A diszkrét valószínűségi eloszlások olyan matematikai modellek, amelyek diszkrét, véges értékekkel rendelkező események bekövetkezését írják le. Ezeket az eloszlásokat a tulajdonságaik jellemzik, például az összes lehetséges kimenetel valószínűségének összege 1, valamint egy paraméter jelenléte, amely meghatározza az eloszlás alakját. Ebben a cikkben a leggyakoribb diszkrét valószínűségi eloszlások, például a Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás, a Poisson-eloszlás és a geometriai eloszlás jellemzőit vizsgáljuk meg, valamint bemutatunk néhány gyakorlati feladatot is ezen fogalmak jobb megértéséhez.
A diszkrét valószínűségeloszlás fogalmának megértése: egyszerű és világos magyarázat.
A diszkrét valószínűségeloszlás fogalmának megértéséhez fontos megérteni, hogy ez egy matematikai függvény, amely egy valószínűséget társít egy véletlenszerű kísérlet minden lehetséges kimeneteléhez. Más szóval, a diszkrét valószínűségeloszlás lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az egyes kimenetelek bekövetkezésének esélyét egy véges vagy felsorolható lehetőséghalmazban.
A diszkrét valószínűségeloszlást a valószínűségi függvénye jellemzi, amely minden kimenetelhez nem negatív értéket rendel, ahol az összes valószínűség összege egyenlő 1-gyel. Továbbá a lehetséges kimenetelek különállóak és elszigeteltek, és nincs lehetőség köztes értékek előfordulására.
A diszkrét valószínűségeloszlás klasszikus példája a Poisson-eloszlás, amelyet széles körben használnak számlálási folyamatokban, például egy adott időszakban bekövetkező események számának meghatározásában. Egy másik gyakori példa a binomiális eloszlás, amely olyan kísérleteket modellez, amelyekben csak két lehetséges kimenetelű kísérletek vannak, például siker vagy kudarc.
A diszkrét valószínűségeloszlások elméletének alkalmazásához meg kell érteni azok specifikus tulajdonságait és jellemzőit, valamint képesnek kell lenni a valószínűségek kiszámítására és az eredmények értelmezésére. A gyakorlati feladatok elengedhetetlenek a megértés elmélyítéséhez és a készségek fejlesztéséhez a valószínűségszámítás ezen területén.
Ismerd meg a statisztikában és valószínűségszámításban használt főbb diszkrét eloszlásokat.
Ismerd meg a statisztikában és valószínűségszámításban használt főbb diszkrét eloszlásokat. A diszkrét valószínűségeloszlások fontos eszközök a statisztikai elemzésben, mivel lehetővé teszik a véletlenszerű események modellezését és előrejelzését. A főbb diszkrét eloszlások közé tartozik a Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás, a geometriai eloszlás, a Poisson-eloszlás és a hipergeometrikus eloszlás.
A Bernoulli-eloszlás olyan kísérletek modellezésére szolgál, amelyeknek csak két lehetséges kimenetele van, például siker és kudarc. binomiális eloszlás Olyan helyzetekben alkalmazzák, ahol meghatározott számú független kísérlet van, és minden kísérletben csak két lehetséges kimenetel van, például siker és kudarc.
A geometriai eloszlás a független kísérletek sorozatában az első sikerig tartó próbálkozások számát modellezi. Poisson-eloszlás ritka események előfordulásának modellezésére szolgál egy adott idő- vagy térintervallumban.
Végül a hipergeometrikus eloszlás Olyan kísérletek modellezésére használják, amelyekben egy véges populációból választanak ki elemeket visszatevés nélkül, egy adott mintában a sikeres esetek számára összpontosítva.
Ahhoz, hogy jobban megértsük ezeket a diszkrét eloszlásokat és azok alkalmazását, fontos a gyakorlás gyakorlatok segítségével. Az ilyen eloszlásokat érintő problémák megoldása segíthet megszilárdítani a tudást és fejleszteni a statisztikai és valószínűségszámítási készségeket.
Ezért a statisztika és a valószínűségszámítás tanulmányozása során elengedhetetlen a főbb diszkrét eloszlások, például a Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás, a geometriai eloszlás, a Poisson-eloszlás és a hipergeometrikus eloszlás jellemzőinek és alkalmazásainak ismerete.
Valószínűségeloszlások típusai: ismerkedjen meg a statisztikai eloszlások különböző formáival.
A valószínűségeloszlások olyan matematikai modellek, amelyek egy jelenség véletlenszerű viselkedését írják le. Különböző típusú valószínűségeloszlások léteznek, mindegyiknek megvannak a saját jellemzői és alkalmazásai. Ebben a cikkben a diszkrét valószínűségeloszlásokra fogunk összpontosítani, amelyek diszkrét változókhoz kapcsolódnak – azokhoz, amelyek specifikus, megszámlálható értékeket vehetnek fel.
A leggyakoribb diszkrét valószínűségi eloszlások közé tartozik az egyenletes eloszlás, a binomiális eloszlás, a Poisson-eloszlás és a geometriai eloszlás. Ezen eloszlások mindegyikének megvannak a saját tulajdonságai, és különböző statisztikai kontextusokban használják őket.
Az egyenletes eloszlást például az jellemzi, hogy egy diszkrét változó minden lehetséges értékéhez azonos valószínűséget rendelünk. A binomiális eloszlást egy független, azonos sikervalószínűségű kísérletsorozat sikereinek számát modellezzük. A Poisson-eloszlást pedig egy idő- vagy térintervallumon belüli ritka események számát modellezzük. A geometriai eloszlást pedig egy független kísérletsorozat első sikeréig szükséges kísérletek számának modellezésére használjuk.
Ahhoz, hogy jobban megértsük, hogyan működnek ezek az eloszlások, fontos gyakorlatokkal gyakorolni. Például a binomiális eloszlás segítségével kiszámíthatjuk annak valószínűségét, hogy egy szabályos érme 3 feldobásával pontosan 5 fejet kapunk. Vagy a Poisson-eloszlás segítségével meghatározhatjuk annak valószínűségét, hogy legalább 2 esemény bekövetkezik egy adott időintervallumon belül.
Ezen eloszlások jellemzőinek és alkalmazásainak megértésével a statisztikák és a kapcsolódó tudományok szakemberei megalapozottabb és pontosabb döntéseket hozhatnak a valószínűségi adatok alapján.
Mely változókat tekintjük diszkrétnek a valószínűségszámításban?
A valószínűségszámításban a diszkrét változók azok, amelyek véges vagy megszámlálható számú értéket vehetnek fel. Ez azt jelenti, hogy a diszkrét változók azok, amelyek megszámlálhatók, általában egész számokkal ábrázolva. Például az autók száma egy parkolóban, a diákok száma egy tanteremben és a dobókockán lévő lapok száma mind a diszkrét változók példái.
Ezek a változók különböznek a folytonos változóktól, amelyek egy adott tartományon belül végtelen számú értéket vehetnek fel. Míg a diszkrét változók meghatározott, diszkrét értékekkel rendelkeznek, a folytonos változók egy folytonos tartományon belül bármilyen értéket felvehetnek. Például egy személy magassága, egy feladat elvégzéséhez szükséges idő és a szobahőmérséklet a folytonos változók példái.
Ezért a valószínűségszámítás diszkrét változói azok, amelyek megszámolhatók és meghatározott, különálló értékeket vehetnek fel, szemben a folytonos változókkal, amelyek egy tartományon belül bármilyen értéket felvehetnek.
Diszkrét valószínűségi eloszlások: jellemzők, feladatok
As diszkrét valószínűségi eloszlások egy olyan függvény, amely az X(S) = {x1, x2, …, xi, …} halmaz minden eleméhez hozzárendeli az esemény bekövetkezésének valószínűségét, ahol X egy adott diszkrét valószínűségi változó, S pedig a mintavételi tér. Az X(S) halmaz ezen f függvényét, amelyet f(xi) = P(X = xi) alakban definiálunk, néha tömegvalószínűségi függvénynek is nevezik.
Ezt a valószínűségi tömeget általában táblázat formájában ábrázolják. Mivel X egy diszkrét valószínűségi változó, X(S)-nek véges vagy végtelen számú eseménye lehet. A leggyakoribb diszkrét valószínűségi eloszlások közé tartozik az egyenletes eloszlás, a binomiális eloszlás és a Poisson-eloszlás.
Jellemzők
A valószínűségeloszlás-függvénynek a következő feltételeknek kell megfelelnie:
Továbbá, ha X csak véges számú értéket vesz fel (pl. x1, x2, …, xn), akkor p(xi) = 0, ha i > n, és ezért a feltételek végtelen sorozata b véges sorozattá válik.
Ez a függvény a következő tulajdonságokat is kielégíti:
Legyen B egy, az X valószínűségi változóhoz kapcsolódó esemény. Ez azt jelenti, hogy B benne van X(S)-ben. Konkrétan tegyük fel, hogy B = {xi1, xi2,…}. Tehát:
Más szóval: egy B esemény valószínűsége megegyezik a B-hez kapcsolódó egyedi kimenetelek valószínűségeinek összegével.
Ebből arra következtethetünk, hogy ha a
Típusai
Egyenletes eloszlás n ponton
Egy X valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy n pontban egyenletes eloszlást követ, ha minden értékhez ugyanaz a valószínűség tartozik. Valószínűségi tömegfüggvénye:
Tegyük fel, hogy van egy kísérletünk két lehetséges kimenetellel: feldobhatunk egy érmét, amelynek lehetséges kimenetelei fej vagy írás, vagy választhatunk egy egész számot, amelynek kimenetele lehet páros vagy páratlan szám; Ez a fajta kísérlet Bernoulli-tesztnek nevezik.
Általánosságban a két lehetséges kimenetelt sikernek és kudarcnak nevezzük, ahol p a siker valószínűsége, 1-p pedig a kudarc valószínűsége. n független Bernoulli-kísérletben az x siker valószínűségét a következő eloszlással határozhatjuk meg.
Binomiális eloszlás
Ez a függvény n független Bernoulli-kísérletből x siker elérésének valószínűségét jelöli, ahol a siker valószínűsége p. A valószínűségi tömegfüggvénye:
A következő grafikon a binomiális eloszlás paramétereinek különböző értékeire vonatkozó valószínűségi tömegfüggvényt ábrázolja.
A következő eloszlás a nevét a francia matematikusnak, Simeon Poissonnak (1781-1840) köszönheti, aki a binomiális eloszlás határértékeként kapta meg.
Poisson-eloszlás
Egy X valószínűségi változót λ paraméter Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha a következő valószínűséggel veheti fel a 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … pozitív egész értékeket:
Ebben a kifejezésben λ az esemény időegységenkénti átlagos előfordulásainak száma, x pedig az esemény bekövetkezéseinek száma.
Tömeg valószínűségi függvénye:
Az alábbiakban egy grafikon látható, amely a Poisson-eloszlás paramétereinek különböző értékeire vonatkozó valószínűségi tömegfüggvényt ábrázolja.
Megjegyzendő, hogy amíg a sikerek száma alacsony, és a binomiális eloszláson végrehajtott tesztek száma magas, addig mindig közelíthetjük ezeket az eloszlásokat, mivel a Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás határértéke.
A két eloszlás közötti fő különbség az, hogy míg a binomiális két paramétertől – nep – függ, addig a Poisson-eloszlás csak λ-tól függ, amelyet néha az eloszlás intenzitásának is neveznek.
Eddig csak azokra az esetekre vonatkozó valószínűségeloszlásokról beszéltünk, amikor a különböző kísérletek függetlenek egymástól; azaz amikor az egyik kimenetelét nem befolyásolja a másik kimenetele.
Amikor a kísérletek nem függetlenek, a hipergeometrikus eloszlás nagyon hasznos.
Hipergeometrikus eloszlás
Legyen N egy véges halmaz objektumainak teljes száma, amelyek közül k valamilyen módon azonosítható, így egy K részhalmazt alkotva, amelynek komplementerét a fennmaradó Nk elem alkotja.
Ha véletlenszerűen n objektumot választunk, akkor a K-hoz tartozó objektumok számát reprezentáló X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású lesz N, n és k paraméterekkel. Tömeg valószínűségi függvénye:
A következő grafikon a hipergeometrikus eloszlásparaméterek különböző értékeire vonatkozó valószínűségi tömegfüggvényt ábrázolja.
Megoldott gyakorlatok
Első gyakorlat
Tegyük fel, hogy egy rádiócső (egy bizonyos típusú berendezésbe helyezve) 500 óránál tovább működőképességének valószínűsége 0,2. Ha 20 csövet tesztelünk, mi a valószínűsége annak, hogy pontosan k darab fog 500 óránál tovább működni, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Megoldás
Ha X az 500 óránál tovább működő csövek száma, akkor feltételezzük, hogy X binomiális eloszlású. Ekkor
És így:
k≥11 esetén az esélyek kisebbek, mint 0,001
Így megfigyelhetjük, hogyan növekszik annak a valószínűsége, hogy k számú személy 500 óránál többet dolgozik, amíg el nem éri a maximális értékét (k = 4 esetén), majd csökkenni kezd.
2. gyakorlat
Egy érmét hatszor feldobunk. Ha fejet dobunk, akkor sikernek tekintjük. Mi a valószínűsége annak, hogy pontosan két fejet dobunk?
Megoldás
Ebben az esetben n = 6, a siker és a kudarc valószínűsége pedig p = q = 1/2.
Tehát annak a valószínűsége, hogy két oldal adott (azaz k = 2), az
Harmadik gyakorlat
Mi a valószínűsége annak, hogy legalább négy arcot találunk?
Megoldás
Ebben az esetben k = 4, 5 vagy 6
Harmadik gyakorlat
Tegyük fel, hogy egy gyárban a gyártott termékek 2%-a hibás. Határozza meg a P valószínűséget annak, hogy 100 termékből álló mintában három hibás termék van?
Megoldás
Ebben az esetben alkalmazhatjuk a binomiális eloszlást n = 100 és p = 0,02 esetén, aminek eredményeként a következő eredményt kapjuk:
Mivel azonban p kicsi, a Poisson-közelítést használjuk λ = np = 2 esetén. Így
Hivatkozások
- Kai Lai Chung: Elemi valószínűségszámítás sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diszkrét matematika és alkalmazásai. SAMCGRAW-HILL / SPANYOLORSZÁG AMERIKAI KÖZÖSSÉGE.
- Paul L. Meyer Valószínűségszámítás és statisztikai alkalmazások. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Megoldott feladatok diszkrét matematikában. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Ph.D. Elméleti és valószínűségszámítási problémák. McGraw-HILL