Apa saja aksioma probabilitas? Penjelasan lengkap.

Inisiasi » Ilmu » Matematika » Statistik » Apa saja aksioma probabilitas? Penjelasan lengkap.

Pertanyaan "apa saja aksioma probabilitas?" tampaknya sederhana, tetapi jawabannya mengarah pada konstruksi matematika yang sangat solid., yang mulai diorganisasikan secara ketat pada abad ke-20 melalui karya Andrey Kolmogorov. Aksioma-aksioma ini merupakan dasar dari hampir semua teori probabilitas modern, mulai dari studi permainan untung-untungan hingga model statistik kompleks yang digunakan dalam ilmu data, keuangan, dan teknik.

Sebelum Formalisasi KolmogorovSaat itu, probabilitas dipahami secara lebih intuitif, terkait dengan gagasan frekuensi atau peluang.Dan berbagai matematikawan menggunakan interpretasi yang beragam. Saat ini, ketika kita berbicara tentang aksioma probabilitas, kita mengacu pada seperangkat aturan minimum yang harus dipatuhi oleh setiap fungsi probabilitas agar kita dapat melakukan perhitungan yang koheren, menghindari kontradiksi, dan membangun teorema yang kuat.

Intuisi dasar: pengalaman dan peristiwa acak

Untuk memahami aksioma probabilitas, langkah pertama adalah mengetahui apa itu eksperimen acak dan apa yang kita sebut peristiwa.Percobaan acak adalah prosedur apa pun yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti, meskipun kita mengetahui semua kemungkinan hasilnya; contoh klasiknya adalah melempar koin atau melempar dadu.

Kita menyebut ruang sampel, biasanya dilambangkan dengan Ω, sebagai himpunan semua kemungkinan hasil percobaan ini.Jika kita melempar koin, misalnya, ruang sampelnya dapat ditulis sebagai Ω = {H, T}, di mana H mewakili "kepala" dan T mewakili "ekor". Setiap elemen Ω disebut hasil elementer.

Suatu kejadian adalah setiap bagian dari Ω yang ingin kita amati.Dengan demikian, jika percobaan tersebut merupakan lemparan sebuah mata uang logam, himpunan {H} merupakan kejadian "munculnya kepala", himpunan {T} merupakan kejadian "munculnya ekor", dan Ω sendiri merupakan kejadian "munculnya kepala atau ekor", yaitu suatu kejadian tertentu.

Beberapa peristiwa sangat penting: peristiwa yang mustahil, peristiwa dasar, dan peristiwa pasti.Himpunan kosong ∅ melambangkan kejadian yang mustahil, karena tidak mengandung hasil; himpunan dengan satu elemen {ω}, dengan ω di Ω, melambangkan kejadian elementer; dan Ω sendiri merupakan kejadian pasti, kejadian yang selalu terjadi saat percobaan dilakukan.

Bahasa teori himpunan sangat membantu dalam studi probabilitas.Jika A dan B adalah kejadian, maka A ∩ B merupakan kejadian yang terjadi secara bersamaan dari A dan B, A ∪ B merupakan kejadian dari paling sedikit satu kejadian, dan komplemen A, sering ditulis sebagai ̄A atau Ω \ A, mewakili "tidak terjadinya A". Notasi ini dan sifat-sifat himpunan akan digunakan secara langsung dalam formulasi aksioma.

Interpretasi konsep probabilitas

Meskipun aksioma Kolmogorov menyediakan dasar matematika untuk probabilitas, kata "probabilitas" sendiri dapat ditafsirkan dalam berbagai cara.Secara historis, berbagai penafsiran berbeda telah muncul mengenai apa artinya menetapkan angka P(A) pada suatu kejadian A.

Dalam interpretasi klasik Laplace, yang berlaku untuk ruang terbatas dengan hasil yang sama probabilitasnya, probabilitas A adalah rasio antara jumlah kasus yang menguntungkan dan jumlah kasus yang mungkin.Jika ruang sampel memiliki n hasil yang sama kemungkinannya (yaitu, #Ω = n) dan kejadian A mengandung n_A hasil tersebut (#A = n_A), maka probabilitasnya diberikan oleh P(A) = n_A / n. Rumus ini cukup intuitif ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi.

Sudah interpretasi frekuentis Ia menghubungkan probabilitas dengan frekuensi relatif yang diamati dalam pengulangan suatu percobaan.Dari sudut pandang ini, kita ulangi eksperimen acak tersebut sebanyak n kali dan hitung berapa kali kejadian A terjadi, sebut saja angka ini n_A; lalu kita lihat limitnya, seiring bertambahnya n, dari pecahan n_A / n. Probabilitas A adalah P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), asalkan limit ini ada.

Ada pula interpretasi subjektif, yang banyak digunakan dalam statistika Bayesian, di mana probabilitas dikaitkan dengan derajat keyakinan subjek rasional.Dalam pendekatan ini, P(A) mengukur seberapa yakin seseorang akan terjadinya A, dengan mempertimbangkan pengetahuan yang tersedia. Bukan pengalaman yang "membawa" probabilitas, melainkan subjek yang menilai ketidakpastian secara koheren.

Meskipun penafsirannya berbeda-beda, semuanya dapat hidup berdampingan dalam kerangka aksiomatik Kolmogorov yang sama.Dengan kata lain, terlepas dari apakah Anda lebih menyukai sudut pandang klasik, frekuentis, atau subjektif, pada akhirnya probabilitas akan dimodelkan secara matematis oleh fungsi P yang mematuhi serangkaian aksioma kecil tentang ruang kejadian.

Konstruksi formal: ruang probabilitas dan aljabar σ

Kolmogorov menjabarkan probabilitas dalam bentuk tiga (Ω, F, P), yang disebut ruang probabilitas.Dalam rangkap tiga ini, Ω merupakan ruang sampel, F merupakan himpunan kejadian yang mungkin (secara teknis, aljabar σ dari himpunan bagian Ω), dan P merupakan fungsi probabilitas.

Aljabar σ F merupakan kumpulan khusus dari himpunan bagian Ω yang memenuhi beberapa sifat.Secara umum, F harus memuat himpunan kosong, tertutup terhadap komplemen (jika A ada di F, maka komplemennya juga ada di F), dan tertutup terhadap gabungan terhitung (jika A₁, A₂, … ada di F, maka gabungan semuanya juga ada di F). Struktur ini memastikan bahwa kita dapat bekerja dengan operasi himpunan tanpa meninggalkan himpunan kejadian yang memiliki probabilitas terdefinisi dengan baik.

Secara formal, F adalah aljabar σ atas Ω ketika: Himpunan kosong ∅ merupakan anggota F; jika A berada di dalam F, maka komplemen A di dalam Ω juga merupakan anggota F; dan jika A₁, A₂, … merupakan barisan unsur F (berhingga atau terhitung tak hingga), maka gabungan A₁ ∪ A₂ ∪ … juga berada di dalam F. Dalam banyak konteks, F juga disebut medan Borel atau medan σ.

Fungsi probabilitas P didefinisikan pada F dan menetapkan setiap kejadian E di F sebuah bilangan riil non-negatif.Kita kemudian mengatakan bahwa P(E) berada dalam ℝ dan P(E) ≥ 0 untuk semua E dalam F. Dalam teori ukuran umum, ukuran dapat mengambil nilai tak terhingga, tetapi dalam teori probabilitas standar, P(E) selalu terbatas, yang membawa beberapa perbedaan sehubungan dengan ukuran yang lebih umum.

Struktur (Ω, F, P) dengan P(Ω) = 1 inilah yang kita sebut ruang probabilitas.Kondisi P(Ω) = 1 penting karena mewakili gagasan bahwa, saat melakukan percobaan, beberapa hasil dalam Ω pasti terjadi; tidak ada "hasil tersembunyi" di luar ruang sampel.

Tiga aksioma Kolmogorov

Teori aksiomatik Kolmogorov didasarkan pada tiga aksioma mendasar yang harus dipenuhi oleh setiap fungsi probabilitas.Mereka sederhana untuk dinyatakan, tetapi sangat kuat, karena hampir semua sifat probabilitas biasa diturunkan darinya.

Aksioma pertama — Non-negatif: Untuk setiap kejadian A yang termasuk dalam aljabar σ F, kita memiliki P(A) ≥ 0. Artinya, probabilitas tidak pernah negatif. Dalam beberapa teori yang lebih eksotis, ada pembicaraan tentang "probabilitas negatif", tetapi gagasan ini menyimpang dari kerangka kerja klasik Kolmogorov.

Aksioma kedua — Normalisasi: Probabilitas terjadinya suatu peristiwa tertentu sama dengan 1, yaitu, P(Ω) = 1. Aksioma ini menetapkan konvensi bahwa 1 bersesuaian dengan kepastian 100%, dan 0 bersesuaian dengan ketidakmungkinan. Dalam versi yang lebih elementer, aksioma ini juga dapat dipahami sebagai pernyataan bahwa jumlah probabilitas semua hasil elementer dari Ω sama dengan 1.

Aksioma ketiga — σ-aditivitas: Jika A₁, A₂, … adalah deret kejadian berpasangan yang terpisah (juga disebut saling eksklusif), maka P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Hal ini berlaku untuk kumpulan kejadian berhingga maupun tak terhingga. Sifat aditivitas terhitung inilah yang menjadi perbedaan utama dibandingkan dengan aditivitas berhingga semata.

Dalam konteks yang lebih sederhana, beberapa penulis hanya bekerja dengan aditivitas terbatas., yang mensyaratkan P(A ∪ B) = P(A) + P(B) untuk kejadian-kejadian terpisah A dan B, dan hal ini berlaku hingga himpunan berhingga. Dalam hal ini, cukup menggunakan aljabar himpunan, tidak harus aljabar σ, tetapi pendekatan standar dalam probabilitas modern adalah mensyaratkan aditivitas σ.

Dari aksioma ketiga inilah beberapa konsekuensi penting muncul, seperti persamaan, pertidaksamaan, dan hukum probabilitas.Ia juga merupakan pusat hubungan antara teori probabilitas dan ukuran, yang mempelajari ukuran dalam himpunan dengan cara yang cukup umum.

Properti yang diturunkan dari aksioma

Berdasarkan tiga aksioma Kolmogorov, kami mampu membuktikan beberapa sifat dasar dan sangat berguna.Properti-properti ini tidak diasumsikan sebelumnya: properti-properti ini merupakan konsekuensi logis dari aksioma-aksioma.

Salah satu sifat pertama adalah monotonisitas probabilitas.Jika A dan B adalah kejadian di F dan A terdapat di B (A ⊆ B), maka P(A) ≤ P(B). Idenya intuitif: jika B mencakup semua yang mungkin terjadi di A, dan mungkin lebih, maka B tidak mungkin memiliki probabilitas lebih rendah daripada A.

Sifat mendasar lainnya adalah bahwa probabilitas suatu kejadian yang mustahil adalah nol.Dari sudut pandang formal, dengan menggunakan aditivitas σ, kita tinjau suatu deret di mana E₁ = A, E₂ = B \ A, dan Eᵢ = ∅ untuk i ≥ 3, dalam skenario di mana A ⊆ B. Karena Eᵢ terpisah dan gabungannya adalah B, jumlah probabilitasnya harus konvergen ke P(B). Jika kita asumsikan bahwa P(∅) = a > 0, maka jumlah P(∅) tak terhingga akan meledak hingga tak terhingga, yang tidak sesuai dengan P(B) terhingga. Dengan demikian, kita simpulkan bahwa P(∅) = 0.

Oleh karena itu, kita dapat menyatakan pertidaksamaan 0 ≤ P(E) ≤ 1 untuk setiap kejadian E di F.Kita sudah mengetahui bahwa P(E) ≥ 0 dari aksioma pertama. Dengan mengetahui bahwa P(Ω) = 1 dan menggunakan monotonisitas dengan E ⊆ Ω, maka P(E) ≤ P(Ω) = 1. Dengan demikian, setiap probabilitas selalu berada di antara 0 dan 1, inklusif.

Identitas yang umum digunakan adalah apa yang disebut hukum aditif untuk dua kejadian apa pun.Untuk kejadian A dan B di F, berlaku P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Rumus ini mengoreksi "penghitungan ganda" dari kejadian umum A ∩ B, yang ditambahkan dua kali jika kita menjumlahkan P(A) dan P(B) tanpa penyesuaian.

Konsekuensi penting lainnya adalah hubungan antara suatu kejadian dan pelengkapnya.Jika kita menyatakan komplemen A dengan ̄A, maka P(̄A) = 1 − P(A). Kesetaraan ini menyampaikan gagasan bahwa "A terjadi atau A tidak terjadi," dan tidak ada kemungkinan lain dalam Ω.

Dari sini, menjadi jelas juga bahwa P(A) = 0 tidak selalu berarti bahwa A adalah kejadian yang mustahil.Dalam istilah matematika, mungkin saja suatu kejadian memiliki probabilitas nol tanpa menjadi himpunan kosong (ini muncul, misalnya, dalam ruang kontinu), tetapi pada tingkat paling dasar, P(A) = 0 biasanya dikaitkan dengan kejadian yang secara praktis mustahil.

Contoh praktis: melempar koin

Contoh klasik dan sangat didaktik untuk memvisualisasikan aksioma Kolmogorov adalah lemparan koin.Mari kita asumsikan, sebagai permulaan, bahwa koin hanya dapat mendarat di "kepala" (H) atau "ekor" (T), dan bahwa ini adalah satu-satunya kemungkinan hasil.

Kita kemudian mendefinisikan ruang sampel sebagai Ω = {H, T}Peristiwa-peristiwa yang mungkin membentuk aljabar σ F yang terdiri dari {∅, {H}, {T}, {H, T}}. Dalam konteks ini, peristiwa yang mustahil adalah ∅, peristiwa elementernya adalah {H} dan {T}, dan peristiwa yang pasti adalah {H, T}.

Dari aksioma Kolmogorov, kita tahu bahwa P(∅) = 0 dan P(Ω) = 1Jika kita berasumsi bahwa koin tersebut adil, artinya tidak menguntungkan kedua sisi, maka simetri menunjukkan bahwa P({H}) = P({T}). Karena jumlah P({H}) + P({T}) pasti sama dengan 1, kita simpulkan bahwa keduanya bernilai 1/2.

Oleh karena itu, peluang untuk mendapatkan "kepala atau ekor" adalah P({H, T}) = 1Probabilitas mendapatkan "kepala" adalah P({H}) = 1/2 dan probabilitas mendapatkan "ekor" adalah P({T}) = 1/2. Jumlah probabilitas kejadian elementer tersebut menghabiskan total probabilitas ruang tersebut.

Model ini, meskipun sederhana, menggambarkan bagaimana aksioma berperilaku dalam praktik dan bagaimana mereka mencegah ketidakkonsistenan dalam perhitungan probabilitas.Jika kita tidak mendefinisikan ruang sampel dengan cermat, kita dapat membuat kesalahan serius, karena setiap kejadian selalu merupakan bagian dari Ω; jika bagian tersebut tidak masuk ke dalam Ω, probabilitasnya bahkan tidak terdefinisi.

Probabilitas dalam ruang terbatas dan terhitung

Ketika ruang sampel terbatas atau terhitung, probabilitas dapat dijelaskan dengan cara yang sangat konkret.Misalkan Ω = {ω₁, ω₂, …} adalah himpunan hasil yang mungkin, terbatas atau terhitung.

Jika A adalah suatu kejadian yang mengandung beberapa hasil berikut, seperti A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Oleh karena itu, probabilitas A dapat dilihat sebagai jumlah probabilitas kejadian elementer yang bersesuaian: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Ini merupakan penerapan langsung dari aditivitas (atau aditivitas σ) pada himpunan terpisah.

Dalam kasus khusus dimana ruang sampel terbatas, dengan #Ω = n, dan semua hasil memiliki probabilitas yang samaKita memiliki P({ωᵢ}) = 1/n untuk setiap i. Jika A mengandung k hasil berbeda dalam Ω, maka P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Ini persis rumus Laplace klasik yang ditafsirkan ulang dalam kerangka aksiomatik modern.

Bila ruang sampel terhitung tak terhingga, jumlah probabilitas kejadian elementer masih perlu konvergen menjadi 1.Artinya, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Di sinilah aditivitas σ menunjukkan kekuatannya, yang memungkinkan kita untuk menangani bukan hanya penjumlahan terhingga, tetapi juga rangkaian kejadian tak terhingga.

Probabilitas bersyarat dan peran aksioma.

Aspek utama teori ini adalah memahami bagaimana probabilitas berubah ketika kita mengetahui bahwa suatu peristiwa tertentu telah terjadi.Di sinilah probabilitas bersyarat muncul, biasanya ditulis sebagai P(A | B), yang berarti "probabilitas A jika B telah terjadi".

Rumus dasar untuk probabilitas bersyarat adalah P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), dengan ketentuan bahwa P(B) > 0Definisi ini konsisten dengan aksioma Kolmogorov, dan faktanya, untuk setiap B dengan P(B) > 0, fungsi A ↦ P(A | B) kembali memenuhi ketiga aksioma ketika kita membatasi ruang kejadian ke B.

Ini berarti bahwa P(· | B) itu sendiri adalah fungsi probabilitas atas ruang sampel “baru” B.Sebagai konsekuensinya, semua sifat dasar berlaku untuk probabilitas bersyarat: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, monotonisitas bersyarat (jika A₁ ⊆ A₂, maka P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) dan rumus P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Definisi probabilitas bersyarat juga memunculkan hubungan penting P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), ketika P(A) > 0.Secara simetris, kita dapat menulis P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), asalkan P(B) > 0. Persamaan ini membantu menguraikan probabilitas gabungan dan menjadi dasar bagi beberapa hasil, seperti Teorema Bayes.

Menarik untuk dicatat bahwa probabilitas "tanpa syarat" dapat dilihat sebagai kasus khusus dari probabilitas bersyarat.Memang, kita dapat menulis P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), karena P(Ω) = 1. Ini memperkuat gagasan bahwa, secara konseptual, semua probabilitas bersyarat pada beberapa informasi latar belakang, bahkan jika itu hanya pengetahuan yang sedang kita kerjakan dalam Ω.

Kemandirian peristiwa

Konsep kunci lain yang bergantung pada aksioma adalah konsep independensi antara peristiwa.Dua kejadian A dan B bersifat independen jika terjadinya yang satu tidak mengubah probabilitas kejadian yang lain.

Dalam bahasa formal, A dan B bersifat independen ketika P(A ∩ B) = P(A) P(B)Dalam konteks probabilitas bersyarat, hal ini menyiratkan bahwa jika P(B) > 0, maka P(A | B) = P(A), dan jika P(A) > 0, maka P(B | A) = P(B). Artinya, mengetahui terjadinya B tidak mengubah probabilitas terjadinya A, dan sebaliknya.

Setiap kejadian tidak bergantung pada kejadian mustahil ∅ dan kejadian pasti Ω.Untuk himpunan kosong, P(A ∩ ∅) = 0 dan P(∅) = 0, sehingga relasi tersebut dapat dianggap benar. Untuk kejadian tertentu, P(A ∩ Ω) = P(A) dan P(Ω) = 1, sehingga P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Pertanyaan yang umum adalah apakah dua peristiwa yang terpisah dapat bersifat independen.Secara umum, jika A dan B terpisah dan keduanya memiliki probabilitas positif, maka P(A ∩ B) = 0, tetapi P(A) P(B) > 0, yang melanggar definisi independensi. Dengan demikian, dalam banyak kasus, dua peristiwa terpisah dengan probabilitas bukan nol tidaklah independen, karena kemunculan salah satu peristiwa meniadakan kemungkinan terjadinya peristiwa lainnya.

Ketika berhadapan dengan lebih dari dua peristiwa, beberapa gagasan berbeda tentang independensi muncul.Kita dapat memiliki independensi berpasangan, independensi bersama, dan jenis-jenis lainnya. Namun, dalam semua kasus ini, titik awalnya tetap pada relasi P(A ∩ B) = P(A) P(B), berdasarkan aksioma Kolmogorov dan definisi probabilitas bersyarat.

Aturan praktis dan hukum klasik probabilitas

Di luar sifat formalnya, aksioma memungkinkan perumusan hukum yang lebih operasional, berguna dalam pekerjaan sehari-hari mereka yang melakukan perhitungan probabilitas.Salah satunya adalah apa yang disebut hukum penjumlahan, yang telah disebutkan dalam bentuk P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), yang dapat diperluas ke jumlah kejadian yang lebih besar melalui prinsip inklusi-eksklusi.

Aturan lain yang umum digunakan adalah hubungan antara suatu peristiwa dan bagian "luarnya" dari peristiwa lainnya.Untuk A dan B dalam F, berlaku hal berikut: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Ini hanyalah penguraian A menjadi dua bagian: bagian yang muncul bersamaan dengan B (A ∩ B) dan bagian yang muncul tanpa B (A ∩ ̄B). Kedua bagian ini terpisah, dan gabungannya adalah A, yang mengarah pada persamaan sebelumnya melalui aditivitas.

Hukum probabilitas total dan Teorema Bayes, meskipun tidak dijelaskan secara rinci di sini, juga bergantung langsung pada aksioma.Hukum probabilitas total menggabungkan probabilitas bersyarat menjadi partisi ruang sampel, sementara Teorema Bayes "membalikkan" kondisi, yang memungkinkan probabilitas diperbarui berdasarkan bukti baru.

Dalam versi yang lebih didaktik, beberapa "aksioma praktis" yang mudah dihafal juga tercantum.Misalnya: probabilitas maksimum adalah 1 (100%); jumlah probabilitas semua elemen dalam ruang sampel sama dengan 1; dan probabilitas suatu kejadian X ditambahkan ke probabilitas "bukan X" selalu 1. Pernyataan-pernyataan ini merupakan refleksi langsung dari aksioma formal.

Dengan serangkaian hukum ini, menjadi mungkin untuk memecahkan berbagai masalah, mulai dari permainan untung-untungan sederhana hingga model rumit dengan banyak variabel.Keuntungan besarnya adalah, di balik semua rumus dan trik perhitungan, dukungan logisnya tetap pada tripod aksiomatik yang sama.

Aksioma probabilitas Kolmogorov memberikan dasar yang ketat namun fleksibel untuk menangani ketidakpastian.Berdasarkan tiga prinsip sederhana—non-negativitas, normalisasi, dan σ-aditivitas—sebuah teori yang kaya dan menyeluruh telah dibangun, yang mampu menggabungkan interpretasi klasik, frekuentis, dan subjektif, menangani ruang terbatas atau tak terbatas, menggambarkan probabilitas bersyarat dan independensi, dan mendukung aplikasi di hampir semua bidang ilmiah dan teknologi.