התפלגות פואסון: נוסחאות, משוואות, מודל, תכונות

ייזום » מדע » מתמטיקה » סטטיסטיקה » התפלגות פואסון: נוסחאות, משוואות, מודל, תכונות

התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המתארת ​​את מספר המופעים של אירוע בטווח זמן או מרחב ספציפי, כאשר מספר המופעים הממוצע ידוע. היא נמצאת בשימוש נרחב בתחומים שונים כגון סטטיסטיקה, הנדסה, רפואה ופיננסים.

נוסחת התפלגות פואסון ניתנת על ידי P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!, כאשר λ הוא מספר ההופעות הממוצע של האירוע, k הוא מספר ההופעות הרצוי ו-e הוא קבוע אוילר (בערך 2,71828).

להתפלגות זו יש כמה תכונות חשובות, כגון אי-תלות בין התרחשויות אירועים, שיעור התרחשות קבוע והיעדר התרחשויות בו-זמניות. יתר על כן, ניתן לקרב את התפלגות פואסון באמצעות ההתפלגות הנורמלית כאשר מספר ההתרחשויות הממוצע גדול.

מהי המשוואה המשמשת בה בהתפלגות פואסון לחישוב הסתברויות?

התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המתארת ​​את מספר המופעים של אירוע בפרק זמן מסוים או באזור מסוים. המשוואה המשמשת בהתפלגות פואסון לחישוב הסתברויות היא כדלקמן:

P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

איפה:

• P(X = k) היא ההסתברות להתרחשותם של בדיוק k אירועים בפרק זמן או באזור נתון.
• λ הוא קצב התרחשות האירועים הממוצע ליחידת זמן או שטח.
• e האם הקבוע המתמטי שווה בקירוב ל-2,71828.
• k הוא מספר האירועים שאנו רוצים לחשב את ההסתברות שלהם.
• k! מייצג את העצרת של k, שהיא מכפלת כל המספרים השלמים החיוביים הקטנים או שווים ל-k.

משוואה זו מאפשרת לנו לקבוע את ההסתברות להתרחשותם של בדיוק k אירועים בהקשר נתון, בהתבסס על קצב התרחשותם הממוצע של אירועים אלה. התפלגות פואסון נמצאת בשימוש נרחב בסטטיסטיקה כדי לדמות מצבים בהם אירועים נדירים מתרחשים באופן עצמאי ובקצב קבוע.

מאפיינים בסיסיים של תהליך פואסון.

התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המתארת ​​את מספר האירועים המתרחשים בטווח זמן או מרחב קבוע. יש לה מספר מאפיינים בסיסיים שהופכים אותה לשימושית במגוון תחומים, כולל סטטיסטיקה, מתמטיקה, הנדסה ומדעי הטבע.

נוסחת התפלגות פואסון ניתנת על ידי: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, איפה x מייצג את מספר האירועים המתרחשים בטווח הרלוונטי ו λ הוא הפרמטר המייצג את קצב התרחשות האירועים הממוצע.

מודל פואסון מתאים למצבים בהם אירועים מתרחשים באופן עצמאי וקצב ההתרחשות קבוע לאורך זמן או מרחב. לדוגמה, ניתן להשתמש בהתפלגות פואסון כדי לדמות את מספר השיחות המתקבלות על ידי מוקד שירות בשעה נתונה.

כמה תכונות חשובות של התפלגות פואסון כוללות את הממוצע והשונות, השווים לפרמטר λיתר על כן, התפלגות פואסון אינה שלילית ואין לה גבול עליון.

עם מאפייניו הבסיסיים ותכונותיו הייחודיות, הוא ממלא תפקיד מהותי בניתוח סטטיסטי ובקבלת החלטות במגוון הקשרים.

כיצד לחשב את התפלגות פואסון: שלב אחר שלב ודוגמאות מעשיות.

כדי לחשב את התפלגות פואסון, חשוב לבצע מספר שלבים ולהשתמש בנוסחאות הנכונות. התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המתארת ​​את מספר האירועים המתרחשים בפרק זמן או במרחב מסוים, בהינתן שיעור התרחשות ממוצע של אירועים אלה.

הנוסחה להתפלגות פואסון היא:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

איפה:
- P(X = k) היא ההסתברות להתרחשותם של בדיוק k אירועים
- e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי
- λ הוא שיעור התרחשות האירועים הממוצע
- k הוא מספר האירועים שאנו רוצים לחשב את ההסתברות שלהם
- k! הוא הפקולטה של ​​k

כדי לחשב את התפלגות פואסון, בצע את השלבים הבאים:

1. קבע את שיעור התרחשות האירועים הממוצע (λ)
2. בחרו את מספר האירועים שברצונכם לחשב את ההסתברות שלהם (k)
3. הצבת הערכים בנוסחת התפלגות פואסון
4. חשב את התוצאה הסופית

לדוגמה, אם שיעור התאונות הממוצע בפינת רחוב הוא 2 בשבוע, מהי ההסתברות שיתרחשו בדיוק 3 תאונות בשבוע?

באמצעות נוסחת התפלגות פואסון, נקבל:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804

לכן, ההסתברות שיתרחשו בדיוק 3 תאונות בשבוע היא 0.1804, או 18.04%.

כיצד למצוא את הערך הממוצע של אירועים בפרק זמן מסוים?

כדי למצוא את הערך הממוצע של אירועים בפרק זמן מסוים, נוכל להשתמש בהתפלגות פואסון. התפלגות זו נמצאת בשימוש נרחב למידול התרחשותם של אירועים נדירים בפרק זמן קבוע, כגון מספר השיחות המתקבלות על ידי מוקד שירות בשעה.

נוסחת התפלגות פואסון ניתנת על ידי:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

איפה:
- P(X = k) היא ההסתברות להתרחשות k אירועים בפרק הזמן.
- e הוא קבוע אוילר, שווה בקירוב ל-2.71828.
- λ הוא מספר האירועים הממוצע ליחידת זמן.
- k הוא מספר האירועים שאנו רוצים לנתח.
- k! מייצג את הפקולטה של ​​k.

אחת התכונות החשובות ביותר של התפלגות פואסון היא שהערך הממוצע שלה שווה לממוצע שלה, כלומר, ממוצע האירועים בפרק זמן מסוים ניתן על ידי λ.

לכן, כדי למצוא את הערך הממוצע של אירועים בפרק זמן מסוים, פשוט השתמשו במספר האירועים הממוצע ליחידת זמן, המיוצג על ידי λ בנוסחת התפלגות פואסון.

התפלגות פואסון: נוסחאות, משוואות, מודל, תכונות

A התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית, שדרכה ידועה ההסתברות שבתוך מדגם גדול ובמהלך פרק זמן מסוים, יוכל להתרחש אירוע שהסתברותו קטנה.

לעיתים קרובות, ניתן להשתמש בהתפלגות פואסון במקום ההתפלגות הבינומית, בתנאי שמתקיימים התנאים הבאים: גודל מדגם גדול והסתברות קטנה.

סימאון-דניס פואסון (1781–1840) יצר את ההתפלגות הזו הנושאת את שמו, והיא שימושית מאוד כשמתמודדים עם אירועים בלתי צפויים. פואסון פרסם את תוצאותיו בשנת 1837, מאמר מחקר על ההסתברות לגזרי דין פליליים שלא כדין.

מאוחר יותר, חוקרים אחרים התאימו את ההתפלגות לאזורים אחרים, למשל, מספר הכוכבים שניתן למצוא בנפח נתון של חלל או ההסתברות שחייל ימות מבעיטת סוס.

נוסחה ומשוואות

הצורה המתמטית של התפלגות פואסון היא כדלקמן:

- μ (מסומן לעיתים גם כ-λ) הוא הממוצע או הפרמטר של ההתפלגות

מספר אוילר: e = 2.71828

– ההסתברות לקבלת y = k היא P

- k הוא מספר ההצלחות 0, 1,2,3, XNUMX, XNUMX ...

- n הוא מספר הבדיקות או האירועים (גודל המדגם)

משתנים אקראיים בדידים, כפי שמשתמע משמם, תלויים במקריות ומניחים ערכים בדידים בלבד: 0, 1, 2, 3, 4 ..., k.

ההתפלגות הממוצעת ניתנת על ידי:

השונות σ, המודדת את פיזור הנתונים, היא פרמטר חשוב נוסף. עבור התפלגות פואסון, היא:

σ = μ

פואסון קבע שכאשר n → ∞ ו-p → 0, הממוצע µ – המכונה גם ערך צפוי – שואף לקבוע:

μ קבוע

חשוב : p היא ההסתברות להתרחשות האירוע בהתחשב בכלל האוכלוסייה, בעוד ש פ (y) היא תחזית פואסון עבור המדגם.

מודל ומאפיינים

להתפלגות פואסון יש את התכונות הבאות:

גודל המדגם גדול: n → ∞.

-האירועים או האירועים הנחשבים אינם תלויים זה בזה ומתרחשים באופן אקראי.

-ההסתברות P שאירוע מסוים e מתרחשת על פני פרק זמן מסוים היא קטנה מאוד: פ → 0 .

-ההסתברות שיותר מאירוע אחד יתרחש בפרק הזמן היא 0.

-הערך הממוצע קירוב לקבוע הנתון על ידי: μ = np ( n הוא גודל המדגם )

מאחר שהפיזור σ שווה ל-μ, ככל שהוא מאמצ ערכים גדולים יותר, גם השונות הופכת גדולה יותר.

-יש לפזר את האירועים באופן שווה על פני מרווח הזמן בו נעשה שימוש.

-קבוצת ערכי האירועים האפשריים e הוא: 0,1,2,3,4, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX….

-סכום של i משתנים שעוקבים אחר התפלגות פואסון הם גם משתני פואסון. הערך הממוצע שלהם הוא סכום הערכים הממוצעים של משתנים אלה.

הבדלים עם ההתפלגות הבינומית

התפלגות פואסון שונה מהתפלגות בינומית בנקודות חשובות הבאות:

-ההתפלגות הבינומית מושפעת מגודל המדגם ומההסתברות P , אך התפלגות פואסון מושפעת רק על ידי μ ממוצע.

-בהתפלגות בינומית, הערכים האפשריים של המשתנה האקראי e הם 0,1,2, …, N, אולם בהתפלגות פואסון אין גבול עליון לערכים אלה.

דוגמאות

פואסון יישם בתחילה את ההפצה המפורסמת שלו בהליכים משפטיים, אך ברמה התעשייתית, אחד השימושים הראשונים שלו היה בבישול בירה. בתהליך זה, תרביות שמרים משמשות לתסיסה.

שמרים מורכבים מתאים חיים, שאוכלוסייתם משתנה עם הזמן. בעת בישול בירה, יש להוסיף את הכמות הנדרשת, לכן חשוב לדעת את מספר התאים ליחידת נפח.

במהלך מלחמת העולם השנייה, התפלגות פואסון שימשה כדי לקבוע האם הגרמנים אכן כיוונו את ירייהם ללונדון מקאלה, או פשוט ירו באופן אקראי. זה היה חשוב עבור בעלות הברית כדי לקבוע עד כמה הטכנולוגיה שעמדה לרשות הנאצים טובה.

יישומים מעשיים

יישומים של התפלגות פואסון מתייחסים תמיד לספירות בזמן או במרחב. ומכיוון שההסתברות להתרחשות קטנה, היא ידועה גם כ"חוק האירועים הנדירים".

הנה רשימה של אירועים הנכללים באחת מהקטגוריות הבאות:

-רישום של חלקיקים בדעיכה רדיואקטיבית, אשר, כמו גדילת תאי שמרים, היא פונקציה אקספוננציאלית.

-מספר ביקורים באתר אינטרנט מסוים.

– הגעת אנשים בתור כדי לשלם או לקבל שירות (תורת התורים).

– מספר המכוניות שעוברות דרך נקודה מסוימת בכביש, במהלך פרק זמן מסוים.

מוטציות שנגרמו בשרשרת DNA נתונה לאחר חשיפה לקרינה.

מספר מטאוריטים בקוטר של יותר ממטר אחד שנפלו בשנה אחת.

– פגמים למטר מרובע של בד.

-מספר תאי הדם בסנטימטר מעוקב אחד.

-שיחות לדקה למרכזיית טלפונים.

– חתיכות שוקולד נמצאות בק"ג אחד של בלילת עוגה.

-מספר העצים שנדבקו בטפיל נתון בשטח של דונם אחד של יער.

שימו לב שמשתנים אקראיים אלה מייצגים את מספר הפעמים שאירוע מתרחש במהלך פרק זמן קבוע ( שיחות לדקה למרכזייה ) או אזור מסוים במרחב ( פגמים של בד למטר מרובע ).

אירועים אלה, כפי שכבר נקבע, אינם תלויים בזמן שחלף מאז האירוע האחרון.

גישה להתפלגות הבינומית בעזרת התפלגות פואסון

התפלגות פואסון היא קירוב טוב להתפלגות הבינומית מכיוון ש:

גודל המדגם גדול: n ≥ 100

-ההסתברות רֶגֶל קָטָן: p ≤ 0,1

- μ להיות בסדר של: np ≤ 10

במקרים אלה, התפלגות פואסון היא כלי מצוין, שכן ההתפלגות הבינומית יכולה להיות מסובכת ליישום במקרים אלה.

תרגילים פתורים

תרגיל 1

מחקר סייסמולוגי קבע כי ב-100 השנים האחרונות היו 93 רעידות אדמה גדולות ברחבי העולם, בעוצמה של לפחות 6,0 בסולם ריכטר הלוגריתמי. נניח שהתפלגות פואסון היא מודל מתאים במקרה זה. מצא:

א) ממוצע התרחשויות של רעידות אדמה גדולות בשנה.

ב) אם פ (y) עבור ההסתברות להתרחשות e רעידות אדמה במהלך שנה שנבחרה באופן אקראי, מצא את ההסתברויות הבאות:

P (0), P (1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) ו P (7).

ג) התוצאות האמיתיות של המחקר הן כדלקמן:

- 47 שנים (0 רעידות אדמה)

– 31 שנים (רעידת אדמה אחת)

– 13 שנים (רעידת אדמה אחת)

– 5 שנים (רעידת אדמה אחת)

– 2 שנים (רעידת אדמה אחת)

– 0 שנים (רעידת אדמה אחת)

– שנה אחת (1 רעידות אדמה)

– שנה אחת (1 רעידות אדמה)

כיצד תוצאות אלו משתוות לאלו שהתקבלו בחלק ב'? האם התפלגות פואסון היא בחירה טובה למידול אירועים אלו?

פתרון א)

א) רעידות אדמה הן אירועים שההסתברות שלהם p קטן ואנו שוקלים תקופה מוגבלת של שנה אחת. רעידת האדמה הממוצעת היא:

μ = 93/100 רעידות אדמה/שנה = 0,93 רעידות אדמה בשנה.

פתרון ב')

ב) כדי לחשב את ההסתברויות הנדרשות, הערכים מוכנסים לנוסחה שניתנה בתחילת הנוסחה:

y = 2

μ = 0,93

e = 2.71828

הוא קטן בהרבה מ-P(2).

התוצאות מפורטות להלן:

P(0) = 0,395, P(1) = 0,367, P(2) = 0,171, P(3) = 0,0529, P(4) = 0,0123, P(5) = 0,00229, P(6) = 0,000355, P(7) = 0,0000471.

לדוגמה, נוכל לומר שיש סיכוי של 39,5% שלא יתרחשו רעידות אדמה גדולות בשנה נתונה. או שיש 5,29% משלוש רעידות האדמה הגדולות שמתרחשות באותה שנה.

פתרון ג)

ג) התדרים מנותחים, תוך הכפלת n = 100 שנים:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 ו-0,00471.

לדוגמה:

– תדירות של 39,5 מצביעה על כך שב-39,5 מתוך 100 שנים של התרחשות של 0 רעידות אדמה גדולות, נוכל לומר שזה די קרוב לתוצאה בפועל של 47 שנים ללא רעידות אדמה גדולות.

בואו נשווה תוצאת פואסון נוספת עם התוצאות בפועל:

הערך של 36,7 פירושו שיש רעידת אדמה גדולה אחת כל 37 שנים. התוצאה בפועל היא שיש רעידת אדמה גדולה אחת כל 31 שנים, התאמה טובה למודל.

– צפויות 17,1 שנים עם 2 רעידות אדמה גדולות וידוע שבתוך 13 שנים, שזה ערך קרוב, היו למעשה 2 רעידות אדמה גדולות.

לכן, מודל פואסון מקובל במקרה זה.

תרגיל 2

חברה מעריכה שמספר הרכיבים שכשלים לפני הגעה ל-100 שעות פעולה עוקב אחר התפלגות פואסון. אם מספר הכשלים הממוצע הוא 8 בנקודה זו, מצא את ההסתברויות הבאות:

א) שרכיב מתקלקל תוך 25 שעות.

ב) כשל של פחות משני רכיבים תוך 50 שעות.

ג) לפחות שלושה רכיבים כושלים תוך 125 שעות.

פתרון א)

א) ידוע שמספר הכשלים הממוצע ב-100 שעות הוא 8; לכן, ב-25 שעות, רבע מהכשלים צפויים, כלומר, 2 כשלים. זה יהיה הפרמטר מיקרו

נבקשת את ההסתברות לכשל של רכיב אחד, המשתנה האקראי הוא "רכיבים שנכשלים לפני 1 שעות" וערכה הוא y = 25. על ידי הצבה בפונקציית ההסתברות:

עם זאת, השאלה היא עד כמה סביר שכן פחות משני רכיבים כשל תוך 50 שעות, ולא בדיוק 2 רכיבים כושלים תוך 50 שעות, כך שההסתברויות הן:

-אין כישלון

-כישלון אחד בלבד

P(פחות מ-2 רכיבים כושלים) = P(0) + P(1)

P(פחות מ-2 רכיבים כושלים) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915

ג) זה לפחות שלושה רכיבים כושלים ב-125 שעות, משמעות הדבר היא ש-3, 4, 5 או יותר יכולים להיכשל בתקופה זו.

ההסתברות להתרחשות לפחות אחד מכמה אירועים שווה ל-1, פחות ההסתברות שאף אחד מהאירועים לא יתרחש.

-האירוע הרצוי הוא ש-3 רכיבים או יותר יכשלו תוך 125 שעות

– העובדה שהאירוע לא מתרחש פירושה שפחות מ-3 רכיבים כושלים, שההסתברות לכך היא: P(0) + P(1) + P(2)

הפרמטר μ של ההתפלגות במקרה זה הוא:

μ = 8 + 2 = 10 כשלים ב-125 שעות .

P(3 רכיבים או יותר כושלים) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =

הפניות

1. התפלגות פואסון של MathWorks. מקור: en.mathworks.com
2. מנדנהול, וו. 1981. סטטיסטיקה למינהל וכלכלה. מהדורה שלישית. קבוצת ההוצאה לאור איברואמריקה.
3. Stat Trek למד את עצמך סטטיסטיקה. התפלגות פואסון. מקור: stattrek.com
4. טריולה, מ. 2012. סטטיסטיקה יסודית. מהדורה י"א. חינוך פירסון.
5. התפלגות פואסון ויקיפדיה אוחזר מ: en.wikipedia.org