A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely egy esemény előfordulásainak számát írja le egy adott idő- vagy térintervallumban, amikor az előfordulások átlagos száma ismert. Széles körben használják különböző területeken, például a statisztikában, a mérnöki tudományokban, az orvostudományban és a pénzügyekben.
A Poisson-eloszlás képlete a következő: P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!, ahol λ az esemény előfordulásainak átlagos száma, k a kívánt előfordulások száma, e pedig az Euler-állandó (körülbelül 2,71828).
Ennek az eloszlásnak néhány fontos tulajdonsága van, mint például az események előfordulása közötti függetlenség, az állandó előfordulási arány és az egyidejű előfordulások hiánya. Továbbá a Poisson-eloszlás közelíthető normális eloszlással, ha az átlagos előfordulások száma nagy.
Milyen egyenletet használnak a Poisson-eloszlásban a valószínűségek kiszámításához?
A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely egy esemény előfordulásainak számát írja le egy adott időintervallumban vagy egy adott területen. A Poisson-eloszlásban a valószínűségek kiszámításához használt egyenlet a következő:
P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
Hol:
- P(X = k) pontosan k esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott időintervallumban vagy területen.
- λ az események átlagos előfordulási aránya időegységre vagy területegységre vonatkoztatva.
- e a matematikai állandó megközelítőleg 2,71828-cal egyenlő.
- k az az események száma, amelyek valószínűségét ki akarjuk számítani.
- k! a k faktoriálisát jelöli, amely az összes k-nál kisebb vagy azzal egyenlő pozitív egész szám szorzata.
Ez az egyenlet lehetővé teszi számunkra, hogy pontosan k esemény bekövetkezésének valószínűségét határozzuk meg egy adott kontextusban, ezen események átlagos előfordulási aránya alapján. A Poisson-eloszlást széles körben használják a statisztikában olyan helyzetek modellezésére, amelyekben ritka események egymástól függetlenül és állandó arányban fordulnak elő.
A Poisson-folyamat alapvető jellemzői.
A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely egy adott idő- vagy térintervallumban bekövetkező események számát írja le. Számos alapvető jellemzője van, amelyek számos területen hasznossá teszik, beleértve a statisztikát, a matematikát, a mérnöki tudományokat és a természettudományokat.
A Poisson-eloszlás képlete a következő: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, hullámok x az érdeklődésre számot tartó intervallumban bekövetkező események számát jelöli, és λ az a paraméter, amely az események átlagos előfordulási arányát képviseli.
A Poisson-modell olyan helyzetekre alkalmas, ahol az események egymástól függetlenül következnek be, és az előfordulási arányuk időben vagy térben állandó. Például a Poisson-eloszlás használható egy adott órában egy call center által fogadott hívások számának modellezésére.
A Poisson-eloszlás néhány fontos tulajdonsága az átlag és a variancia, amelyek egyenlőek a paraméterrel λTovábbá a Poisson-eloszlás nemnegatív és nincs felső korlátja.
Alapvető jellemzőinek és egyedi tulajdonságainak köszönhetően alapvető szerepet játszik a statisztikai elemzésben és a döntéshozatalban számos kontextusban.
A Poisson-eloszlás kiszámítása: lépésről lépésre és gyakorlati példákkal.
A Poisson-eloszlás kiszámításához fontos néhány lépést követni és a helyes képleteket használni. A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely leírja az adott időintervallumban vagy térben bekövetkező események számát, adott átlagos előfordulási arány mellett.
A Poisson-eloszlás képlete a következő:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Hol:
- P(X = k) pontosan k esemény bekövetkezésének valószínűsége
- e a természetes logaritmus alapja
- λ az események átlagos előfordulási aránya
- k az események száma, amelyek valószínűségét ki akarjuk számítani.
- k! a k faktoriálisa
A Poisson-eloszlás kiszámításához kövesse az alábbi lépéseket:
1. Határozza meg az események átlagos előfordulási arányát (λ)
2. Válassza ki az események számát, amelyek valószínűségét (k) ki szeretné számítani.
3. Helyettesítse be az értékeket a Poisson-eloszlás képletébe
4. Számítsa ki a végeredményt
Például, ha egy utcasarkon az átlagos baleseti ráta heti 2, mi a valószínűsége annak, hogy pontosan 3 baleset történik egy héten?
A Poisson-eloszlás képletét használva a következőt kapjuk:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804
Tehát annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 baleset történjen egy héten, 0.1804, azaz 18.04%.
Hogyan lehet megtalálni az események átlagértékét egy adott időintervallumban?
Egy adott időintervallumon belüli események átlagértékének meghatározásához használhatjuk a Poisson-eloszlást. Ezt az eloszlást széles körben használják ritka események egy adott időintervallumon belüli előfordulásának modellezésére, például egy call center által egy óra alatt fogadott hívások számára.
A Poisson-eloszlás képlete a következő:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Hol:
- P(X = k) a k esemény bekövetkezésének valószínűsége az adott időintervallumban.
- e hol van az Euler-állandó, amely megközelítőleg 2.71828-cal egyenlő.
- λ az időegységre eső átlagos események száma.
- k az elemezni kívánt események száma.
- k! a k faktoriálisát jelöli.
A Poisson-eloszlás egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy az átlaga megegyezik az átlagával, azaz egy adott időintervallumban bekövetkezett események átlagát λ adja meg.
Ezért egy adott időintervallumban az események átlagértékének meghatározásához egyszerűen használjuk az időegységre eső átlagos események számát, amelyet a Poisson-eloszlás képletében λ jelöl.
Poisson-eloszlás: képletek, egyenletek, modell, tulajdonságok
A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségeloszlás, amelyen keresztül ismert annak a valószínűsége, hogy egy nagy mintán belül és egy bizonyos intervallum alatt egy kis valószínűségű esemény bekövetkezhet.
A Poisson-eloszlás gyakran használható a binomiális eloszlás helyett, feltéve, hogy a következő feltételek teljesülnek: nagy mintaelemszám és kis valószínűség.
Siméon-Denis Poisson (1781–1840) alkotta meg ezt a róla elnevezett eloszlást, amely nagyon hasznos a kiszámíthatatlan események kezelésekor. Poisson 1837-ben publikálta eredményeit, egy kutatási cikket a jogtalan büntetőítéletek valószínűségéről.
Később más kutatók más területekre is adaptálták az eloszlást, például az adott térrészben található csillagok számára vagy annak valószínűségére, hogy egy katona meghal egy lórúgástól.
Képlet és egyenletek
A Poisson-eloszlás matematikai alakja a következő:
- μ (más néven λ) az eloszlás átlaga vagy paramétere
– Euler-szám: e = 2.71828
– Annak a valószínűsége, hogy y = k, P
- k a sikerek száma 0, 1,2,3, XNUMX, XNUMX …
- n a tesztek vagy események száma (mintaelemszám)
A diszkrét valószínűségi változók, ahogy a nevük is sugallja, a véletlentől függenek, és csak diszkrét értékeket feltételeznek: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.
Az átlagos eloszlást a következő adja meg:
A σ variancia, amely az adatok szórását méri, egy másik fontos paraméter. A Poisson-eloszlás esetében ez:
σ = μ
Poisson megállapította, hogy amikor n → ∞ és p → 0, akkor az átlag µ – más néven várható érték – állandó értékre törekszik:
μ → állandó
fontos : p az esemény bekövetkezésének valószínűsége a teljes populáció figyelembevételével, míg P (év) a mintára vonatkozó Poisson-előrejelzés.
Modell és tulajdonságok
A Poisson-eloszlás a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- A minta mérete nagy: n → ∞.
- A vizsgált események vagy események egymástól függetlenek és véletlenszerűen következnek be.
-A valószínűség P hogy egy bizonyos esemény e egy bizonyos idő alatt bekövetkező nagyon kicsi: P → 0 .
– Annak a valószínűsége, hogy egynél több esemény is bekövetkezik az adott időintervallumban, 0.
-Az átlagérték egy konstanshoz közelít, amelyet a következőképpen adunk meg: μ = np ( n a minta mérete )
-Mivel a σ diszperzió egyenlő μ-vel, a nagyobb értékek felvételével a változékonyság is nagyobb lesz.
- Az eseményeknek egyenletesen kell eloszlaniuk a használt időintervallumon belül.
-A lehetséges eseményértékek halmaza e a következő: 0,1,2,3,4, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX….
-Az összeg i A Poisson-eloszlást követő változók szintén Poisson-változók. Átlagértékük ezen változók átlagértékeinek összege.
Különbségek a binomiális eloszlástól
A Poisson-eloszlás a következő fontos szempontokban különbözik a binomiális eloszlástól:
-A binomiális eloszlást a minta mérete és a valószínűség befolyásolja P , de a Poisson-eloszlást csak a μ átlagos .
-Binomiális eloszlásban a véletlen változó lehetséges értékei e 0,1,2, …, N, azonban a Poisson-eloszlásban ezeknek az értékeknek nincs felső korlátja.
Példák
Poisson híres elosztását kezdetben jogi eljárásokra alkalmazta, de ipari szinten az egyik első felhasználási módja a sörfőzés volt. Ebben az eljárásban élesztőkultúrákat használnak az erjesztéshez.
Az élesztő élő sejtekből áll, amelyek populációja idővel változik. Sörfőzéskor hozzá kell adni a szükséges mennyiséget, ezért fontos tudni a sejtek számát egységnyi térfogatra vetítve.
A második világháború alatt a Poisson-eloszlást használták annak meghatározására, hogy a németek valóban Calais-ból vették-e célba Londont, vagy egyszerűen csak véletlenszerűen tüzeltek. Ez fontos volt a szövetségesek számára, hogy megállapítsák, mennyire jó minőségű technológia állt a nácik rendelkezésére.
Gyakorlati alkalmazások
A Poisson-eloszlás alkalmazásai mindig időben vagy térben mért darabszámra vonatkoznak. Mivel a bekövetkezés valószínűsége kicsi, a „ritka események törvénye” néven is ismert.
Íme egy lista azokról az eseményekről, amelyek e kategóriák egyikébe tartoznak:
-A részecskék radioaktív bomlásának rögzítése, amely az élesztősejtek növekedéséhez hasonlóan exponenciális függvény.
-Egy adott weboldal látogatásainak száma.
– Fizetésre vagy kiszolgálásra sorban állók érkezése (sorban állás elmélete).
– Az út egy adott pontján, egy adott időszak alatt áthaladó autók száma.
-Mutációk történtek egy adott DNS-láncban a sugárzásnak való kitettség után.
- Az egy év alatt lehullott 1 méternél nagyobb átmérőjű meteoritok száma.
– A szövet négyzetméterenkénti hibáinak száma.
- A vérsejtek száma 1 köbcentiméterben.
- Percenkénti hívások egy telefonközpontba.
– Csokoládédarabok jelennek meg 1 kg süteménytésztában.
-Az adott parazita által fertőzött fák száma 1 hektár erdőterületen.
Megjegyzendő, hogy ezek a véletlen változók azt jelentik, hogy egy esemény hányszor fordul elő egy adott időszak alatt ( percenkénti hívások a központba ) vagy a tér egy bizonyos régiója ( egy szövethiba négyzetméterenként ).
Ezek az események, ahogy azt már megállapítottuk, függetlenek az utolsó előfordulás óta eltelt időtől.
A binomiális eloszlás megközelítése Poisson-eloszlással
A Poisson-eloszlás jó közelítése a binomiális eloszlásnak, mivel:
- A minta mérete nagy: n ≥ 100
-A valószínűség láb kicsi: p ≤ 0,1
- μ a következő sorrendben legyenek: np ≤ 10
Ezekben az esetekben a Poisson-eloszlás kiváló eszköz, mivel a binomiális eloszlás alkalmazása bonyolult lehet ezekben az esetekben.
Megoldott gyakorlatok
1. gyakorlat
Egy szeizmológiai tanulmány megállapította, hogy az elmúlt 100 évben világszerte 93 nagyobb földrengés volt, amelyek erőssége legalább 6,0 volt a logaritmikus Richter-skálán. Tegyük fel, hogy a Poisson-eloszlás a megfelelő modell ebben az esetben. Adott:
a) Az átlagos nagyobb földrengések éves előfordulása.
b) Ha P (év) a bekövetkezés valószínűségére vonatkozóan e földrengések egy véletlenszerűen kiválasztott évben, határozd meg a következő valószínűségeket:
P (0), P (1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) és P (7).
c) A tanulmány valódi eredményei a következők:
- 47 év (0 földrengés)
– 31 év (1 földrengés)
– 13 év (2 földrengés)
– 5 év (3 földrengés)
– 2 év (4 földrengés)
– 0 év (5 földrengés)
– 1 év (6 földrengés)
– 1 év (7 földrengés)
Hogyan viszonyulnak ezek az eredmények a b) részben kapott eredményekhez? Jó választás-e a Poisson-eloszlás ezen események modellezésére?
a) megoldás
a) A földrengések olyan események, amelyek valószínűsége p kicsi, és egy év korlátozott időtartamot veszünk figyelembe. Az átlagos földrengés:
μ = 93/100 földrengés/év = 0,93 földrengés évente.
Megoldás b)
b) A kért valószínűségek kiszámításához az értékeket behelyettesítjük az elején megadott képletbe:
y = 2
μ = 0,93
e = 2.71828
Sokkal kisebb, mint P(2).
Az eredményeket az alábbiakban soroljuk fel:
P(0) = 0,395, P(1) = 0,367, P(2) = 0,171, P(3) = 0,0529, P(4) = 0,0123, P(5) = 0,00229, P(6) = 0,000355, P(7) = 0,0000471.
Például azt mondhatjuk, hogy 39,5% az esélye annak, hogy egy adott évben nem lesz nagyobb földrengés. Vagy hogy a három nagyobb földrengés 5,29%-a következik be abban az évben.
Megoldás c)
c) A gyakoriságokat n = 100 évvel szorozva elemezzük:
39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 és 0,00471.
Például:
– A 39,5-ös gyakoriság azt jelzi, hogy 39,5 évből 100-ben nem történt nagy földrengés, ami meglehetősen közel áll a tényleges 0 évhez, amikor egyáltalán nem történt nagy földrengés.
Hasonlítsuk össze egy másik Poisson-eredményt a tényleges eredményekkel:
A 36,7-es érték azt jelenti, hogy 37 évente van egy nagyobb földrengés. A tényleges eredmény az, hogy 31 évente volt egy nagyobb földrengés, ami jól egyezik a modellel.
– 17,1 év várható 2 nagyobb földrengéssel, és köztudott, hogy 13 év alatt, ami közeli érték, valójában 2 nagyobb földrengés történt.
Ezért a Poisson-modell elfogadható ebben az esetben.
2. gyakorlat
Egy vállalat becslése szerint a 100 üzemóra előtt meghibásodó alkatrészek száma Poisson-eloszlást követ. Ha a meghibásodások átlagos száma ekkor 8, akkor becsülje meg a következő valószínűségeket:
a) Hogy egy alkatrész 25 órán belül meghibásodik.
b) Kevesebb, mint két alkatrész meghibásodása 50 órán belül.
c) Legalább három alkatrész meghibásodik 125 órán belül.
a) megoldás
a) Ismert, hogy a meghibásodások átlagos száma 100 óra alatt 8; ezért 25 óra alatt a meghibásodások negyede, azaz 2 meghibásodás várható. Ez lesz a paraméter m.
Egyetlen komponens meghibásodásának valószínűségét kérdezzük meg, a véletlen változó a „1 órán belül meghibásodó komponensek”, értéke pedig y = 25. A valószínűségi függvénybe behelyettesítve:
Azonban kérdés, hogy mennyire valószínű, hogy kevesebb mint két komponens meghibásodik 50 óra alatt, és nem pontosan 2 alkatrész meghibásodik 50 óra alatt, tehát a valószínűségek a következők:
-Nincs kudarc
-Csak 1 hiba
P(kevesebb, mint 2 komponens hibásodik meg) = P(0) + P(1)
P(kevesebb, mint 2 komponens hibásodik meg) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915
c) Hogy legalább Ha 125 óra alatt három alkatrész meghibásodik, az azt jelenti, hogy 3, 4, 5 vagy több is meghibásodhat ugyanebben az időszakban.
A bekövetkezés valószínűsége legalább több esemény közül egy egyenlő 1-gyel, mínusz annak a valószínűsége, hogy egyik esemény sem következik be.
-A kívánt esemény az, hogy 3 órán belül 125 vagy több alkatrész meghibásodjon
– Az esemény elmaradása azt jelenti, hogy kevesebb mint 3 komponens hibásodik meg, melynek valószínűsége: P(0) + P(1) + P(2)
Az eloszlás μ paramétere ebben az esetben:
μ = 8 + 2 = 10 meghibásodás 125 óra alatt .
P(3 vagy több komponens meghibásodik) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =
Hivatkozások
- MathWorks Poisson-eloszlás. Letöltve innen: en.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statisztikák az adminisztrációért és a közgazdaságtanért. 3. kiadás. Iberoamerica Publishing Group.
- Stat Trek Tanulj statisztikát. Poisson-eloszlás. Letöltve innen: stattrek.com.
- Triola, M. 2012. Elemi statisztika. 11. kiadás. Pearson Education.
- Wikipédia Poisson-eloszlás Forrás: en.wikipedia.org