Koji su aksiomi vjerojatnosti? Potpuno objašnjenje.

Iniciranje » Znanost » Matematika » Statistički » Koji su aksiomi vjerojatnosti? Potpuno objašnjenje.

Pitanje "koji su aksiomi vjerojatnosti?" čini se jednostavnim, ali odgovor vodi do vrlo čvrste matematičke konstrukcije., koja je počela biti rigorozno organizirana u 20. stoljeću radom Andreja Kolmogorova. Ti aksiomi su osnova gotovo cijele moderne teorije vjerojatnosti, od proučavanja igara na sreću do složenih statističkih modela koji se koriste u znanosti o podacima, financijama i inženjerstvu.

Prije Kolmogorovljeva formalizacijaU to vrijeme, vjerojatnost se shvaćala na intuitivniji način, povezanu s idejom učestalosti ili slučajnosti.I različiti matematičari koristili su različita tumačenja. Danas, kada govorimo o aksiomima vjerojatnosti, mislimo na minimalni skup pravila kojih se svaka funkcija vjerojatnosti mora pridržavati kako bismo mogli izvoditi koherentne izračune, izbjegavati proturječja i konstruirati snažne teoreme.

Osnovna intuicija: slučajna iskustva i događaji

Da bismo razumjeli aksiome vjerojatnosti, prvi korak je znati što je slučajni eksperiment i što nazivamo događajem.Slučajni eksperiment je svaki postupak čiji se ishod ne može sa sigurnošću predvidjeti, iako znamo sve moguće rezultate; klasični primjeri su bacanje novčića ili kocke.

Prostor uzorka, obično označen s Ω, nazivamo skupom svih mogućih ishoda ovog eksperimenta.Ako bacimo novčić, na primjer, prostor uzorka može se zapisati kao Ω = {H, T}, gdje H predstavlja "glavu", a T predstavlja "rep". Svaki element Ω naziva se elementarni ishod.

Događaj je bilo koji podskup od Ω koji nas zanima promatranje.Dakle, ako je eksperiment bacanje novčića, skup {H} je događaj "pada glava", skup {T} je događaj "pada pismo", a sam Ω je događaj "pada glava ili pismo", odnosno određeni događaj.

Neki događaji su posebno važni: nemogući događaj, elementarni događaj i izvjesni događaj.Prazan skup ∅ predstavlja nemogući događaj, budući da ne sadrži ishod; skup s jednim elementom {ω}, s ω u Ω, predstavlja elementarni događaj; a sam Ω je siguran događaj, onaj koji se uvijek događa kada se eksperiment izvodi.

Jezik teorije skupova je vrlo koristan u proučavanju vjerojatnosti.Ako su A i B događaji, tada A ∩ B predstavlja istovremenu pojavu A i B, A ∪ B predstavlja pojavu barem jednog od njih, i Komplement od A, često zapisano kao ̄A ili Ω \ A, predstavlja „nepojavljivanje A“. Ova notacija i svojstva skupova bit će izravno korišteni u formuliranju aksioma.

Tumačenja koncepta vjerojatnosti

Iako Kolmogorovljevi aksiomi pružaju matematičku osnovu za vjerojatnost, sama riječ "vjerojatnost" može se tumačiti na različite načine.Povijesno gledano, pojavila su se različita tumačenja o tome što znači dodijeliti broj P(A) događaju A.

U klasičnoj interpretaciji Laplacea, koja vrijedi za konačne prostore s jednako vjerojatnim ishodima, vjerojatnost A je omjer između broja povoljnih slučajeva i broja mogućih slučajeva.Ako prostor uzorka ima n jednako vjerojatnih ishoda (tj. #Ω = n) i događaj A sadrži n_A tih ishoda (#A = n_A), tada je vjerojatnost dana s P(A) = n_A / n. Ova formula je prilično intuitivna kada svi ishodi imaju istu vjerojatnost da se pojave.

već frekventističko tumačenje Povezuje vjerojatnost s relativnom učestalošću opaženom u ponavljanjima eksperimenta.S ove točke gledišta, ponavljamo slučajni eksperiment n puta i brojimo koliko se puta dogodi događaj A, nazivajući taj broj n_A; zatim promatramo granicu razlomka n_A / n, kako n raste. Vjerojatnost A bila bi P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), pod uvjetom da ta granica postoji.

Postoji i subjektivna interpretacija, široko korištena u Bayesovoj statistici, u kojoj je vjerojatnost povezana sa stupnjem uvjerenja racionalnog subjekta.U ovom pristupu, P(A) kvantificira koliko je netko siguran u pojavu A, uzimajući u obzir dostupno znanje. Nije iskustvo to koje "nosi" vjerojatnost, već subjekt koji koherentno procjenjuje nesigurnost.

Unatoč tim različitim tumačenjima, sva ona mogu koegzistirati unutar istog aksiomatskog okvira Kolmogorova.Drugim riječima, bez obzira preferirate li klasično, frekvencijsko ili subjektivno gledište, vjerojatnost će u konačnici biti matematički modelirana funkcijom P koja se pokorava malom skupu aksioma o prostoru događaja.

Formalna konstrukcija: prostori vjerojatnosti i σ-algebre

Kolmogorov je opisao vjerojatnost u terminima trojke (Ω, F, P), nazvane prostorom vjerojatnosti.U ovoj trojci, Ω je prostor uzorka, F je skup mogućih događaja (tehnički, σ-algebra podskupova od Ω), a P je funkcija vjerojatnosti.

σ-algebra F je posebna kolekcija podskupova od Ω koja zadovoljava neka svojstva.Općenito govoreći, F mora sadržavati prazan skup, biti zatvoren za komplement (ako je A u F, tada je i njegov komplement u F) i biti zatvoren za prebrojive unije (ako su A₁, A₂, ... u F, tada je i unija svih njih u F). Ova struktura osigurava da možemo raditi s operacijama skupova bez napuštanja svemira događaja koji imaju dobro definiranu vjerojatnost.

Formalno, F je σ-algebra nad Ω kada: Prazan skup ∅ pripada F; ako je A u F, tada komplement od A u Ω također pripada F; a ako je A₁, A₂, … (konačan ili prebrojivo beskonačan) niz elemenata od F, tada je unija A₁ ∪ A₂ ∪ … također u F. U mnogim kontekstima, F se naziva i Borelovo polje ili σ-polje.

Funkcija vjerojatnosti P definirana je na F i svakom događaju E u F dodjeljuje nenegativan realni broj.Tada kažemo da je P(E) u ℝ i P(E) ≥ 0 za sve E u F. U općoj teoriji mjere, mjere mogu poprimiti beskonačne vrijednosti, ali u standardnoj teoriji vjerojatnosti, P(E) je uvijek konačna, što donosi neke razlike u odnosu na općenitije mjere.

Ovu strukturu (Ω, F, P) s P(Ω) = 1 nazivamo prostorom vjerojatnosti.Uvjet P(Ω) = 1 je bitan jer predstavlja ideju da se, prilikom izvođenja eksperimenta, neki rezultat u Ω sigurno pojavljuje; nema "skrivenih rezultata" izvan prostora uzorka.

Kolmogorovljeve tri aksiome

Kolmogorovljeva aksiomatska teorija temelji se na tri temeljna aksioma koje svaka funkcija vjerojatnosti mora zadovoljiti.Jednostavni su za navesti, ali izuzetno moćni, jer iz njih proizlaze gotovo sva uobičajena svojstva vjerojatnosti.

Prvi aksiom - Nenegativnost: Za bilo koji događaj A koji pripada σ-algebri F, imamo P(A) ≥ 0. To jest, vjerojatnosti nikada nisu negativne. U nekim egzotičnijim teorijama govori se o "negativnim vjerojatnostima", ali te ideje odstupaju od Kolmogorovljevog klasičnog okvira.

Drugi aksiom - Normalizacija: Vjerojatnost da će se određeni događaj dogoditi jednaka je 1, tj. P(Ω) = 1. Ovaj aksiom uspostavlja konvenciju da 1 odgovara 100%-tnoj sigurnosti, a 0 odgovara nemogućnosti. U elementarnijim verzijama, ovaj aksiom se također može shvatiti kao da kaže da je zbroj vjerojatnosti svih elementarnih ishoda Ω jednak 1.

Treći aksiom — σ-aditivnost: Ako je A₁, A₂, ... niz parno disjunktnih (također nazvanih međusobno isključivim) događaja, tada je P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). To vrijedi i za konačan i za prebrojivo beskonačan skup događaja. Ovo svojstvo prebrojive aditivnosti glavna je razlika u usporedbi s pukom konačnom aditivnošću.

U jednostavnijim kontekstima, neki autori rade samo s konačnom aditivnošću., što zahtijeva da je P(A ∪ B) = P(A) + P(B) za disjunktne događaje A i B, te da se to proteže na konačan broj skupova. U ovom slučaju, dovoljno je raditi s algebrom skupova, ne nužno σ-algebrom, ali standardni pristup u modernoj vjerojatnosti je zahtjev za σ-aditivnošću.

Iz ovog trećeg aksioma proizlazi nekoliko važnih posljedica, kao što su jednakosti, nejednakosti i zakoni vjerojatnosti.On je također u središtu veze između vjerojatnosti i teorije mjere, koja proučava mjere u skupovima na prilično općenit način.

Svojstva izvedena iz aksioma

Na temelju triju Kolmogorovljevih aksioma uspjeli smo dokazati nekoliko osnovnih i iznimno korisnih svojstava.Ta svojstva nisu unaprijed pretpostavljena: ona su logičke posljedice aksioma.

Jedno od prvih svojstava je monotonost vjerojatnosti.Ako su A i B događaji u F i A je sadržan u B (A ⊆ B), tada je P(A) ≤ P(B). Ideja je intuitivna: ako B obuhvaća sve što se može dogoditi u A, a možda i više, tada B ne može imati manju vjerojatnost od A.

Drugo temeljno svojstvo je da je vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka nuli.S formalnog gledišta, koristeći σ-aditivnost, razmatramo niz gdje je E₁ = A, E₂ = B \ A i Eᵢ = ∅ za i ≥ 3, u scenariju gdje A ⊆ B. Budući da su Eᵢ disjunktni i njihova unija je B, zbroj vjerojatnosti mora konvergirati prema P(B). Ako pretpostavimo da je P(∅) = a > 0, tada bi zbroj P(∅) beskonačno mnogo puta eksplodirao u beskonačnost, što je nekompatibilno s konačnim P(B). Stoga zaključujemo da je P(∅) = 0.

Stoga možemo navesti nejednakost 0 ≤ P(E) ≤ 1 za bilo koji događaj E u F.Već smo znali da je P(E) ≥ 0 iz prvog aksioma. Znajući da je P(Ω) = 1 i koristeći monotonost s E ⊆ Ω, slijedi da je P(E) ≤ P(Ω) = 1. Dakle, svaka vjerojatnost je uvijek između 0 i 1, uključivo.

Često korišten identitet je takozvani aditivni zakon za bilo koja dva događaja.Za događaje A i B u F vrijedi da je P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Ova formula ispravlja „dvostruko brojanje“ zajedničkog događaja A ∩ B, koji se zbraja dvaput ako zbrojimo P(A) i P(B) bez prilagodbe.

Druga važna posljedica je odnos između događaja i njegovog komplementa.Ako komplement od A označimo s ̄A, tada je P(̄A) = 1 − P(A). Ova jednakost prenosi ideju da se "ili A događa ili se A ne događa", te da unutar Ω ne postoji druga mogućnost.

Iz ovoga također postaje jasno da P(A) = 0 ne mora nužno značiti da je A nemoguć događaj.Matematičkim rječnikom, moguće je da događaj ima nultu vjerojatnost, a da nije prazan skup (to se pojavljuje, na primjer, u neprekidnim prostorima), ali na najelementarnijoj razini, P(A) = 0 obično se povezuje s praktički nemogućim događajima.

Praktičan primjer: bacanje novčića

Klasičan i vrlo didaktički primjer za vizualizaciju Kolmogorovljevih aksioma je bacanje novčića.Pretpostavimo, za početak, da novčić može pasti samo na "glavu" (H) ili "pis" (T), i da su to jedini mogući ishodi.

Zatim definiramo prostor uzorka kao Ω = {H, T}Mogući događaji tvore σ-algebru F sastavljenu od {∅, {H}, {T}, {H, T}}. U ovom kontekstu, nemogući događaj je ∅, elementarni događaji su {H} i {T}, a sigurni događaj je {H, T}.

Iz Kolmogorovljevih aksioma znamo da je P(∅) = 0 i P(Ω) = 1Ako pretpostavimo da je novčić pošten, odnosno da ne favorizira nijednu stranu, tada simetrija sugerira da je P({H}) = P({T}). Budući da zbroj P({H}) + P({T}) mora biti jednak 1, zaključujemo da oba vrijede 1/2.

Stoga je vjerojatnost dobivanja "glave ili repa" P({H, T}) = 1Vjerojatnost dobivanja "glave" je P({H}) = 1/2, a vjerojatnost dobivanja "repa" je P({T}) = 1/2. Zbroj vjerojatnosti elementarnih događaja iscrpljuje ukupnu vjerojatnost prostora.

Ovaj model, iako jednostavan, ilustrira kako se aksiomi ponašaju u praksi i kako sprječavaju nedosljednosti u izračunima vjerojatnosti.Ako pažljivo ne definiramo prostor uzorka, možemo napraviti ozbiljne pogreške, jer je svaki događaj uvijek podskup skupa Ω; ako podskup ne stane u Ω, njegova vjerojatnost nije ni definirana.

Vjerojatnost u konačnim i prebrojivim prostorima

Kada je prostor uzorka konačan ili prebrojiv, vjerojatnost se može opisati na vrlo konkretan način.Pretpostavimo da je Ω = {ω₁, ω₂, …} konačan ili prebrojiv skup mogućih ishoda.

Ako je A događaj koji sadrži neke od ovih rezultata, kao što je A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Stoga se vjerojatnost događaja A može promatrati kao zbroj vjerojatnosti odgovarajućih elementarnih događaja: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Ovo je izravna primjena aditivnosti (ili σ-aditivnosti) na disjunktne skupove.

U konkretnom slučaju kada je prostor uzorka konačan, s #Ω = n, i svi ishodi su jednako vjerojatniImamo P({ωᵢ}) = 1/n za svaki i. Ako A sadrži k različitih ishoda u Ω, tada je P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Ovo je upravo klasična Laplaceova formula reinterpretirana unutar modernog aksiomatskog okvira.

Kada je prostor uzorka prebrojivo beskonačan, zbroj vjerojatnosti elementarnih događaja i dalje mora konvergirati prema 1.To jest, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Ovdje σ-aditivnost pokazuje svoju snagu, omogućujući nam da se bavimo ne samo konačnim zbrojevima, već i beskonačnim nizovima događaja.

Uvjetna vjerojatnost i uloga aksioma.

Središnji aspekt teorije je razumijevanje kako se vjerojatnost mijenja kada znamo da se određeni događaj već dogodio.Tu dolazi do izražaja uvjetna vjerojatnost, koja se obično piše kao P(A | B), što znači "vjerojatnost događaja A s obzirom na to da se događaj B dogodio".

Osnovna formula za uvjetnu vjerojatnost je P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), uz uvjet da je P(B) > 0Ova definicija je u skladu s Kolmogorovljevim aksiomima i, zapravo, za svaki B s P(B) > 0, funkcija A ↦ P(A | B) ponovno zadovoljava tri aksioma kada prostor događaja ograničimo na B.

To znači da je P(· | B) sama po sebi funkcija vjerojatnosti nad „novim“ prostorom uzorka B.Kao posljedica toga, sva osnovna svojstva vrijede za uvjetne vjerojatnosti: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, uvjetna monotonost (ako je A₁ ⊆ A₂, tada je P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) i formula P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Definicija uvjetne vjerojatnosti također dovodi do važnog odnosa P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), kada je P(A) > 0.Simetrično, možemo napisati P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), pod uvjetom da je P(B) > 0. Ove jednakosti pomažu u dekompoziciji združenih vjerojatnosti i osnova su za nekoliko rezultata, kao što je Bayesov teorem.

Zanimljivo je primijetiti da se "bezuvjetna" vjerojatnost može promatrati kao poseban slučaj uvjetne vjerojatnosti.Doista, možemo napisati P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), budući da je P(Ω) = 1. To pojačava ideju da je, konceptualno, sva vjerojatnost uvjetovana nekim pozadinskim informacijama, čak i ako je to samo znanje s kojim radimo unutar Ω.

Neovisnost događaja

Drugi ključni koncept koji se oslanja na aksiome jest koncept neovisnosti događaja.Dva događaja A i B su neovisna ako pojava jednog ne mijenja vjerojatnost drugog.

U formalnom jeziku, A i B su neovisni kada je P(A ∩ B) = P(A) P(B)U smislu uvjetne vjerojatnosti, to implicira da ako P(B) > 0, tada je P(A | B) = P(A), a ako je P(A) > 0, tada je P(B | A) = P(B). To jest, saznanje da se dogodio događaj B ne mijenja vjerojatnost događaja A i obrnuto.

Svaki događaj je neovisan o nemogućem događaju ∅ i sigurnom događaju Ω.Za prazan skup, P(A ∩ ∅) = 0 i P(∅) = 0, pa relacija trivijalno vrijedi. Za određeni događaj, P(A ∩ Ω) = P(A) i P(Ω) = 1, stoga je P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Često pitanje je mogu li dva disjunktna ​​događaja biti neovisna.Općenito, ako su A i B disjunktni i oba imaju pozitivnu vjerojatnost, tada je P(A ∩ B) = 0, ali P(A) P(B) > 0, što krši definiciju neovisnosti. Dakle, u mnogim slučajevima dva disjunktna ​​događaja s vjerojatnošću različitom od nule nisu neovisna, budući da pojava jednog isključuje mogućnost drugog.

Kada se radi o više od dva događaja, javlja se nekoliko različitih pojmova neovisnosti.Možemo imati parnu neovisnost, zajedničku neovisnost i druge tipove. U svim tim slučajevima, međutim, polazna točka ostaje relacija P(A ∩ B) = P(A) P(B), temeljena na Kolmogorovljevim aksiomima i definiciji uvjetne vjerojatnosti.

Praktična pravila i klasični zakoni vjerojatnosti

Osim svojih formalnih svojstava, aksiomi omogućuju formuliranje operativnijih zakona, korisnih u svakodnevnom radu onih koji izvode izračune vjerojatnosti.Jedan od njih je takozvani zakon zbrajanja, već spomenut u obliku P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), koji se može proširiti na veći broj događaja putem principa uključivanja i isključivanja.

Drugo često korišteno pravilo je odnos između događaja i njegovog "vanjskog" dijela drugog događaja.Za A i B u F vrijedi sljedeće: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). To je jednostavno rastavljanje A na dva dijela: dio koji se pojavljuje zajedno s B (A ∩ B) i dio koji se pojavljuje bez B (A ∩ ̄B). Ova dva dijela su disjunktna, a njihova unija je A, što vodi do prethodne jednakosti aditivnošću.

Zakon totalne vjerojatnosti i Bayesov teorem, iako ovdje nisu u potpunosti detaljno opisani, također se izravno oslanjaju na aksiome.Zakon totalne vjerojatnosti kombinira uvjetne vjerojatnosti u particiju prostora uzorka, dok Bayesov teorem "invertira" uvjetne rečenice, omogućujući ažuriranje vjerojatnosti na temelju novih dokaza.

U didaktičnijim verzijama navedeni su i neki lako pamtljivi "praktični aksiomi".Na primjer: maksimalna vjerojatnost je 1 (100%); zbroj vjerojatnosti svih elemenata u prostoru uzorka jednak je 1; a vjerojatnost događaja X dodana vjerojatnosti "ne X" uvijek je 1. Ove tvrdnje su izravni odraz formalnih aksioma.

S ovim skupom zakona moguće je rješavati probleme u rasponu od jednostavnih igara na sreću do sofisticiranih modela s mnogo varijabli.Velika prednost je u tome što, iza svih formula i računskih trikova, logička podrška ostaje isti aksiomatski tronožac.

Kolmogorovljevi aksiomi vjerojatnosti pružaju rigoroznu, ali fleksibilnu osnovu za rješavanje problema neizvjesnosti.Na temelju tri jednostavna principa - nenegativnosti, normalizacije i σ-aditivnosti - izgrađena je čitava bogata teorija, sposobna uključiti klasične, frekventne i subjektivne interpretacije, rukovati konačnim ili beskonačnim prostorima, opisivati ​​uvjetne vjerojatnosti i neovisnost te podržavati primjene u gotovo svim znanstvenim i tehnološkim područjima.