Interpolasi linear adalah metode yang digunakan untuk memperkirakan nilai antara antara dua titik yang diketahui. Metode ini mempertimbangkan hubungan linear antara titik-titik yang diketahui untuk menentukan nilai yang diinginkan. Proses ini banyak digunakan di berbagai bidang, seperti matematika, statistika, teknik, dan lain-lain.
Dalam artikel ini, kami akan membahas metode interpolasi linier, menjelaskan langkah demi langkah cara melakukan perhitungan jenis ini. Kami juga akan menyajikan contoh soal latihan untuk memudahkan pemahaman dan penerapan praktis metode ini. Dengan ini, kami berharap dapat berkontribusi pada pemahaman dan penggunaan interpolasi linier yang efisien dalam berbagai konteks.
Panduan langkah demi langkah untuk melakukan perhitungan interpolasi secara efisien.
Untuk melakukan perhitungan interpolasi secara efisien, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah 1: Kumpulkan data yang dibutuhkan untuk masalah interpolasi. Ini mencakup nilai titik referensi yang diketahui dan nilai x yang ingin Anda interpolasi.
Langkah 2: Hitung selisih antara nilai-x yang diketahui yang paling mendekati nilai-x yang diinginkan. Ini akan membantu menentukan rentang interpolasi.
Langkah 3: Hitung selisih antara nilai-y yang bersesuaian dengan titik referensi terdekat. Ini akan menentukan varians y pada interval interpolasi.
Langkah 4: Dengan menggunakan rumus interpolasi linier, hitung nilai y untuk nilai x yang diinginkan. Rumusnya adalah:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Langkah 5: Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus dan selesaikan untuk memperoleh nilai y yang sesuai dengan nilai x yang diinginkan.
Dengan mengikuti langkah-langkah ini, Anda akan dapat melakukan perhitungan interpolasi secara efisien dan memperoleh hasil akurat untuk permasalahan yang dihadapi.
Kapan waktu yang tepat untuk menggunakan interpolasi linear dalam analisis atau pemodelan matematika?
Interpolasi linier adalah metode yang digunakan dalam analisis atau pemodelan matematika ketika seseorang ingin memperkirakan nilai antara dari nilai yang diketahui. Metode ini cocok ketika data terdistribusi secara seragam. linear dan berkesinambungan.
Misalnya, ketika kita memiliki tabel dengan nilai fungsi pada titik diskrit dan kita ingin memperkirakan nilai fungsi untuk titik perantara, interpolasi linier bisa menjadi pilihan yang baik. Metode ini terdiri dari menggambar garis di antara dua titik yang diketahui dan menggunakan garis tersebut untuk memperkirakan nilai yang diinginkan.
Penting untuk diperhatikan bahwa file interpolasi linier mungkin tidak cocok dalam kasus di mana data menunjukkan perilaku nonlinier, seperti kurva atau osilasi. Dalam kasus ini, metode interpolasi lain yang lebih kompleks mungkin lebih tepat.
Cara mengisi celah pada tabel dengan nilai antara secara efisien.
Interpolasi linier adalah metode yang digunakan untuk mengisi celah dalam tabel secara efisien dengan nilai-nilai antara. Metode ini terdiri dari penghitungan nilai-nilai yang hilang berdasarkan nilai-nilai yang diketahui dalam tabel, menggunakan rumus sederhana.
Untuk menerapkan interpolasi linier, Anda memerlukan setidaknya dua titik yang diketahui dalam tabel. Dari titik-titik ini, Anda dapat menghitung nilai antara menggunakan rumus berikut:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Di mana Y adalah nilai antara yang ingin kita cari, Y1 dan Y2 adalah nilai-nilai yang diketahui dari tabel, X1 dan X2 adalah nilai-nilai X yang bersesuaian dan X adalah nilai X yang ingin kita cari nilai antara Y-nya.
Sebagai ilustrasi, mari kita selesaikan soal latihan praktis menggunakan interpolasi linier. Misalkan kita memiliki tabel berikut:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Sekarang, mari kita gunakan rumus interpolasi linear untuk menemukan nilai Y ketika X sama dengan 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Ynya = 3 + 2
Y = 5
Oleh karena itu, nilai Y ketika X sama dengan 2 adalah 5.
Seperti yang dapat kita lihat, interpolasi linier adalah metode yang sederhana dan efisien untuk mengisi celah dalam tabel dengan nilai antara. Dengan teknik ini, kita dapat memperoleh hasil yang akurat dengan cepat dan mudah.
Panduan praktis untuk melakukan interpolasi kuadrat secara efisien.
Untuk melakukan interpolasi kuadrat secara efisien, penting untuk mengikuti beberapa langkah sederhana. Pertama, Anda perlu mengetahui titik-titik yang akan digunakan untuk interpolasi. Kemudian, Anda perlu menghitung koefisien fungsi kuadrat yang melalui titik-titik tersebut.
Untuk menghitung koefisien fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan metode kuadrat terkecil. Metode ini terdiri dari menemukan fungsi kuadrat yang meminimalkan jumlah kuadrat selisih antara nilai yang dihitung dan nilai sebenarnya dari titik-titik yang diketahui.
Setelah koefisien fungsi kuadrat dihitung, kita dapat menggunakannya untuk menginterpolasi nilai antar titik yang diketahui. Untuk melakukannya, cukup masukkan nilai yang diinginkan ke dalam fungsi kuadrat dan dapatkan nilai interpolasi yang sesuai.
Perlu dicatat bahwa interpolasi kuadratik lebih akurat daripada interpolasi linear karena memperhitungkan kelengkungan data. Namun, perlu dicatat bahwa interpolasi kuadratik dapat menghasilkan hasil yang kurang akurat di daerah yang jauh dari titik yang diketahui.
Oleh karena itu, ketika melakukan interpolasi kuadrat, sangat penting untuk memastikan bahwa titik-titik yang diketahui terdistribusi secara merata dan fungsi kuadrat dihitung dengan benar. Hal ini memungkinkan hasil interpolasi yang lebih akurat dan andal.
Interpolasi Linier: Metode, Latihan Soal Terselesaikan
A interpolasi linier adalah metode yang berasal dari interpolasi dan aproksimasi umum Newton untuk menentukan nilai yang tidak diketahui yang terletak di antara dua angka; yaitu, menemukan nilai antara. Metode ini juga diterapkan pada fungsi aproksimasi, di mana nilai f (A) ef (B) diketahui dan Anda ingin mengetahui perantara f (x) .
Terdapat berbagai jenis interpolasi, termasuk interpolasi linear, kuadrat, kubik, dan orde tinggi, dengan yang paling sederhana adalah aproksimasi linear. Kekurangan interpolasi linear adalah hasilnya tidak akan seakurat aproksimasi yang menggunakan fungsi orde tinggi.
Definisi dari
Interpolasi linear adalah proses yang memungkinkan Anda menyimpulkan nilai antara dua nilai yang terdefinisi dengan baik, yang dapat berupa tabel atau grafik linear.
Misalnya, jika Anda tahu bahwa 3 liter susu bernilai $4 dan 5 liter bernilai $7, tetapi Anda ingin mengetahui berapa nilai 4 liter susu, Anda melakukan interpolasi untuk menemukan nilai antara tersebut.
Metode
Untuk memperkirakan nilai antara suatu fungsi, fungsi f (x) didekati dengan garis r (x) , yang berarti bahwa fungsi tersebut bervariasi secara linier dengan «x» untuk bagian «x = a» dan «x = b»; yaitu, untuk nilai “x” dalam interval (x 0 , X 1 ) Y y 0 , Dan 1 ), nilai “y” diberikan oleh garis antara titik-titik dan dinyatakan dengan hubungan berikut:
(Y y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Agar suatu interpolasi bersifat linier, maka polinomial interpolasi tersebut harus berderajat satu (n = 1) sehingga sesuai dengan nilai x. 0 dan x 1.
Interpolasi linear didasarkan pada kesamaan segitiga, sehingga dengan menurunkan ekspresi sebelumnya secara geometris, kita dapat memperoleh nilai «y», yang merupakan nilai yang tidak diketahui untuk «x».
Oleh karena itu, Anda harus:
a = tan Ɵ = (kaki yang berlawanan 1 ÷ kaki yang berdekatan 1 ) = (kaki yang berlawanan 2 ÷ kaki yang berdekatan 2 )
Jika diungkapkan dengan cara lain, yaitu:
(Y y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Dengan menghilangkan kata “dan” dari ekspresi, Anda akan mendapatkan:
(Y y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(Y y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Dengan demikian, persamaan umum untuk interpolasi linier diperoleh:
kamu = kamu 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Secara umum, interpolasi linear memberikan kesalahan kecil pada nilai aktual fungsi sebenarnya, meskipun kesalahannya minimal dibandingkan dengan jumlah intuitif suatu angka yang mendekati angka yang ditemukan.
Kesalahan ini terjadi saat mencoba memperkirakan nilai kurva dengan garis lurus; dalam kasus seperti ini, ukuran interval harus dikurangi agar perkiraan lebih akurat.
Untuk hasil aproksimasi terbaik, disarankan untuk menggunakan fungsi derajat 2, 3, atau bahkan lebih tinggi untuk melakukan interpolasi. Untuk kasus ini, teorema Taylor merupakan alat yang sangat berguna.
Latihan Terselesaikan
Latihan 1
Jumlah bakteri per satuan volume dalam inkubasi setelah x jam ditunjukkan pada tabel berikut. Anda ingin mengetahui volume bakteri selama periode 3,5 jam.
Larutan
Tabel referensi tidak menetapkan nilai yang menunjukkan jumlah bakteri selama periode 3,5 jam, tetapi terdapat nilai yang lebih tinggi dan lebih rendah yang masing-masing sesuai dengan periode 3 dan 4 jam. Dengan demikian:
x 0 = 3 e 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 e 1 = 135
Sekarang persamaan matematika diterapkan untuk menemukan nilai interpolasi, yaitu sebagai berikut:
kamu = kamu 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Kemudian nilai yang sesuai disubstitusikan:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
kamu = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Dengan demikian, diperoleh bahwa, untuk jangka waktu 3,5 jam, jumlah bakteri adalah 113, yang merupakan tingkat antara antara volume bakteri yang ada pada waktu 3 dan 4 jam.
Latihan 2
Luis memiliki pabrik es krim dan ingin melakukan studi untuk menentukan pendapatannya di bulan Agustus berdasarkan pengeluarannya. Administrator perusahaan membuat grafik yang mencerminkan hubungan ini, tetapi Luis ingin mengetahui:
Berapa pendapatan pada bulan Agustus jika pengeluaran sebesar $55.000 dilakukan?
Larutan
Grafik yang menunjukkan angka pendapatan dan beban disediakan. Luis ingin tahu berapa pendapatan di bulan Agustus jika pabrik memiliki beban sebesar $55.000. Angka ini tidak tercermin secara langsung dalam grafik, tetapi angkanya bisa lebih tinggi dan lebih rendah.
Pertama, tabel dibuat untuk memudahkan menghubungkan nilai-nilai:
Sekarang rumus interpolasi digunakan untuk menentukan nilai y
kamu = kamu 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Kemudian nilai yang sesuai disubstitusikan:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
kamu = 56.000 + 12.936
y = $68.936.
Jika pengeluaran sebesar $55.000 dilakukan pada bulan Agustus, pendapatannya adalah $68.936.
Referensi
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Aljabar dan Trigonometri dengan Geometri Analitik. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Topik dalam Teori Grup Geometris. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolasi Linear », Ensiklopedia Matematika.
- JM (1998). Elemen metode numerik untuk rekayasa. UASLP.
- E. (2002). Kronologi interpolasi: dari astronomi kuno hingga pemrosesan sinyal dan citra modern. Prosiding IEEE.
- numerik, I.a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.