Diskretieji tikimybių skirstiniai yra matematiniai modeliai, apibūdinantys įvykių su diskrečiomis, baigtinėmis reikšmėmis atsiradimą. Šiems skirsiniams būdingos jų savybės, pavyzdžiui, visų galimų rezultatų tikimybių suma, lygi 1, ir parametro, kuris lemia skirstinio formą, buvimas. Šiame straipsnyje nagrinėsime dažniausiai pasitaikančių diskrečiųjų tikimybių skirstinių, tokių kaip Bernulio skirstinys, binominis skirstinys, Puasono skirstinys ir geometrinis skirstinys, charakteristikas, taip pat pateiksime praktinių pratimų, padėsiančių geriau suprasti šias sąvokas.
Diskretinio tikimybių pasiskirstymo sąvokos supratimas: paprastas ir aiškus paaiškinimas.
Norint suprasti diskretinio tikimybių skirstinio sąvoką, svarbu suprasti, kad tai matematinė funkcija, kuri susieja tikimybę su kiekvienu galimu atsitiktinio eksperimento rezultatu. Kitaip tariant, diskretusis tikimybių skirstinys leidžia mums nustatyti kiekvieno rezultato įvykimo tikimybę baigtiniame arba išvardijamame galimybių rinkinyje.
Diskrečiam tikimybių pasiskirstymui būdinga tikimybės funkcija, kuri kiekvienam rezultatui priskiria ne neigiamą reikšmę, o visų tikimybių suma lygi 1. Be to, galimi rezultatai yra skirtingi ir izoliuoti, be jokios tarpinės reikšmės atsiradimo galimybės.
Klasikinis diskretinio tikimybių pasiskirstymo pavyzdys yra Puasono pasiskirstymas, plačiai naudojamas skaičiavimo procesuose, pavyzdžiui, įvykių, įvykstančių per tam tikrą laikotarpį, skaičiui. Kitas dažnas pavyzdys yra binominis pasiskirstymas, kuris modeliuoja eksperimentus tik su dviem galimais rezultatais, pavyzdžiui, sėkme arba nesėkme.
Norint taikyti diskrečiųjų tikimybių skirstinių teoriją, būtina suprasti jų specifines savybes ir charakteristikas, taip pat mokėti apskaičiuoti tikimybes ir interpretuoti rezultatus. Praktiniai pratimai yra būtini norint pagilinti supratimą ir lavinti įgūdžius šioje tikimybių srityje.
Sužinokite apie pagrindinius diskrečiuosius skirstinius, naudojamus statistikoje ir tikimybių skaičiavime.
Sužinokite apie pagrindinius diskrečiuosius skirstinius, naudojamus statistikoje ir tikimybių skaičiavime. Diskretieji tikimybių skirstiniai yra svarbios statistinės analizės priemonės, leidžiančios modeliuoti ir prognozuoti atsitiktinius įvykius. Tarp pagrindinių diskrečiųjų skirstinių yra Bernulio skirstinys, binominis skirstinys, geometrinis skirstinys, Puasono skirstinys ir hipergeometrinis skirstinys.
A Bernulio skirstinys naudojamas modeliuoti eksperimentus, kuriuose galimi tik du rezultatai, pavyzdžiui, sėkmė ir nesėkmė. binominis skirstinys Jis taikomas situacijose, kai yra fiksuotas skaičius nepriklausomų bandymų, o kiekviename bandyme galimi tik du rezultatai, pavyzdžiui, sėkmė ir nesėkmė.
A geometrinis pasiskirstymas naudojamas modeliuoti bandymų skaičių iki pirmosios sėkmės nepriklausomų eksperimentų sekoje. Puasono skirstinys naudojamas retų įvykių atsiradimui konkrečiame laiko ar erdvės intervale modeliuoti.
Galiausiai hipergeometrinis pasiskirstymas Jis naudojamas modeliuoti eksperimentus, kuriuose atrenkami elementai iš baigtinės populiacijos be jų pakeitimo, atsižvelgiant į sėkmių skaičių konkrečioje imtyje.
Norint geriau suprasti šiuos diskrečiuosius skirstinius ir kaip juos taikyti, svarbu praktikuotis atliekant pratimus. Su šiais skirstiniais susijusių uždavinių sprendimas gali padėti įtvirtinti žinias ir lavinti statistinius bei tikimybių skaičiavimo įgūdžius.
Todėl studijuojant statistiką ir tikimybes, būtina žinoti pagrindinių diskrečiųjų skirstinių, tokių kaip Bernulio skirstinys, binominis skirstinys, geometrinis skirstinys, Puasono skirstinys ir hipergeometrinis skirstinys, charakteristikas ir taikymą.
Tikimybių skirstinių tipai: sužinokite apie skirtingas statistinių skirstinių formas.
Tikimybių skirstiniai yra matematiniai modeliai, apibūdinantys atsitiktinį reiškinio elgesį. Yra įvairių tipų tikimybių skirstinių, kurių kiekvienas turi savo ypatybes ir taikymą. Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio skirsime diskretiesiems tikimybių skirsiniams, kurie yra susieti su diskrečiais kintamaisiais – tais, kurie gali įgyti konkrečias, suskaičiuojamas vertes.
Kai kurie iš labiausiai paplitusių diskrečiųjų tikimybių skirstinių yra tolygusis skirstinys, binominis skirstinys, Puasono skirstinys ir geometrinis skirstinys. Kiekvienas iš šių skirstinių turi savo savybes ir yra naudojamas skirtinguose statistiniuose kontekstuose.
Pavyzdžiui, tolygusis pasiskirstymas apibūdinamas tuo, kad visoms galimoms diskretinio kintamojo reikšmėms priskiriama ta pati tikimybė. Binominis pasiskirstymas naudojamas modeliuojant sėkmių skaičių nepriklausomų bandymų sekoje, kurių kiekvieno sėkmės tikimybė yra ta pati. Savo ruožtu Puasono pasiskirstymas naudojamas modeliuojant retų įvykių skaičių laiko arba erdvės intervale. O geometrinis pasiskirstymas naudojamas modeliuojant bandymų, reikalingų iki pirmosios sėkmės nepriklausomų bandymų sekoje, skaičių.
Norint geriau suprasti, kaip veikia šie skirstiniai, svarbu atlikti pratimus. Pavyzdžiui, naudodami binominį skirstinį galime apskaičiuoti tikimybę gauti lygiai 3 galvas per 5 teisingus monetos metimus. Arba, naudodami Puasono skirstinį, galime nustatyti bent 2 įvykių įvykimo per konkretų laiko intervalą tikimybę.
Suprasdami šių skirstinių charakteristikas ir taikymą, statistikos ir susijusių mokslų specialistai gali priimti labiau pagrįstus ir tikslesnius sprendimus, pagrįstus tikimybiniais duomenimis.
Kurie kintamieji tikimybės teorijoje laikomi diskrečiais?
Tikimybių skaičiavime diskretieji kintamieji yra tie, kurie gali turėti baigtinį arba suskaičiuojamą reikšmių skaičių. Tai reiškia, kad diskretieji kintamieji yra tie, kuriuos galima suskaičiuoti, paprastai pateikiant sveikaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, automobilių skaičius automobilių stovėjimo aikštelėje, mokinių skaičius klasėje ir kauliuko sienelių skaičius yra diskrečiųjų kintamųjų pavyzdžiai.
Šie kintamieji skiriasi nuo tolydžiųjų kintamųjų, kurie gali įgyti begalinį skaičių reikšmių konkrečiame diapazone. Nors diskretūs kintamieji turi konkrečias, diskrečias reikšmes, tolydieji kintamieji gali įgyti bet kokią reikšmę tolydžiajame diapazone. Pavyzdžiui, žmogaus ūgis, užtrunka, per kiek laiko atliekama užduotis, ir kambario temperatūra yra tolydžiųjų kintamųjų pavyzdžiai.
Todėl tikimybės diskretiniai kintamieji yra tie, kuriuos galima suskaičiuoti ir kurie įgauna konkrečias, atskiras vertes, o ne tolydieji kintamieji, kurie gali įgauti bet kokią vertę tam tikrame diapazone.
Diskrečiųjų tikimybių skirstinių charakteristikos, pratimai
As diskretūs tikimybių skirstiniai yra funkcija, kuri kiekvienam X(S) = {x1, x2, …, xi, …} elementui, kur X yra duotas diskretus atsitiktinis kintamasis, o S yra atrankos erdvė, priskiria šio įvykio tikimybę. Ši X(S) funkcija f, apibrėžta kaip f(xi) = P(X = xi), kartais vadinama masės tikimybės funkcija.
Ši tikimybės masė paprastai pateikiama lentelės pavidalu. Kadangi X yra diskretus atsitiktinis kintamasis, X(S) turi baigtinį arba begalinį įvykių skaičių. Tarp labiausiai paplitusių diskrečiųjų tikimybių skirstinių yra tolygusis skirstinys, binominis skirstinys ir Puasono skirstinys.
Požymiai
Tikimybių pasiskirstymo funkcija turi atitikti šias sąlygas:
Be to, jei X turi tik baigtinį reikšmių skaičių (pvz., x1, x2, …, xn), tai p(xi) = 0, jei i > n, todėl begalinė sąlygų eilutė b tampa baigtine eilute
Ši funkcija taip pat tenkina šias savybes:
Tegu B yra įvykis, susietas su atsitiktiniu kintamuoju X. Tai reiškia, kad B yra X(S). Tiksliau, tarkime, kad B = {xi1, xi2,…}. Todėl:
Kitaip tariant: įvykio B tikimybė yra lygi su B susijusių individualių rezultatų tikimybių sumai.
Iš to galime daryti išvadą, kad jei
Tipas
Tolygus pasiskirstymas n taškų
Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X pasiskirsto tolygiai n taškų, jei kiekvienai vertei priskiriama ta pati tikimybė. Jo tikimybės masės funkcija yra:
Tarkime, kad turime eksperimentą su dviem galimais rezultatais: tai gali būti monetos metimas, kurio galimi rezultatai yra galvos arba uodegos, arba sveikojo skaičiaus pasirinkimas, kurio rezultatas gali būti nelyginis arba lyginis skaičius; Šis eksperimento tipas vadinamas Bernulio testu.
Paprastai du galimi rezultatai vadinami sėkme ir nesėkme, kur p yra sėkmės tikimybė, o 1-p yra nesėkmės tikimybė. Galime nustatyti x sėkmių tikimybę n nepriklausomuose Bernulio bandymuose su tokiu skirstiniu.
Binominis skirstinys
Ši funkcija rodo x sėkmingų bandymų per n nepriklausomų Bernulio bandymų tikimybę, kai sėkmės tikimybė yra p. Jos tikimybės masės funkcija yra:
Šis grafikas vaizduoja tikimybės masės funkciją skirtingoms binominio skirstinio parametrų reikšmėms.
Šis skirstinys pavadinimą gavo prancūzų matematiko Simeono Poissono (1781–1840) vardu, kuris jį aptiko kaip binominio skirstinio ribą.
Puasono skirstinys
Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X turi parametro λ Puasono skirstinį, kai jis gali gauti teigiamų sveikųjų skaičių reikšmes 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … su tokia tikimybe:
Šioje išraiškoje λ yra vidutinis įvykio pasikartojimų skaičius per kiekvieną laiko vienetą, o x yra įvykio pasikartojimų skaičius.
Jo masės tikimybės funkcija yra:
Žemiau pateiktas grafikas, vaizduojantis tikimybės masės funkciją skirtingoms Poissono skirstinio parametrų reikšmėms.
Atkreipkite dėmesį, kad tol, kol sėkmių skaičius yra mažas, o binominio skirstinio testų, atliktų daug, skaičius visada galime apytiksliai įvertinti šiuos skirstinius, nes Puasono skirstinys yra binominio skirstinio riba.
Pagrindinis skirtumas tarp šių dviejų skirstinių yra tas, kad binominis skirstinys priklauso nuo dviejų parametrų – nep – o Puasono skirstinys priklauso tik nuo λ, kuris kartais vadinamas skirstinio intensyvumu.
Iki šiol kalbėjome tik apie tikimybių skirstinius tais atvejais, kai skirtingi eksperimentai yra vienas nuo kito nepriklausomi; tai yra, kai vieno rezultatui neturi įtakos kito rezultatas.
Kai eksperimentai nėra nepriklausomi, hipergeometrinis skirstinys yra labai naudingas.
Hipergeometrinis pasiskirstymas
Tegu N yra bendras baigtinės aibės objektų skaičius, iš kurių k tam tikru būdu galime identifikuoti, sudarantis poaibį K, kurio papildinį sudaro likę Nk elementai.
Jei atsitiktinai pasirinksime n objektų, atsitiktinis kintamasis X, vaizduojantis objektų, priklausančių K, skaičių tame pasirinkime, turės hipergeometrinį parametrų N, n ir k skirstinį. Jo masės tikimybės funkcija yra:
Šis grafikas vaizduoja tikimybės masės funkciją skirtingoms hipergeometrinio pasiskirstymo parametrų reikšmėms.
Išspręsti pratimai
Pirmas pratimas
Tarkime, kad tikimybė, jog radijo vamzdis (įdėtas į tam tikros rūšies įrangą) veiks ilgiau nei 500 valandų, yra 0,2. Jei išbandoma 20 vamzdelių, kokia tikimybė, kad lygiai k iš jų veiks ilgiau nei 500 valandų, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Sprendimas
Jei X yra daugiau nei 500 valandų veikiančių lempų skaičius, laikysime, kad X pasiskirsto pagal binominį pasiskirstymą. Tada
Ir taip:
Kai k≥11, tikimybė yra mažesnė nei 0,001.
Taigi, galime stebėti, kaip didėja tikimybė, kad k iš jų dirbs daugiau nei 500 valandų, kol pasiekia maksimalią vertę (kai k = 4), o tada pradeda mažėti.
2 pratimas
Moneta apverčiama 6 kartus. Kai iškrenta galva, vadiname tai sėkme. Kokia tikimybė, kad iškris lygiai dvi galvos?
Sprendimas
Šiuo atveju n = 6, o sėkmės ir nesėkmės tikimybė yra p = q = 1/2.
Todėl tikimybė, kad bus duoti du paviršiai (t. y. k = 2), yra
Trečias pratimas
Kokia tikimybė rasti bent keturis veidus?
Sprendimas
Šiuo atveju k = 4, 5 arba 6
Trečias pratimas
Tarkime, kad 2 % gamykloje pagamintų gaminių yra brokuoti. Raskite tikimybę P, kad 100 gaminių imtyje yra trys brokuoti gaminiai.
Sprendimas
Šiuo atveju galime taikyti binominį skirstinį, kai n = 100 ir p = 0,02, ir gauti tokį rezultatą:
Tačiau, kadangi p yra mažas, naudojame Puasono aproksimaciją su λ = np = 2. Taigi
Nuorodos
- Kai Lai Chung: Elementarioji tikimybių teorija su stochastiniais procesais. Springer-Verlag, Niujorkas, Inc.
- Kenneth H. Rosen – Diskrečioji matematika ir jos taikymai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Tikimybių teorija ir statistikos taikymas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, daktaro laipsnis, 2000 m. Išspręsti diskrečiosios matematikos uždaviniai. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, daktaro laipsnis. Teorijos ir tikimybių problemos. McGraw-HILL