Lineaarinen interpolointi on menetelmä, jota käytetään kahden tunnetun pisteen välisten väliarvojen arvioimiseen. Tämä menetelmä ottaa huomioon tunnettujen pisteiden välisen lineaarisen suhteen kiinnostuksen kohteena olevan arvon määrittämiseksi. Tätä prosessia käytetään laajalti useilla aloilla, kuten matematiikassa, tilastotieteessä, tekniikassa ja muilla.
Tässä artikkelissa käsittelemme lineaarista interpolointimenetelmää ja selitämme vaihe vaiheelta, miten tämän tyyppinen laskenta suoritetaan. Esittelemme myös esimerkkejä ratkaistuista harjoituksista, jotka helpottavat menetelmän ymmärtämistä ja käytännön soveltamista. Toivomme tällä edistävämme lineaarisen interpoloinnin ymmärtämistä ja tehokasta käyttöä erilaisissa yhteyksissä.
Vaiheittainen opas interpolointilaskelman suorittamiseen tehokkaasti.
Suorittaaksesi interpolointilaskennan tehokkaasti, noudata seuraavia ohjeita:
Vaihe 1: Kerää interpolointitehtävään tarvittavat tiedot. Näihin kuuluvat tunnetut referenssipisteiden arvot ja x-arvo, jolle haluat interpoloida.
Vaihe 2: Laske ero tunnettujen x-arvojen välillä, jotka ovat lähimpänä haluttua x-arvoa. Tämä auttaa määrittämään interpolointivälin.
Vaihe 3: Laske lähimpiä vertailupisteitä vastaavien y-arvojen välinen erotus. Tämä määrittää y:n vaihtelun interpolointivälillä.
Vaihe 4: Laske lineaarisen interpolointikaavan avulla y:n arvo halutulle x:n arvolle. Kaava on:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Vaihe 5: Sijoita tunnetut arvot kaavaan ja ratkaise saadaksesi y:n arvon, joka vastaa haluttua x:n arvoa.
Noudattamalla näitä ohjeita pystyt suorittamaan interpolointilaskennan tehokkaasti ja saamaan tarkkoja tuloksia käsillä olevaan ongelmaan.
Milloin lineaarisen interpoloinnin käyttö on tarkoituksenmukaista matemaattisessa analyysissä tai mallinnuksessa?
Lineaarinen interpolointi on matemaattisessa analyysissä tai mallinnuksessa käytetty menetelmä, kun halutaan arvioida tunnettujen arvoista väliarvoja. Tämä menetelmä soveltuu, kun data jakautuu lineaarisesti ja jatkuvasti.
Esimerkiksi kun meillä on taulukko, jossa on funktion arvot erillisissä pisteissä, ja haluamme arvioida funktion arvon välipisteessä, lineaarinen interpolointi voi olla hyvä valinta. Se koostuu suoran viivan piirtämisestä kahden tunnetun pisteen välille ja halutun arvon arvioimisesta tämän viivan avulla.
On tärkeää korostaa, että lineaarinen interpolointi ei välttämättä sovellu tapauksissa, joissa data käyttäytyy epälineaarisesti, kuten käyrät tai värähtelyt. Näissä tapauksissa muut, monimutkaisemmat interpolointimenetelmät voivat olla sopivampia.
Kuinka taulukon aukot täytetään tehokkaasti väliarvoilla.
Lineaarinen interpolointi on menetelmä, jota käytetään taulukon aukkojen tehokkaaseen täyttämiseen väliarvoilla. Tämä menetelmä koostuu puuttuvien arvojen laskemisesta taulukon tunnettujen arvojen perusteella käyttämällä yksinkertaista kaavaa.
Lineaarisen interpoloinnin soveltamiseksi tarvitset taulukosta vähintään kaksi tunnettua pistettä. Näistä pisteistä voit laskea väliarvot seuraavalla kaavalla:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Missä Y on väliarvo, jonka haluamme löytää, Y1 ja Y2 ovat taulukosta tunnetut arvot, X1 ja X2 ovat X:n vastaavat arvot ja X on X:n arvo, jolle haluamme löytää väliarvon Y.
Havainnollistamiseksi ratkaistaan käytännön harjoitus lineaarisen interpoloinnin avulla. Oletetaan, että meillä on seuraava taulukko:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Käytetään nyt lineaarista interpolointikaavaa Y:n arvon löytämiseen, kun X on yhtä suuri kuin 2:
Y = 3 + (2 - 1) * (7 - 3) / (3 - 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Siksi Y:n arvo, kun X on yhtä suuri kuin 2, on 5.
Kuten voimme nähdä, lineaarinen interpolointi on yksinkertainen ja tehokas menetelmä taulukon aukkojen täyttämiseksi väliarvoilla. Tämän tekniikan avulla voimme saada tarkkoja tuloksia nopeasti ja helposti.
Käytännön opas toisen asteen interpoloinnin tehokkaaseen suorittamiseen.
Toisen asteen interpoloinnin tehokkaaksi suorittamiseksi on tärkeää noudattaa muutamia yksinkertaisia vaiheita. Ensin sinun on tiedettävä interpoloinnissa käytettävät pisteet. Sitten sinun on laskettava näiden pisteiden kautta kulkevan toisen asteen funktion kertoimet.
Toisen asteen funktion kertoimien laskemiseksi voimme käyttää pienimmän neliösumman menetelmää. Tämä menetelmä koostuu sellaisen toisen asteen funktion löytämisestä, joka minimoi laskettujen arvojen ja tunnettujen pisteiden todellisten arvojen välisten erojen neliöiden summan.
Kun toisen asteen funktion kertoimet on laskettu, voimme käyttää sitä arvojen interpolointiin tunnettujen pisteiden välillä. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti syöttämällä halutun arvon toisen asteen funktioon ja saadaksesi vastaavan interpoloidun arvon.
On tärkeää huomata, että kvadraattinen interpolointi on tarkempi kuin lineaarinen interpolointi, koska se ottaa huomioon datan kaarevuuden. On kuitenkin tärkeää huomata, että kvadraattinen interpolointi voi johtaa epätarkempiin tuloksiin alueilla, jotka ovat kaukana tunnetuista pisteistä.
Siksi toisen asteen interpolointia suoritettaessa on erittäin tärkeää varmistaa, että tunnetut pisteet jakautuvat tasaisesti ja että toisen asteen funktio lasketaan oikein. Tämä mahdollistaa tarkemmat ja luotettavammat interpolointitulokset.
Lineaarinen interpolointi: Menetelmä, ratkaistut harjoitukset
Lineaarinen interpolointi on Newtonin yleisestä interpoloinnista ja approksimaatiosta johdettu menetelmä tuntemattoman arvon määrittämiseksi kahden luvun välillä eli väliarvon löytämiseksi. Sitä sovelletaan myös approksimaatiofunktioihin, joissa arvot f (a) ja f (b) tunnetaan ja halutaan tietää funktion f (x) väliarvo.
Interpolointityyppejä on erilaisia, mukaan lukien lineaarinen, toisen asteen, kuutiollinen ja korkeamman asteen interpolointi. Yksinkertaisin on lineaarinen approksimaatio. Lineaarisen interpoloinnin kompromissi on, että tulos ei ole yhtä tarkka kuin korkeamman asteen funktioita käytettäessä tehdyissä approksimaatioissa.
Määritelmä
Lineaarinen interpolointi on prosessi, jonka avulla voit päätellä arvon kahden hyvin määritellyn arvon välistä. Arvot voivat olla taulukossa tai lineaarisessa kaaviossa.
Jos esimerkiksi tiedät, että 3 litraa maitoa on arvoltaan 4 dollaria ja 5 litraa 7 dollaria, mutta haluat tietää, mikä on 4 litran maitoarvo, interpoloit löytääksesi väliarvon.
menetelmä
Funktion väliarvon arvioimiseksi funktio f (x) approksimoidaan suoran r (x) avulla , mikä tarkoittaa, että funktio vaihtelee lineaarisesti x:n suhteen alueilla x = a ja x = b; eli arvolle x välillä (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , y:n arvo annetaan pisteiden välisellä suoralla ja ilmaistaan seuraavalla relaatiolla:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Jotta interpolointi olisi lineaarinen, interpolointipolynomin on oltava astetta yksi (n = 1), jotta se sopii x0:n ja x1: n arvoihin.
Lineaarinen interpolointi perustuu kolmioiden samankaltaisuuteen, joten johdattamalla geometrisesti edellinen lauseke on mahdollista saada y:n arvo, joka edustaa x:n tuntematonta arvoa.
Siksi sinun on:
a = tan Ɵ = (vastakkainen haara 1 ÷ viereinen haara 1 ) = (vastakkainen haara 2 ÷ viereinen haara 2 )
Toisella tavalla ilmaistuna se on:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Poistamalla lausekkeista "ja", saat:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Näin saadaan lineaarisen interpoloinnin yleinen yhtälö:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Yleisesti ottaen lineaarinen interpolointi antaa pienen virheen todellisen funktion todelliseen arvoon, vaikka virhe on minimaalinen verrattuna löydetyn luvun lähellä olevan luvun intuitiiviseen lukuun.
Tämä virhe ilmenee, kun yritetään approksimoida käyrän arvoa suoralla viivalla; tällaisissa tapauksissa välin kokoa on pienennettävä, jotta approksimointi olisi tarkempi.
Parhaan approksimaatiotuloksen saavuttamiseksi on suositeltavaa käyttää interpoloinnissa 2., 3. tai jopa korkeamman asteen funktioita. Näissä tapauksissa Taylorin lause on erittäin hyödyllinen työkalu.
Ratkaistut harjoitukset
Harjoitus 1
Bakteerien lukumäärä tilavuusyksikköä kohti inkubaatiossa x tunnin kuluttua on esitetty seuraavassa taulukossa. Haluat tietää bakteerien määrän 3,5 tunnin aikana.
Ratkaisu
Vertailutaulukko ei määritä arvoa, joka osoittaisi bakteerien määrän 3,5 tunnin aikana, mutta on olemassa korkeampia ja matalampia arvoja, jotka vastaavat vastaavasti 3 ja 4 tunnin ajanjaksoja. Näin ollen:
x0 = 3 ja 0 = 91
x = 3,5 y =?
x1 = 4 ja 1 = 135
Nyt matemaattista yhtälöä käytetään interpoloidun arvon löytämiseen, joka on seuraava:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Sitten vastaavat arvot korvataan:
y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4-3)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Näin ollen saadaan, että 3,5 tunnin aikana bakteerien määrä on 113, mikä edustaa 3 ja 4 tunnin ajankohtina esiintyvien bakteerien määrän välitasoa.
Harjoitus 2
Luis omistaa jäätelötehtaan ja haluaa tehdä tutkimuksen elokuun tuloistaan kulujensa perusteella. Yrityksen johtaja luo kaavion, joka heijastaa tätä suhdetta, mutta Luis haluaa tietää:
Mikä on elokuun tulo, jos menoja on tehty 55.000 XNUMX dollaria?
Ratkaisu
Kuvaajassa on esitetty tuotto- ja menoluvut. Luis haluaa tietää, mikä on elokuun tuotto, jos tehtaan menot ovat 55.000 XNUMX dollaria. Tämä luku ei näy suoraan kaaviossa, mutta luvut vaihtelevat sen mukaan.
Ensin tehdään taulukko arvojen yhdistämiseksi helposti:
Nyt interpolointikaavaa käytetään y:n arvon määrittämiseen
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Sitten vastaavat arvot korvataan:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 XNUMX dollaria.
Jos elokuussa tehtiin 55.000 68.936 dollarin meno, tulot olivat XNUMX XNUMX dollaria.
Viitteet
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisen geometrian avulla. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Geometrisen ryhmäteorian aiheita. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineaarinen interpolointi », Matematiikan tietosanakirja.
- JM (1998). Numeeristen menetelmien elementit tekniikassa. UASLP.
- E. (2002). Interpoloinnin aikajärjestys: antiikin tähtitieteestä nykyaikaiseen signaali- ja kuvankäsittelyyn. Proceedings of the IEEE.
- numeerinen, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.