Distribusi probabilitas diskrit adalah model matematika yang menggambarkan kejadian dengan nilai diskrit dan terbatas. Distribusi ini dicirikan oleh sifat-sifatnya, seperti jumlah probabilitas semua hasil yang mungkin sama dengan 1 dan keberadaan parameter yang menentukan bentuk distribusi. Dalam artikel ini, kita akan membahas karakteristik distribusi probabilitas diskrit yang paling umum, seperti distribusi Bernoulli, distribusi binomial, distribusi Poisson, dan distribusi geometri, serta menyajikan beberapa latihan praktis untuk lebih memahami konsep-konsep ini.
Memahami konsep distribusi probabilitas diskrit: penjelasan yang sederhana dan jelas.
Untuk memahami konsep distribusi probabilitas diskrit, penting untuk memahami bahwa ini adalah fungsi matematika yang mengaitkan probabilitas dengan setiap kemungkinan hasil dari suatu eksperimen acak. Dengan kata lain, distribusi probabilitas diskrit memungkinkan kita menentukan peluang terjadinya setiap hasil dalam serangkaian kemungkinan yang terbatas atau dapat dihitung.
Distribusi probabilitas diskrit dicirikan oleh fungsi probabilitasnya, yang memberikan nilai non-negatif pada setiap hasil, dengan jumlah semua probabilitas sama dengan 1. Lebih lanjut, hasil yang mungkin terjadi bersifat terpisah dan terisolasi, tanpa kemungkinan munculnya nilai-nilai antara.
Contoh klasik distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi Poisson, yang banyak digunakan dalam proses penghitungan, seperti jumlah kejadian yang terjadi dalam periode waktu tertentu. Contoh umum lainnya adalah distribusi binomial, yang memodelkan eksperimen dengan hanya dua kemungkinan hasil, seperti sukses atau gagal.
Untuk menerapkan teori distribusi probabilitas diskrit, penting untuk memahami sifat dan karakteristik spesifiknya, serta mampu menghitung probabilitas dan menginterpretasikan hasilnya. Latihan praktis sangat penting untuk memperdalam pemahaman dan mengembangkan keterampilan di bidang probabilitas ini.
Pelajari tentang distribusi diskrit utama yang digunakan dalam statistik dan probabilitas.
Pelajari tentang distribusi diskrit utama yang digunakan dalam statistik dan probabilitas. Distribusi probabilitas diskrit merupakan alat penting dalam analisis statistik, yang memungkinkan pemodelan dan prediksi kejadian acak. Beberapa distribusi diskrit utama antara lain distribusi Bernoulli, distribusi binomial, distribusi geometri, distribusi Poisson, dan distribusi hipergeometrik.
A Distribusi Bernoulli digunakan untuk memodelkan eksperimen dengan hanya dua kemungkinan hasil, seperti keberhasilan dan kegagalan. distribusi binomial Ini diterapkan dalam situasi di mana terdapat sejumlah percobaan independen yang tetap, dengan hanya dua kemungkinan hasil dalam setiap percobaan, seperti keberhasilan dan kegagalan.
A distribusi geometris digunakan untuk memodelkan jumlah percobaan hingga keberhasilan pertama dalam serangkaian percobaan independen. Distribusi Poisson digunakan untuk memodelkan terjadinya peristiwa langka dalam interval waktu atau ruang tertentu.
Terakhir, file distribusi hipergeometrik Digunakan untuk memodelkan eksperimen yang di dalamnya terdapat pemilihan tanpa penggantian elemen dari populasi terbatas, dengan minat pada jumlah keberhasilan dalam sampel tertentu.
Untuk lebih memahami distribusi diskrit ini dan cara menerapkannya, penting untuk berlatih melalui latihan. Memecahkan masalah yang melibatkan distribusi ini dapat membantu memperkuat pengetahuan dan mempertajam keterampilan statistik dan probabilitas.
Oleh karena itu, ketika mempelajari statistika dan probabilitas, penting untuk mengetahui karakteristik dan aplikasi distribusi diskrit utama, seperti distribusi Bernoulli, distribusi binomial, distribusi geometri, distribusi Poisson, dan distribusi hipergeometrik.
Jenis-jenis distribusi probabilitas: pelajari berbagai bentuk distribusi statistik.
Distribusi probabilitas adalah model matematika yang menggambarkan perilaku acak suatu fenomena. Terdapat berbagai jenis distribusi probabilitas, masing-masing dengan karakteristik dan penerapannya sendiri. Dalam artikel ini, kami akan berfokus pada distribusi probabilitas diskrit, yang berkaitan dengan variabel diskrit—variabel yang dapat memiliki nilai spesifik dan terhitung.
Beberapa distribusi probabilitas diskrit yang paling umum meliputi distribusi seragam, distribusi binomial, distribusi Poisson, dan distribusi geometri. Masing-masing distribusi ini memiliki karakteristiknya sendiri dan digunakan dalam berbagai konteks statistik.
Distribusi seragam, misalnya, dicirikan dengan menetapkan probabilitas yang sama untuk semua nilai variabel diskrit yang mungkin. Distribusi binomial digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen, yang masing-masing memiliki probabilitas keberhasilan yang sama. Distribusi Poisson, pada gilirannya, digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian langka dalam suatu interval waktu atau ruang. Dan distribusi geometrik digunakan untuk memodelkan jumlah percobaan yang diperlukan hingga keberhasilan pertama dalam serangkaian percobaan independen.
Untuk lebih memahami cara kerja distribusi ini, penting untuk berlatih dengan latihan. Misalnya, kita dapat menghitung probabilitas munculnya tepat 3 sisi kepala dalam 5 lemparan koin yang adil menggunakan distribusi binomial. Atau, kita dapat menentukan probabilitas terjadinya setidaknya 2 peristiwa dalam interval waktu tertentu menggunakan distribusi Poisson.
Dengan memahami karakteristik dan aplikasi distribusi ini, profesional statistika dan sains terkait dapat membuat keputusan yang lebih tepat dan akurat berdasarkan data probabilistik.
Variabel mana yang dianggap diskrit dalam probabilitas?
Dalam probabilitas, variabel diskrit adalah variabel yang memiliki jumlah nilai yang terbatas atau dapat dihitung. Artinya, variabel diskrit adalah variabel yang dapat dihitung, biasanya direpresentasikan dengan bilangan bulat. Misalnya, jumlah mobil di tempat parkir, jumlah siswa di ruang kelas, dan jumlah sisi pada dadu merupakan contoh variabel diskrit.
Variabel-variabel ini berbeda dari variabel kontinu, yang dapat memiliki nilai tak terhingga dalam rentang tertentu. Variabel diskrit memiliki nilai diskrit yang spesifik, sedangkan variabel kontinu dapat memiliki nilai apa pun dalam rentang kontinu. Misalnya, tinggi badan seseorang, waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu tugas, dan suhu ruangan merupakan contoh variabel kontinu.
Oleh karena itu, variabel diskrit dalam probabilitas adalah variabel yang dapat dihitung dan memiliki nilai-nilai spesifik yang terpisah, sedangkan variabel kontinu dapat memiliki nilai apa pun dalam suatu rentang.
Distribusi Probabilitas Diskrit: Karakteristik, Latihan
As distribusi probabilitas diskrit adalah fungsi yang berasosiasi dengan setiap elemen X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, di mana X adalah variabel acak diskrit yang diberikan dan S adalah ruang sampel, yaitu probabilitas terjadinya peristiwa ini. Fungsi f dari X(S) yang didefinisikan sebagai f(xi) = P(X = xi) terkadang disebut fungsi probabilitas massa.
Massa probabilitas ini biasanya direpresentasikan dalam bentuk tabel. Karena X adalah variabel acak diskrit, X(S) memiliki jumlah kejadian yang terbatas atau tak terbatas. Di antara distribusi probabilitas diskrit yang paling umum adalah distribusi seragam, distribusi binomial, dan distribusi Poisson.
Características
Fungsi distribusi probabilitas harus memenuhi kondisi berikut:
Selanjutnya, jika X hanya mengambil sejumlah nilai yang terbatas (misalnya, x1, x2, …, xn), maka p(xi) = 0 jika i > n dan, oleh karena itu, deret kondisi tak terhingga b menjadi deret terhingga
Fungsi ini juga memenuhi properti berikut:
Misalkan B adalah suatu kejadian yang berkaitan dengan variabel acak X. Ini berarti B terdapat dalam X(S). Lebih spesifik, misalkan B = {xi1, xi2,…}. Oleh karena itu:
Dengan kata lain: probabilitas suatu kejadian B sama dengan jumlah probabilitas hasil individual yang terkait dengan B.
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa jika
Jenis
Distribusi seragam di n titik
Suatu variabel acak X dikatakan mengikuti suatu distribusi yang dicirikan oleh keseragaman di n titik jika setiap nilai memiliki probabilitas yang sama. Fungsi massa probabilitasnya adalah:
Misalkan kita punya percobaan dengan dua kemungkinan hasil: bisa melempar koin yang kemungkinan hasilnya berupa sisi kepala atau sisi ekor, atau memilih bilangan bulat yang kemungkinan hasilnya bisa berupa angka ganjil atau genap; Jenis percobaan ini dikenal sebagai uji Bernoulli.
Secara umum, dua kemungkinan hasil disebut sukses dan gagal, dengan p adalah probabilitas sukses dan 1-p adalah probabilitas gagal. Kita dapat menentukan probabilitas x sukses dalam n percobaan Bernoulli independen dengan distribusi berikut.
Distribusi binomial
Fungsi ini merepresentasikan probabilitas memperoleh x keberhasilan dalam n percobaan Bernoulli independen, yang probabilitas keberhasilannya adalah p. Fungsi massa probabilitasnya adalah:
Grafik berikut menggambarkan fungsi massa probabilitas untuk berbagai nilai parameter distribusi binomial.
Distribusi berikut ini memperoleh namanya dari matematikawan Prancis Simeon Poisson (1781-1840), yang mendapatkannya sebagai limit distribusi binomial.
Distribusi Poisson
Suatu variabel acak X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dari parameter λ apabila variabel tersebut dapat menerima nilai bilangan bulat positif 0,1,2,3, … dengan probabilitas sebagai berikut:
Dalam ekspresi ini, λ merupakan jumlah rata-rata kemunculan peristiwa untuk setiap satuan waktu dan x merupakan jumlah kali peristiwa tersebut terjadi.
Fungsi probabilitas massanya adalah:
Di bawah ini adalah grafik yang menggambarkan fungsi massa probabilitas untuk berbagai nilai parameter distribusi Poisson.
Perhatikan bahwa selama jumlah keberhasilan rendah dan jumlah pengujian yang dilakukan pada distribusi binomial tinggi, kita selalu dapat memperkirakan distribusi ini, karena distribusi Poisson adalah limit dari distribusi binomial.
Perbedaan utama antara kedua distribusi ini adalah, sementara binomial bergantung pada dua parameter – nep –, Poisson hanya bergantung pada λ, yang terkadang disebut intensitas distribusi.
Sejauh ini, kita hanya membicarakan distribusi probabilitas untuk kasus-kasus di mana berbagai percobaan bersifat independen satu sama lain; yakni, ketika hasil dari satu percobaan tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan lainnya.
Ketika eksperimen tidak independen, distribusi hipergeometrik sangat berguna.
Distribusi hipergeometrik
Misalkan N adalah jumlah total objek dalam suatu himpunan hingga, yang mana kita dapat mengidentifikasi k dengan beberapa cara, membentuk suatu himpunan bagian K, yang komplemennya dibentuk oleh Nk elemen yang tersisa.
Jika kita memilih n objek secara acak, variabel acak X yang mewakili jumlah objek yang termasuk dalam K dalam pilihan tersebut akan memiliki distribusi hipergeometrik parameter N, n, dan k. Fungsi probabilitas massanya adalah:
Grafik berikut menggambarkan fungsi massa probabilitas untuk berbagai nilai parameter distribusi hipergeometrik.
Latihan Terselesaikan
Latihan pertama
Misalkan probabilitas sebuah tabung radio (yang dipasang pada jenis peralatan tertentu) akan berfungsi selama lebih dari 500 jam adalah 0,2. Jika 20 tabung diuji, berapa probabilitas tepat k tabung akan berfungsi selama lebih dari 500 jam, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Larutan
Jika X adalah jumlah tabung yang beroperasi lebih dari 500 jam, kita akan berasumsi bahwa X memiliki distribusi binomial. Maka
Dan begitulah:
Untuk k≥11, peluangnya kurang dari 0,001
Dengan demikian, kita dapat mengamati bagaimana probabilitas k dari mereka yang bekerja lebih dari 500 jam meningkat, hingga mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mulai menurun.
Latihan ke-2
Sebuah koin dilempar 6 kali. Jika muncul sisi kepala, kita menyebutnya sukses. Berapa peluang munculnya tepat dua sisi kepala?
Larutan
Untuk kasus ini, kita memiliki n = 6 dan probabilitas keberhasilan dan kegagalan adalah p = q = 1/2
Oleh karena itu, peluang dua sisi diberikan (yaitu, k = 2) adalah
Latihan ketiga
Berapa peluang menemukan paling sedikit empat wajah?
Larutan
Untuk kasus ini, kita memiliki k = 4, 5 atau 6
Latihan ketiga
Misalkan 2% barang yang diproduksi di sebuah pabrik cacat. Tentukan probabilitas P bahwa terdapat tiga barang cacat dalam sampel yang terdiri dari 100 barang.
Larutan
Untuk kasus ini, kita dapat menerapkan distribusi binomial untuk n = 100 dan p = 0,02, sehingga diperoleh hasil:
Namun, karena p kecil, kita menggunakan pendekatan Poisson dengan λ = np = 2. Jadi,
Referensi
- Kai Lai Chung: Teori Probabilitas Elementer dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Matematika Diskrit dan Aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Probabilitas dan aplikasi statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Soal-soal Terpecahkan dalam Matematika Diskrit. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah dalam Teori dan Probabilitas. McGraw-HILL