A független események olyan események, amelyek nem befolyásolják egymást, ami azt jelenti, hogy az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik valószínűségét. Ebben az összefüggésben a bemutatók, példák és gyakorlatok fontos eszközök a független eseményekhez kapcsolódó fogalmak megértéséhez és helyes alkalmazásához. Ebben a cikkben azt vizsgáljuk meg, hogyan lehet azonosítani a független eseményeket, gyakorlati példákat mutatunk be alkalmazásuk illusztrálására, és gyakorlatokat javasolunk a téma megértésének tesztelésére és javítására. Elmélyítjük a független eseményekkel kapcsolatos ismereteinket, valamint azt, hogy hogyan lehet őket különböző helyzetekben elemezni és felhasználni.
Független események példái: megérteni, hogyan működnek, és gyakorlati eseteket látni.
A független események olyan események, amelyek nincsenek hatással egymásra, ami azt jelenti, hogy az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezésének valószínűségét. A független események működésének jobb megértése érdekében nézzünk néhány gyakorlati példát.
A független események egy egyszerű példája a kockadobás. Ha egy kockával 4-est dobunk, akkor a következő dobásnál is páros szám valószínűsége továbbra is 1/2 marad, mivel az események függetlenek egymástól.
Egy másik gyakori példa az érmefeldobás. Ha feldobunk egy érmét, és fej jön ki, akkor annak a valószínűsége, hogy a következő feldobásnál írás lesz, továbbra is 1/2, mivel az események függetlenek egymástól.
A független események egy gyakorlati példája a kártyajátékban található. Ha egy pakliból húzunk egy lapot, és az egy bubi, akkor a következő húzásnál király húzásának valószínűsége továbbra is 1/13 marad, mivel az események függetlenek.
Fontos tudni, hogyan kell azonosítani ezeket az eseményeket ahhoz, hogy a valószínűségszámításokat helyesen végezzük.
Események közötti kapcsolat azonosítása: függőség vagy függetlenség valószínűségi helyzetekben.
Valószínűségi helyzetek esetén az események közötti kapcsolatok azonosítása kulcsfontosságú a megfelelő elemzéshez. Az események között két fő kapcsolattípus létezik: a függőség és a függetlenség.
A független események azok, amelyekben az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését. Más szóval, az egyik esemény bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezése vagy nem bekövetkezése. Például, amikor dobunk egy kockadobást, majd feldobunk egy érmét, az eredmények függetlenek egymástól.
Az események közötti függetlenség bemutatására a következő képletet használhatjuk: P(A és B) = P(A) * P(B), ahol P az esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöli. Más szóval, mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az egyes események egyedi valószínűségeinek szorzatával.
A független események egy egyszerű példája két kocka dobása. Annak a valószínűsége, hogy az első dobás 4-est eredményez, 1/6, és annak a valószínűsége, hogy a második dobás 3-ast eredményez, szintén 1/6. Ezeket a valószínűségeket megszorozva 1/36-ot kapunk, ami annak a valószínűsége, hogy az első dobás 4-est, a második pedig 3-ast eredményez.
A független események azonosításának és kiszámításának gyakorlásához fontos néhány feladat megoldása. Például annak a valószínűségének kiszámítása, hogy egy pakliból két lapot húzunk, és mindkettő kőr, vagy annak a valószínűsége, hogy egy urnából véletlenszerűen két golyót választunk, és mindkettő piros.
A független események azok, amelyekben az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését, és mindkettő bekövetkezésének valószínűsége az egyes valószínűségek szorzata.
Ismerd meg, hogyan határozhatod meg két egymástól független esemény valószínűségét.
Két egymástól független esemény valószínűségének meghatározásához fontos megérteni a független események fogalmát. Két eseményt függetlennek tekintünk, ha az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését.
Két független esemény valószínűségének kiszámításához egyszerűen meg kell szorozni az egyes események valószínűségeit. Azaz, ha A és B két független esemény, akkor mindkettő egyidejű bekövetkezésének valószínűsége a P(A és B) = P(A) * P(B).
Például, ha egy adott napon az eső valószínűsége 30% (P(A) = 0.3), és annak a valószínűsége, hogy valaki ugyanazon a napon esernyőt használ, 40% (P(B) = 0.4), akkor annak a valószínűsége, hogy esik az eső és valaki ugyanabban az időben esernyőt használ, 30% * 40% = 12%.
Gyakorlásképpen oldjunk meg egy feladatot. Ha egy focicsapat győzelmének valószínűsége 60%, és az eső valószínűsége a mérkőzés napján 20%, akkor mi a valószínűsége annak, hogy a csapat megnyeri a mérkőzést, és esik az eső a mérkőzés napján? A P(A és B) = P(A) * P(B) képlet felhasználásával azt kapjuk, hogy az eredmény 60% * 20% = 12%.
Ez egy egyszerű és hatékony módszer a független események valószínűségének kiszámítására.
Események függetlenségének elemzése adott párokban.
Az események függetlenségének elemzése adott párokban a valószínűségszámítás fontos része. Két eseményt függetlennek tekintünk, ha az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezésének valószínűségét. Az események függetlenségének bemutatására adott párokban a feltételes valószínűség definícióját használhatjuk.
Ha két esemény, A és B függetlenek egymástól, akkor mindkét esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az egyes események egyedi valószínűségeinek szorzatával. Azaz P(A és B) = P(A) * P(B).
A független események klasszikus példája az érmefeldobás és a kockadobás. A fej dobásának valószínűsége nincs hatással a dobókockán egy adott szám dobásának valószínűségére.
Az események függetlenségének gyakorlásához adott párokban megoldhatunk néhány feladatot. Például kiszámíthatjuk annak a valószínűségét, hogy egy pakli kártyából két egymást követő eseményben ászt húzunk visszatevés nélkül. Az események függetlenek, mert az ász húzásának valószínűségét a második eseményben nem befolyásolja, hogy az első eseményben ászt húztunk.
A független események azonosításának ismerete elengedhetetlen a pontos számítások elvégzéséhez és a megalapozott döntések meghozatalához bizonytalan helyzetekben.
Független események: Bemutató, példák, gyakorlatok
két az események függetlenek , amikor az egyik bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja, hogy a másik bekövetkezik-e vagy sem, figyelembe véve, hogy ezek az események véletlenszerűen következnek be.
Ez a körülmény akkor áll fenn, amikor az 1. esemény kimenetelét létrehozó folyamat semmilyen módon nem változtatja meg a 2. esemény lehetséges kimeneteleinek valószínűségét. De ha ez nem történik meg, akkor az eseményeket függőnek mondjuk.
Egy független eseményt felölelő szituáció a következő: tegyük fel, hogy két hatoldalú dobókockát dobunk, egy kéket és egy rózsaszínt. Annak a valószínűsége, hogy a kék kocka 1-et dob, független annak a valószínűségétől, hogy a rózsaszín kocka 1-et – vagy nem XNUMX-et – dob.
Két független esemény egy másik példája az érme kétszeri feldobása egymás után. Az első feldobás eredménye nem függ a második eredményétől, és fordítva.
Nézzük meg a következő események példáját független Egy zsák, amelyben két fehér és két fekete golyó van. Annak a valószínűsége, hogy elsőre fehér vagy fekete golyót húzunk, ugyanannyi.
Tegyük fel, hogy az eredmény egy fehér golyó lett. Ha a kivett golyót visszatesszük a zsákba, az eredeti helyzet megismétlődik: két fehér golyó és két fekete golyó.
Így egy második esemény vagy döntetlen esetén a fehér vagy fekete golyó húzásának esélye megegyezik az első alkalommal való húzással. Ezért ezek független események.
De ha az első esemény során kihúzott fehér golyót nem helyezik vissza, akkor a második húzásnál nagyobb az esélye annak, hogy fekete golyót húznak. Annak a valószínűsége, hogy a második húzás során visszakerül a fehér golyó, eltér az első eseményétől, és az előző kimeneteltől függ.
Két független esemény bemutatása
Annak ellenőrzésére, hogy két esemény független-e egymástól, definiáljuk az egyik esemény egy másikhoz viszonyított feltételes valószínűségének fogalmát. Ehhez különbséget kell tennünk a kizáró és a befogadó események között:
Két esemény kizáró, ha az A esemény lehetséges értékeinek vagy elemeinek semmi közös nincs a B esemény értékeivel vagy elemeivel.
Tehát két kizáró esemény esetén az A és B metszethalmaza üres:
Kizárt események: A∩B = Ø
Fordítva, ha az események befogadóak, akkor előfordulhat, hogy az A esemény kimenetele egybeesik egy másik, B esemény kimenetelével is, ahol A és B különböző események. Ebben az esetben:
Inkluzív események: A∩B ≠ Ø
Ez elvezet minket két, egymást magában foglaló esemény feltételes valószínűségének definiálásához, azaz az A esemény bekövetkezésének valószínűségéhez, valahányszor B esemény bekövetkezik:
P(A¦B) = P(A∩B) / P(B)
Tehát a feltételes valószínűség az A és B bekövetkezésének valószínűsége osztva a B bekövetkezésének valószínűségével. A B bekövetkezésének valószínűségét A feltételétől függően is definiálhatjuk:
P(B¦A) = P(A∩B) / P(A)
Kritériumok annak megállapítására, hogy két esemény független-e egymástól
Az alábbiakban három kritériumot adunk meg annak meghatározására, hogy két esemény független-e egymástól. Az események függetlenségének bizonyításához elegendő, ha a három közül az egyik teljesül.
1.- Ha A bekövetkezésének valószínűsége minden B bekövetkezésekor megegyezik A valószínűségével, akkor ezek független események:
P(A¦B) = P(A) => A független B-től
2.- Ha B bekövetkezési valószínűsége adott A esetén megegyezik B valószínűségével, akkor független eseményekről van szó:
P(B¦A) = P(B) => B független A-tól
3.- Ha A és B bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az A bekövetkezésének valószínűségének és a B bekövetkezésének valószínűségének szorzatával, akkor ezek független események. Fordítva is igaz.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A és B független események.
Független események példái
Két különböző beszállító által gyártott gumitalpakat hasonlítanak össze. Mindkét gyártótól származó mintákat számos tesztnek vetnek alá annak megállapítására, hogy megfelelnek-e a specifikációknak.
A 252 minta összesítése a következő:
1. gyártó; 160 megfelel a specifikációknak; 8 nem felel meg a specifikációknak.
2. gyártó; 80 megfelel a specifikációknak; 4 nem felel meg a specifikációknak.
A esemény: „A minta az 1-es gyártóhoz tartozik”.
B esemény: „Hogy a minta megfelel a specifikációknak.”
Azt szeretnénk tudni, hogy az A és B események függetlenek-e egymástól, amire az előző szakaszban említett három kritérium egyikét alkalmazzuk.
Kritériumok: P(B¦A) = P(B) => B független A-tól
P(B) = 240/252 = 0,9523
P(B¦A) = P(A ⋂ B) / P(A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Következtetés: Az A és a B esemény független.
Tegyük fel a C eseményt: „a minta a 2. gyártótól származik”.
Független lesz-e a B esemény a C eseménytől?
Az egyik kritériumot alkalmazzuk.
Kritériumok: P(B¦C) = P(B) => B független C-től
P(B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P(B)
Ezért a rendelkezésre álló adatok szerint annak valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott gumitalp megfelel a specifikációknak, független a gyártótól.
Feladatok
– 1. gyakorlat
Egy dobozba helyezzük az 10. ábrán látható 1 üveggolyót, amelyek közül 2 zöld, 4 kék és 4 fehér. Két véletlenszerűen kiválasztott üveggolyót választunk ki, először egyet, majd egyet később. A feladat a következő: találd meg a
Annak a valószínűsége, hogy egyikük sem kék, a következő feltételek mellett:
a) Helyettesítéssel, azaz az első üveggolyó visszahelyezésével a második kiválasztás előtti dobozba. Jelöld meg, hogy ezek független vagy függő események-e.
b) Visszatevés nélkül, így az elsőként kivett üveggolyó a dobozon kívül van, amikor a második választás történik. Hasonlóképpen, jelezd, hogy ezek függő vagy független események-e.
Megoldás a következőhöz:
Kiszámítjuk annak a valószínűségét, hogy az elsőként kiemelt üveggolyó nem kék, ami 1-ből kivonva a kék szín valószínűségét (P(A)), vagyis azt, hogy nem kék, mert zöld vagy fehér volt:
P(A) = 4/10 = 2/5
P (nem kék) = 1 – (2/5) = 3/5
A jó:
P (zöld vagy fehér) = 6/10 = 3/5.
Ha a kivett üveggolyót visszajuttatják, minden a régi marad. Ennél a második kivonásnál is 3/5 az esélye annak, hogy a kivett üveggolyó nem kék lesz.
P(nem kék, nem kék) = (3/5).(3/5) = 25/9.
Az események függetlenek egymástól, mivel a kivett üveggolyót visszatették a dobozba, és az első esemény nem befolyásolja a második esemény bekövetkezésének valószínűségét.
Megoldás b
Az első húzásnál az előző szakasz szerint járj el. Annak a valószínűsége, hogy nem kék lesz, 3/5.
A második extrakcióhoz 9 üveggolyó van a zacskóban, mivel az első nem tért vissza, de az nem volt kék; ezért a zacskóban 9 üveggolyó és 5 nem kék üveggolyó van:
P (zöld vagy fehér) = 5/9.
P(egyik sem kék) = P(az első nem kék). P(a második nem kék / az első nem volt kék) = (3/5). (5/9) = 1/3
Ebben az esetben nem független eseményekről van szó, mivel az első esemény feltételezi a másodikat.
– 2. gyakorlat
Egy üzletben 15 ing van három méretben: 3 kicsi, 6 közepes és 6 nagy. Véletlenszerűen kiválasztunk 2 inget.
a) Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét kiválasztott ing kicsi, ha az egyiket először kivesszük, és a másikat nem tesszük vissza a tételbe?
b) Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét kiválasztott ing kicsi, ha az egyiket először kivesszük, visszatesszük a másikba, majd a másodikat kivesszük?
Megoldás a következőhöz:
Íme két esemény:
A esemény: Az első kiválasztott ing kicsi
B esemény: A második kiválasztott ing kicsi
Az A esemény valószínűsége: P(A) = 3/15
A B esemény valószínűsége: P(B) = 2/14, mivel egy inget már eltávolítottak (14 maradt), de az eseménynek be kell következnie. Az elsőként eltávolított ingnek kicsinek kell lennie, és 2 kicsi maradt.
Más szóval, annak a valószínűsége, hogy A és B a valószínűségek szorzata:
P(A és B) = P(B¦A) P(A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Tehát az A és B események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az A esemény bekövetkezésének és a B esemény bekövetkezésének valószínűségével szorozva, ha az A esemény bekövetkezik.
Vegye figyelembe, hogy:
P (B¦A) = 2/14
A B esemény valószínűsége, függetlenül attól, hogy az A esemény bekövetkezik-e vagy sem, a következő lesz:
P(B) = (2/14), ha az első kicsi, vagy P(B) = 3/14, ha az első nem kicsi.
Általánosságban a következőkre lehet következtetni:
P(B¦A) nem egyenlő P(B)-vel => B nem független A-tól
Megoldás b
Ismét két eseményről van szó:
A esemény: Az első kiválasztott ing kicsi
B esemény: A második kiválasztott ing kicsi
P (A) = 3/15
Ne feledjük, hogy bármi is lesz az eredmény, a kivett inget visszahelyezik, és ismét véletlenszerűen eltávolítják az inget. A B esemény valószínűsége, ha az A esemény bekövetkezik:
P (B¦A) = 3/15
Az A és B események valószínűsége a következő lesz:
P(A és B) = P(B¦A) P(A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Vegye figyelembe, hogy:
P(B¦A) egyenlő P(B)-vel => B független A-tól.
– 3. gyakorlat
Tekintsünk két független eseményt, A-t és B-t. Ismert, hogy az A esemény bekövetkezésének valószínűsége 0,2, a B esemény bekövetkezésének valószínűsége pedig 0,3. Mi lesz mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége?
2. megoldás
Tudva, hogy az események függetlenek, tudjuk, hogy mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége az egyes valószínűségek szorzata. Azaz,
P(A∩B) = P(A) P(B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Megjegyzendő, hogy ez sokkal kisebb valószínűség, mint annak a valószínűsége, hogy az egyes események a másik kimenetelétől függetlenül következnek be. Vagyis más szóval, sokkal kisebb, mint az egyes események egyedi valószínűségei.
Hivatkozások
- Berenson, M. 1985. Statisztikák az adminisztráció és a gazdaság számára. Interamericana SA 126-127.
- Monterrey Intézet. Független események valószínűsége. Elérhető: monterreyinstitute.org
- Matematika Tanár Független Események Forrás: youtube.com
- Superprof eseménytípusok, függő események. Forrás: superprof.es
- Virtuális oktató Valószínűség Forrás: vitutor.net
- Wikipédia Függetlenség (valószínűség). Forrás: wikipedia.com