אינטרפולציה לינארית היא שיטה המשמשת להערכת ערכים ביניים בין שתי נקודות ידועות. שיטה זו מתחשבת בקשר ליניארי בין הנקודות הידועות כדי לקבוע את הערך הרלוונטי. תהליך זה נמצא בשימוש נרחב בתחומים שונים, כגון מתמטיקה, סטטיסטיקה, הנדסה ואחרים.
במאמר זה נסקור את שיטת האינטרפולציה הלינארית, ונסביר שלב אחר שלב כיצד לבצע חישוב מסוג זה. כמו כן, נציג דוגמאות לתרגילים פתורים כדי להקל על ההבנה והיישום המעשי של שיטה זו. בכך, אנו מקווים לתרום להבנה ולשימוש יעיל באינטרפולציה לינארית בהקשרים שונים.
מדריך שלב אחר שלב לביצוע חישוב אינטרפולציה ביעילות.
כדי לבצע חישוב אינטרפולציה ביעילות, בצע את השלבים הבאים:
שלב 1: אסוף את הנתונים הדרושים לבעיית האינטרפולציה. זה כולל את הערכים הידועים של נקודות הייחוס ואת ערך ה-x שאליו ברצונך לבצע אינטרפולציה.
שלב 2: חשב את ההפרש בין ערכי ה-x הידועים הקרובים ביותר לערך ה-x הרצוי. זה יעזור לקבוע את טווח האינטרפולציה.
שלב 3: חשב את ההפרש בין ערכי ה-y התואמים לנקודות הייחוס הקרובות ביותר. פעולה זו תקבע את השונות של ה-y על פני מרווח האינטרפולציה.
שלב 4: באמצעות נוסחת האינטרפולציה הליניארית, חשב את ערך ה-y עבור ערך ה-x הרצוי. הנוסחה ניתנת על ידי:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
שלב 5: הציבו את הערכים הידועים בנוסחה ופתרו כדי לקבל את ערך ה-y המתאים לערך ה-x הרצוי.
על ידי ביצוע שלבים אלה, תוכלו לבצע חישוב אינטרפולציה ביעילות ולקבל תוצאות מדויקות עבור הבעיה הנדונה.
מתי מתאים להשתמש באינטרפולציה לינארית בניתוח מתמטי או במידול?
אינטרפולציה לינארית היא שיטה המשמשת בניתוח מתמטי או במידול כאשר רוצים לאמוד ערכים ביניים מערכים ידועים. שיטה זו מתאימה כאשר הנתונים מפוזרים בצורה אחידה. קווים ורציף.
לדוגמה, כאשר יש לנו טבלה עם ערכים של פונקציה בנקודות דיסקרטיות ואנחנו רוצים להעריך את ערך הפונקציה עבור נקודה ביניים, ה אינטרפולציה לינארית יכולה להיות בחירה טובה. זה מורכב מציור קו בין שתי נקודות ידועות ושימוש בקו זה כדי להעריך את הערך הרצוי.
חשוב לציין כי אינטרפולציה לינארית ייתכן שלא יתאימו במקרים בהם הנתונים מציגים התנהגות לא לינארית, כגון עקומות או תנודות. במקרים אלה, שיטות אינטרפולציה אחרות ומורכבות יותר עשויות להיות מתאימות יותר.
כיצד למלא ביעילות פערים בטבלה באמצעות ערכים ביניים.
אינטרפולציה לינארית היא שיטה המשמשת למילוי יעיל של פערים בטבלה באמצעות ערכים ביניים. שיטה זו מורכבת מחישוב הערכים החסרים על סמך הערכים הידועים בטבלה, באמצעות נוסחה פשוטה.
כדי להחיל אינטרפולציה לינארית, עליך להשתמש לפחות בשתי נקודות ידועות בטבלה. מנקודות אלו, ניתן לחשב את ערכי הביניים באמצעות הנוסחה הבאה:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
כאשר Y הוא ערך הביניים שאנו רוצים למצוא, Y1 ו-Y2 הם הערכים הידועים מהטבלה, X1 ו-X2 הם הערכים המתאימים של X ו-X הוא ערך X שעבורו אנו רוצים למצוא את ערך הביניים Y.
לשם המחשה, בואו נפתור תרגיל מעשי באמצעות אינטרפולציה לינארית. נניח שיש לנו את הטבלה הבאה:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
כעת, נשתמש בנוסחת האינטרפולציה הליניארית כדי למצוא את הערך של Y כאשר X שווה ל-2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
לכן, הערך של Y כאשר X שווה ל-2 הוא 5.
כפי שאנו רואים, אינטרפולציה לינארית היא שיטה פשוטה ויעילה למילוי פערים בטבלה עם ערכים ביניים. באמצעות טכניקה זו, נוכל לקבל תוצאות מדויקות במהירות ובקלות.
מדריך מעשי לביצוע אינטרפולציה ריבועית ביעילות.
כדי לבצע אינטרפולציה ריבועית ביעילות, חשוב לבצע מספר צעדים פשוטים. ראשית, עליכם לדעת את הנקודות שישמשו לאינטרפולציה. לאחר מכן, עליכם לחשב את המקדמים של הפונקציה הריבועית שעוברת דרך נקודות אלה.
כדי לחשב את המקדמים של פונקציה ריבועית, נוכל להשתמש בשיטת הריבועים המינימליים. שיטה זו מורכבת ממציאת הפונקציה הריבועית שממזערת את סכום הריבועים של ההפרשים בין הערכים המחושבים לערכים בפועל של הנקודות הידועות.
לאחר שחישבנו את מקדמי הפונקציה הריבועית, נוכל להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה בין נקודות ידועות. לשם כך, פשוט הזינו את הערך הרצוי לפונקציה הריבועית וקבלו את הערך האינטרפולציה המתאים.
חשוב לציין שאינטרפולציה ריבועית מדויקת יותר מאינטרפולציה לינארית משום שהיא לוקחת בחשבון את עקמומיות הנתונים. עם זאת, חשוב לציין שאינטרפולציה ריבועית יכולה להוביל לתוצאות פחות מדויקות באזורים הרחוקים מנקודות ידועות.
לכן, בעת ביצוע אינטרפולציה ריבועית, חשוב לוודא שהנקודות הידועות מפוזרות באופן שווה ושהפונקציה הריבועית מחושבת בצורה נכונה. זה מאפשר תוצאות אינטרפולציה מדויקות ואמינות יותר.
אינטרפולציה לינארית: שיטה, תרגילים פתורים
A אינטרפולציה לינארית היא שיטה שמקורה באינטרפולציה הכללית של ניוטון ובקירוב כדי לקבוע עבור ערך לא ידוע הנמצא בין שני מספרים; כלומר, נמצא ערך ביניים. היא מיושמת גם לפונקציות מקורבות, שבהן הערכים f () ef (ב) ידועים ואתה רוצה לדעת את המתווך של f (איקס) .
ישנם סוגים שונים של אינטרפולציה, כולל אינטרפולציה לינארית, ריבועית, קובית ואינטרפולציה מסדר גבוה יותר, כאשר הפשוטה ביותר היא קירוב לינארי. החיסרון באינטרפולציה לינארית הוא שהתוצאה לא תהיה מדויקת כמו בקירובים המשתמשים בפונקציות מסדר גבוה יותר.
הגדרה של
אינטרפולציה לינארית היא תהליך המאפשר לך להסיק ערך בין שני ערכים מוגדרים היטב, שיכולים להיות בטבלה או בגרף ליניארי.
לדוגמה, אם אתם יודעים ש-3 ליטר חלב שווים 4 דולר ו-5 ליטר שווים 7 דולר, אך אתם רוצים לדעת מה הערך של 4 ליטר חלב, עליכם לבצע אינטרפולציה כדי לקבוע את ערך הביניים הזה.
שיטה
כדי להעריך ערך ביניים של פונקציה, הפונקציה f (איקס) מתואר בקירוב באמצעות הקו r (איקס) , מה שאומר שהפונקציה משתנה באופן ליניארי עם «x» עבור קטע «x = a» ו- «x = b»; כלומר, עבור ערך "x" בטווח (x 0 x, 1 ) י (י 0 , ו 1 ), ערך ה-"y" ניתן על ידי הקו שבין הנקודות ומתבטא בקשר הבא:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - איקס 0 )
כדי שאינטרפולציה תהיה ליניארית, פולינום האינטרפולציה חייב להיות בדרגה ראשונה (n = 1), כך שיתאים לערכים של x דואר 0 x 1.
אינטרפולציה לינארית מבוססת על דמיון של משולשים, כך שעל ידי גזירה גיאומטרית של הביטוי הקודם, ניתן לקבל את הערך «y», המייצג את הערך הלא ידוע עבור «x».
לכן, עליך:
a = tan Ɵ = (רגל נגדית 1 ÷ רגל סמוכה 1 ) = (רגל נגדית 2 ÷ רגל סמוכה 2 )
במילים אחרות, זה כך:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - איקס 0 )
אם מסירים את ה"וגם" מהביטויים, מקבלים:
(y – y 0 ) * (x 1 - איקס 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - איקס 0 )]
לפיכך, מתקבלת המשוואה הכללית לאינטרפולציה לינארית:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - איקס 0 )]
באופן כללי, אינטרפולציה לינארית נותנת שגיאה קטנה בערך האמיתי של הפונקציה האמיתית, אם כי השגיאה מינימלית בהשוואה למספר האינטואיטיבי של מספר קרוב לזה שנמצא.
שגיאה זו מתרחשת כאשר מנסים לקרב את ערך העקומה באמצעות קו ישר; במקרים כאלה, יש להקטין את גודל המרווח כדי להפוך את הקירוב למדויק יותר.
לקבלת תוצאות קירוב מיטביות, מומלץ להשתמש בפונקציות מדרגה 2, 3, או אפילו דרגות גבוהות יותר כדי לבצע את האינטרפולציה. עבור מקרים אלה, משפט טיילור הוא כלי שימושי מאוד.
תרגילים פתורים
תרגיל 1
מספר החיידקים ליחידת נפח בדגירה לאחר x שעות מוצג בטבלה הבאה. ברצונך לדעת את נפח החיידקים על פני תקופה של 3,5 שעות.
פִּתָרוֹן
טבלת הייחוס אינה קובעת ערך המציין את מספר החיידקים על פני תקופה של 3,5 שעות, אך ישנם ערכים גבוהים ונמוכים יותר המתאימים לתקופה של 3 ו-4 שעות, בהתאמה. לפיכך:
x 0 = 3 e 0 = 91
x = 3,5 ו-y =?
x 1 = 4 e 1 = 135
כעת המשוואה המתמטית מיושמת כדי למצוא את הערך האינטרפולטיבי, שהוא כדלקמן:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - איקס 0 )].
לאחר מכן הערכים המתאימים מוחלפים:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
לפיכך, מתקבל כי, במשך 3,5 שעות, כמות החיידקים היא 113, המייצגת רמה ביניים בין נפח החיידקים הקיימים בזמנים של 3 ו-4 שעות.
תרגיל 2
לואיס הוא הבעלים של מפעל גלידה והוא רוצה לערוך מחקר כדי לקבוע את הכנסתו לחודש אוגוסט על סמך הוצאותיו. מנהל החברה יוצר גרף המשקף את הקשר הזה, אך לואיס רוצה לדעת:
מה תהיה ההכנסה לחודש אוגוסט אם בוצעה הוצאה של 55.000 דולר?
פִּתָרוֹן
מוצג גרף המציג נתוני הכנסות והוצאות. לואיס רוצה לדעת מה יהיו ההכנסות של אוגוסט אם למפעל תהיה הוצאה של 55.000 דולר. נתון זה אינו משתקף ישירות בגרף, אך המספרים גבוהים ונמוכים יותר מזה.
ראשית, נוצרת טבלה כדי לקשר בקלות בין הערכים:
כעת נוסחת האינטרפולציה משמשת לקביעת הערך של y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 - איקס 0 )]
לאחר מכן הערכים המתאימים מוחלפים:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 דולר.
אם בוצעה הוצאה של 55.000 דולר באוגוסט, ההכנסה הייתה 68.936 דולר.
הפניות
- ארתור גודמן, ל.ה. (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון אדיוקשן.
- הרפה, פ. ד. (2000) נושאים בתורת החבורות הגיאומטרית. הוצאת אוניברסיטת שיקגו.
- האזווינקל, מ. (2001). אינטרפולציה לינארית », אנציקלופדיה למתמטיקה.
- JM (1998). אלמנטים של שיטות נומריות להנדסה. UASLP.
- א. (2002). כרונולוגיה של אינטרפולציה: מאסטרונומיה עתיקה ועד עיבוד אותות ותמונה מודרני. דיוני ה-IEEE.
- מספרי, I. a. (2006). חאבייר טומאס, ג'ורדי קוואדרוס, לוצ'יניו גונזלס.