköisyyden satunnaisen kokeen jokaiseen mahdolliseen lopputulokseen. Toisin sanoen diskreetin todennäköisyysjakauman avulla voimme määrittää kunkin lopputuloksen todennäköisyyden äärellisessä tai luetteloitavassa joukossa mahdollisuuksia.
Diskreetille todennäköisyysjakaumalle on tunnusomaista sen todennäköisyysfunktio, joka antaa jokaiselle tulokselle ei-negatiivisen arvon, kaikkien todennäköisyyksien summan ollessa yhtä suuri kuin 1. Lisäksi mahdolliset tulokset ovat erillisiä ja erillisiä, eikä väliarvojen esiintyminen ole mahdollista.
Klassinen esimerkki diskreetistä todennäköisyysjakaumasta on Poisson-jakauma, jota käytetään laajalti laskentaprosesseissa, kuten tietyn ajanjakson aikana tapahtuvien tapahtumien lukumäärän laskemisessa. Toinen yleinen esimerkki on binomijakauma, joka mallintaa kokeita, joissa on vain kaksi mahdollista lopputulosta, kuten onnistuminen tai epäonnistuminen.
Diskreettien todennäköisyysjakaumien teorian soveltamiseksi on välttämätöntä ymmärtää niiden erityisominaisuudet ja ominaispiirteet sekä osata laskea todennäköisyyksiä ja tulkita tuloksia. Käytännön harjoitukset ovat olennaisia ymmärryksen syventämiseksi ja taitojen kehittämiseksi tällä todennäköisyyden alalla.
Opi tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa käytetyistä tärkeimmistä diskreeteistä jakaumista.
Opi tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa käytetyistä tärkeimmistä diskreeteistä jakaumista. Diskreetit todennäköisyysjakaumat ovat tärkeitä työkaluja tilastollisessa analyysissä, sillä ne mahdollistavat satunnaisten tapahtumien mallintamisen ja ennustamisen. Tärkeimpiä diskreettejä jakaumia ovat Bernoulli-jakauma, binomijakauma, geometrinen jakauma, Poisson-jakauma ja hypergeometrinen jakauma.
A Bernoullin jakauma käytetään mallintamaan kokeita, joissa on vain kaksi mahdollista lopputulosta, kuten onnistuminen ja epäonnistuminen. binomijakauma Sitä käytetään tilanteissa, joissa on tietty määrä riippumattomia kokeita ja kussakin on vain kaksi mahdollista lopputulosta, kuten onnistuminen ja epäonnistuminen.
A geometrinen jakauma käytetään mallintamaan kokeiden lukumäärää ensimmäiseen onnistumiseen asti riippumattomien kokeiden sarjassa. Poissonin jakauma käytetään mallintamaan harvinaisten tapahtumien esiintymistä tietyllä aikavälillä tai tilavälillä.
Lopuksi hypergeometrinen jakauma Sitä käytetään mallintamaan kokeita, joissa valitaan elementtejä ilman korvaamista äärellisestä populaatiosta, ja kiinnostuksen kohteena on tietyn otoksen onnistumisten lukumäärä.
Näiden diskreettien jakaumien ja niiden soveltamisen ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää harjoitella. Näihin jakaumiin liittyvien ongelmien ratkaiseminen voi auttaa vahvistamaan tietoa ja terävöittämään tilastollisia ja todennäköisyyslaskennan taitoja.
Siksi tilastoja ja todennäköisyyttä tutkittaessa on olennaista tuntea tärkeimpien diskreettien jakaumien, kuten Bernoullin jakauman, binomijakauman, geometrisen jakauman, Poisson-jakauman ja hypergeometrisen jakauman, ominaisuudet ja sovellukset.
Todennäköisyysjakaumien tyypit: tutustu tilastollisten jakaumien eri muotoihin.
Todennäköisyysjakaumat ovat matemaattisia malleja, jotka kuvaavat ilmiön satunnaista käyttäytymistä. Todennäköisyysjakaumia on erityyppisiä, joilla jokaisella on omat ominaisuutensa ja sovelluksensa. Tässä artikkelissa keskitymme diskreetteihin todennäköisyysjakaumiin, jotka liittyvät diskreetteihin muuttujiin – sellaisiin, jotka voivat olettaa tiettyjä, laskettavia arvoja.
Joitakin yleisimpiä diskreettejä todennäköisyysjakaumia ovat tasainen jakauma, binomijakauma, Poisson-jakauma ja geometrinen jakauma. Jokaisella näistä jakaumista on omat ominaisuutensa ja niitä käytetään erilaisissa tilastollisissa yhteyksissä.
Esimerkiksi tasaiselle jakaumalle on tunnusomaista, että diskreetin muuttujan kaikille mahdollisille arvoille annetaan sama todennäköisyys. Binomiaalijakaumaa käytetään mallintamaan onnistumisten lukumäärää riippumattomien kokeiden sarjassa, joilla kullakin on sama onnistumistodennäköisyys. Poisson-jakaumaa puolestaan käytetään mallintamaan harvinaisten tapahtumien lukumäärää tietyllä aika- tai aikavälillä. Ja geometrista jakaumaa käytetään mallintamaan kokeiden lukumäärää, joka tarvitaan ensimmäiseen onnistumiseen riippumattomien kokeiden sarjassa.
Ymmärtääksemme paremmin, miten nämä jakaumat toimivat, on tärkeää harjoitella. Voimme esimerkiksi laskea todennäköisyyden saada täsmälleen 3 kruunaa viidellä reilun kolikonheitolla käyttämällä binomijakaumaa. Tai voimme määrittää todennäköisyyden sille, että vähintään kaksi tapahtumaa tapahtuu tietyllä aikavälillä käyttämällä Poisson-jakaumaa.
Ymmärtämällä näiden jakaumien ominaisuudet ja sovellukset tilastotieteen ja siihen liittyvien tieteiden ammattilaiset voivat tehdä tietoisempia ja tarkempia päätöksiä todennäköisyysdatan perusteella.
Mitä todennäköisyysmuuttujia pidetään diskreetteinä?
Todennäköisyyslaskennassa diskreetit muuttujat ovat sellaisia, joilla voi olla äärellinen tai laskettavissa oleva määrä arvoja. Tämä tarkoittaa, että diskreetit muuttujat ovat sellaisia, jotka voidaan laskea, yleensä esitettynä kokonaislukuina. Esimerkiksi autojen lukumäärä pysäköintialueella, oppilaiden lukumäärä luokkahuoneessa ja nopan taajuuksien lukumäärä ovat kaikki esimerkkejä diskreeteistä muuttujista.
Nämä muuttujat eroavat jatkuvista muuttujista, jotka voivat saada äärettömän määrän arvoja tietyllä alueella. Vaikka diskreeteillä muuttujilla on tietyt, diskreetit arvot, jatkuvat muuttujat voivat saada minkä tahansa arvon jatkuvalla alueella. Esimerkiksi henkilön pituus, tehtävän suorittamiseen kuluva aika ja huoneenlämpötila ovat esimerkkejä jatkuvista muuttujista.
Siksi todennäköisyyden diskreetit muuttujat ovat sellaisia, jotka voidaan laskea ja jotka voivat saada tiettyjä, erillisiä arvoja, toisin kuin jatkuvat muuttujat, jotka voivat saada minkä tahansa arvon tietyllä alueella.
Diskreettien todennäköisyysjakaumien ominaisuudet, harjoitukset
As diskreetit todennäköisyysjakaumat ovat funktio, joka liittyy jokaiseen X(S) = {x1, x2, …, xi, …} alkioon, missä X on annettu diskreetti satunnaismuuttuja ja S on otanta-avaruus, todennäköisyyden sille, että tämä tapahtuma tapahtuu. Tätä X(S):n funktiota f, joka on määritelty muodossa f(xi) = P(X = xi), kutsutaan joskus massatodennäköisyysfunktioksi.
Tämä todennäköisyysmassa esitetään yleensä taulukon muodossa. Koska X on diskreetti satunnaismuuttuja, X(S):llä on joko äärellinen tai ääretön määrä tapahtumia. Yleisimpiä diskreettejä todennäköisyysjakaumia ovat tasainen jakauma, binomijakauma ja Poisson-jakauma.
Ominaisuudet
Todennäköisyysjakaumafunktion on täytettävä seuraavat ehdot:
Lisäksi, jos X saa vain äärellisen määrän arvoja (esim. x1, x2, …, xn), niin p(xi) = 0, jos i > n, ja siten äärettömästä ehtojen sarjasta b tulee äärellinen sarja
Tämä funktio täyttää myös seuraavat ominaisuudet:
Olkoon B satunnaismuuttujaan X liittyvä tapahtuma. Tämä tarkoittaa, että B sisältyy X(S):ään. Tarkemmin sanottuna oletetaan, että B = {xi1, xi2,…}. Siksi:
Toisin sanoen: tapahtuman B todennäköisyys on yhtä suuri kuin B:hen liittyvien yksittäisten lopputulosten todennäköisyyksien summa.
Tästä voimme päätellä, että jos
Tyypit
Tasainen jakauma n pisteessä
Satunnaismuuttuja X noudattaa jakaumaa, jolle on tunnusomaista tasainen jakauma n pisteessä, jos jokaiselle arvolle on annettu sama todennäköisyys. Sen todennäköisyysmassafunktio on:
Oletetaan, että meillä on koe, jossa on kaksi mahdollista lopputulosta: se voisi olla kolikonheitto, jonka mahdolliset lopputulokset ovat kruuna tai klaava, tai kokonaisluvun valitseminen, jonka lopputulos voisi olla pariton tai parillinen luku; Tämän tyyppistä koetta kutsutaan Bernoullin testiksi.
Yleisesti ottaen kahta mahdollista lopputulosta kutsutaan onnistumiseksi ja epäonnistumiseksi, missä p on onnistumisen todennäköisyys ja 1-p on epäonnistumisen todennäköisyys. Voimme määrittää x onnistumisen todennäköisyyden n riippumattomassa Bernoulli-kokeessa seuraavalla jakaumalla.
Binomijakauma
Tämä funktio kuvaa todennäköisyyttä saada x onnistumista n riippumattomassa Bernoullin kokeessa, joiden onnistumistodennäköisyys on p. Sen todennäköisyysmassafunktio on:
Seuraava kuvaaja esittää todennäköisyysmassafunktion binomijakaumaparametrien eri arvoille.
Seuraava jakauma on saanut nimensä ranskalaiselta matemaatikolta Simeon Poissonilta (1781-1840), joka sai sen binomijakauman rajana.
Poissonin jakauma
Satunnaismuuttujalla X sanotaan olevan parametrin λ Poisson-jakauma, kun se voi saada positiiviset kokonaisluvut 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … seuraavalla todennäköisyydellä:
Tässä lausekkeessa λ on tapahtuman esiintymisten keskimääräinen lukumäärä aikayksikköä kohden ja x on tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärä.
Sen massatodennäköisyysfunktio on:
Alla on kaavio, joka esittää todennäköisyysmassafunktiota Poisson-jakauman parametrien eri arvoille.
Huomaa, että niin kauan kuin onnistumisten määrä on pieni ja binomijakaumalla suoritettujen testien määrä on suuri, voimme aina approksimoida näitä jakaumia, koska Poisson-jakauma on binomijakauman raja.
Näiden kahden jakauman tärkein ero on se, että binomijakauma riippuu kahdesta parametrista – nep – kun taas Poisson-jakauma riippuu vain λ:sta, jota joskus kutsutaan jakauman intensiteetiksi.
Tähän mennessä olemme puhuneet todennäköisyysjakaumista vain tapauksissa, joissa eri kokeet ovat toisistaan riippumattomia; eli kun yhden kokeen lopputulokseen ei vaikuta toisen kokeiden tulos.
Kun kokeet eivät ole toisistaan riippumattomia, hypergeometrinen jakauma on erittäin hyödyllinen.
Hypergeometrinen jakauma
Olkoon N äärellisen joukon objektien kokonaismäärä, joista k voidaan jollain tavalla tunnistaa, muodostaen joukon K, jonka komplementti muodostuu jäljellä olevista Nk alkiosta.
Jos valitsemme satunnaisesti n kappaletta, satunnaismuuttujalla X, joka edustaa K:han kuuluvien kappaleiden lukumäärää kyseisessä valinnassa, on hypergeometrinen jakauma parametreilla N, n ja k. Sen massatodennäköisyysfunktio on:
Seuraava kuvaaja esittää todennäköisyysmassafunktion hypergeometristen jakaumaparametrien eri arvoille.
Ratkaistut harjoitukset
Ensimmäinen harjoitus
Oletetaan, että todennäköisyys sille, että radioputki (tietyntyyppiseen laitteeseen sijoitettuna) toimii yli 500 tuntia, on 0,2. Jos testataan 20 putkea, mikä on todennäköisyys sille, että tasan k niistä toimii yli 500 tuntia, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Ratkaisu
Jos X on yli 500 tuntia toiminnassa olleiden putkien lukumäärä, oletamme, että X:llä on binomijakauma. Silloin
Ja niin:
Kun k≥11, todennäköisyys on alle 0,001
Näin ollen voimme havaita, kuinka todennäköisyys sille, että k näistä työskentelee yli 500 tuntia, kasvaa, kunnes se saavuttaa maksimiarvonsa (k = 4) ja alkaa sitten laskea.
2. harjoitus
Kolikkoa heitetään kuusi kertaa. Kun tulos on kruuna, kutsumme sitä voitoksi. Mikä on todennäköisyys saada täsmälleen kaksi kruunaa?
Ratkaisu
Tässä tapauksessa n = 6 ja onnistumisen ja epäonnistumisen todennäköisyys on p = q = 1/2
Siksi kahden pinnan annetuksi tulemisen todennäköisyys (eli k = 2) on
Kolmas harjoitus
Mikä on todennäköisyys löytää vähintään neljä tahkoa?
Ratkaisu
Tässä tapauksessa k = 4, 5 tai 6
Kolmas harjoitus
Oletetaan, että 2 % tehtaan tuotteista on viallisia. Laske todennäköisyys P sille, että 100 kappaleen otoksessa on kolme viallista kappaletta.
Ratkaisu
Tässä tapauksessa voimme soveltaa binomijakaumaa arvoilla n = 100 ja p = 0,02, jolloin saadaan tulokseksi:
Koska p on kuitenkin pieni, käytämme Poissonin approksimaatiota, jossa λ = np = 2. Näin ollen
Viitteet
- Kai Lai Chung: Todennäköisyysteorian alkeisosaaminen stokastisilla prosesseilla. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. SAMCGRAW-HILL / ESPANJAN AMERICANO.
- Paul L. Meyer Todennäköisyyslaskenta ja tilastolliset sovellukset. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, filosofian tohtori, 2000. Ratkaistuja ongelmia diskreetissä matematiikassa. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, filosofian tohtori. Teorian ja todennäköisyyden ongelmat. McGraw-HILL