Merkittävät tulot ovat matemaattisia lausekkeita, joita esiintyy usein erilaisissa tilanteissa ja jotka ovat välttämättömiä laskelmien yksinkertaistamiseksi ja ongelmien ratkaisemiseksi. Tässä yhteydessä merkittävien tulojen ymmärtäminen ja hallitseminen on olennaista algebran ja matematiikan opiskelussa yleensä. Tässä artikkelissa selitämme merkittävien tulojen käsitteen, esitämme keskeisiä esimerkkejä ja ehdotamme ratkottavia harjoituksia, jotka auttavat sinua ymmärtämään tätä tärkeää aihetta.
Merkittävien tuotteiden selittämisen yksinkertaistaminen yksinkertaisilla ja käytännöllisillä vaiheilla.
Merkittävät tuotteet ovat matemaattisia lausekkeita, joilla on tietty, toistuva muoto, mikä helpottaa laskutoimituksia ja yksinkertaistaa yhtälöitä. Ymmärtääksemme tätä käsitettä paremmin, jaetaan se yksinkertaisiin, käytännöllisiin vaiheisiin.
Ensinnäkin on tärkeää ymmärtää, että merkittävät tulot koostuvat algebrallisista lausekkeista, jotka noudattavat ennalta määrättyä kaavaa. Tärkeimmät merkittävät tulot ovat: summan neliö, erotuksen neliö, summan ja erotuksen tulo e binomin neliö.
Näiden merkittävien tulojen laskemiseksi yksinkertaisesti sovelletaan vastaavia matemaattisia ominaisuuksia kuhunkin tapaukseen. Esimerkiksi tapauksessa summan neliö, käytämme kaavaa (a + b)² = a² + 2ab + b². erotuksen neliö, meillä on (a – b)² = a² – 2ab + b².
Ymmärtämisen helpottamiseksi ratkaistaan käytännön harjoitus: lasketaan 3x:n ja 2y:n välisen summan neliö. Soveltamalla kaavaa (a + b)² saadaan (3x + 2y)² = (3x)² + 2(3x)(2y) + (2y)².
Sieventämällä lauseketta saadaan: 9x² + 12xy + 4y². Tällä tavoin löydämme merkittävän tulon, joka vastaa 3x:n ja 2y:n summan neliötä.
Lyhyesti sanottuna merkittäviä tuotteita ovat standardoiduilla muodoilla varustetut matemaattiset lausekkeet, jotka helpottavat yhtälöiden laskemista ja yksinkertaistamista. Harjoittelemalla ja oikeiden kaavojen tuntemuksella on mahdollista ratkaista ongelmia helposti ja tarkasti.
Vinkkejä merkittävien tuoteongelmien ratkaisemiseen tehokkaasti ja käytännöllisesti.
Merkittävien tuotteiden ongelmien ratkaiseminen voi olla haastavaa monille opiskelijoille, mutta oikeilla vinkeillä on mahdollista helpottaa ja tehostaa tätä prosessia. Tässä on muutamia vinkkejä merkittävien tuotteiden ongelmien ratkaisemiseen tehokkaasti ja käytännöllisesti:
1. Määritä merkittävän tuotteen tyyppi: Ennen kuin aloitat ongelman ratkaisemisen, selvitä, onko se summan neliö, erotuksen neliö, summan ja erotuksen tulo vai binomiaaliyksikön neliö. Tulon tyypin tunteminen opastaa sinua oikeaan ratkaisuun.
2. Käytä tiettyjä kaavoja: Jokaisella merkittävällä tuotetyypillä on oma ratkaisunsa kaava. Varmista, että tunnet ne ja sovellat niitä oikein käsillä olevaan ongelmaan.
3. Yksinkertaista lausekkeita: Merkittäviä tuotteita koskevat ongelmat voivat usein vaikuttaa monimutkaisilta ensi silmäyksellä. Siksi on tärkeää yksinkertaistaa lausekkeita ja tunnistaa ratkaisua helpottavia malleja.
4. Harjoittele vaihtelevilla harjoituksilla: Harjoittelu on välttämätöntä merkittävien tuotteiden hallitsemiseksi. Ratkaise erilaisia harjoituksia, jotka vaihtelevat ongelmatyyppejä ja vaikeusasteita, hioaksesi taitojasi ja ymmärrystäsi aiheesta.
5. Tutustu lisämateriaaleihin: Jos sinulla on kysyttävää tai vaikeuksia tuotteen vianmäärityksessä, katso apua ja selvennystä oppikirjoista, selittävistä videoista tai ohjaajilta.
Nyt kun tiedät vinkkejä merkittävien tuoteongelmien ratkaisemiseen tehokkaasti ja käytännöllisesti, sovella niitä käytäntöön ja vahvista matemaattisia taitojasi. Omistautumisen ja sinnikkyyden avulla pystyt hallitsemaan tämän sisällön ja menestymään opinnoissasi.
Merkittävien tuotteiden ratkaiseminen: yksinkertainen vaiheittainen opas näiden erityisten matemaattisten lausekkeiden ratkaisemiseen.
Merkittävät tulot ovat erityisiä matemaattisia lausekkeita, jotka helpottavat yhtälöiden ratkaisemista ja polynomien sieventämistä. Merkittävien tulojen ratkaisemiseksi on tärkeää ymmärtää kaavat ja soveltaa niitä oikein. Tässä artikkelissa selitämme yksinkertaisesti ja selkeästi, kuinka nämä erityiset matemaattiset lausekkeet ratkaistaan.
Yksi yleisimmistä merkittävistä tuloista on kahden termin summan neliö, joka voidaan esittää kaavalla: (a + b)² = a² + 2ab + b²Ratkaistaksesi tämän lausekkeen, korvaa yksinkertaisesti arvot a e b kaavassa ja suorita tarvittavat matemaattiset laskutoimitukset.
Toinen esimerkki merkittävästä tuotteesta on kahden termin erotuksen neliö, joka noudattaa kaavaa: (a – b)² = a² – 2ab + b²Ratkaistaksesi tämän lausekkeen, korvaa yksinkertaisesti arvot a e b kaavassa ja suorita vastaavat matemaattiset laskutoimitukset.
Näiden lisäksi on olemassa muita merkittäviä tuotteita, jotka voivat olla hyödyllisiä monimutkaisempien matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa. On tärkeää harjoitella ratkaisutehtäviä tutustuakseen näihin kaavoihin ja varmistaakseen hyvän suorituksen kokeissa ja pääsykokeissa.
Nyt kun ymmärrät, miten merkittäviä tuotteita ratkaistaan, harjoittele seuraavien harjoitusten ratkaisemista:
1) Laske arvo (3 + 4)²
2) Yksinkertaista lauseketta (5–2)²
Näiden esimerkkien ja jatkuvan harjoittelun avulla pystyt ratkaisemaan minkä tahansa merkittävän tulon helposti. Muista kerrata kaavat ja harjoitella säännöllisesti pitääksesi matemaattiset taitosi terävinä!
Tutustu kolmeen merkittävään tuotetyyppiin yhdellä yksinkertaisella ja selkeällä selityksellä.
Merkittävät tulot ovat matemaattisia lausekkeita, joilla on erityisominaisuuksia ja jotka voidaan helposti yksinkertaistaa. Merkittäviä tuloja on kolmea päätyyppiä: summan neliö, erotuksen neliö e summan ja erotuksen tulo.
Merkittäviä tuotteita: selitys ja ratkaistut harjoitukset
Oma tili Merkittäviä ovat algebralliset operaatiot, joissa ilmaistaan polynomien kertolaskuja, joita ei tarvitse ratkaista perinteisesti, mutta tiettyjen sääntöjen avulla voit löytää niiden tulokset.
Polynomit kertotaan, jos niillä voi olla suuri määrä termejä ja muuttujia. Prosessin lyhentämiseksi käytetään merkittäviä tulosääntöjä, jotka mahdollistavat kertolaskujen suorittamisen ilman, että termi termi kerrallaan etenee.
Merkittäviä tuotteita ja esimerkkejä
Jokainen merkittävä tulo on tekijöihinjaon tuloksena oleva kaava, joka koostuu useiden termien, kuten binomiaalien tai trinomiaalien, polynomeista, joita kutsutaan tekijöiksi.
Tekijät ovat potenssin kantalukuja ja niillä on eksponentti. Kun tekijät kerrotaan, eksponentit on laskettava yhteen.
On olemassa useita merkittäviä tulokaavoja, joista jotkut ovat yleisempiä kuin toiset, polynomeista riippuen, ja ne ovat seuraavat:
Neliöbinomi
Se on binomiluvun kertolasku itsellään, ilmaistuna potenssimuodossa, jossa termit lasketaan yhteen tai vähennetään:
a. Binomiaalinen neliösumma: on yhtä suuri kuin ensimmäisen termin neliö plus termien kaksinkertainen tulo plus toisen termin neliö. Se ilmaistaan seuraavasti:
(a+b) 2 =(a+b) * (a + b).
Seuraava kuva näyttää, miten tulo kehittyy edellä mainitun säännön mukaisesti. Tulosta kutsutaan täydelliseksi neliötrinomiksi.
Esimerkki 1
(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5)² = x² + 10x + 25.
Esimerkki 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (neljäs * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Neliöllisen vähennyslaskun binomiarvo: Sama sääntö pätee binomisummaan, paitsi että tässä tapauksessa toinen termi on negatiivinen. Sen kaava on seuraava:
(a - b) 2 = [(a) + (-b)] 2
(a - b) 2 = a 2 + 2 * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Esimerkki 1
(2x - 6) 2 =(2x) 2 – 2 (2 kpl * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 – 2 (12 kertaa) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 – 24x + 36.
Konjugaattibinomien tulo
Kaksi binomiaalia ovat konjugoituja, kun kummankin toisilla termeillä on eri etumerkki, eli ensimmäinen on positiivinen ja toinen negatiivinen, tai päinvastoin. Tämä ratkaistaan korottamalla monomi neliöön ja vähentämällä siitä. Kaava on seuraava:
(a+b) * (a - b)
Seuraavassa kuvassa on kehitetty kahden konjugaattibinomiaalin tulo, josta voidaan nähdä, että tulos on neliöiden erotus.
Esimerkki 1
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6ab) + (-9b) 2 )
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Kahden yhteistermillä varustetun binomiluvun tulo
Se on yksi monimutkaisimmista ja harvoin käytetyistä merkittävistä tuloista, koska se on kahden yhteisen termin omaavan binomiluvun kertolasku. Sääntö kuuluu seuraavasti:
- Yhteisen termin neliö.
- Laske myös yhteen termit, jotka eivät ole yleisiä, ja kerro ne sitten yleisellä termillä.
- Plus epäyleisten termien kertolaskujen summa.
Se esitetään kaavassa: (x + a) * (x + b) ja sitä laajennetaan kuvan mukaisesti. Tuloksena on epätäydellinen neliötrinomi.
(x+6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x+6) * (x + 9) = x 2 +15x +54.
On mahdollista, että toinen termi (eri termi) on negatiivinen ja sen kaava on seuraava: (x + a) * (x – b).
Esimerkki 2
(7x+4) * (7 × – 2) = (7 × * 7x) + (4-2) * 7x + (4 * -2)
(7x+4) * (7 × – 2) = 49 × 2 + (2) * 7x - 8
(7x+4) * (7 × – 2) = 49 × 2 + 14x - 8.
Voi myös olla, että molemmat termit ovat negatiivisia. Kaavasi on: (x – a) * (x – b).
Esimerkki 3
(3b–6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b–6) * (3b – 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b–6) * (3b – 5) = 9b 2 – 33b + 30.
Neliöllinen polynomi
Tässä tapauksessa termejä on enemmän kuin kaksi, ja sen kehittämiseksi jokainen niistä korotetaan neliöön ja lisätään toisen termin kertolaskuun toisella; Sen kaava on: (a + b + c) 2 ja laskutoimituksen tulos on neliötrinomi.
Esimerkki 1
(3x + 2y + 4z) 2 =(3x) 2 + (2v) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4v 2 +16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomi kuutioon nähden
Se on huomattavan monimutkainen tulo. Sen kehittämiseksi kerro binomi sen neliöllä seuraavasti:
a. Summan kuution binomifunktiolle:
- Ensimmäisen termin kuutio plus kolme kertaa ensimmäisen termin neliö kerrottuna toisella.
- Plus kolme kertaa ensimmäinen termi, toista neliötä varten.
- Plus toisen termin kuutio.
(a+b) 3 =(a+b) * (a+b) 2
(a+b) 3 =(a+b) * (a 2 +2ab+b 2 )
(a+b) 3 = a 3 + 2 2 b + ab 2 +ba 2 +2ab 2 + B 3
(a+b) 3 = a 3 + 3 2 b+3ab 2 + B 3 .
Esimerkki 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9:ään 2 + 27a + 27.
b. Vähennyslaskun kuution binomiluvulle:
- Ensimmäisen termin kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen termin neliö kerrottuna toisella.
- Plus kolme kertaa ensimmäinen termi, toista neliötä varten.
- Miinus toisen termin kuutio.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 – 2 2 b + ab 2 – ba 2 +2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 – 3 2 b+3ab 2 - b 3 .
Esimerkki 2
(b–5) 3 =b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b–5) 3 =b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (kaksikymmentäkaksi
(b–5) 3 =b 3 - 15b 2 + 75b – 125.
Trinomin kuutio
Se kerrotaan neliöllään. Se on erittäin laaja tulo, koska siinä on kolme termiä kuutioituna, plus kolme kertaa jokainen termi potenssilla, kerrottuna jokaisella termillä ja plus kuusi kertaa näiden kolmen termin tulo. Parempi tapa tarkastella asiaa on:
(a+b+c) 3 = (a+b+c) * (a+b+c) 2
(a+b+c) 3 = (a+b+c) * (a 2 + B 2 +c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a+b+c) 3 = a 3 + B 3 +c 3 + 3 2 b+3ab 2 + 3 2 c + 3ac 2 +3b 2 c+3bc 2 + 6abc.
Esimerkki 1
Ratkaistuja harjoituksia merkittävistä tuotteista
Harjoitus 1
Kehitä kuutiolle seuraava binomi: (4x – 6) 3 .
Ratkaisu
Muistaen, että kuution binomi on yhtä kuin ensimmäisen termin kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen termin neliö korotettuna toisella; plus kolme kertaa ensimmäinen termi, toisen neliön tapauksessa miinus toisen termin kuutio.
(4x - 6) 3 =(4x) 3 – 3 (4 kpl) 2 (6) + 3 (4 kpl) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 – 3 (16 kpl 2 ) (6) + 3 (4 kpl) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Harjoitus 2
Kehitä seuraava binomiluku: (x + 3) (x + 8).
Ratkaisu
On olemassa binomi, jossa on yhteinen termi, joka on x, ja toinen termi on positiivinen. Sen kehittämiseksi korota yhteinen termi neliöön ja lisää epätavallisten termien (3 ja 8) summa. Kerro sitten ne yhteisellä termillä ja epätavallisten termien kertolaskujen summalla.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) × + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 +11x +24.
Viitteet
- Angel, AR (2007). Alkeisalgebra Koulutus Pearsonilla.
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisen geometrian avulla. Pearson koulutus.
- Das, S. (ei julkaistu). Matematiikka Plus 8. Yhdistynyt kuningaskunta: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Alkeis- ja keskitason algebra: Yhdistetty lähestymistapa . Florida: Cengage Learning.
- Pérez, C. D. (2010). Pearson koulutus.