Inteiros: propriedades, exemplos, exercícios

Inteiros: propriedades, exemplos, exercícios

Os números inteiros são um conjunto de números úteis para contar objetos que têm e que não têm. Também contar os de um lado e do outro de um determinado local de referência.

Também com números inteiros, é possível executar a subtração ou diferença entre um número e outro maior que ele, estabelecendo o resultado como uma dívida, por exemplo. A distinção entre ganhos e dívidas é feita com os sinais + e – respectivamente.

Portanto, o conjunto de números inteiros inclui o seguinte:

– Inteiros positivos, escritos precedidos por um sinal de +, ou simplesmente sem o sinal, pois é igualmente compreendido que eles são positivos. Por exemplo: +1, +2, + 3 … e assim por diante.

-O 0, no qual o sinal é irrelevante, pois não importa adicioná-lo ou subtraí-lo de alguma quantidade. Mas 0 é muito importante, pois é a referência para números inteiros: de um lado estão os positivos e do outro são os negativos, como podemos ver na Figura 1.

– Inteiros negativos, que devem sempre ser escritos precedidos pelo sinal -, pois distinguem valores como dívidas e todos aqueles do outro lado da referência. Exemplos de números inteiros negativos são: -1, -2, -3 … e depois.

Como os números inteiros são representados?

No início, representamos os números inteiros com a notação de conjunto: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 …}, ou seja, lista e organizado. Mas uma representação muito útil é a que usa a linha numérica. Isso requer o desenho de uma linha, geralmente horizontal, na qual 0 está marcado e é dividido em seções idênticas:

Os negativos vão para a esquerda de 0 e os positivos vão para a direita. As setas na linha numérica simbolizam que os números continuam até o infinito. Dado qualquer número inteiro, é sempre possível encontrar um que seja maior ou outro que seja menor.

O valor absoluto de um número inteiro

O valor absoluto de um número inteiro é a distância entre o número e 0. E as distâncias são sempre positivas. Portanto, o valor absoluto do número inteiro negativo é o número sem seu sinal de menos.

Por exemplo, o valor absoluto de -5 é 5. O valor absoluto é indicado com barras, da seguinte maneira:

-5 | = 5

Para visualizá-lo, basta contar os espaços na linha numérica, de -5 a 0. Enquanto o valor absoluto de um número inteiro positivo for o mesmo número, por exemplo | +3 | = 3, já que sua distância de 0 é de 3 espaços:

Propriedades

-O conjunto de números inteiros é indicado como Z e inclui o conjunto de números naturais N, sendo seus elementos infinitos.

N Um número inteiro e o que o segue (ou o que o antecede) sempre diferem na unidade. Por exemplo, depois de 5 vem 6, sendo 1 a diferença entre eles.

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– Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor.

– Qualquer número inteiro positivo é maior que 0.

-Um número inteiro negativo é sempre menor que 0 e qualquer número positivo. Tomemos, por exemplo, o número -100, que é menor que 2, que 10 e que 50. Mas também é menor que -10, -20 e -99 e é maior que -200.

-0 não tem considerações de sinal, uma vez que não é negativo nem positivo.

-Com os números inteiros, você pode executar as mesmas operações que são realizadas com os números naturais, a saber: adição, subtração, multiplicação, aprimoramento e muito mais.

-O número inteiro oposto a um determinado número inteiro x, é –x, e a soma de um número inteiro com o seu oposto é 0:

x + (-x) = 0.

Operações com números inteiros

– Soma

-Se os números a serem adicionados tiverem o mesmo sinal, seus valores absolutos serão adicionados e o sinal com os suplementos será adicionado ao resultado. aqui estão alguns exemplos:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = – (12 + 10) = -22

-No caso de os números terem sinais diferentes, os valores absolutos são subtraídos (o maior do menor) e o resultado é colocado como sinal do número com o maior valor absoluto, da seguinte forma:

a) (-8) + (21) = 21 – 8 = 13

b) (-9) + (+4) = – (9-4) = -5

Propriedades da soma dos números inteiros

-A soma é comutativa, portanto, a ordem dos adendos não altera a soma. Sejam a e b dois inteiros, é verdade que a + b = b + a

-0 é o elemento neutro da soma dos números inteiros: a + 0 = a

-Qualquer número inteiro adicionado ao seu oposto é 0. O oposto de + a é –a e, inversamente, o oposto de –a é + a. Portanto: (+ a) + (-a) = 0.

– Subtração

Para subtrair números inteiros, siga esta regra: subtração é igual à soma de um número com seu oposto . Que haja dois números aeb, então:

a – b = a + (-b)

Por exemplo, suponha que você precise executar a seguinte operação: (-3) – (+7) e, em seguida:

(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = – (3 + 7) = -10

– Multiplicação

A multiplicação de números inteiros segue certas regras para sinais:

-O produto de dois números com o mesmo sinal é sempre positivo .

-Quando dois números diferentes de sinais são multiplicados , o resultado é sempre negativo .

-O valor do produto é igual à multiplicação dos respectivos valores absolutos.

Imediatamente alguns exemplos que esclarecem o acima:

(-5) x (+8) = – 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Propriedades da multiplicação de números inteiros

-A multiplicação é comutativa. Sejam dois números inteiros aeb, é verdade que: ab = ba, que também pode ser expresso como:

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A ordem dos fatores não altera o produto.

-O elemento neutro da multiplicação é 1. Seja um número inteiro, portanto a.1 = 1

-Qualquer número inteiro multiplicado por 0 é igual a 0: a.0 = 0

A propriedade distributiva

A multiplicação está de acordo com a propriedade distributiva em relação à soma. Se a, bec são inteiros, então:

Dê sua nota! Dê sua nota!

A seguir, é apresentado um exemplo de como aplicar essa propriedade:

(-3) [(-4) + 11] = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 – 33 = 12 + (-33) = -21

Fortalecimento

-Se a base for positiva, o resultado da operação é sempre positivo.

-Quando a base é negativa, se o expoente for par, o resultado é positivo. e se o expoente for ímpar, o resultado é negativo.

– Divisão

Na divisão, as mesmas regras de signos se aplicam como na multiplicação:

Ao dividir dois números inteiros do mesmo sinal, o resultado é sempre positivo.

-Quando dois inteiros com sinais diferentes são divididos, o quociente é negativo.

Por exemplo:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Importante : a divisão não é comutativa, ou seja, a ÷ b ≠ b ÷ a e, como sempre, a divisão por 0 não é permitida.

– Fortalecimento

Seja um número inteiro e queremos aumentá-lo para um expoente n, portanto devemos multiplicar a por si n vezes, como mostrado abaixo:

a n = aaaa… ..a

Considere também o seguinte, levando em consideração que n é um número natural:

-Se a é negativo en é par, o resultado é positivo.

-Quando a é negativo en é ímpar, resulta em um número negativo.

-Se a é positivo en é par ou ímpar, sempre resulta um número inteiro positivo.

-Qualquer número inteiro elevado a 0 é igual a 1: a = 1

-Qualquer número elevado a 1 é igual ao número: a 1 = a

Digamos, por exemplo, que você deseja encontrar (–3) , para fazer isso, multiplicamos (-3) quatro vezes por si só, assim: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Outro exemplo, também com um número inteiro negativo, é:

(-2) 3 = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produto de poderes da mesma base

Suponha dois poderes da mesma base; se os multiplicamos, obtemos outro poder com a mesma base, cujo expoente é a soma dos expoentes dados:

a n · a m = a n + m

Quociente de Poderes Iguais

Ao dividir potências da mesma base, o resultado é uma potência com a mesma base, cujo expoente é a subtração dos expoentes dados:

a n ÷ a m = a n – m

Aqui estão dois exemplos que esclarecem esses pontos:

(-2) 3. (- 2) 5 = (-2) 3 + 5 = (-2) 8

5 6 ÷ 5 4 = 5 6-4 = 5 2

Exemplos

Vamos ver exemplos simples para aplicar essas regras, lembrando que, no caso de números inteiros positivos, você pode ficar sem o sinal:

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a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = – (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = – 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = [(+4) + (-8)] + (-25) = [4-8] -25 = -4 -25 = -29

Qual é a raiz quadrada de 2 (3) = (-8) = (-8) + (-15) =

Dê sua nota! Dê sua nota!

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

Dê sua nota! Dê sua nota! 2Comentários (2)

i) (-2) 3 = (-2) x (-2) x (-2) = – 8

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Uma formiga se move na linha numérica da figura 1. A partir do ponto x = +3, ele faz os seguintes movimentos:

-Move 7 unidades para a direita

-Agora retorne 5 unidades para a esquerda

-Caminhe mais 3 unidades para a esquerda.

-Retorne e mova 4 unidades para a direita.

Onde está a formiga no final da jornada?

Solução

Vamos chamar deslocamento D. Quando estão à direita, recebem um sinal positivo e, à esquerda, um sinal negativo. Dessa maneira, e partindo de x = +3, temos:

-Primeiro D: X 1 = 3 + 7 = 10

-Segundo D: X 2 = 10 + (-5) = 5

-Terceiro D: X 3 = 5 + (-3) = 2

-Quarto D: x 4 = +2 + 4 = +6

Quando a formiga termina sua caminhada, ela está na posição x = +6. Ou seja, são 6 unidades à direita de 0 na linha numérica.

– Exercício 2

Resolva a seguinte operação:

{36 + [- (-4 + (-5) – 7)]}. {- [- 6 + 5- (2 + 7-9)] + 2 (-8 + 6)]}

Solução

Esta operação contém sinais de agrupamento, que são parênteses, colchetes e chaves. Ao resolver, você deve cuidar primeiro dos parênteses, depois dos colchetes e, finalmente, das teclas. Em outras palavras, você precisa trabalhar de dentro para fora.

Neste exercício, o ponto representa uma multiplicação, mas, no caso de não haver um ponto entre um número e um parêntese ou outro símbolo, também é entendido como um produto.

Após a resolução passo a passo, as cores servem como um guia para acompanhar o resultado da redução dos parênteses, que são os símbolos de agrupamento mais internos:

{36 + [- (-4 + (-5) – 7) ]}. {- [- 6 + 5- (2 + 7-9) ] + 2 (-8 + 6) ]} =

= {36 + [- (-16) ]}. {- [- 6 + 5- (0) ] + 2 (-2) ]} =

= {36 + [16]}. {- [- 1] – 4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {- 3} = -156

– Exercício 3

Resolva a equação do primeiro grau:

12 + x = 30 + 3x

Solução

Os termos são agrupados com o desconhecido à esquerda da igualdade e os termos numéricos à direita:

x – 3x = 30 – 12

– 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = – 9

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Figuera, J. 2000. Matemática da 7ª série. Edições CO-BO.
  3. Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações de Monfort.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Os números inteiros. Recuperado de: Summitnet.uoc.edu.

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