Linearna interpolacija je metoda koja se koristi za procjenu međuvrijednosti između dvije poznate točke. Ova metoda uzima u obzir linearni odnos između poznatih točaka kako bi se odredila vrijednost od interesa. Ovaj se proces široko koristi u raznim područjima, kao što su matematika, statistika, inženjerstvo i druga.
U ovom članku obradit ćemo metodu linearne interpolacije, korak po korak objašnjavajući kako izvršiti ovu vrstu izračuna. Također ćemo predstaviti primjere riješenih zadataka kako bismo olakšali razumijevanje i praktičnu primjenu ove metode. Nadamo se da ćemo time doprinijeti razumijevanju i učinkovitoj upotrebi linearne interpolacije u različitim kontekstima.
Korak-po-korak vodič za učinkovito izvođenje interpolacijskog izračuna.
Za učinkovito izvođenje interpolacijskog izračuna slijedite ove korake:
Korak 1: Prikupite podatke potrebne za problem interpolacije. To uključuje poznate vrijednosti referentnih točaka i x-vrijednost za koju želite interpolirati.
Korak 2: Izračunajte razliku između poznatih vrijednosti x najbližih željenoj vrijednosti x. To će pomoći u određivanju interpolacijskog intervala.
Korak 3: Izračunajte razliku između y-vrijednosti koje odgovaraju najbližim referentnim točkama. To će odrediti varijaciju y u interpolacijskom intervalu.
Korak 4: Koristeći formulu linearne interpolacije, izračunajte vrijednost y za željenu vrijednost x. Formula je dana kao:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Korak 5: Zamijenite poznate vrijednosti u formulu i riješite da biste dobili vrijednost y koja odgovara željenoj vrijednosti x.
Slijedeći ove korake, moći ćete učinkovito izvršiti izračun interpolacije i dobiti točne rezultate za problem koji se rješava.
Kada je prikladno koristiti linearnu interpolaciju u matematičkoj analizi ili modeliranju?
Linearna interpolacija je metoda koja se koristi u matematičkoj analizi ili modeliranju kada je potrebno procijeniti međuvrijednosti iz poznatih vrijednosti. Ova metoda je prikladna kada su podaci raspoređeni linearno i kontinuirano.
Na primjer, kada imamo tablicu s vrijednostima funkcije u diskretnim točkama i želimo procijeniti vrijednost funkcije za međutočku, linearna interpolacija može biti dobar izbor. Sastoji se od crtanja ravne crte između dvije poznate točke i korištenja te crte za procjenu željene vrijednosti.
Važno je naglasiti da linearna interpolacija možda nije prikladna u slučajevima kada podaci pokazuju nelinearno ponašanje, poput krivulja ili oscilacija. U tim slučajevima, druge složenije metode interpolacije mogu biti prikladnije.
Kako učinkovito popuniti praznine u tablici međuvrijednostima.
Linearna interpolacija je metoda koja se koristi za učinkovito popunjavanje praznina u tablici međuvrijednostima. Ova metoda se sastoji od izračunavanja nedostajućih vrijednosti na temelju poznatih vrijednosti u tablici, korištenjem jednostavne formule.
Za primjenu linearne interpolacije potrebne su vam barem dvije poznate točke u tablici. Iz tih točaka možete izračunati međuvrijednosti pomoću sljedeće formule:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Gdje je Y međuvrijednost koju želimo pronaći, Y1 i Y2 su poznate vrijednosti iz tablice, X1 i X2 su odgovarajuće vrijednosti X, a X je vrijednost X za koju želimo pronaći međuvrijednost Y.
Za ilustraciju, riješimo praktičnu vježbu korištenjem linearne interpolacije. Pretpostavimo da imamo sljedeću tablicu:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Sada, upotrijebimo formulu linearne interpolacije kako bismo pronašli vrijednost Y kada je X jednak 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Stoga je vrijednost Y kada je X jednak 2 jednaka 5.
Kao što vidimo, linearna interpolacija je jednostavna i učinkovita metoda za popunjavanje praznina u tablici međuvrijednostima. Korištenjem ove tehnike možemo brzo i jednostavno dobiti točne rezultate.
Praktični vodič za učinkovito izvođenje kvadratne interpolacije.
Za učinkovito izvođenje kvadratne interpolacije važno je slijediti nekoliko jednostavnih koraka. Prvo, morate imati poznate točke koje će se koristiti za interpolaciju. Zatim morate izračunati koeficijente kvadratne funkcije koja prolazi kroz te točke.
Za izračun koeficijenata kvadratne funkcije možemo koristiti metodu najmanjih kvadrata. Ova metoda se sastoji od pronalaženja kvadratne funkcije koja minimizira zbroj kvadrata razlika između izračunatih vrijednosti i stvarnih vrijednosti poznatih točaka.
Nakon što su izračunati koeficijenti kvadratne funkcije, možemo je koristiti za interpolaciju vrijednosti između poznatih točaka. Da biste to učinili, jednostavno u kvadratnu funkciju unesite željenu vrijednost i dobit ćete odgovarajuću interpoliranu vrijednost.
Važno je napomenuti da je kvadratna interpolacija točnija od linearne interpolacije jer uzima u obzir zakrivljenost podataka. Međutim, važno je napomenuti da kvadratna interpolacija može dovesti do manje točnih rezultata u područjima daleko od poznatih točaka.
Stoga je pri izvođenju kvadratne interpolacije ključno osigurati da su poznate točke ravnomjerno raspoređene i da je kvadratna funkcija ispravno izračunata. To omogućuje točnije i pouzdanije rezultate interpolacije.
Linearna interpolacija: Metoda, Riješene vježbe
Linearna interpolacija je metoda izvedena iz opće Newtonove interpolacije i aproksimacije za određivanje nepoznate vrijednosti koja se nalazi između dva broja, odnosno pronalazi se međuvrijednost. Također se primjenjuje na približne funkcije gdje su vrijednosti f (a) i f (b) poznate, a želite znati međuvrijednost f (x).
Postoje različite vrste interpolacije, uključujući linearnu, kvadratnu, kubnu i interpolaciju višeg reda, a najjednostavnija je linearna aproksimacija. Nedostatak linearne interpolacije je taj što rezultat neće biti toliko točan kao kod aproksimacija korištenjem funkcija višeg reda.
Definicija od
Linearna interpolacija je postupak koji vam omogućuje izvođenje vrijednosti između dvije dobro definirane vrijednosti, koje mogu biti u tablici ili linearnom grafu.
Na primjer, ako znate da 3 litre mlijeka vrijede 4 dolara, a 5 litara 7 dolara, ali želite znati kolika je vrijednost 4 litre mlijeka, interpolirate kako biste odredili tu međuvrijednost.
način
Za procjenu međuvrijednosti funkcije, funkcija f (x) se aproksimira pomoću pravca r (x) , što znači da se funkcija linearno mijenja s "x" za dio "x = a" i "x = b"; to jest, za vrijednost "x" u intervalu (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , vrijednost "y" je dana pravcem između točaka i izražena sljedećom relacijom:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Da bi interpolacija bila linearna, interpolacijski polinom mora biti stupnja jedan (n = 1) tako da odgovara vrijednostima x0 i x1.
Linearna interpolacija temelji se na sličnosti trokuta, tako da se geometrijskim izvođenjem prethodnog izraza može dobiti vrijednost «y», koja predstavlja nepoznatu vrijednost za «x».
Stoga morate:
a = tan Ɵ = (suprotna strana 1 ÷ susjedna strana 1 ) = (suprotna strana 2 ÷ susjedna strana 2 )
Izraženo na drugi način, to je:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Uklanjanjem "i" iz izraza dobivate:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Tako se dobiva opća jednadžba za linearnu interpolaciju:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Općenito, linearna interpolacija daje malu pogrešku u stvarnoj vrijednosti istinite funkcije, iako je pogreška minimalna u usporedbi s intuitivnim brojem broja bliskog pronađenom.
Do ove pogreške dolazi pri pokušaju aproksimacije vrijednosti krivulje ravnom linijom; u takvim slučajevima, veličina intervala mora se smanjiti kako bi aproksimacija bila točnija.
Za najbolje rezultate aproksimacije, preporučljivo je koristiti funkcije stupnja 2, 3 ili čak i višeg stupnja za izvođenje interpolacije. U tim slučajevima, Taylorov teorem je vrlo koristan alat.
Riješene vježbe
Vježba 1
Broj bakterija po jedinici volumena u inkubaciji nakon x sati prikazan je u sljedećoj tablici. Želite znati volumen bakterija tijekom razdoblja od 3,5 sata.
Riješenje
Referentna tablica ne utvrđuje vrijednost koja pokazuje broj bakterija tijekom razdoblja od 3,5 sata, ali postoje više i niže vrijednosti koje odgovaraju razdoblju od 3 odnosno 4 sata. Dakle:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 i 1 = 135
Sada se primjenjuje matematička jednadžba za pronalaženje interpolirane vrijednosti, koja je sljedeća:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Zatim se zamjenjuju odgovarajuće vrijednosti:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Dakle, dobiva se da je tijekom razdoblja od 3,5 sata količina bakterija 113, što predstavlja srednju razinu između volumena bakterija koje postoje u vremenima od 3 i 4 sata.
Vježba 2
Luis posjeduje tvornicu sladoleda i želi provesti istraživanje kako bi utvrdio svoj prihod za kolovoz na temelju svojih troškova. Administrator tvrtke izrađuje grafikon koji odražava taj odnos, ali Luis želi znati:
Koliki je prihod za kolovoz ako je ostvaren trošak od 55.000 USD?
Riješenje
Prikazan je grafikon koji prikazuje prihode i rashode. Luis želi znati koliki će biti prihod u kolovozu ako tvornica ima rashod od 55.000 USD. Ta se brojka ne odražava izravno na grafikonu, ali brojke su veće i niže od toga.
Prvo se izrađuje tablica za jednostavno povezivanje vrijednosti:
Sada se interpolacijska formula koristi za određivanje vrijednosti y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Zatim se zamjenjuju odgovarajuće vrijednosti:
y = 56 000 + (78 000 – 56 000) * [(55 000 – 45 000) ÷ (62 000 – 45 000)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 USD.
Ako je u kolovozu ostvaren trošak od 55.000 USD, prihod je iznosio 68.936 USD.
Reference
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Teme iz geometrijske teorije grupa. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linearna interpolacija », Enciklopedija matematike.
- JM (1998). Elementi numeričkih metoda za inženjerstvo. UASLP.
- E. (2002). Kronologija interpolacije: od antičke astronomije do moderne obrade signala i slike. Zbornik radova IEEE-a.
- numerički, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.