Hypergeometrinen jakauma on tilastollinen malli, joka kuvaa todennäköisyyttä saada tietty määrä onnistumisia äärellisestä populaatiosta otetussa otoksessa ilman korvaamista. Tässä mallissa populaatio jaetaan kahteen erilliseen luokkaan (onnistumiset ja epäonnistumiset), ja otos valitaan korvaamatta poistettuja alkioita.
Hypergeometriselle jakaumalle on tunnusomaista kolme parametria: populaation koko, onnistumisten määrä populaatiossa ja otoksen koko. Spesifisten kaavojen ja yhtälöiden avulla on mahdollista laskea tietyn onnistumismäärän todennäköisyys valitussa otoksessa.
Tätä mallia käytetään laajalti useilla aloilla, kuten teollisuudessa, tieteellisessä tutkimuksessa ja yleisessä päätöksenteossa. Hypergeometrisen jakauman ja sen käytännön sovellusten ymmärtäminen on olennaista äärellisestä populaatiosta elementtien valintaan liittyvien ongelmien tilastollisessa analyysissä.
Laske hypergeometrinen jakauma käytännöllisellä ja tehokkaalla tavalla vain muutamassa vaiheessa.
Jotta hypergeometrinen jakauma voidaan laskea käytännössä ja tehokkaasti vain muutamalla vaiheella, on tärkeää noudattaa muutamia yksinkertaisia ohjeita. Hypergeometristä jakaumaa käytetään usein laskemaan todennäköisyys saada tietty määrä onnistumisia otoksessa ilman palautusta.
Ensin on tarpeen tunnistaa hypergeometrisen jakauman parametrit: n (otoskoko) K (onnistumisten kokonaismäärä populaatiossa), N (väestön koko) ja k (haluttujen onnistumisten lukumäärä otoksessa).
Laske sitten hypergeometrisen jakauman kaavaa käyttäen todennäköisyys saada täsmälleen k onnistumiset otoksessa, laskettuna seuraavasti:
P(X = k) = (K valitse k) * ((NK) valitse (nk)) / (N valitse n)
Jossa ”choose” edustaa binomikerrointa, joka voidaan helposti laskea kaavojen tai erikoisohjelmistojen avulla.
Lopuksi, laskettuamme todennäköisyyden kullekin arvolle k Haluttaessa on mahdollista luoda täydellinen jakauma ja analysoida tuloksia käytännöllisellä ja tehokkaalla tavalla.
Näitä yksinkertaisia ohjeita noudattamalla ja oikeita kaavoja käyttämällä on mahdollista laskea hypergeometrinen jakauma tarkasti ja nopeasti, mikä helpottaa eri skenaarioiden tilastollista analyysiä.
Milloin valita binomijakauma ja Poisson-jakauma tietyissä todennäköisyystilanteissa.
Kun valitaan binomijakauman ja Poisson-jakauman välillä tietyissä todennäköisyystilanteissa, on tärkeää ottaa huomioon molempien ominaisuudet. Binomijakaumaa käytetään, kun kyseessä on koe, jossa on kiinteä määrä kokeita, joilla kullakin on vain kaksi mahdollista lopputulosta (onnistuminen tai epäonnistuminen). Toisaalta Poisson-jakauma on sopivampi, kun kyseessä on prosessi, jossa lasketaan harvinaisia tapahtumia jatkuvalla aikavälillä tai avaruudessa.
Jos esimerkiksi haluamme tietää todennäköisyyden saada tasan 5 kruunaa kymmenellä reilun kolikonheitolla, binomijakauma olisi ihanteellinen valinta. Jos haluamme tietää todennäköisyyden sille, että tietyllä tieosuudella tapahtuu 10 liikenneonnettomuutta päivässä, Poisson-jakauma olisi sopivampi.
Hypergeometrinen jakauma: kaavat, yhtälöt, malli
Hypergeometristä jakaumaa käytetään, kun halutaan tietää, että otoksessa on todennäköisyys saada tietty määrä onnistumisia ilman palautusta. Sitä sovelletaan tilanteissa, joissa yhden alkion poistaminen vaikuttaa seuraavien alkioiden onnistumistodennäköisyyteen.
Hypergeometrisen jakauman kaava on:
P(X = k) = (C(n,k) * C(Nn, nk)) / C(N, n)
onde:
- P(X = k) on todennäköisyys saada täsmälleen k onnistumista otoksessa
- C(n,k) on n alkion yhdistelmien lukumäärä kak
- N on populaation koko
- n on otoksen elementtien lukumäärä
- k on haluttujen onnistumisten lukumäärä otoksessa
Siksi hypergeometrinen jakauma on hyödyllinen työkalu onnistumistodennäköisyyden laskemiseen otoksissa ilman korvaamista, ottaen huomioon populaation elementtien välisen vuorovaikutuksen.
Opi laskemaan todennäköisyysjakauma yksinkertaisella tavalla.
Löydä tapa laskea todennäköisyysjakauma yksinkertaisella tavalla. hypergeometrinen jakauma on tilastollinen malli, joka kuvaa todennäköisyyttä saada tietty määrä onnistumisia otoksessa ilman korvaamista. Todennäköisyysjakauman laskemiseen voit käyttää seuraavaa kaavaa:
P(X=k) = (C(k,n) * C(Nk, Nn)) / C(N, n)
onde:
- X on satunnaismuuttuja, joka edustaa onnistumisten määrää
- k on haluttujen onnistumisten lukumäärä otoksessa
- n on onnistumisten kokonaismäärä populaatiossa
- N on populaation koko
- C(a, b) edustaa yhdistelmien lukumäärää a otettuja elementtejä b a a elementtejä
Tämän kaavan avulla voit helposti laskea todennäköisyyden sille, että otoksessa saadaan tietty määrä onnistumisia ilman korvaamista. Muista, että kaikkien todennäköisyyksien summan on oltava 1, mikä tarkoittaa, että kaikkien mahdollisten onnistumismäärien kaikkien todennäköisyyksien summan on oltava 1.
Hypergeometrinen jakauma: kaavat, yhtälöt, malli
A hypergeometrinen jakauma on diskreetti tilastollinen funktio, joka soveltuu todennäköisyyden laskemiseen satunnaistetuissa kokeissa, joissa on kaksi mahdollista tulosta. Sen soveltamisen välttämätön ehto on, että populaatiot ovat pieniä, joissa poimintoja ei korvata ja todennäköisyydet eivät ole vakioita.
Siksi, kun populaation osa valitaan tietämään tietyn ominaisuuden tulos (tosi tai epätosi), samaa osaa ei voida valita uudelleen.
Seuraavaksi valittu elementti antaa siis todennäköisemmin oikean tuloksen, jos edellinen elementti antaa negatiivisen tuloksen. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys vaihtelee otoselementtien erottamisen myötä.
Hypergeometrisen jakauman tärkeimmät sovellukset ovat: laadunvalvonta prosesseissa, joissa on pieniä populaatioita, ja todennäköisyyksien laskenta peleissä.
Hypergeometrisen jakauman määrittelevä matemaattinen funktio koostuu kolmesta parametrista:
– Alkioiden lukumäärä populaatiossa (N)
– Näytteen koko (m)
– Tapahtumien lukumäärä koko populaatiossa, joissa on tutkitun ominaisuuden osalta suotuisa (tai epäsuotuisa) tulos (n).
Kaavat ja yhtälöt
Hypergeometrisen jakauman kaava antaa todennäköisyyden P että x tietyn ominaisuuden suotuisia tapauksia esiintyy. Tapa kirjoittaa se matemaattisesti kombinatorisista luvuista riippuen on:
Edellisessä lausekkeessa N , n e m ovat ex-parametreja x itse muuttuja.
- P:n kokonaisuhraus on N.
Tietyn binäärimerkin positiivisten tulosten lukumäärä koko populaatiossa on n.
-Näytealkioiden määrä on m.
Siinä tapauksessa, X on satunnaismuuttuja, joka saa arvon x e P (x) osoittaa esiintymisen todennäköisyyden x tutkitun ominaisuuden suotuisat tapaukset.
Tärkeitä tilastollisia muuttujia
Muita hypergeometrisen jakauman tilastollisia muuttujia ovat:
- Keskimääräinen μ = m * n / N
– Varianssi σ^2 = m * (n/N) * (1-n/N) * (Nm) / (N-1)
– Tyypillinen poikkeama σ, joka on varianssin neliöjuuri.
Malli ja ominaisuudet
Hypergeometrisen jakaumamallin muodostamiseksi aloitamme todennäköisyydestä saada x suotuisia tapauksia kokoisessa otoksessa m.Tämä esimerkki sisältää elementtejä, jotka täyttävät tutkittavan ominaisuuden, ja elementtejä, jotka eivät sitä.
Muista se n edustaa suotuisten tapausten lukumäärää koko väestöstä N elementtejä. Silloin todennäköisyys laskettaisiin näin:
P(x) = (# tapoja saada x) Epäonnistuneiden tapojen lukumäärä) / (# valittavien tapojen kokonaismäärä)
Ilmaisemalla edellä oleva kombinatoristen lukujen muodossa saadaan seuraava todennäköisyysjakaumamalli:
Hypergeometrisen jakauman pääominaisuudet
Ne ovat seuraavat:
– Otoksen tulisi aina olla pieni, vaikka populaatio olisi suuri.
– Otoksen alkiot poimitaan yksi kerrallaan sisällyttämättä niitä takaisin populaatioon.
– Tutkittava ominaisuus on binäärinen eli se voi saada vain kaksi arvoa: 1 ou 0 , TOTTA ou väärä .
Jokaisessa elementin erottamisvaiheessa todennäköisyys muuttuu aiempien tulosten mukaan.
Approksimaatio binomijakauman kautta
Hypergeometrisen jakauman toinen ominaisuus on, että sitä voidaan approksimoida binomijakaumalla, jota kutsutaan Bi , koska väestö N olla suuri ja vähintään 10 kertaa suurempi kuin otos m Tässä tapauksessa se näyttäisi tältä:
P (N, n, m; x) = Bi (m, n / N, x)
Soveltuu niin kauan kuin N on suuri ja N > 10 m
ESIMERKIT
Esimerkki 1
Oletetaan, että kone tuottaa ruuveja ja kertyneet tiedot osoittavat, että 1 % niistä on viallisia. N = 500 ruuvin laatikossa vikojen lukumäärä on:
n = 500 * 1/100 = 5
Todennäköisyydet hypergeometrisen jakauman kautta
Oletetaan, että tästä laatikosta (eli tästä populaatiosta) keräämme m = 60 ruuvin otoksen.
Todennäköisyys sille, että näytteessä ei ole viallisia pultteja (x = 0), on 52,63 %. Tämä tulos saadaan käyttämällä hypergeometristä jakaumafunktiota:
P(500, 5, 60; 0) = 0,5263
Todennäköisyys sille, että näytteessä x = 3 ruuvia on viallisia, on: P(500, 5, 60; 3) = 0,0129.
Toisaalta todennäköisyys sille, että x = 4 näytteen kuudestakymmenestä ruuvista on viallisia, on: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.
Lopuksi todennäköisyys sille, että x = 5 ruuvia tässä otoksessa on viallisia, on: P(500, 5, 60; 5) = 0.
Mutta jos haluat tietää todennäköisyyden sille, että näytteessä on enemmän kuin 3 viallista ruuvia, sinun on laskettava kumulatiivinen todennäköisyys laskemalla yhteen:
P(3) + P(4) + P(5) = 0,0129 + 0,0008 + 0 = 0,0137.
Tämä esimerkki on esitetty kuvassa 2, ja se on saatu käyttämällä ilmaista ohjelmistoa. geogebra , jota käytetään laajalti kouluissa, instituuteissa ja yliopistoissa.
Esimerkki 2
Espanjalaisessa korttipakassa on 40 korttia, joista 10 on kultaa ja loput 30 eivät. Oletetaan, että pakasta nostetaan sattumanvaraisesti 7 korttia, jotka eivät palaa pakkaan.
Jos X on seitsemässä nostetussa kortissa olevien kultamitalien lukumäärä, niin todennäköisyys sille, että seitsemän kortin nostossa on kultaa, on hypergeometrinen jakauma P(7; x).
Tarkastellaan seuraavaa: laskeaksemme todennäköisyyden sille, että seitsemän kortin nostossa on neljä kultakorttia, käytämme hypergeometristä jakaumakaavaa seuraavilla arvoilla:
Ja tulos on: todennäköisyys 4.57 %.
Mutta jos haluat tietää todennäköisyyden saada enemmän kuin 4 korttia, sinun on laskettava yhteen:
P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 5,20 %
Ratkaistut harjoitukset
Seuraavat harjoitukset pyrkivät havainnollistamaan ja omaksumaan tässä artikkelissa esitettyjä käsitteitä. On tärkeää, että lukija yrittää ratkaista ne itse ennen ratkaisun tarkastelua.
Harjoitus 1
Kondomitehdas havaitsi, että tietyn koneen tuottamasta tuhannesta kondomista viisi oli viallisia. Laadunvalvontaa varten valittiin satunnaisesti 1000 kondomia, ja erä hylättiin, jos havaittiin vähintään yksi tai useampi vika. Vastaus:
a) Mikä on todennäköisyys sille, että 100 kappaleen erä hylätään?
b) Onko tämä laadunvalvontakriteeri tehokas?
Ratkaisu
Tässä tapauksessa esiin tulee erittäin suuria kombinatorisia lukuja. Laskeminen on vaikeaa, ellei sopivaa ohjelmistopakettia ole saatavilla.
Mutta koska kyseessä on suuri populaatio ja otos on kymmenen kertaa pienempi kuin kokonaispopulaatio, voidaan käyttää hypergeometrisen jakauman approksimaatiota binomijakauman avulla:
P (1000,5,100; x) = Bi (100, 5/1000, x) = Bi (100, 0,005, x) = C (100, x) * 0,005 ^ x (1-0,005) ^ (100-x)
Edellisessä lausekkeessa C(100, x) on kombinatorinen luku. Useamman kuin yhden vian todennäköisyys lasketaan seuraavasti:
P(x>=1) = 1 – Bi(0) = 1 – 0,6058 = 0,3942
Tämä on erinomainen likiarvo verrattuna hypergeometrisen jakauman avulla saatuun arvoon: 0,4102
Voidaan sanoa, että 40 %:n todennäköisyydellä 100 profylaktisen aineen erä tulisi hylätä, mikä ei ole kovin tehokasta.
Jos laadunvalvontaprosessissa olisi kuitenkin hieman vähemmän vaativaa ja erä 100 hylkäistiin vain, jos siinä olisi kaksi tai useampia vikoja, erän hylkäämisen todennäköisyys laskisi vain 8 prosenttiin.
Harjoitus 2
Muovilohkokone toimii siten, että jokaista 10 kappaletta kohden yksi muuttaa muotoaan. Viiden kappaleen otoksesta todennäköisyys sille, että vain yksi kappale on viallinen, on on.
Ratkaisu
Populaatio: N = 10
Vikojen lukumäärä n kutakin N:ää kohden: n = 1
Otoskoko: m = 5
P(10, 1, 5; 1) = C(1,1) * C(9,4) / C(10,5) = 1 * 126/252 = 0,5
Siksi on 50 %:n todennäköisyys, että viiden lohkon otoksesta yksi on vääristynyt.
Harjoitus 3
Nuorten vastavalmistuneiden ryhmässä on 7 naista ja 6 miestä. Tytöistä 4 opiskelee humanistisia tieteitä ja 3 luonnontieteitä. Pojista 1 opiskelee humanistisia tieteitä ja 5 luonnontieteitä. Laske seuraavat:
a) Kolmen tytön satunnaisvalinta: mikä on todennäköisyys, että he kaikki opiskelevat humanistisia tieteitä?
b) Jos ystävien tapaamiseen valitaan sattumanvaraisesti kolme osallistujaa: Mikä on todennäköisyys, että kolme heistä sukupuolesta riippumatta opiskelee kaikkia kolmea tai myös kaikkia kolmea humanistista tieteenalaa?
c) Valitse nyt kaksi satunnaista ystävää ja kutsu satunnaismuuttujaa ”humanististen tieteiden opiskelijoiden lukumääräksi”. x Määritä kahden valitun joukosta keskimääräinen tai odotusarvo x ja variaatio σ^2.
Ratkaisu
Populaatio on tyttöjen kokonaismäärä: N = 7. Humanistisia tieteitä opiskelevia on n = 4 kokonaismäärästä. Tyttöjen satunnainen otos on m = 3.
Tässä tapauksessa todennäköisyys sille, että kaikki kolme ovat humanististen tieteiden opiskelijoita, on hypergeometrinen funktio:
P(N = 7, n = 4, m = 3, x = 3) = C(4, 3) C(3, 0) / C(7, 3) = 0,1143
On 11,4 %:n todennäköisyys sille, että kolme satunnaisesti valittua tyttöä opiskelee humanistisia tieteitä.
Ratkaisu b
Käytettävät arvot ovat nyt:
-Väkiluku: N = 14
– Kirjaimia tutkitaan seuraavasti: n = 6 ja
-Otoksen koko: m = 3.
-Humanistisia tieteitä opiskelevien ystävien lukumäärä: x
Tämän mukaan x = 3 tarkoittaa, että kaikki kolme opiskelevat humanistisia tieteitä, mutta x = 0 tarkoittaa, että kukaan ei opiskele humanistisia tieteitä. Todennäköisyys sille, että kaikki kolme opiskelevat samaa asiaa, saadaan summasta:
P(14, 6, 3, x = 0) + P(14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099
Joten meillä on 21 %:n mahdollisuus, että kolme satunnaisesti valittua kokouksen osallistujaa opiskelee samaa asiaa.
Ratkaisu c
Tässä meillä on seuraavat arvot:
N = 14 ystävien kokonaismäärä, n = 6 humanistisia tieteitä opiskelevien kokonaismäärä, otoskoko m = 2.
Toivo on:
E(x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572
Ja variaatio:
σ(x)^2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =
= 2 * (6/14) * (1-6/14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3/7) * (12) / (13) = 0,4521
Viitteet
- Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Haettu osoitteesta: biplot.usal.es
- Tilastotiede ja todennäköisyys. Hypergeometrinen jakauma. Haettu osoitteesta: proyectodescartes.org
- CDPYE-UGR. Hypergeometrinen jakauma. Haettu osoitteesta: ugr.es.
- Geogebra Klassinen geogebra, todennäköisyyslaskenta. Haettu osoitteesta geogebra.org
- Kokeile helposti. Ratkaistuja hypergeometrisen jakauman harjoituksia. Haettu osoitteesta: probafacil.com
- Minitab Hypergeometrinen jakauma Haettu osoitteesta: support.minitab.com
- Vigon yliopisto. Pääasialliset diskreetit jakaumat. Haettu osoitteesta: anapg.webs.uvigo.es
- Vitutorin tilastotiede ja kombinatoriikka. Haettu osoitteesta: vitutor.net
- Weisstein, Eric W. Hypergeometrinen jakauma. Haettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com
- Wikipedia Hypergeometrinen jakauma Haettu osoitteesta: en.wikipedia.com