Relations mathématiques dues à la variabilité : théorie, test et applications

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Capire che type of legam c'è tra due variabili C'est l'une d'entre elles qui domine le plus fréquemment dans les applications statistiques, les données issues des données et des tests expérimentaux et quantitatif. L'autre sens de la relation est linéaire et fait toujours partie de la cogliere, un autre chemin de retour est monotone mais non linéaire, oppure coinvolge category and non numeri, l'ancre dépend d'une troisième variable qui confonde le acque: insomma, non è una passeggiata.

Dans ce guide pratique et théorique en italien, nous l'abordons en mode organique Le principal conseil concernant les relations mathématiques est lié à la variabilité., comment diagnostiquer visuellement et avec un test formel, les coefficients qualitatifs utilisés (Pearson, Spearman, Kendall), comment changer avec des variables catégorielles variables (chi-quadro di indipendenza, test esatto di Fisher, V di Cramér, coefficiente di contingenza, phi), comment mesurer l'accord travailler avec Kappa et comment gérer cela variabili di confundimento traiter la corrélation partielle. De plus, nous améliorerons une finestra du sud.algèbre des relations (au sens insémique et informatique), essentiel pour formaliser les concepts comme le domaine, la composition, l'inverse et les fonctions.

Ce que nous entendons par «relazione» en raison de la variabilité

En langage mathématique, une relation entre A et B est un résumé du produit cartésien A×B: ogni coppia ordinata (a, b) appartenente a R indique que l'élément a di A est « en relation » avec l'élément b di B. In termini applicati, une relation déterministe (fonction) oppure probabilistica (associazione stochastica) : dans le premier cas ad ogni a corresponde esattamente una b, dans le secondo osserviamo una propension (plus ou moins fort) et non un legam uno-a-uno.

Toute « algèbre interne des relations (au sens siemiste) est intéressante proprietà come riflessività (ogni a è par rapport à lui-même), symétrie ((a, b) implique (b, a)), antisymétrie (si (a, b) et (b, a) alors a = b) et transitivité (De (a, b) et (b, c) découle (a, c)). Ce propriétaire foncier crucial : si une relation est symétrique, symétrique et transitive devient un relazione di equivalenza la «partition» A dans les classes d'éléments équivalents. Si invece est fusilssif, antisymétrique et transitif, nous abbiamo una relazione d'ordine.

Dans cette analyse, nous traduisons cette idée en pratique : nous évaluons le type de variabilité (quantitatif continu, ordinali, nominali/dicotomiche) et là rang dans cette statistique et nous scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, sachant que « relazione » ne signifie pas toujours « cause-effet ».

Visual ispezione : mangez le motif et la direction de la riconoscere

Prima di buttarsi nei numeri, un nuage de points C'est le poids de la chose la plus intelligente. Un nuage qui s'étend sur toute une ligne droite suggère un relation linéaire (positif ou négatif) ; structurer la courbe indicative relations non linéaires (ma magari monotone). Si vous n'intégrez pas un modèle, la relation linéaire risque de détruire l'assentiment.

Avec peu de variabilité, je fais un nuage de points (et par exemple dans R avec paires(données)) et une ligne qui tend à lisser (geom_smooth dans ggplot2) afin que vous puissiez noter associations, regroupement et valeurs aberrantes. Mise en garde: valeur aberrante de gli Podeno influenzare moltissimo i coefficienti, espèce Pearson.

Par exemple dans R si può iniziare così : paires(données)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Un premier examen visuel, correct au nombre, Allez au scegliere il test giusto basé sur la forme, la monotonie et la linéarité apparente.

Vérifiez sa normalité : lors du service de davvero

Tests paramétriques de Molti (par exemple le test de Pearson) Je suppose, à des degrés divers, normalité L'almeno est une structure symétrique sans code lourd. Pour contrôler l'ipotesi, une partie spécifique de la structure graphique est utilisée. istogrammi con densità e Diagramme QQ.

Dans R, una batterie minimale potrebbe includere:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Pour comparer les observations quantitatives à celles d'une norme normale, Diagramme QQ è insostituibile:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

Gardez-le à l'esprit, si je ne peux pas l'utiliser test formali di normalità par accumulation de preuves : Kolmogorov-Smirnov avec estimations de paramètres, Lilliefors, Cramér-von Mises, Shapiro-Wilk, Shapiro-Francia, Anderson-Darling et le test de Pearson (chi-quadro) de normalité.

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Si je couche normalement avec des gens et que la relation est linéaire, le coefficient Pearson est un bon cousin celtique ; sinon, il est prudent de préférer mélanger basate sui ranghi avec Spearman ou Kendall.

Relation entre la variabilité quantitative : covariance et corrélation

La covariance Le problème réside dans la covariance. depende dall'unità di misura, quindi è poco comparabile.

La Corrélation linéaire de Pearson Résolvez le problème en standardisant par écart type : le coefficient r varie entre -1 et 1, ce qui donne une valeur à ±1 indiquée. forte relazione lineare (positif ou négatif) et 0 suggère une assenza di linéarité. Veuillez noter: r = 0 n'exclut pas les relations non linéaires.

Calcoli per correlazioni dans R :

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Quando la relazione è monotona ma non linéaire ou lorsque je ne dors pas normalement (ou que je présente une exception), il est judicieux d'utiliser Lancier (ranghi; robuste et adapté aux campioni medio-grandi) Kendall τ (basato su concordanze/discordanze; préférable su petits champions (ou avec beaucoup de pareggi) :

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Une idée utile : le coefficient de détermination R² di un modello lineare semplice rétablit la part variable de Y spiegata linéairement à partir de X. Dans R :

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

Pour la dichotomie des variables vs quantitative, le coefficient point-bisérial coïncide avec le calcul de Pearson avec une variable codée 0/1 ; en pratique, couleur (dichotomique, quantitative) méthode con = « Pearson ».

Catégories variables : indépendance, force d'association et piccoli campioni

Lorsque la variabilité du sommeil entre en jeu nominali od ordinali, la relazione si studia con tabelle di contingentza (souvent avec classification doppia). L'ipotesi typique est : H0 = indépendance (association nécessaire), contrôle H1 = dipendence.

Il test di riferimento è il chi-quadro di indipendenza. Se ci sono frequenze attese troppo basse (généralement < 5), si vous l'utilisez Correction de Yates per 2×2 o si passa al test esatto di Fisher, particulièrement indiqué avec campioni piccoli.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Per quantcare l'intensité de l'association in tabelle I×J si usano: V di Cramér (0 – 1), coefficiente di contingentza (0–1, limitation), et en 2×2 il phi (φ), qui est formellement une application Pearson pour la table binaire.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Se l'intersse è confrontore groupes sa variabilité quantitative (ex. reddito per professione), si valutano test t, ANOVA L'alternative répétitive n'est pas paramétrique, pas d'intervalles de confiance. En général, cohérence dans le type de variabilité et la méthode c'est fondamental.

Accord d'évaluation : Kappa di Cohen

Quand (ou plus) les juges ne classent aucun de ces œufs dans une catégorie, il ne suffit pas de mélanger le pourcentage d'accord, car un quota peut être donné à cas. Le Kappa di Cohen quantifie l'accord correct pour l'accord informel : j'ai évalué plus loin à 0 indiquant l'accord pour chaque cas, j'ai évalué maggiori suggeriscono accord croissant (interpretazioni comuni : scarso, discret, moderato, buono, molto buono).

Il est possible de stimuler Kappa également dans versione ponderata (per categorie ordinali):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Si la catégorie n'est pas un ordre naturel (ad empio, lieve/moderata/severa), Kappa ponderato penalizza mineur en désaccord « vicini » et più quelli « lontani », ce qui donne lieu à un spesso più informatif.

Relations et variables de confusion : la corrélation partielle

Il est possible que les variables X et Y soient très corrélées, mais en réalité, la force de l'association doit être à un. variabile di confundimento Z en corrélation avec entrabe. En question, si vous cliquez dessus corrélation partielle contrôle tra X et Y par Z.

Dans R, avec ggm::pcor, vous obtenez la corrélation partielle du premier ordre et vous pouvez tester la signification. Il est utile de comparer classique r e r parziale par capire comme Z « spiega » del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

Si le quota de spiegata « crollas » dopo il controllo, maintenant Z était un confédéré importantLorsque la variable de contrôle est la catégorie (par exemple, la profession), je ne peux pas utiliser d'approches ou de modèles similaires qui incluent la catégorie comme facteur.

Limites et bonnes pratiques d'utilisation de la corrélation

Le mélange de coefficients de Pearson solo la linearitàSi la relation est non linéaire (quadratique, spontanée, logarithmique), elle peut donner lieu à 0 en présence d'une forte dépendance. Dans ces cas, valutare Lancier, le transformant en un modèle non linéaire.

Les valeur aberrante Je ne peux pas fausser le résultat. C'est pourquoi, en premier lieu, il est judicieux de vérifier le graphique et, si nécessaire, de procéder simultanément à une analyse approfondie ou de vérifier la sensibilité des résultats.

Un autre classique : corrélation ≠ causalité. En raison de la variabilité, je ne peux pas établir de corrélation parce que le sommeil influenza donne un troisième fattore, simplement une coïncidence ou l'effet d'un mécanisme inverse. Nous avons conçu des expériences, des instruments causals ou des modèles appropriés pour parler de cause-effet.

Type de relation : linéaire, monotone, nulle, catégorielle

Nei casi misti (quantitatif vs dichotomica/nominale/ordinata) se passe un test de confrontation entre groupes, correlazioni biseriali/point-biserial oa modèles (par exemple, une régression avec facteurs prédits i). Avec variabilité entrarbe categoriali, ci si affida a chi-quadro/Fisher et alle misure di force dell'associazione già viste.

Funzioni mange des relations spéciales

Une funzione Il s'agit d'une relation qui, pour chaque élément du domaine, associe exactement un élément de la copropriété. En conclusion, il s'agit d'une équation A×B qui compare un seul élément de A avec le premier composant. Autres opérations importantes en algèbre liée au sommeil : union (R1 ∪ R2), intersection (R1 ∩ R2), composition (R2 ∘ R1) et inverser (R^{-1}, qui scambia ciascuna coppia (a, b) dans (b, a)).

ces mattoni concettuali tornano utili sia nella mathématiques pures (equivalenze, ordini, classi di equivalenza) sia dans son application concrète, la colombe sert à formaliser les relations entre les entités.

L'algèbre des relations et des sciences que j'ai donnée

Nel mondo dei database, l'algèbre relationnelle Voici la structure théorique de SQL : comment l’utiliser select, proiezione, join, unione et intersezione sono versionsi pratiche di operazioni su relation-insiemi. Cette formalisation est une arme puissante pour décrire, optimiser et manipuler les choses rapidement.

Sur le terrain l'intelligence artificielle et l'apprentissage automatique, la capacité de modéliser les relations pour permettre la construction de graphes de connaissances, de systèmes de recommandation et de pipelines d'intégration ; Cette valeur est valable en économie, en biostatistique et en sciences sociales, elle est presque toujours «chi est legato a chi, et en mode che ».

Exemples classiques de relations dans la théorie de l'insiemi

Relazioni di équivalence: sommeil rationnel, symétrique et transitif. Des exemples tels que « avoir cette valeur comme solution » sont réellement réels ou existent congruence modulo n J'ai suggéré en interne. La relation d'équivalence d'Ogni induit classi di equivalenza che ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relazioni d'ordre: fusilssif, antisimmetriche et transitif. Exemples : ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), ou « diviser » (|) sui naturali. Le sommeil fondamental par définition ordinamenti totali o parziali et par région sont ses massimi, minimi, catène et antichains.

Commandez lessicographiqueC'est bien ce que j'ai dit. Il s'agit d'un ordre dans une séquence (chaîne de caractères, nombre écrit à l'unisson) qui compare les éléments un par un ; cette structure comporte un bruit important et je néglige les algorithmes.

Cette section est utile pour comprendre que la « relazione » en mathématiques est un concept plus d'espace pour la corrélation entre les semelles: incluent l'uguaglianze, les ordini, la composition et bien plus encore, tous indispensables pour modellare system complessi.

Flux de travail pratique : contrôlez-le et obtenez des résultats

Un possible flux de travail pour ne pas le perdre si vous utilisez un instrument et où :

• Inspection graphique: nuage de points, lissage, istogrammes, QQ-plot. Occhio est une valeur aberrante et une forme non linéaire.
• Chèques: si cela fonctionne, testez la normalité ; Controlli di omoscedasticità si un modèle linéaire est prévu.
• Scelta del coefficiente: Pearson (lineare, données circa normali), Spearman/Kendall (monotona/non normale/piccoli campioni).
• Catégorique: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Pour comparaison de groupe, test t/ANOVA ou alternative.
• Confundenti: corréler un modèle parziale ou multivarié (y compris la catégorie fattori).

Qualunque sia la scelta, interpretae nel contexto C'est la clé : la grandeur de l'effet, les statistiques significatives, l'ampleur du champion et la qualité des données contenant comme (sinon plus) le numéro final.

Esempi di codice R ricorrenti

Riassumendo alcune chiamate utili ce qui permet une analyse plus précise des relations entre les variables et qui peut être adapté à votre ensemble de données :

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Note pratique: le scelte “giuste” dipendono dai dati. Il convient de valider l'hypothèse, de comparer la méthode et, lorsqu'elle fonctionne, de construire un script simple pour diagnostiquer rapidement et de manière fiable la question.

Abbiamo a vu que « relazione » peut signifier le plus souvent : la forme linéaire avec Pearson, la monotonie avec Spearman/Kendall, toute association fine au sein de la catégorie avec chi-quadro/Fisher et misure avec V di Cramér et φ ; senza dimenticare l'accord entre giudici (Kappa) et la direction j'ai donné confondenti avec la corrélation parziale. Par conséquent, l'algèbre relationnelle forme les concepts conceptuels pour définir le domaine, l'inverse et la composition, entre autres l'algèbre relationnelle guide le mode dans lequel j'archive et interroge les données dans la base de données. L'idée clé est de sélectionner l'instrument en base sur le type de variables, sous la forme du jeu et des objectifs de l'analyse., rappelant que nessun coefficiente, en solo, peut raconter toute l'histoire.