Les distributions de probabilité discrètes sont des modèles mathématiques décrivant l'occurrence d'événements de valeurs discrètes et finies. Ces distributions sont caractérisées par leurs propriétés, telles que la somme des probabilités de tous les résultats possibles égale à 1 et la présence d'un paramètre déterminant la forme de la distribution. Dans cet article, nous explorerons les caractéristiques des distributions de probabilité discrètes les plus courantes, telles que la distribution de Bernoulli, la distribution binomiale, la distribution de Poisson et la distribution géométrique, et présenterons quelques exercices pratiques pour mieux comprendre ces concepts.
Comprendre le concept de distribution de probabilité discrète : une explication simple et claire.
Pour comprendre le concept de distribution de probabilité discrète, il est important de comprendre qu'il s'agit d'une fonction mathématique associant une probabilité à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire. En d'autres termes, la distribution de probabilité discrète permet de déterminer la probabilité que chaque résultat se produise dans un ensemble fini ou dénombrable de possibilités.
Une distribution de probabilité discrète est caractérisée par sa fonction de probabilité, qui attribue à chaque résultat une valeur non négative, la somme de toutes les probabilités étant égale à 1. De plus, les résultats possibles sont distincts et isolés, sans possibilité de valeurs intermédiaires.
Un exemple classique de distribution de probabilité discrète est la distribution de Poisson, largement utilisée dans les processus de comptage, comme le nombre d'événements survenant sur une période donnée. Un autre exemple courant est la distribution binomiale, qui modélise des expériences avec seulement deux résultats possibles, comme la réussite ou l'échec.
Pour appliquer la théorie des distributions de probabilités discrètes, il est nécessaire de comprendre leurs propriétés et caractéristiques spécifiques, ainsi que de savoir calculer les probabilités et interpréter les résultats. Des exercices pratiques sont essentiels pour approfondir la compréhension et développer les compétences dans ce domaine des probabilités.
Découvrez les principales distributions discrètes utilisées en statistique et en probabilités.
Découvrez les principales distributions discrètes utilisées en statistique et en probabilités. Les distributions de probabilité discrètes sont des outils importants en analyse statistique, permettant la modélisation et la prédiction d'événements aléatoires. Parmi les principales distributions discrètes figurent la distribution de Bernoulli, la distribution binomiale, la distribution géométrique, la distribution de Poisson et la distribution hypergéométrique.
A distribution de Bernoulli est utilisé pour modéliser des expériences avec seulement deux résultats possibles, tels que le succès et l'échec. distribution binomiale Elle est appliquée dans les situations où il existe un nombre fixe d’essais indépendants, avec seulement deux résultats possibles dans chaque essai, comme le succès et l’échec.
A distribution géométrique est utilisé pour modéliser le nombre d'essais jusqu'au premier succès dans une séquence d'expériences indépendantes. Distribution de Poisson est utilisé pour modéliser l'occurrence d'événements rares dans un intervalle de temps ou d'espace spécifique.
Enfin, le distribution hypergéométrique Il est utilisé pour modéliser des expériences dans lesquelles il y a une sélection sans remplacement d'éléments d'une population finie, avec un intérêt pour le nombre de succès dans un échantillon spécifique.
Pour mieux comprendre ces distributions discrètes et comment les appliquer, il est important de s'entraîner au moyen d'exercices. La résolution de problèmes impliquant ces distributions peut contribuer à consolider les connaissances et à affiner les compétences en statistique et en probabilités.
Par conséquent, lors de l'étude des statistiques et des probabilités, il est essentiel de connaître les caractéristiques et les applications des principales distributions discrètes, telles que la distribution de Bernoulli, la distribution binomiale, la distribution géométrique, la distribution de Poisson et la distribution hypergéométrique.
Types de distributions de probabilité : découvrez les différentes formes de distributions statistiques.
Les distributions de probabilité sont des modèles mathématiques décrivant le comportement aléatoire d'un phénomène. Il existe différents types de distributions de probabilité, chacune ayant ses propres caractéristiques et applications. Dans cet article, nous nous concentrerons sur les distributions de probabilité discrètes, associées à des variables discrètes, c'est-à-dire celles qui peuvent prendre des valeurs spécifiques et dénombrables.
Parmi les distributions de probabilité discrètes les plus courantes figurent la distribution uniforme, la distribution binomiale, la distribution de Poisson et la distribution géométrique. Chacune de ces distributions possède ses propres propriétés et est utilisée dans différents contextes statistiques.
La distribution uniforme, par exemple, se caractérise par l'attribution de la même probabilité à toutes les valeurs possibles d'une variable discrète. La distribution binomiale est utilisée pour modéliser le nombre de succès dans une séquence d'essais indépendants, chacun ayant la même probabilité de succès. La distribution de Poisson, quant à elle, est utilisée pour modéliser le nombre d'événements rares dans un intervalle de temps ou d'espace. Enfin, la distribution géométrique est utilisée pour modéliser le nombre d'essais nécessaires jusqu'au premier succès dans une séquence d'essais indépendants.
Pour mieux comprendre le fonctionnement de ces distributions, il est important de s'entraîner avec des exercices. Par exemple, on peut calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 faces en 5 lancers d'une pièce de monnaie à l'aide de la distribution binomiale. Ou on peut déterminer la probabilité qu'au moins 2 événements se produisent dans un intervalle de temps donné grâce à la distribution de Poisson.
En comprenant les caractéristiques et les applications de ces distributions, les professionnels des statistiques et des sciences connexes peuvent prendre des décisions plus éclairées et plus précises basées sur des données probabilistes.
Quelles variables sont considérées comme discrètes en probabilité ?
En probabilités, les variables discrètes sont celles qui peuvent prendre un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Cela signifie que les variables discrètes sont celles qui peuvent être comptées, généralement représentées par des entiers. Par exemple, le nombre de voitures dans un parking, le nombre d'élèves dans une salle de classe et le nombre de faces d'un dé sont tous des exemples de variables discrètes.
Ces variables se distinguent des variables continues, qui peuvent prendre un nombre infini de valeurs dans une plage spécifique. Alors que les variables discrètes ont des valeurs spécifiques et discrètes, les variables continues peuvent prendre n'importe quelle valeur dans une plage continue. Par exemple, la taille d'une personne, le temps nécessaire pour accomplir une tâche et la température ambiante sont des exemples de variables continues.
Par conséquent, les variables discrètes en probabilité sont celles qui peuvent être comptées et prendre des valeurs spécifiques et distinctes, par opposition aux variables continues qui peuvent prendre n’importe quelle valeur dans une plage.
Distributions de probabilité discrètes : caractéristiques, exercices
As distributions de probabilité discrètes sont une fonction qui associe à chaque élément de X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, où X est une variable aléatoire discrète donnée et S l'espace d'échantillonnage, la probabilité que cet événement se produise. Cette fonction f de X(S), définie par f(xi) = P(X = xi), est parfois appelée fonction de probabilité de masse.
Cette masse de probabilité est généralement représentée sous forme de tableau. Puisque X est une variable aléatoire discrète, X(S) possède un nombre fini ou infini d'événements. Parmi les distributions de probabilité discrètes les plus courantes figurent la distribution uniforme, la distribution binomiale et la distribution de Poisson.
Traits
La fonction de distribution de probabilité doit répondre aux conditions suivantes :
De plus, si X ne prend qu'un nombre fini de valeurs (par exemple, x1, x2, …, xn), alors p(xi) = 0 si i > n et, par conséquent, la série infinie de conditions b devient la série finie
Cette fonction satisfait également les propriétés suivantes :
Soit B un événement associé à la variable aléatoire X. Cela signifie que B est contenu dans X(S). Plus précisément, supposons que B = {xi1, xi2,…}. Par conséquent :
En d’autres termes : la probabilité d’un événement B est égale à la somme des probabilités des résultats individuels associés à B.
De cela, nous pouvons conclure que si le
Types
Distribution uniforme en n points
On dit qu'une variable aléatoire X suit une distribution uniforme en n points si chaque valeur a la même probabilité. Sa fonction de masse de probabilité est :
Supposons que nous ayons une expérience avec deux résultats possibles : il pourrait s'agir de lancer une pièce dont les résultats possibles sont pile ou face, ou de choisir un entier dont le résultat pourrait être un nombre pair ou impair ; ce type d'expérience est connu sous le nom de test de Bernoulli.
En général, les deux résultats possibles sont appelés succès et échec, où p est la probabilité de succès et 1-p la probabilité d'échec. Nous pouvons déterminer la probabilité de x succès dans n essais de Bernoulli indépendants grâce à la distribution suivante.
Distribution binomiale
Cette fonction représente la probabilité d'obtenir x succès dans n essais de Bernoulli indépendants, dont la probabilité de succès est p. Sa fonction de masse de probabilité est :
Le graphique suivant représente la fonction de masse de probabilité pour différentes valeurs des paramètres de distribution binomiale.
La distribution suivante doit son nom au mathématicien français Siméon Poisson (1781-1840), qui l'obtint comme limite de la distribution binomiale.
Distribution de Poisson
On dit qu'une variable aléatoire X a une distribution de Poisson du paramètre λ lorsqu'elle peut recevoir les valeurs entières positives 0,1,2,3, … avec la probabilité suivante :
Dans cette expression, λ est le nombre moyen d'occurrences de l'événement pour chaque unité de temps et x est le nombre de fois que l'événement se produit.
Sa fonction de probabilité de masse est :
Ci-dessous se trouve un graphique représentant la fonction de masse de probabilité pour différentes valeurs des paramètres de la distribution de Poisson.
Notez que tant que le nombre de succès est faible et que le nombre de tests effectués sur une distribution binomiale est élevé, nous pouvons toujours approximer ces distributions, puisque la distribution de Poisson est la limite de la distribution binomiale.
La principale différence entre ces deux distributions est que, tandis que la distribution binomiale dépend de deux paramètres – nep –, la distribution de Poisson ne dépend que de λ, parfois appelé intensité de la distribution.
Jusqu’à présent, nous n’avons parlé que des distributions de probabilité pour les cas où les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres ; c’est-à-dire lorsque le résultat de l’une n’est pas affecté par le résultat de l’autre.
Lorsque les expériences ne sont pas indépendantes, la distribution hypergéométrique est très utile.
Distribution hypergéométrique
Soit N le nombre total d'objets dans un ensemble fini, dont nous pouvons identifier k d'une certaine manière, formant un sous-ensemble K, dont le complément est formé par les Nk éléments restants.
Si nous choisissons n objets au hasard, la variable aléatoire X représentant le nombre d'objets appartenant à K dans ce choix aura une distribution hypergéométrique de paramètres N, n et k. Sa fonction de probabilité de masse est :
Le graphique suivant représente la fonction de masse de probabilité pour différentes valeurs des paramètres de distribution hypergéométrique.
Exercices résolus
Premier exercice
Supposons que la probabilité qu'un tube radio (placé dans un certain type d'équipement) fonctionne plus de 500 heures soit de 0,2. Si 20 tubes sont testés, quelle est la probabilité que k d'entre eux fonctionnent plus de 500 heures, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX ?
Solution
Si X est le nombre de tubes qui fonctionnent pendant plus de 500 heures, nous supposerons que X a une distribution binomiale. Alors
Et ainsi:
Pour k≥11, les cotes sont inférieures à 0,001
Ainsi, nous pouvons observer comment la probabilité que k de ces personnes travaillent plus de 500 heures augmente, jusqu'à atteindre sa valeur maximale (avec k = 4) et commence ensuite à diminuer.
2ème exercice
On lance une pièce de monnaie six fois. Si le résultat est pile, on parle de succès. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois pile ?
Solution
Pour ce cas, nous avons n = 6 et la probabilité de succès et d'échec est p = q = 1/2
Par conséquent, la probabilité que deux faces soient données (c'est-à-dire k = 2) est
Troisième exercice
Quelle est la probabilité de trouver au moins quatre visages ?
Solution
Pour ce cas, nous avons k = 4, 5 ou 6
Troisième exercice
Supposons que 2 % des articles produits dans une usine soient défectueux. Calculez la probabilité P qu'il y ait trois articles défectueux dans un échantillon de 100 articles.
Solution
Pour ce cas, nous pouvons appliquer la distribution binomiale pour n = 100 et p = 0,02, obtenant comme résultat :
Cependant, comme p est petit, nous utilisons l'approximation de Poisson avec λ = np = 2. Ainsi
Références
- Kai Lai Chung : Théorie élémentaire des probabilités avec processus stochastiques. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Mathématiques discrètes et ses applications. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Probabilités et applications statistiques. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, Ph.D. 2000, Problèmes résolus en mathématiques discrètes. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, Ph.D., Problèmes de théorie et de probabilités. McGraw-HILL