Puasono skirstinys yra diskretusis tikimybių skirstinys, apibūdinantis įvykio pasikartojimų skaičių per konkretų laiko arba erdvės intervalą, kai žinomas vidutinis įvykių skaičius. Jis plačiai naudojamas įvairiose srityse, tokiose kaip statistika, inžinerija, medicina ir finansai.
Puasono skirstinio formulė pateikiama pagal P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!, kur λ yra vidutinis įvykio pasikartojimų skaičius, k yra norimas pasikartojimų skaičius, o e yra Eulerio konstanta (apytiksliai 2,71828).
Šis skirstinys turi keletą svarbių savybių, tokių kaip įvykių nepriklausomumas, pastovus pasikartojimų dažnis ir vienalaikių įvykių nebuvimas. Be to, Puasono skirstinį galima aproksimuoti normaliuoju skirstiniu, kai vidutinis įvykių skaičius yra didelis.
Kokia lygtis naudojama Puasono skirstinyje tikimybėms apskaičiuoti?
Puasono skirstinys yra diskretusis tikimybių skirstinys, apibūdinantis įvykio pasikartojimų skaičių per tam tikrą laiko intervalą arba tam tikroje srityje. Puasono skirstinyje tikimybėms apskaičiuoti naudojama tokia lygtis:
P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
Kur:
- P(X = k) yra tikimybė, kad per tam tikrą laiko intervalą arba sritį įvyks lygiai k įvykių.
- λ yra vidutinis įvykių dažnis laiko arba ploto vienete.
- e yra matematinė konstanta, maždaug lygi 2,71828.
- k yra įvykių, kurių tikimybę norime apskaičiuoti, skaičius.
- k! reiškia k faktorialą, kuris yra visų teigiamų sveikųjų skaičių, mažesnių arba lygių k, sandauga.
Ši lygtis leidžia mums nustatyti tiksliai k įvykių įvykimo tikimybę tam tikrame kontekste, remiantis vidutiniu šių įvykių pasikartojimo dažniu. Puasono skirstinys plačiai naudojamas statistikoje modeliuojant situacijas, kai reti įvykiai įvyksta nepriklausomai ir pastoviu dažniu.
Pagrindinės Puasono proceso charakteristikos.
Puasono skirstinys yra diskretusis tikimybių skirstinys, apibūdinantis įvykių, įvykstančių per fiksuotą laiko intervalą arba erdvės intervalą, skaičių. Jis turi keletą pagrindinių savybių, kurios jį daro naudingą įvairiose srityse, įskaitant statistiką, matematiką, inžineriją ir gamtos mokslus.
Puasono skirstinio formulė pateikiama taip: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, Kur x reiškia įvykių, įvykusių dominančiame intervale, skaičių ir λ yra parametras, rodantis vidutinį įvykių pasikartojimo dažnį.
Puasono modelis tinka situacijoms, kai įvykiai vyksta nepriklausomai vienas nuo kito, o jų atsiradimo dažnis yra pastovus laike ar erdvėje. Pavyzdžiui, Puasono skirstinys gali būti naudojamas modeliuojant skambučių, kuriuos skambučių centras gauna per tam tikrą valandą, skaičių.
Kai kurios svarbios Puasono skirstinio savybės apima vidurkį ir dispersiją, kurie yra lygūs parametrui λBe to, Puasono skirstinys yra neneigiamas ir neturi viršutinės ribos.
Dėl savo pagrindinių savybių ir unikalių savybių jis atlieka esminį vaidmenį statistinėje analizėje ir sprendimų priėmime įvairiuose kontekstuose.
Kaip apskaičiuoti Puasono skirstinį: žingsnis po žingsnio ir praktiniai pavyzdžiai.
Norint apskaičiuoti Puasono skirstinį, svarbu atlikti kelis veiksmus ir naudoti teisingas formules. Puasono skirstinys yra diskretusis tikimybių skirstinys, apibūdinantis įvykių, įvykstančių per konkretų laiko intervalą arba erdvę, skaičių, atsižvelgiant į vidutinį tų įvykių dažnį.
Puasono skirstinio formulė yra:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Kur:
- P(X = k) yra lygiai k įvykių tikimybė
- e yra natūralaus logaritmo pagrindas
- λ yra vidutinis įvykių dažnis
- k yra įvykių, kurių tikimybę norime apskaičiuoti, skaičius
- k! yra k faktorialas
Norėdami apskaičiuoti Puasono skirstinį, atlikite šiuos veiksmus:
1. Nustatykite vidutinį įvykių dažnį (λ)
2. Pasirinkite įvykių, kurių tikimybę norite apskaičiuoti (k), skaičių
3. Įrašykite reikšmes į Puasono skirstinio formulę
4. Apskaičiuokite galutinį rezultatą
Pavyzdžiui, jei vidutinis avarijų skaičius gatvės kampe yra 2 per savaitę, kokia tikimybė, kad per savaitę įvyks lygiai 3 avarijos?
Naudodami Puasono skirstinio formulę, turime:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804
Todėl tikimybė, kad per savaitę įvyks lygiai 3 avarijos, yra 0.1804 arba 18.04 %.
Kaip rasti vidutinę įvykių vertę per tam tikrą laiko intervalą?
Norėdami rasti įvykių vidutinę vertę per konkretų laiko intervalą, galime naudoti Puasono skirstinį. Šis skirstinys plačiai naudojamas modeliuojant retų įvykių atsiradimą per fiksuotą laiko intervalą, pavyzdžiui, skambučių centro per valandą gaunamų skambučių skaičių.
Puasono skirstinio formulė pateikiama taip:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Kur:
- P(X = k) yra k įvykių, įvykusių per laiko intervalą, tikimybė.
- e yra Eulerio konstanta, maždaug lygi 2.71828.
- λ yra vidutinis įvykių skaičius per laiko vienetą.
- k yra įvykių, kuriuos norime analizuoti, skaičius.
- k! reiškia k faktorialą.
Viena iš svarbiausių Puasono skirstinio savybių yra ta, kad jo vidutinė vertė yra lygi vidurkiui, t. y. tam tikro laiko intervalo įvykių vidurkis nurodomas kaip λ.
Todėl norint rasti vidutinę įvykių vertę per konkretų laiko intervalą, tiesiog naudokite vidutinį įvykių skaičių per laiko vienetą, kurį Puasono skirstinio formulėje žymi λ.
Puasono skirstinys: formulės, lygtys, modelis, savybės
A Puasono skirstinys yra diskretusis tikimybių skirstinys, pagal kurį žinoma tikimybė, kad didelėje imtyje ir per tam tikrą intervalą gali įvykti įvykis, kurio tikimybė yra maža.
Dažnai vietoj binominio skirstinio galima naudoti Puasono skirstinį, jei tenkinamos šios sąlygos: didelis imties dydis ir maža tikimybė.
Šį jo vardu pavadintą skirstinį sukūrė Siméon-Denis Poisson (1781–1840), kuris yra labai naudingas sprendžiant nenuspėjamų įvykių problemas. Poissonas savo rezultatus – mokslinį darbą apie neteisėtų baudžiamųjų nuosprendžių tikimybę – paskelbė 1837 m.
Vėliau kiti tyrėjai pritaikė pasiskirstymą kitoms sritims, pavyzdžiui, žvaigždžių, kurias galima rasti tam tikrame erdvės tūryje, skaičiui arba kareivio mirties nuo arklio spyrio tikimybei.
Formulės ir lygtys
Puasono skirstinio matematinė forma yra tokia:
- μ (taip pat kartais žymimas kaip λ) yra skirstinio vidurkis arba parametras
– Eulerio skaičius: e = 2.71828
– Tikimybė gauti y = k yra P
- k yra sėkmių skaičius 0, 1,2,3, XNUMX, XNUMX …
- n yra testų arba įvykių skaičius (imties dydis)
Diskretieji atsitiktiniai kintamieji, kaip rodo pavadinimas, priklauso nuo atsitiktinumo ir turi tik diskrečias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.
Vidutinis pasiskirstymas pateikiamas pagal:
Dispersija σ, kuri matuoja duomenų sklaidą, yra dar vienas svarbus parametras. Puasono skirstinio atveju ji yra:
σ = μ
Puasono teorija nustatė, kad kai n → ∞ ir p → 0, vidurkis µ, dar vadinamas numatoma vertė – linkusi į pastovų lygį:
μ → pastovus
svarbus : p yra įvykio tikimybė, atsižvelgiant į bendrą populiaciją, tuo tarpu P (y) yra imties Puasono prognozė.
Modelis ir savybės
Puasono skirstinys turi šias savybes:
- Imties dydis yra didelis: n → ∞.
- Nagrinėjami įvykiai arba įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi ir įvyksta atsitiktinai.
-Tikimybė P kad tam tikras įvykis e įvyksta per tam tikrą laikotarpį, yra labai mažas: P → 0 .
– Tikimybė, kad per nurodytą laiko intervalą įvyks daugiau nei vienas įvykis, yra 0.
-Vidutinė vertė artima konstantai, gautai pagal: μ = np ( n yra imties dydis )
-Kadangi dispersija σ yra lygi μ, jai įgyjant didesnes vertes, kintamumas taip pat tampa didesnis.
- Įvykiai turi būti tolygiai paskirstyti per visą naudojamą laiko intervalą.
-Galimų įvykių reikšmių rinkinys e yra: 0,1,2,3,4, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX….
-Suma i Kintamieji, kurie atitinka Puasono skirstinį, taip pat yra Puasono kintamieji. Jų vidutinė vertė yra šių kintamųjų vidutinių verčių suma.
Skirtumai nuo binominio skirstinio
Puasono skirstinys nuo binominio skirstinio skiriasi šiais svarbiais aspektais:
-Binominiam skirstiniui įtakos turi imties dydis ir tikimybė P , bet Puasono skirstinį veikia tik μ vidutinis.
-Binominiame skirsinyje atsitiktinio kintamojo galimos vertės e yra 0,1,2, XNUMX, XNUMX, …, N, tačiau Puasono skirstinyje šioms reikšmėms nėra viršutinės ribos.
„Exemplos“
Iš pradžių Puasonas savo garsųjį paskirstymą pritaikė teisiniuose procesuose, tačiau pramoniniu lygmeniu vienas pirmųjų jo panaudojimo būdų buvo alaus darymas. Šiame procese fermentacijai naudojamos mielių kultūros.
Mielės sudarytos iš gyvų ląstelių, kurių populiacija laikui bėgant kinta. Verdant alų, reikia pridėti reikiamą kiekį, todėl svarbu žinoti ląstelių skaičių tūrio vienete.
Antrojo pasaulinio karo metu Puasono skirstinys buvo naudojamas siekiant nustatyti, ar vokiečiai iš tikrųjų taikėsi į Londoną iš Kalė, ar tiesiog šaudė atsitiktinai. Tai buvo svarbu sąjungininkams, norint nustatyti, kokios kokybės technologijos buvo nacių žinioje.
Praktiniai pritaikymai
Puasono skirstinio taikymas visada nurodo skaičius laike arba erdvėje. Kadangi įvykio tikimybė yra maža, jis dar žinomas kaip „retų įvykių dėsnis“.
Štai sąrašas įvykių, kurie patenka į vieną iš šių kategorijų:
- Radioaktyvaus skilimo dalelių registravimas, kuris, kaip ir mielių ląstelių augimas, yra eksponentinė funkcija.
– Apsilankymų konkrečioje svetainėje skaičius.
– Žmonių atvykimas į eilę sumokėti arba būti aptarnautiems (eilės teorija).
– Automobilių, pravažiuojančių per tam tikrą kelio tašką per tam tikrą laiką, skaičius.
- Mutacijos, patirtos tam tikroje DNR grandinėje po radiacijos poveikio.
- Per metus nukritusių didesnio nei 1 m skersmens meteoritų skaičius.
– Defektų skaičius kvadratiniame audinio metre.
- Kraujo ląstelių skaičius 1 kubiniame centimetre.
- Skambučių skaičius per minutę į telefono stotį.
– Šokolado gabaliukų yra 1 kg pyrago tešlos.
- Medžių, užkrėstų tam tikru parazitu, skaičius 1 hektare miško.
Atkreipkite dėmesį, kad šie atsitiktiniai kintamieji rodo, kiek kartų įvykis įvyksta per nustatytą laikotarpį ( skambučių per minutę į telefono liniją ) arba tam tikrą erdvės sritį ( audinio defektai kvadratiniame metre ).
Šie įvykiai, kaip jau nustatyta, nepriklauso nuo laiko, praėjusio nuo paskutinio įvykio.
Artėjimas prie binominio skirstinio naudojant Puasono skirstinį
Puasono skirstinys yra geras binominio skirstinio aproksimavimas, nes:
- Imties dydis yra didelis: n ≥ 100
-Tikimybė pėda mažas: p ≤ 0,1
- μ būti tokia tvarka: np ≤ 10
Tokiais atvejais Puasono skirstinys yra puikus įrankis, nes binominį skirstinį gali būti sudėtinga taikyti šiais atvejais.
Išspręsti pratimai
1 pratimas
Seismologinis tyrimas nustatė, kad per pastaruosius 100 metų visame pasaulyje įvyko 93 dideli žemės drebėjimai, kurių stiprumas pagal logaritminę Richterio skalę buvo ne mažesnis kaip 6,0. Tarkime, kad šiuo atveju tinkamas modelis yra Puasono skirstinys. Raskite:
a) Vidutinis didelių žemės drebėjimų dažnis per metus.
b) Jei P (y) dėl įvykio tikimybės e žemės drebėjimų atsitiktinai parinktais metais, raskite šias tikimybes:
P (0) P (1) P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) ir P (7).
c) Tikrieji tyrimo rezultatai yra tokie:
- 47 metai (0 žemės drebėjimų)
– 31 metai (1 žemės drebėjimas)
– 13 metai (2 žemės drebėjimas)
– 5 metai (3 žemės drebėjimas)
– 2 metai (4 žemės drebėjimas)
– 0 metai (5 žemės drebėjimas)
– 1 metai (6 žemės drebėjimai)
– 1 metai (7 žemės drebėjimai)
Kaip šie rezultatai palyginami su b dalyje gautais rezultatais? Ar Puasono skirstinys yra geras pasirinkimas šiems įvykiams modeliuoti?
Sprendimas a)
a) Žemės drebėjimai yra įvykiai, kurių tikimybė p yra mažas ir mes svarstome ribotą vienerių metų laikotarpį. Vidutinis žemės drebėjimas yra:
μ = 93/100 žemės drebėjimų per metus = 0,93 žemės drebėjimų per metus.
Sprendimas b)
b) Norint apskaičiuoti prašomas tikimybes, reikšmės pakeičiamos į pradžioje pateiktą formulę:
y = 2
μ = 0,93
e = 2.71828
Jis yra daug mažesnis nei P(2).
Rezultatai pateikti žemiau:
P(0) = 0,395, P(1) = 0,367, P(2) = 0,171, P(3) = 0,0529, P(4) = 0,0123, P(5) = 0,00229, P(6) = 0,000355, P(7) = 0,0000471.
Pavyzdžiui, galime teigti, kad yra 39,5 % tikimybė, jog tam tikrais metais neįvyks didelių žemės drebėjimų. Arba kad tais metais įvyks 5,29 % trijų didelių žemės drebėjimų.
Sprendimas c)
c) Dažniai analizuojami, padauginus iš n = 100 metų:
39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 ir 0,00471.
Pavyzdžiui:
– 39,5 dažnis rodo, kad 39,5 iš 100 metų, kai neįvyko jokių didelių žemės drebėjimų, galima sakyti, kad tai gana artima faktiniam 0 metų rezultatui be jokių didelių žemės drebėjimų.
Palyginkime kitą Puasono rezultatą su faktiniais rezultatais:
36,7 reikšmė reiškia, kad vienas didelis žemės drebėjimas įvyksta kas 37 metus. Iš tikrųjų vienas didelis žemės drebėjimas įvyksta kas 31 metus, o tai gerai atitinka modelį.
– Tikimasi 17,1 metų su 2 dideliais žemės drebėjimais, ir žinoma, kad per 13 metų, o tai yra artima vertė, iš tikrųjų įvyko 2 dideli žemės drebėjimai.
Todėl šiuo atveju Puasono modelis yra priimtinas.
2 pratimas
Įmonė apskaičiavo, kad komponentų, kurie sugenda nepasiekę 100 darbo valandų, skaičius atitinka Puasono skirstinį. Jei tuo metu vidutinis gedimų skaičius yra 8, raskite šias tikimybes:
a) Kad komponentas sugenda per 25 valandas.
b) Mažiau nei dviejų komponentų gedimas per 50 valandų.
c) Per 125 valandas sugenda bent trys komponentai.
Sprendimas a)
a) Yra žinoma, kad vidutinis gedimų skaičius per 100 valandų yra 8; todėl per 25 valandas tikimasi ketvirtadalio gedimų, t. y. 2 gedimų. Tai bus parametras m.
Prašoma apskaičiuoti 1 komponento gedimo tikimybę, atsitiktinis kintamasis yra „komponentai, kurie sugenda per 25 valandas“, o jo reikšmė yra y = 1. Į tikimybės funkciją įstatant:
Tačiau kyla klausimas, kokia tikimybė, kad mažiau nei du komponentai sugenda per 50 valandų, ir ne lygiai 2 komponentai sugenda per 50 valandų, taigi tikimybės yra:
-Nėra nesėkmės
-Tik 1 nesėkmė
P(mažiau nei 2 komponentai sugenda) = P(0) + P(1)
P (mažiau nei 2 komponentai sugenda) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915
c) Kad bent jau Jei per 125 valandas sugenda trys komponentai, tai reiškia, kad per tą laikotarpį gali sugesti 3, 4, 5 ar daugiau.
Tikimybė, kad įvyks bent jau vieno iš kelių įvykių tikimybė lygi 1, atėmus tikimybę, kad neįvyks nė vienas iš įvykių.
- Pageidaujamas įvykis yra tas, kad per 3 valandas suges 125 ar daugiau komponentų
– Jei įvykis neįvyksta, tai reiškia, kad sugenda mažiau nei 3 komponentai, o sugedimo tikimybė yra: P(0) + P(1) + P(2)
Šiuo atveju skirstinio parametras μ yra:
μ = 8 + 2 = 10 gedimų per 125 valandas .
P(3 ar daugiau komponentų sugenda) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =
Nuorodos
- „MathWorks“ Puasono skirstinys. Gauta iš: en.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Administravimo ir ekonomikos statistika. 3-iasis leidimas. „Iberoamerica Publishing Group“.
- „Stat Trek“ išmokite statistikos. Puasono skirstinys. Gauta iš: stattrek.com.
- Triola, M. 2012. Pradinė statistika. 11-asis leidimas. Pearson Education.
- Vikipedijos Puasono skirstinys Gauta iš: en.wikipedia.org