התפלגות היפרגיאומטרית: נוסחאות, משוואות, מודל

ייזום » מדע » מתמטיקה » סטטיסטיקה » התפלגות היפרגיאומטרית: נוסחאות, משוואות, מודל

התפלגות היפר-גיאומטרית היא מודל סטטיסטי המתאר את ההסתברות להשגת מספר מסוים של הצלחות במדגם שנלקח מאוכלוסייה סופית ללא החלפה. במודל זה, האוכלוסייה מחולקת לשתי קטגוריות נפרדות (הצלחות וכישלונות), והמדגם נבחר ללא החלפת האלמנטים שהוסרו.

ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית מאופיינת בשלושה פרמטרים: גודל האוכלוסייה, מספר ההצלחות באוכלוסייה וגודל המדגם. באמצעות נוסחאות ומשוואות ספציפיות, ניתן לחשב את ההסתברות להשגת מספר מסוים של הצלחות במדגם הנבחר.

מודל זה נמצא בשימוש נרחב בתחומים שונים, כגון תעשייה, מחקר מדעי וקבלת החלטות כללית. הבנת ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית ויישומיה המעשיים חיונית לניתוח סטטיסטי של בעיות הכרוכות בבחירת אלמנטים מאוכלוסייה סופית.

חשב את ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית בצורה מעשית ויעילה בכמה צעדים בלבד.

כדי לחשב את ההתפלגות ההיפרגאומטרית בצורה מעשית ויעילה בכמה צעדים בלבד, חשוב לבצע מספר צעדים פשוטים. ההתפלגות ההיפרגאומטרית משמשת לעתים קרובות לחישוב ההסתברות להשגת מספר מסוים של הצלחות במדגם ללא החלפה.

ראשית, יש צורך לזהות את הפרמטרים של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית: n (גודל המדגם), K (מספר ההצלחות הכולל באוכלוסייה), N (גודל האוכלוסייה) ו k (מספר ההצלחות הרצויות במדגם).

לאחר מכן השתמש בנוסחת ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית כדי לחשב את ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות במדגם, נתונות על ידי:

P(X = k) = (K בחר k) * ((NK) בחר (nk)) / (N בחר n)

כאשר "choose" מייצג את המקדם הבינומי, אותו ניתן לחשב בקלות באמצעות נוסחאות או תוכנה ייעודית.

לבסוף, לאחר חישוב ההסתברות עבור כל ערך של k אם רוצים, ניתן ליצור את ההתפלגות המלאה ולנתח את התוצאות בצורה מעשית ויעילה.

על ידי ביצוע שלבים פשוטים אלה ושימוש בנוסחאות הנכונות, ניתן לחשב את ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית בצורה מדויקת ומהירה, ובכך להקל על הניתוח הסטטיסטי של תרחישים שונים.

מתי לבחור את ההתפלגות הבינומית והפואסון במצבי הסתברות ספציפיים.

כאשר בוחרים בין התפלגות בינומית להתפלגות פואסון במצבי הסתברות ספציפיים, חשוב לקחת בחשבון את המאפיינים של כל אחת מהן. ההתפלגות הבינומית משמשת כאשר אנו עוסקים בניסוי שיש בו מספר קבוע של ניסיונות, שלכל אחד מהם שתי תוצאות אפשריות בלבד (הצלחה או כישלון). מצד שני, התפלגות פואסון מתאימה יותר כאשר אנו עוסקים בתהליך של ספירת אירועים נדירים על פני מרווח זמן או מרחב רציף.

לדוגמה, אם אנו מעוניינים לדעת את ההסתברות לקבל בדיוק 5 "עושים" ב-10 הטלות מטבע הוגן, ההתפלגות הבינומית תהיה הבחירה האידיאלית. אם אנו מעוניינים בהסתברות שיתרחשו 3 תאונות דרכים בקטע נתון של כביש ביום, התפלגות פואסון תהיה מתאימה יותר.

התפלגות היפרגיאומטרית: נוסחאות, משוואות, מודל

ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית משמשת כאשר אנו מתעניינים בהסתברות לקבלת מספר מסוים של הצלחות במדגם ללא החלפה. היא מיושמת במצבים בהם הסרת אלמנט אחד משפיעה על הסתברות ההצלחה של האלמנטים הבאים.

הנוסחה להתפלגות ההיפר-גיאומטרית ניתנת על ידי:

P(X = k) = (C(n,k) * C(Nn, nk)) / C(N,n)

איפה:

• P(X = k) היא ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות במדגם
• C(n,k) הוא מספר הצירופים של n אלמנטים שנלקחו kak
• N הוא גודל האוכלוסייה
• n הוא מספר האלמנטים במדגם
• k הוא מספר ההצלחות הרצויות במדגם

לכן, ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית היא כלי שימושי לחישוב ההסתברות להצלחה בדגימות ללא החלפה, תוך התחשבות באינטראקציה בין מרכיבי האוכלוסייה.

גלו כיצד לחשב את התפלגות ההסתברות בצורה פשוטה.

Descubra הדרך לחשב את התפלגות ההסתברות בצורה פשוטה. התפלגות היפר-גיאומטרית הוא מודל סטטיסטי המתאר את ההסתברות להשגת מספר מסוים של הצלחות במדגם ללא החלפה. כדי לחשב את התפלגות ההסתברות, ניתן להשתמש בנוסחה הבאה:

P(X=k) = (C(k,n) * C(Nk, Nn)) / C(N,n)

איפה:

• X הוא המשתנה האקראי המייצג את מספר ההצלחות
• k הוא מספר ההצלחות הרצויות במדגם
• n הוא המספר הכולל של הצלחות באוכלוסייה
• N הוא גודל האוכלוסייה
• ג(א, ב) מייצג את מספר הצירופים של a אלמנטים שנלקחו b a a אלמנטים

בעזרת נוסחה זו, ניתן לחשב בקלות את ההסתברות לקבלת מספר מסוים של הצלחות במדגם ללא החלפה. זכרו שסכום כל ההסתברויות חייב להיות שווה ל-1, מה שאומר שסכום כל ההסתברויות של כל מספרי ההצלחות האפשריים חייב להיות שווה ל-1.

התפלגות היפרגיאומטרית: נוסחאות, משוואות, מודל

A התפלגות היפר-גיאומטרית היא פונקציה סטטיסטית דיסקרטית, המתאימה לחישוב ההסתברות בניסויים אקראיים עם שתי תוצאות אפשריות. התנאי ההכרחי ליישום הוא שמדובר באוכלוסיות קטנות, שבהן החילוץ אינו מוחלף וההסתברויות אינן קבועות.

לכן, כאשר בוחרים אלמנט באוכלוסייה כדי לדעת את התוצאה (אמת או שקר) של מאפיין מסוים, לא ניתן לבחור שוב את אותו אלמנט.

אין ספק, כי האלמנט הבא שנבחר יניב תוצאה אמיתית יותר אם האלמנט הקודם יניב תוצאה שלילית. משמעות הדבר היא שההסתברות משתנה ככל שאלמנטי הדגימה מופקים.

היישומים העיקריים של התפלגות היפר-גיאומטרית הם: בקרת איכות בתהליכים עם אוכלוסיות קטנות וחישוב הסתברויות במשחקים.

באשר לפונקציה המתמטית המגדירה את ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית, היא מורכבת משלושה פרמטרים, שהם:

– מספר היסודות באוכלוסייה (N)

– גודל מדגם (מ"ר)

– מספר אירועים בכלל האוכלוסייה עם תוצאה חיובית (או שלילית) עבור המאפיין הנחקר (n).

נוסחאות ומשוואות

נוסחת ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית נותנת את ההסתברות פ של כי x מקרים חיוביים של מאפיין נתון מתרחשים. הדרך לכתוב זאת מתמטית, בהתאם למספרים הקומבינטוריים, היא:

בביטוי הקודם N , n e m הם פרמטרים לשעבר x המשתנה עצמו.

- סך ההיטל של P הוא N.

מספר התוצאות החיוביות של תו בינארי מסוים על פני כלל האוכלוסייה הוא n.

כמות רכיבי הדגימה היא m.

במקרה הזה, X הוא משתנה אקראי שמניח את הערך x e פ (x) מציין את ההסתברות להתרחשות של x מקרים חיוביים של המאפיין הנחקר.

משתנים סטטיסטיים חשובים

משתנים סטטיסטיים נוספים עבור ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית הם:

- ממוצע μ = m * n / N

– שונות σ^2 = m * (n/N) * (1-n/N) * (Nm) / (N-1)

– סטייה אופיינית σ, שהוא השורש הריבועי של השונות.

מודל ומאפיינים

כדי להגיע למודל ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית, אנו מתחילים מההסתברות לקבלת x מקרים חיוביים במדגם בגודל m.דגימה זו מכילה אלמנטים התואמים את התכונה הנחקרת ואלמנטים שאינם.

תזכור זאת n מייצג את מספר המקרים החיוביים באוכלוסייה הכוללת של N אלמנטים. אז ההסתברות תחושב כך:

P(x) = (מספר דרכים לקבל x מספר דרכים שנכשלו) / (סה"כ מספר דרכים לבחירה)

על ידי ביטוי האמור לעיל בצורה של מספרים קומבינטוריאליים, מושג מודל התפלגות ההסתברות הבא:

מאפיינים עיקריים של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית

הם כדלקמן:

– המדגם צריך להיות תמיד קטן, גם אם האוכלוסייה גדולה.

– רכיבי המדגם מופקים אחד אחד, מבלי לשלב אותם בחזרה באוכלוסייה.

– המאפיין שיש לחקור הוא בינארי, כלומר, הוא יכול לקבל רק שני ערכים: 1 ou 0 , אמיתי ou שקר .

בכל שלב של חילוץ אלמנטים, ההסתברות משתנה בהתאם לתוצאות קודמות.

קירוב באמצעות התפלגות בינומית

תכונה נוספת של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית היא שניתן לקרב אותה באמצעות ההתפלגות הבינומית, הנקראת Bi , מאחר שהאוכלוסייה N להיות גדול ולפחות פי 10 מהמדגם m במקרה הזה, זה ייראה כך:

P (N, n, m; x) = Bi (m, n / N, x)

ישים כל עוד N גדול ו-N > 10m

דוגמאות

דוגמה 1

נניח שמכונה מייצרת ברגים והנתונים המצטברים מצביעים על כך ש-1% מהם פגומים. בקופסה של N = 500 ברגים, מספר הפגמים יהיה:

n = 500 * 1/100 = 5

הסתברויות דרך ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית

נניח שמתיבה זו (כלומר, מאוכלוסייה זו) אנו אוספים מדגם של m = 60 ברגים.

ההסתברות שאף בורג (x = 0) במדגם אינו פגום היא 52,63%. תוצאה זו מתקבלת באמצעות פונקציית ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית:

P (500, 5, 60; 0) = 0,5263

ההסתברות ש-x = 3 ברגים במדגם פגומים היא: P(500, 5, 60; 3) = 0,0129.

מצד שני, ההסתברות ש-x = 4 ברגים מתוך שישים במדגם פגומים היא: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

לבסוף, ההסתברות ש-x = 5 ברגים במדגם זה פגומים היא: P(500, 5, 60; 5) = 0.

אבל אם אתם רוצים לדעת את ההסתברות שיש יותר מ-3 ברגים פגומים בדגימה הזו, עליכם לקבל את ההסתברות המצטברת על ידי חיבור:

P(3) + P(4) + P(5) = 0,0129 + 0,0008 + 0 = 0,0137.

דוגמה זו מודגמת באיור 2, שהתקבלה באמצעות שימוש בתוכנה חופשית גיאוגברה , בשימוש נרחב בבתי ספר, מוסדות ואוניברסיטאות.

דוגמה 2

חפיסת קלפים ספרדית מכילה 40 קלפים, מתוכם 10 זהב ו-30 הנותרים לא. נניח שנשלפים 7 קלפים מהחפיסה באופן אקראי, שאינם חוזרים לחפיסה.

אם X הוא מספר מדליות הזהב הקיימות ב-7 הקלפים הנמשכים, ההסתברות לקבל זהב בהגרלה של 7 קלפים ניתנת על ידי ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית P(40,10,7; x).

בואו נבחן את הדברים הבאים: כדי לחשב את ההסתברות לקבל 4 זהב בהגרלה של 7 קלפים, נשתמש בנוסחת התפלגות היפר-גיאומטרית עם הערכים הבאים:

והתוצאה היא: הסתברות של 4.57%.

אבל אם אתם רוצים לדעת את ההסתברות לקבל יותר מ-4 קלפים, עליכם לחבר:

P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 5,20%

תרגילים פתורים

סדרת התרגילים הבאה נועדה להמחיש ולהטמיע את המושגים המוצגים במאמר זה. חשוב שהקורא ינסה לפתור אותם בעצמו לפני שיבחן את הפתרון.

תרגיל 1

מפעל קונדומים גילה שמתוך כל 1000 קונדומים שיוצרו על ידי מכונה מסוימת, 5 היו פגומים. כדי לבצע בקרת איכות, נבחרו 100 קונדומים באופן אקראי, והאצווה נדחתה אם נמצא פגם אחד או יותר. תשובה:

א) מה האפשרות שקבוצה של 100 יחידות תיזרק?

ב) האם קריטריון בקרת איכות זה יעיל?

פִּתָרוֹן

במקרה זה, יופיעו מספרים קומבינטוריים גדולים מאוד. חישוב קשה אלא אם כן קיימת חבילת תוכנה מתאימה.

אבל מכיוון שמדובר באוכלוסייה גדולה והמדגם קטן פי עשרה מכלל האוכלוסייה, ניתן להשתמש בקירוב ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית באמצעות ההתפלגות הבינומית:

P (1000,5,100; x) = Bi (100, 5/1000, x) = Bi (100, 0,005, x) = C (100, x) * 0,005 ^ x (1-0,005) ^ (100-x)

בביטוי הקודם, ג (100, x) הוא מספר קומבינטורי. ההסתברות ליותר מפגם אחד מחושבת באופן הבא:

P(x>=1) = 1 – Bi(0) = 1- 0,6058 = 0,3942

זהו קירוב מצוין בהשוואה לערך המתקבל על ידי יישום ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית: 0,4102

ניתן לומר שעם הסתברות של 40%, יש להשליך אצווה של 100 חומרי מניעה, דבר שאינו יעיל במיוחד.

עם זאת, על ידי הקטנת תובענות בתהליך בקרת האיכות וסילוק אצווה 100 רק אם ישנם שני פגמים או יותר, ההסתברות לסילוקה של האצווה תרד ל-8% בלבד.

תרגיל 2

מכונת בלוקים מפלסטיק פועלת באופן כזה שעל כל 10 יחידות, יחידה אחת מעוותת. במדגם של 5 יחידות, ההסתברות היא שרק יחידה אחת תהיה פגומה.

פִּתָרוֹן

אוכלוסייה: N = 10

מספר n של פגמים עבור כל N: n = 1

גודל מדגם: m = 5

P (10, 1, 5; 1) = C (1,1) * C (9,4) / C (10,5) = 1 * 126/252 = 0,5

לכן, יש סיכוי של 50% שבתוך מדגם של 5, בלוק אחד יהיה מעוות.

תרגיל 3

בקבוצת בוגרים צעירים, ישנן 7 נשים ו-6 גברים. מבין הבנות, 4 לומדות מדעי הרוח ו-3 לומדות מדעים. מבין הבנים, 1 לומד מדעי הרוח ו-5 לומדים מדעים. חשבו את התוצאה הבאה:

א) בחירה אקראית של שלוש בנות: מהי ההסתברות שכולן ילמדו מדעי הרוח?

ב) אם שלושה משתתפים בפגישת חברים נבחרים באקראי: מה האפשרות ששלושה מהם, ללא קשר למגדר, ילמדו את שלושת או גם את שלושת מדעי הרוח?

ג) כעת בחרו שני חברים אקראיים וקראו למשתנה האקראי "מספר הלומדים מדעי הרוח". x בין השניים שנבחרו, קבע את הערך הממוצע או הצפוי של x והוריאציה σ^2.

פתרון עבור

האוכלוסייה היא המספר הכולל של בנות: N = 7. אלו הלומדות מדעי הרוח הן n = 4 מתוך המספר הכולל. המדגם האקראי של בנות יהיה m = 3.

במקרה זה, ההסתברות שכל השלושה יהיו סטודנטים למדעי הרוח ניתנת על ידי הפונקציה ההיפר-גיאומטרית:

P(N = 7, n = 4, m = 3, x = 3) = C (4, 3) C (3, 0) / C (7, 3) = 0,1143

יש סיכוי של 11,4% ששלוש בנות שנבחרו באופן אקראי ילמדו מדעי הרוח.

פתרון ב'

הערכים בהם יש להשתמש כעת הם:

אוכלוסייה: N = 14

– כמות האותיות שלומדת היא: n = 6 ו-

גודל המדגם: m = 3.

מספר חברים הלומדים מדעי הרוח: x

לפי זה, x = 3 פירושו שכל השלושה לומדים מדעי הרוח, אך x = 0 פירושו שאף אחד מהם לא לומד מדעי הרוח. ההסתברות שכל השלושה לומדים את אותו הדבר ניתנת על ידי הסכום:

P(14, 6, 3, x = 0) + P(14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

אז יש לנו סיכוי של 21% ששלושה משתתפי פגישה שנבחרו באופן אקראי ילמדו את אותו הדבר.

פתרון ג'

כאן יש לנו את הערכים הבאים:

N = 14 אוכלוסיית חברים כוללת, n = 6 מספר כולל באוכלוסייה הלומדת מדעי הרוח, גודל המדגם הוא m = 2.

התקווה היא:

E(x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

והווריאציה:

σ(x)^2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6/14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3/7) * (12) / (13) = 0,4521

הפניות

1. התפלגויות הסתברות דיסקרטיות. נלקח מ: biplot.usal.es
2. סטטיסטיקה והסתברות. התפלגות היפר-גיאומטרית. מקור: proyectodescartes.org
3. CDPYE-UGR. התפלגות היפרגיאומטרית. מקור: ugr.es
4. גיאוגברה גיאוגברה קלאסית, חשבון הסתברות. נלקח מ-geogebra.org
5. נסו זאת בקלות. תרגילים פתורים על התפלגות היפרגיאומטרית. נלקח מ: probafacil.com
6. התפלגות היפרגיאומטרית של Minitab. אוחזר מ: support.minitab.com
7. אוניברסיטת ויגו. התפלגויות בדידות עיקריות. מקור: anapg.webs.uvigo.es
8. סטטיסטיקה וקומבינטוריקה של ויטוטור. מקור: vitutor.net
9. וייסשטיין, אריק וו. התפלגות היפרגיאומטרית. מקור: mathworld.wolfram.com
10. התפלגות היפרגיאומטרית בוויקיפדיה. מקור: en.wikipedia.com