"Potenssisarjat: Esimerkkejä ja harjoituksia" on kirja, joka tarjoaa käytännöllisen ja dynaamisen lähestymistavan potenssisarjojen käsittelyyn. Selkeiden esimerkkien ja vaiheittaisten harjoitusten avulla kirja auttaa sekä opiskelijoita että ammattilaisia ymmärtämään ja soveltamaan potenssisarjojen peruskäsitteitä, mikä tekee oppimisesta helpommin lähestyttävää ja tehokkaampaa. Yksinkertaisella ja objektiivisella kielellä kirjoitettu teos on välttämätön työkalu niille, jotka haluavat syventää tietämystään tällä matematiikan alueella.
Auktoriteetin ja vaikutusvallan osoittaminen erilaisissa sosiaalisissa, kulttuurisissa ja poliittisissa yhteyksissä.
Auktoriteetin ja vaikutusvallan osoittaminen on yleistä erilaisissa sosiaalisissa, kulttuurisissa ja poliittisissa yhteyksissä. Esimerkiksi valtaa tavoittelevissa sarjoissa voimme selvästi nähdä, kuinka hahmot käyttävät vaikutusvaltaansa tavoitteidensa saavuttamiseksi.
Sosiaalisessa kontekstissa auktoriteettia voidaan osoittaa eleillä, kehonkielellä ja jopa pukeutumisella. Tietyssä kulttuurissa tietyt vallan symbolit saattavat olla arvostetumpia kuin toiset, mikä vaikuttaa suoraan siihen, miten auktoriteetti koetaan.
Poliittisella tasolla auktoriteetti ja vaikutusvalta ovat vielä selvempiä. Poliittiset johtajat käyttävät vakuuttavia puheita, strategisia liittoutumia ja jopa voimakeinoja säilyttääkseen valta-asemansa. Joissakin tapauksissa auktoriteetti on laillistettu demokraattisten prosessien kautta, kun taas toisissa poliittisissa järjestelmissä vaikutusvaltaa käytetään autoritaarisemmalla tavalla.
On tärkeää ymmärtää, miten nämä elementit ilmenevät eri tilanteissa, jotta ymmärrettäisiin paremmin yhteiskuntamme valtadynamiikkaa.
Vallan erilaiset ilmentymät nyky-yhteiskunnissa.
Nyky-yhteiskunnissa voimme havaita erilaisia vallan ilmentymiä, jotka läpäisevät yhteiskunnalliset ja poliittiset suhteet. Valta voi ilmetä eri tavoin, olipa kyseessä sitten valtion instituutiot, monikansalliset yritykset, järjestäytyneet yhteiskunnalliset ryhmät tai jopa vaikutusvaltaiset yksilöt.
Selkeä esimerkki vallan ilmentymästä on suuryritysten harjoittama kontrolli maan taloudesta ja politiikasta. Yritykset monikansalliset yritykset Niillä on usein enemmän vaikutusvaltaa kuin paikallishallinnoilla, ja ne pystyvät sanelemaan politiikkaa ja päätöksiä, jotka vaikuttavat suoraan ihmisten elämään. Tällainen taloudellinen valta on yksi näkyvimmistä vallan ilmentymistä nyky-yhteiskunnassa.
Lisäksi valta voi ilmetä myös järjestäytyneiden sosiaalisten ryhmien, kuten sosiaalisten liikkeiden, ammattiliittojen ja kansalaisjärjestöjen, kautta. Nämä ryhmät onnistuvat usein mobilisoimaan suuren määrän ihmisiä tiettyjen asioiden taakse ja painostamaan hallituksia ja instituutioita ryhtymään toimiin, jotka hyödyttävät tiettyjä yhteiskuntaryhmiä.
Lopuksi, valtaa voi olla läsnä myös yksilötasolla yhteisöjensä tai organisaatioidensa johtotehtävissä olevien ihmisten kautta. Nämä vaikutusvaltaiset henkilöt voivat tehdä päätöksiä, jotka vaikuttavat suoraan monien ihmisten kohtaloon, ja siten käyttää heihin eräänlaista valtaa.
Vallan määritelmä filosofiassa: sen olemus, käsitteet ja pohdinnat sen luonteesta.
Valta on filosofian peruskäsite, josta on keskusteltu laajasti läpi historian. Sen ydin liittyy kykyyn vaikuttaa ja kontrolloida muita yksilöitä, ryhmiä tai tilanteita. Valtaa voidaan käyttää monin eri tavoin, olipa se sitten pakottavaa, suostuttelevaa tai oikeutettua.
Filosofiassa valtaa analysoidaan usein suhteessa yhteiskunnassa vallitseviin vallan ja alistumisen rakenteisiin. Filosofit, kuten Michel Foucault ja Friedrich Nietzsche, tutkivat vallan luonnetta korostaen sen suhdetta tietoon, moraaliin ja valtasuhteisiin.
Vallan käsitteitä on erilaisia, kuten poliittinen valta, taloudellinen valta ja symbolinen valta. Jokaisella näistä valtatyypeistä on omat ominaispiirteensä ja seurauksensa, jotka vaikuttavat sosiaalisiin suhteisiin ja vallan dynamiikkaan yhteiskunnassa.
Valtasarjat ovat konkreettisia esimerkkejä siitä, miten valta ilmenee eri yhteyksissä. Klassinen esimerkki valtasarjasta on sotilashierarkia, jossa yksilöillä on vaihtelevia valta- ja vaikutusvaltatasoja. Toinen esimerkki olisi yrityksen sisäinen valtadynamiikka, jossa johtajat käyttävät valtaa työntekijöihin.
Vallan luonteen ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää tehdä käytännön harjoituksia, joissa tutkitaan valtasuhteita eri tilanteissa. Tähän voi sisältyä vallanomistajien, sen harjoittamisen ja valtasuhteen seurausten analysointi asianosaisille.
Pohtimalla vallan luonnetta ja tarkastelemalla valtasarjoja eri konteksteissa voimme laajentaa ymmärrystämme yhteiskunnan valtasuhteista ja niiden vaikutuksista yhteisöelämään.
Erilaiset vaikuttamisen ja auktoriteetin muodot eri yhteyksissä ja ihmissuhteissa.
Erilaisissa yhteyksissä ja ihmissuhteissa voimme havaita erilaisia vaikutusvallan ja auktoriteetin muotoja, jotka kohdistavat valtaa asianosaisiin yksilöihin. Olipa kyseessä organisaatio, perhe tai ystäväpiiri, valtadynamiikka on aina läsnä ja voi ilmetä monin eri tavoin.
Selkeä esimerkki vallankäytöstä on yrityksessä vallitseva hierarkia. Pomolla on valta alaisiinsa ja hän voi vaikuttaa heidän päätöksiinsä, käyttäytymiseensä ja työsuoritukseensa. Palkkioiden, rangaistusten ja palautteen avulla hän käyttää vaikutusvaltaansa ja ylläpitää auktoriteettiaan tiimiin.
Toinen vaikuttamisen muoto voidaan havaita ystäväryhmässä, jossa karismaattinen ja suostutteleva yksilö voi käyttää valtaa muihin jäseniin. Hänen mielipiteensä ja valintansa voivat vaikuttaa ryhmän päätöksiin ja muokata heidän yhteistä vuorovaikutustaan ja toimintaansa.
Perheessä vanhempien auktoriteetti lapsiin on klassinen esimerkki vallankäytöstä. Sääntöjen, rajoitusten ja arvojen kautta vanhemmat vaikuttavat lastensa käyttäytymiseen ja kehitykseen ohjaten heitä identiteetin ja arvojen rakentumisessa.
Näiden vallan muotojen tunnistaminen ja ymmärtäminen on olennaista terveelle ja tasapainoiselle rinnakkaiselolle erilaisissa sosiaalisissa yhteyksissä.
Power-sarja: Esimerkkejä ja harjoituksia
A potenssisarja koostuu muuttujan potenssien muodossa olevien termien summasta x tai yleisemmin ottaen xc , Missä c on vakioreaaliluku. Summausmerkinnässä potenssisarja ilmaistaan seuraavasti:
Na n (x -c) n = a o + a 1 (x – c) + a 2 (x – c) 2 + a 3 (x – c) 3 +… + a n (x – c) n
Missä kertoimet a o tai 1 tai 2 ... ovat reaalilukuja ja sarja alkaa kohdasta n = 0.
Tämä sarja keskittyy arvoihin c joka on vakio, mutta voit valita sen c on yhtä suuri kuin 0; tässä tapauksessa potenssisarja sievennetään muotoon:
Na n x n = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +… + A n x n
Sarja alkaa ns. um o (xc) 0 e a ou x 0, Mutta tiedämme, että:
(xc) 0 =x 0 = 1
Siksi um o (xc) 0 = um ou x 0 = um o (itsenäinen termi)
Potenssisarjojen hyvä puoli on se, että niillä voi esittää funktioita, ja tällä on monia etuja, varsinkin jos haluat työskennellä monimutkaisen funktion kanssa.
Tässä tapauksessa funktion suoran käytön sijaan käytetään sen kehittämistä potenssisarjassa, mikä on helpompi johtaa, integroida tai käsitellä numeerisesti.
Kaikki riippuu tietenkin sarjan konvergenssista. Sarja konvergoituu, kun siihen lisätään suuri määrä termejä, jolloin saadaan kiinteä arvo. Ja jos lisäämme vielä enemmän termejä, saamme edelleen saman arvon.
Toimii potenssisarjoina
Esimerkkinä potenssisarjana esitetystä funktiosta otetaan f(x) = e x .
Tämä funktio voidaan ilmaista potenssisarjan avulla seuraavasti:
e x ≈ 1 + x + (x 2 /2!) + (x 3 /3!) + (x 4 /4!) + (x 5 / viisi!) + …
Missä ! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … ja saat 0 ! = 1.
Käytetään laskinta sen tarkistamiseen, että sarja todella vastaa eksplisiittisesti määriteltyä funktiota. Aloitetaan esimerkiksi asettamalla x = 0.
Tiedämme sen ja 0 = 1. Katsotaanpa, mitä sarja tekee:
e 0 ≈ 1 + 0 + (0 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 / 5!) + … = 1
Ja nyt yritetään x = 1 Laskin näyttää, että e 1 = 2,71828 ja sitten vertaamme sitä sarjaan:
e uma ≈ 1 + 1 + (1 2 /2!) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 / 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0,0083 + … ≈ 2.7167
Vain viidellä termillä meillä on jo täydellinen osuma ja 2.71 Sarjastamme puuttuu hieman lisää, mutta termien lisätessä se varmasti konvergoi tarkkaan arvoon e Esitys on tarkka, kun n → ∞ .
Jos edellinen analyysi toistetaan n = 2 , saadaan hyvin samankaltaisia tuloksia.
Tällä tavoin olemme varmoja, että eksponentiaalifunktio f(x) = e x voidaan esittää tällä potenssisarjalla:
Geometrinen potenssisarja
Toiminto f(x) = e x ei ole ainoa funktio, joka tukee potenssisarjan esitystä. Esimerkiksi funktio f ( x) = 1/1 – x näyttää hyvin samankaltaiselta kuin tuttu konvergentti geometrinen sarja :
granaattiomena n = a / 1 – r
Aseta vain a = 1 ja r = x saadaksesi sopivan sarjan tälle funktiolle, jonka keskipiste on c = 0:
On kuitenkin tunnettua, että tämä sarja on konvergentti, kun │r│ <1, joten esitys pätee vain välillä (-1,1), vaikka funktio pätee kaikille x:lle paitsi x = 1.
Kun haluat määritellä tämän funktion toiselle välille, keskity vain sopivaan arvoon ja olet valmis.
Kuinka löytää funktion potenssien sarjakehitys
Mikä tahansa funktio voidaan kehittää potenssisarjaksi, jonka keskipiste on c, kunhan sillä on kaikkien kertalukujen derivaattoja pisteessä x = c. Menettelyssä käytetään seuraavaa lausetta, jota kutsutaan Taylorin lause:
Olkoon f funktio (x), jonka derivaatat ovat kertalukua n , merkittynä f (N) , joka tukee energian sarjakehitystä alueella I Sen kehitys Taylorin sarja ed:
Jotta:
f(x) = f(c) + f'(c), (xc) + f''(c)(XC) 2 /2 + f”' (c) (XC) 3 /6 + … R n
Missä R n , joka on sarjan n:s termi, kutsutaan kasauma :
Kun c = 0, sarjaa kutsutaan Maclaurin-sarja .
Tässä esitetty sarja on identtinen alussa esitetyn sarjan kanssa, mutta nyt meillä on tapa löytää eksplisiittisesti kunkin termin kertoimet kaavalla:
On kuitenkin varmistettava, että sarja suppenee kohti esitettävää funktiota. Käy ilmi, etteivät kaikki Taylorin sarjat välttämättä suppene kohti f(x):ää, mikä otettiin huomioon kertoimien laskennassa. a n .
Tämä tapahtuu, koska kenties funktion derivaattojen, jotka lasketaan kohdassa x = c, vastaavat samaa arvoa kuin toisen johdannaiset, myös x = c Tässä tapauksessa kertoimet olisivat samat, mutta kehitys olisi epäselvä, koska ei ole varmuutta siitä, mitä funktiota se vastaa.
Onneksi on olemassa tapa selvittää se:
Lähentymiskriteerit
Epäselvyyksien välttämiseksi, jos R n → 0, kun n → ∞ kaikilla x välillä I, sarja suppenee funktioon f(x).
Harjoittele
– Ratkaistu tehtävä 1
Etsi funktion geometrinen potenssisarja f(x) = 1/2 – x keskitetty kohtaan c = 0.
Ratkaisu
Annettu funktio on ilmaistava siten, että se vastaa mahdollisimman tarkasti lukua 1/1 x, jonka sarja on tunnettu. Kirjoitetaan siis osoittaja ja nimittäjä uudelleen muuttamatta alkuperäistä lauseketta:
1/2 – x = (1/2) / [1 – (x / 2)]
Koska ½ on vakio, se poistuu summasta ja kirjoitetaan uuden muuttujan x / 2 avulla:
Huomaa, että x = 2 ei kuulu funktion arvoalueeseen ja osiossa annetun konvergenssikriteerin mukaan Geometrinen potenssisarja , kehitys pätee, kun │x / 2│ <1 tai vastaavasti -2
– Ratkaistu tehtävä 2
Etsi funktion f(x) = sin x Maclaurinin sarjan kehityksen viisi ensimmäistä termiä.
Ratkaisu
Vaihe 1
Ensin löydämme johdannaiset:
-Kertalukua 0 oleva derivaatta: se on sama funktio f(x) = sin x
-Ensimmäinen derivaatta: (sin x) ´ = cos x
-Toinen derivaatta: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = – sin x
-Kolmas derivaatta: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = –cos x
-Viides derivaatta: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x
Vaihe 2
Sitten jokainen derivaatta lasketaan kohdassa x = c, aivan kuten Maclaurinin kehityksessä, c = 0:
sin 0 = 0; cos 0 = 1; – sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0
vaihe 3
Kertoimet a n on rakennettu ;
a o = 0/0! = 0; a 1 = 1/1! = 1; a 2 = 0/2! = 0; a 3 = -1 / 3! a 4 = 0/4! = 0
Vaihe 4
Lopuksi sarja kootaan seuraavasti:
sin x ≈ 0,x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2 – (1/3!) x 3 + 0 x 4 … = x – (1/3!) x 3 +...
Tarvitseeko lukija lisää termejä? Mitä enemmän termejä on, sitä lähempänä sarja on funktiota.
Huomaa, että kertoimissa on tietty kaava, seuraava nollasta poikkeava termi on 5 ja kaikki parittomat luvut ovat myös erilaisia kuin nolla, vuorotellen etumerkkejä, kuten:
sin x ≈ x – (1/3!)) x 3 + (1/5!) x 5 – (1/7!) x 7 +….
Jäljelle jää harjoituksena tarkistaa, konvergoiko se kriteeri do osamäärä voidaan käyttää sarjojen konvergenssiin.
Viitteet
- CK-12 Foundation. Potenssisarjat: funktioiden ja operaatioiden esittäminen. Haettu osoitteesta: ck12.org.
- Engler, A. 2019. Integraalilaskenta. Rannikon kansallinen yliopisto.
- Larson, R. 2010. Yhden muuttujan laskenta. 9. painos. McGraw Hill.
- Ilmaisia matematiikan tekstejä. Power-sarja. Haettu osoitteesta: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Power-sarja. Haettu osoitteesta: es.wikipedia.org.