Tipi di relazioni matematiche dovute alla variabilità: teoria, test e applicazioni

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Capire che tipo di legam c'è tra due variabili È uno di quelli che domina più frequentemente nelle applicazioni statistiche, dati provenienti da dati e test sperimentali e quantitativo. L'altro modo di procedere è lineare e fa sempre parte del cogliere, l'altro modo di procedere è monotono ma non lineare, oppure coinvolge categoria e non numeri, l'ancora dipende da una terza variabile che confonde le acque: insomma, non è una passeggiata.

In questa guida pratica e teorica in italiano ne parliamo in modo organico Il consiglio principale delle relazioni matematiche dovute alla variabilità, come diagnosticare visivamente e con un test formale, coefficienti qualitativi utilizzati (Pearson, Spearman, Kendall), come cambiare con variabili categoriali variabili (chi-quadro di indipendenza, test esatto di Fisher, V di Cramér, coefficiente di contingenza, phi), come misurare l'accordo lavorare con Kappa e come gestirlo variabili di confundimento elaborare la correlazione parziale. Inoltre, miglioreremo una finestra meridionale'algebra delle relazioni (in senso insiemistico e computazionale), essenziale per formalizzare concetti come dominio, composizione, inversa e funzioni.

Ciò che intendiamo per “relazione” a causa della variabilità

Nel linguaggio matematico, una relazione tra A e B è un riassunto del prodotto cartesiano A×B: ogni coppia ordinata (a, b) appartenente a R indica che l'elemento a di A è “in relazione” con l'elemento b di B. In termini applicati, una relazione che è deterministica (funzione) oppure probabilistica (associazione stocastica): nel primo caso ad ogni a corrisponde esattamente una b, nel secondo osserviamo una tendenza (più o meno forte) e non un legam uno-a-uno.

All' algebra interna delle relazioni (in senso siemistico) è interessante la proprietà come riflessività (ogni a è in relazione a se stesso), simmetria ((a, b) implica (b, a)), antisimmetria (se (a, b) e (b, a) allora a = b) e transitività (da (a, b) e (b, c) segue (a, c)). Questo cruciale proprietario immobiliare: se una relazione è simmetrica, simmetrica e transitiva diventa una relazione di equivalenza che “partiziona” A in classi di elementi equivalenti. Se invece è riflessivo, antisimmetrico e transitivo, abbiamo una relazione d'ordine.

In questa analisi, traduciamo questa idea in pratica: valutiamo il tipo di variabilità (continua quantitativa, ordinali, nominali/dicotomiche) e là posizione in questa statistica e scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, sapendo che “relazione” non significa sempre “causa-effetto”.

Ispezione visiva: mangiare, riconoscere schema e direzione

Prima di buttarsi nei numeri, un diagramma di dispersione È il peso della cosa più intelligente. Una nuvola che scende dritta lungo una linea retta suggerisce un relazione lineare (positivo o negativo); strutturare la curva indicativa relazioni non lineari (ma magari monotono). Se non si intravede uno schema, la relazione lineare può distruggere l'assenso.

Con poca variabilità, i pannelli di scatter plot (e ad esempio in R con coppie (dati)) e la linea che tende a smussare (geom_smooth in ggplot2) così puoi notare associazioni, cluster e valori anomaliAttenzione: gli outlier Podeno avere moltissimi coefficienti, specie Pearson.

Ad esempio in R si può iniziare così: coppie (dati)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Una prima proiezione visiva, corretta al numero, Vai a scegliere il test giusto basato sulla forma, sulla monotonia e sulla linearità apparente.

Controlla la sua normalità: quando servi davvero

Molti test parametrici (ad esempio il test di Pearson) presumo, in varia misura, normalità l'almeno è una struttura simmetrica senza codice pesante. Per controllare l'ipotesi, una parte specifica della struttura grafica viene istogrammi con densità e Grafico QQ.

In R, una batteria minima potrebbe includere:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Per confrontare le osservazioni quantitative con quelle di uno standard normale, Grafico QQ è insostituibile:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

Tienilo a vista, se non posso usarlo test formali di normalità prove di accumulo: Kolmogorov–Smirnov con stime dei parametri, Lilliefors, Cramér–von Mises, Shapiro–Wilk, Shapiro–Francia, Anderson–Darling e il test di Pearson (chi-quadro) di normalità.

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Se dormo in giro normalmente e la relazione è lineare, il coefficiente di Pearson è un buon cugino celtico; altrimenti è prudente preferire mescolare basate sui ranghi con Spearman o Kendall.

Relazione tra variabilità quantitativa: covarianza e correlazione

La covarianza Il problema è la covarianza depende dall'unità di misura, quindi è poco comparabile.

La Correlazione lineare di Pearson Risolvere il problema standardizzando per deviazione standard: il coefficiente r varia tra -1 e 1, dando un valore a ±1 indicato forte relazione lineare (positivo o negativo) e 0 suggerisce assenza di linearità. Notare che: r = 0 non esclude relazioni non lineari.

Calcoli per correlazioni in R:

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Quando la relazione è monotona ma non lineare o quando non dormo normalmente (o non contengo l'anomalia), ha senso usare Spearman (ranghi; robusto e adatto ai medio-grandi campioni) Kendall τ (basato su concordanze/discordanze; preferibile su piccoli campioni (o con molti pareggi):

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Un'idea usefule: il coefficiente di determinazione R² di un modello lineare semplice ripristina la quota variabile di Y spiegata linearmente da X. In R:

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

Per dicotomia variabile vs quantitativa, il coefficiente punto-biseriale coincide con il calcolo di Pearson con una variabile codificata 0/1; in pratica, colore (dicotomico, quantitativo) metodo con = “pearson”.

Categorie variabili: indipendenza, forza associativa e piccoli campioni

Quando entra in gioco la variabilità del sonno nominali od ordinali, la relazione si studia con tabelle di contingentza (spesso con classificazione doppia). L'ipotesi tipica è: H0 = indipendenza (associazione necessaria), controllo H1 = dipendenza.

Il test di riferimento è il chi-quadro di indipendenza. Se ci sono frequenze attese troppo basse (tipicamente < 5), se lo usi La correzione di Yates per 2×2 o si passa al test esatto di Fisher, particolarmente indicato con campioni piccoli.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Per Quantcare l'intensità dell'associazione in tabelle I×J si usano: V di Cramér (0-1), coefficiente di contingentza (0–1, limitazione), e in 2×2 il phi (φ), che formalmente è un Pearson applicato alla tabella binaria.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Se l'intersse è confrontore gruppi la sua variabilità quantitativa (es. reddito per professione), se valutano test t, ANOVA e le rispettive alternative non parametriche, senza intervalli di confidenza. Generalmente, coerenza nel tipo di variabilità e metodo è fondamentale.

Accordo tra valutatori: Kappa di Cohen

Quando due (o più) giudici non classificano gli stessi oggetti in categoria, non è sufficiente mescolare la percentuale di accordo, perché a quota può essere dovuta al caso. esso Kappa di Cohen quantifica l'accordo corretto per l'accordo occasionale: ho valutato ulteriormente a 0 indicando l'accordo per ogni caso, ho valutato maggiori Suggeriscono accordo crescente (interpretazioni comuni: scarso, discreto, moderato, buono, molto buono).

In R è possibile stimare Kappa anche in versione ponderata (per categorie ordinali):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Se la categoria non è un ordine naturale (ad empio, lieve/moderata/severa), Kappa ponderato penalizza minor in disaccordo “vicini” e più quelli “lontani”, risultando in uno spesso più informativo.

Relazioni e variabili di confusione: la correlazione parziale

Può capitare che due variabili X e Y sembrino molto correlate, ma in realtà la forza dell'associazione sia dovuta a una variabile di confundimento Z correlato con entrabe. In questione, se ci clicchi sopra correlazione parziale tra X e Y controllando per Z.

In R, con ggm::pcor si ottiene la correlazione parziale di primo ordine e si può testare la significatività. È utile confrontare classico r e r parziale per capire come Z “spiega” del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

If the spiegata quota “crollas” dopo il controllo, now Z era un importante confederatoQuando la variabile di controllo è la categoria (es. professione), non posso utilizzare approcci o modelli simili che includano la categoria come fattore.

Limite e buone pratiche nell'uso della correlazione

La miscela dei coefficienti di Pearson solo la linearitàSe la relazione è non lineare (quadratica, sponenziale, logaritmica), può risultare 0 pur in presenza di una forte dipendenza. In questi casi, valutare Spearman, trasformarlo in un modello non lineare.

Gli valore anomalo Non posso distorcere il risultato. Per questo motivo, prima di tutto, è opportuno controllare il grafico e, se necessario, eseguire contemporaneamente un'analisi robusta o verificare la sensibilità dei risultati.

Un altro classico: correlazione ≠ causalità. A causa della variabilità non posso correlare perché il sonno influenzato dà un terzo fattore, semplicemente per coincidenza o per effetto di un meccanismo inverso. Servono disegni sperimentali, strumenti causali o modelli appropriati per parlare di causa-effetto.

Tipo di relazione: lineare, monotona, nulla, categoriale

Nei casi misti (quantitativo vs dicotomica/nominale/ordinata) se supera un test di confronto tra gruppi, correlazioni biseriali/punto-biseriali oa Modelli (ad esempio regressione con fattori previsti). Con variabilità entrarbe categoriali, ci si affida a chi-quadro/Fisher e alle misure di forza dell'associazione già viste.

Funzioni mangiano relazioni speciali

Un funzione È una relazione che, per un elemento del dominio, associa esattamente un elemento del condominio. In conclusione, è un sottoinsieme di A×B tale che ogni a in A confronta una sola volta con la prima componente. Altre operazioni importanti nell'algebra del sonno: unione (R1 ∪ R2), intersezione (R1 ∩ R2), composizione (R2 ∘ R1) e inversione (R^{-1}, che scambia ciascuna coppia (a, b) in (b, a)).

QUESTI mattoni concettuali tornano utili sia nella matematica pura (equivalenze, ordini, classi di equivalenza) sia in applicazioni concrete dove serve formalizzare le relazioni tra entità.

Algebra delle relazioni e scienza che ho dato

Nel mondo dei database, l'algebra relazionale Questa è la struttura teorica di SQL: come operare select, proiezione, join, unione e intersezione sono versioni pratiche di operazioni su relazioni-insiemi. Questa formalizzazione è un'arma potente per descrivere, ottimizzare e manipolare rapidamente le cose.

Nel contesto intelligenza artificiale e apprendimento automatico, la capacità di modellare le relazioni per consentire la costruzione di grafici di conoscenza, sistemi di raccomandazione e pipeline di integrazione; Questo valore è valido in economia, biostatistica e scienze sociali, è quasi sempre "chi è legato a chi e in modalità che".

Esempi classici di relazioni nella teoria degli insiemi

Relazioni di equivalenza: riflessivo, simmetrico e transitivo. Esempi come "avere questo valore come soluzione" sono realmente reali o ci sono congruenza modulo n Ho suggerito internamente. Ogni relazione di equivalenza induce classi di equivalenza che ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relazioni d'ordinario: riflessive, antisimmetriche e transitive. Esempi: ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), o “divide” (|) sui naturali. Fondamentali del sonno per definizione ordinamenti totali o parziali e per regione sono i suoi massimi, minimi, catene e anticatene.

Ordine lessicografico: è quello che ho detto. È un ordine in una sequenza (stringa, numero scritto in sequenza) che confronta elemento per elemento; c'è un rumore importante in questa struttura e trascuro gli algoritmi.

Questa sezione è utile per comprendere che la “relazione” in matematica è un concetto più ampio della sole correlazione: includono uguaglianze, ordini, composizione e molto altro ancora, tutto indispensabile per modellare sistemi complessi.

Flusso di lavoro pratico: controllalo lì i risultati

Un possibile flusso di travaglio così non lo perdi se usi uno strumento e dove:

• Ispezione grafica: grafico a dispersione, smoothing, istogrammi, grafico QQ. Occhio a outlier e forma non lineare.
• Controllo: se funziona, testa la normalità; Controlli di omoschedasticità se è previsto un modello lineare.
• Scelta del coefficiente: Pearson (lineare, dati circa normali), Spearman/Kendall (monotona/non normale/piccoli campioni).
• Categorico: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Per il confronto di gruppo, t-test/ANOVA o alternativa.
• Confundenti: modello correlato parziale o multivariato (compresa la categoria fattori).

Qualunque sia la scelta, interpretae nel contexto È la chiave: grandezza dell'effetto, significativa statistica, ampiezza del campione e qualità dei dati contano come (se non più) del numero finale.

Esempi di codice R ricorrenti

Riassumendo alcune chiamate utili che lo rende più accurato nell'analisi della relazione tra variabili e che può essere adattato al tuo set di dati:

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Nota pratica: le scelte “giuste” dipendono dai dati. Vale la pena convalidare l’ipotesi, confrontare il metodo e, quando funziona, costruire uno script piccolo per diagnosticare la questione in modo rapido e affidabile.

Abbiamo visto che “relazione” può significare il più delle volte: la forma lineare con Pearson, la monotonia con Spearman/Kendall, sottile all'associazione all'interno della categoria con chi-quadro/Fisher e misure con V di Cramér e φ; senza dimenticare l'accordo tra giudici (Kappa) e management ho dato confondenti con la correlazione parziale. Pertanto, l'algebra relazionale fornisce i mattoni concettuali per definire dominio, inversa e composizione, mentre l'algebra relazionale guida la modalità con cui archivio e interroghiamo i dati nei database. L'idea chiave è scegliere lo strumento in base al tipo di variabili, alla forma del legam e agli obiettivi dell'analisi, ricordandoci che nessun coefficiente, da solo, può raccontare tutta la storia.