התפלגויות הסתברות דיסקרטיות הן מודלים מתמטיים המתארים את התרחשותם של אירועים בעלי ערכים דיסקרטיים וסופיים. התפלגויות אלו מאופיינות בתכונותיהן, כגון סכום ההסתברויות של כל התוצאות האפשריות השוות ל-1 ונוכחותו של פרמטר הקובע את צורת ההתפלגות. במאמר זה נחקור את המאפיינים של התפלגויות ההסתברות הדיסקרטיות הנפוצות ביותר, כגון התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, התפלגות פואסון והתפלגות גיאומטרית, וכן נציג כמה תרגילים מעשיים להבנה טובה יותר של מושגים אלה.
הבנת מושג התפלגות ההסתברות הבדידת: הסבר פשוט וברור.
כדי להבין את מושג התפלגות ההסתברות הבדידת, חשוב להבין שזוהי פונקציה מתמטית המקשרת הסתברות לכל תוצאה אפשרית של ניסוי אקראי. במילים אחרות, התפלגות ההסתברות הבדידת מאפשרת לנו לקבוע את הסיכוי שכל תוצאה תתרחש בקבוצה סופית או ניתנת לספירה של אפשרויות.
התפלגות הסתברות דיסקרטית מאופיינת בפונקציית ההסתברות שלה, אשר מקצה לכל תוצאה ערך לא שלילי, כאשר סכום כל ההסתברויות שווה ל-1. יתר על כן, התוצאות האפשריות הן נפרדות ומבודדות, ללא אפשרות להתרחשות ערכים ביניים.
דוגמה קלאסית להתפלגות הסתברות דיסקרטית היא התפלגות פואסון, הנמצאת בשימוש נרחב בתהליכי ספירה, כגון מספר האירועים המתרחשים בפרק זמן נתון. דוגמה נפוצה נוספת היא ההתפלגות הבינומית, אשר מדמה ניסויים עם שתי תוצאות אפשריות בלבד, כגון הצלחה או כישלון.
כדי ליישם את תורת התפלגויות ההסתברות הבדידות, יש צורך להבין את התכונות והמאפיינים הספציפיים שלהן, וכן להיות מסוגל לחשב הסתברויות ולפרש את התוצאות. תרגילים מעשיים חיוניים להעמקת ההבנה ולפיתוח מיומנויות בתחום זה של הסתברות.
למד על ההתפלגויות הבדידות העיקריות המשמשות בסטטיסטיקה ובהסתברות.
למד על ההתפלגויות הבדידות העיקריות המשמשות בסטטיסטיקה ובהסתברות. התפלגויות הסתברות דיסקרטיות הן כלים חשובים בניתוח סטטיסטי, המאפשרים מידול וחיזוי של אירועים אקראיים. בין ההתפלגויות הדיסקרטיות העיקריות נמנות התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, התפלגות גיאומטרית, התפלגות פואסון והתפלגות היפר-גיאומטרית.
A התפלגות ברנולי משמש למידול ניסויים עם שתי תוצאות אפשריות בלבד, כגון הצלחה וכישלון. התפלגות בינומית זה מיושם במצבים בהם יש מספר קבוע של ניסויים בלתי תלויים, עם שתי תוצאות אפשריות בלבד בכל ניסוי, כגון הצלחה וכישלון.
A התפלגות גיאומטרית משמש למידול מספר הניסויים עד להצלחה הראשונה ברצף של ניסויים בלתי תלויים. התפלגות פואסון משמש למידול התרחשותם של אירועים נדירים בטווח זמן או מרחב ספציפי.
סוף - סוף, ה התפלגות היפר-גיאומטרית הוא משמש למידול ניסויים בהם יש בחירה ללא החלפה של אלמנטים מאוכלוסייה סופית, תוך התחשבות במספר ההצלחות במדגם ספציפי.
כדי להבין טוב יותר את ההתפלגויות הבדידות הללו וכיצד ליישמן, חשוב להתאמן באמצעות תרגילים. פתרון בעיות הכרוכות בהתפלגויות אלו יכול לסייע בביסוס ידע ובחידוד מיומנויות סטטיסטיות והסתברותיות.
לכן, כאשר לומדים סטטיסטיקה והסתברות, חיוני להכיר את המאפיינים והיישומים של ההתפלגויות הבדידות העיקריות, כגון התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, התפלגות גיאומטרית, התפלגות פואסון והתפלגות היפר-גיאומטרית.
סוגי התפלגויות הסתברות: למד על הצורות השונות של התפלגויות סטטיסטיות.
התפלגויות הסתברות הן מודלים מתמטיים המתארים את ההתנהגות האקראית של תופעה. ישנם סוגים שונים של התפלגויות הסתברות, לכל אחת מאפיינים ויישומים משלה. במאמר זה נתמקד בהתפלגויות הסתברות דיסקרטיות, הקשורות למשתנים דיסקרטיים - כאלה שיכולים להניח ערכים ספציפיים וניתנים לספירה.
חלק מהתפלגויות ההסתברות הבדידות הנפוצות ביותר כוללות את ההתפלגות האחידה, ההתפלגות הבינומית, התפלגות פואסון והתפלגות גיאומטרית. לכל אחת מהתפלגויות אלו תכונות משלה והיא משמשת בהקשרים סטטיסטיים שונים.
ההתפלגות האחידה, לדוגמה, מאופיינת על ידי הקצאת אותה הסתברות לכל הערכים האפשריים של משתנה בדיד. ההתפלגות הבינומית משמשת למידול מספר ההצלחות ברצף של ניסיונות בלתי תלויים, שלכל אחד מהם אותה הסתברות להצלחה. התפלגות פואסון, בתורה, משמשת למידול מספר האירועים הנדירים בטווח זמן או מרחב. וההתפלגות הגיאומטרית משמשת למידול מספר הניסיונות הנדרשים עד להצלחה הראשונה ברצף של ניסיונות בלתי תלויים.
כדי להבין טוב יותר כיצד פועלות התפלגויות אלו, חשוב להתאמן באמצעות תרגילים. לדוגמה, נוכל לחשב את ההסתברות לקבל בדיוק 3 "עושים" ב-5 הטלות מטבע הוגן באמצעות התפלגות בינומית. או נוכל לקבוע את ההסתברות להתרחשות של לפחות 2 אירועים בפרק זמן מסוים באמצעות התפלגות פואסון.
על ידי הבנת המאפיינים והיישומים של התפלגויות אלו, אנשי מקצוע בתחום הסטטיסטיקה ומדע קשור יכולים לקבל החלטות מושכלות ומדויקות יותר המבוססות על נתונים הסתברותיים.
אילו משתנים נחשבים בדידים בהסתברות?
בהסתברות, משתנים בדידים הם אלו שיכולים להניח מספר סופי או ניתן לספירה של ערכים. משמעות הדבר היא שמשתנים בדידים הם אלו שניתן לספור, המיוצגים בדרך כלל על ידי מספרים שלמים. לדוגמה, מספר המכוניות בחניון, מספר התלמידים בכיתה ומספר הפאות על קובייה הם כולם דוגמאות למשתנים בדידים.
משתנים אלה נבדלים ממשתנים רציפים, שיכולים להניח מספר אינסופי של ערכים בטווח מסוים. בעוד שלמשתנים בדידים יש ערכים בדידים ספציפיים, משתנים רציפים יכולים להניח כל ערך בטווח רציף. לדוגמה, גובהו של אדם, הזמן שלוקח להשלים משימה וטמפרטורת החדר הם דוגמאות למשתנים רציפים.
לכן, משתנים בדידים בהסתברות הם אלה שניתן לספור ולקבל ערכים ספציפיים ונפרדים, בניגוד למשתנים רציפים שיכולים לקבל כל ערך בתוך טווח.
התפלגויות הסתברות דיסקרטיות: מאפיינים, תרגילים
As התפלגויות הסתברות דיסקרטיות הן פונקציה המשויכת לכל איבר של X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, כאשר X הוא משתנה אקראי בדיד נתון ו-S הוא מרחב הדגימה, את ההסתברות שהאירוע הזה יקרה. פונקציה זו f של X(S) המוגדרת כ- f(xi) = P(X = xi) נקראת לעיתים פונקציית ההסתברות המסה.
מסת הסתברות זו מיוצגת בדרך כלל בצורת טבלה. מכיוון ש-X הוא משתנה אקראי בדיד, ל-X(S) יש מספר סופי או אינסופי של אירועים. בין התפלגויות ההסתברות הבדידות הנפוצות ביותר הן ההתפלגות האחידה, ההתפלגות הבינומית והתפלגות פואסון.
תכונות
פונקציית התפלגות ההסתברות חייבת לעמוד בתנאים הבאים:
יתר על כן, אם X מקבל רק מספר סופי של ערכים (למשל, x1, x2, …, xn), אז p(xi) = 0 אם i > n ולכן, הסדרה האינסופית של תנאים b הופכת לסדרה הסופית.
פונקציה זו עומדת גם בתכונות הבאות:
יהי B מאורע המשויך למשתנה האקראי X. משמעות הדבר היא ש-B כלול ב-X(S). באופן ספציפי, נניח ש-B = {xi1, xi2,…}. לכן:
במילים אחרות: ההסתברות לאירוע B שווה לסכום ההסתברויות של התוצאות האינדיבידואליות הקשורות ל-B.
מכאן נוכל להסיק שאם ה-
סוגים
התפלגות אחידה ב-n נקודות
משתנה אקראי X מתפלג לפי התפלגות המאופיינת בכך שהוא אחיד ב-n נקודות אם לכל ערך יש את אותה הסתברות. פונקציית מסת ההסתברות שלו היא:
נניח שיש לנו ניסוי עם שתי תוצאות אפשריות: זה יכול להיות הטלת מטבע שהתוצאות האפשריות שלו הן עץ או זנב, או בחירת מספר שלם שהתוצאה שלו יכולה להיות מספר אי-זוגי או זוגי; סוג זה של ניסוי ידוע כמבחן ברנולי.
באופן כללי, שתי התוצאות האפשריות נקראות הצלחה וכישלון, כאשר p הוא ההסתברות להצלחה ו-1-p הוא ההסתברות לכישלון. אנו יכולים לקבוע את ההסתברות ל-x הצלחות ב-n ניסויי ברנולי בלתי תלויים בעזרת ההתפלגות הבאה.
התפלגות בינומית
פונקציה זו מייצגת את ההסתברות להשגת x הצלחות ב-n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, שהסתברות ההצלחה שלהם היא p. פונקציית מסת ההסתברות שלה היא:
הגרף הבא מייצג את פונקציית המסה של ההסתברות עבור ערכים שונים של פרמטרי ההתפלגות הבינומית.
ההתפלגות הבאה חבה את שמה למתמטיקאי הצרפתי סימאון פואסון (1781-1840), שקבע אותה כגבול ההתפלגות הבינומית.
התפלגות פואסון
נאמר שלמשתנה אקראי X יש התפלגות פואסון של הפרמטר λ כאשר הוא יכול לקבל את הערכים השלמים החיוביים 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, ... עם ההסתברות הבאה:
בביטוי זה, λ הוא מספר ההתרחשויות הממוצע של האירוע עבור כל יחידת זמן ו-x הוא מספר הפעמים שהאירוע מתרחש.
פונקציית ההסתברות המסתית שלה היא:
להלן גרף המייצג את פונקציית המסה של ההסתברות עבור ערכים שונים של פרמטרי התפלגות פואסון.
שימו לב שכל עוד מספר ההצלחות נמוך ומספר הבדיקות שבוצעו על התפלגות בינומית גבוה, תמיד נוכל לקרב התפלגויות אלו, מכיוון שהתפלגות פואסון היא גבול ההתפלגות הבינומית.
ההבדל העיקרי בין שתי התפלגויות אלו הוא שבעוד שהבינום תלוי בשני פרמטרים - nep -, הפואסון תלוי רק ב-λ, המכונה לעיתים עוצמת ההתפלגות.
עד כה, דיברנו רק על התפלגויות הסתברות עבור מקרים שבהם הניסויים השונים בלתי תלויים זה בזה; כלומר, כאשר התוצאה של ניסוי אחד אינה מושפעת מתוצאה של ניסוי אחר.
כאשר ניסויים אינם בלתי תלויים, ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית שימושית מאוד.
התפלגות היפרגיאומטרית
תהא N המספר הכולל של עצמים בקבוצה סופית, אשר ניתן לזהות שלה k בדרך כלשהי, וליצור תת-קבוצה K, שהמשלימה נוצרת על ידי איברי Nk הנותרים.
אם נבחר n עצמים באופן אקראי, למשתנה האקראי X המייצג את מספר העצמים השייכים ל-K בבחירה זו תהיה התפלגות היפרגיאומטרית של פרמטרים N, n ו-k. פונקציית ההסתברות המסה שלו היא:
הגרף הבא מייצג את פונקציית המסה של ההסתברות עבור ערכים שונים של פרמטרי ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית.
תרגילים פתורים
תרגיל ראשון
נניח שההסתברות ששפופרת רדיו (הממוקמת בסוג מסוים של ציוד) תעבוד יותר מ-500 שעות היא 0,2. אם נבדקים 20 שפופרות, מהי ההסתברות שרק k מהן יעבדו יותר מ-500 שעות, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
פִּתָרוֹן
אם X הוא מספר השפופרות שפועלות יותר מ-500 שעות, נניח של-X יש התפלגות בינומית. אז
וכך:
עבור k≥11, הסיכויים קטנים מ-0,001
לכן, אנו יכולים לראות כיצד ההסתברות ש-k מבין אלה יעבדו יותר מ-500 שעות עולה, עד שהיא מגיעה לערכה המקסימלי (כאשר k = 4) ואז מתחילה לרדת.
תרגיל שני
מטבע מוטל 6 פעמים. כאשר התוצאה היא ראש, אנו קוראים לזה הצלחה. מהי ההסתברות לשני ראשים בדיוק?
פִּתָרוֹן
במקרה זה, n = 6 וההסתברות להצלחה ולכישלון היא p = q = 1/2
לכן, ההסתברות שניתנות שתי פאות (כלומר, k = 2) היא
תרגיל שלישי
מהי ההסתברות למצוא לפחות ארבע פאות?
פִּתָרוֹן
במקרה זה, k = 4, 5 או 6
תרגיל שלישי
נניח ש-2% מהפריטים המיוצרים במפעל פגומים. מצא את ההסתברות P שיש שלושה פריטים פגומים במדגם של 100 פריטים.
פִּתָרוֹן
במקרה זה, נוכל להחיל את ההתפלגות הבינומית עבור n = 100 ו-p = 0,02, ולקבל כתוצאה מכך:
עם זאת, מכיוון ש-p קטן, אנו משתמשים בקירוב פואסון כאשר λ = np = 2. לכן
הפניות
- קאי לאי צ'ונג: תורת ההסתברות האלמנטרית עם תהליכים סטוכסטיים. הוצאת ספרינגר-ורלאג ניו יורק בע"מ.
- קנת' ה. רוזן - מתמטיקה בדידה ויישומיה. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- פול ל. מאייר הסתברות ויישומים סטטיסטיים. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- דוקטורט מאת סימור ליפשוץ, 2000. פתר בעיות במתמטיקה בדידה. מקגרו-היל
- דוקטורט מאת סימור ליפשוץ, בעיות בתיאוריה ובהסתברות. מקגרו-היל