Nepriklausomi įvykiai yra įvykiai, kurie vienas kitam įtakos neturi, tai reiškia, kad vieno įvykio įvykis neturi įtakos kito įvykio tikimybei. Šiame kontekste demonstracijos, pavyzdžiai ir pratimai yra svarbios priemonės norint suprasti ir teisingai taikyti su nepriklausomais įvykiais susijusias sąvokas. Šiame straipsnyje nagrinėsime, kaip atpažinti nepriklausomus įvykius, pateiksime praktinių pavyzdžių, iliustruojančių jų taikymą, ir pasiūlysime pratimų, skirtų temos supratimui patikrinti ir pagerinti. Pagilinsime savo supratimą apie nepriklausomus įvykius ir kaip juos galima analizuoti bei naudoti skirtingose situacijose.
Nepriklausomų įvykių pavyzdžiai: suprasti, kaip jie veikia, ir pamatyti praktinius atvejus.
Nepriklausomi įvykiai yra įvykiai, kurie neturi jokios įtakos vienas kitam, tai reiškia, kad vieno įvykio įvykis neturi įtakos kito įvykio tikimybei. Norėdami geriau suprasti, kaip veikia nepriklausomi įvykiai, panagrinėkime keletą praktinių pavyzdžių.
Paprastas nepriklausomų įvykių pavyzdys yra teisingo kauliuko ridenimas. Jei ridenant kauliuką iškrenta 4, tikimybė gauti lyginį skaičių kito ridenimo metu išlieka 1/2, nes įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi.
Kitas dažnas pavyzdys – monetos metimas. Jei metame monetą ir ji iškrenta į galvą, tikimybė, kad kitą kartą ji iškris į uodegą, išlieka 1/2, nes įvykiai yra nepriklausomi.
Praktinį nepriklausomų įvykių pavyzdį galima rasti kortų žaidime. Jei iš kaladės traukiame kortą ir tai yra valetas, tikimybė, kad kitą kartą traukiant ištrauksime karalių, išlieka 1/13, nes įvykiai yra nepriklausomi.
Svarbu žinoti, kaip atpažinti šiuos įvykius, kad būtų galima teisingai atlikti tikimybių skaičiavimus.
Įvykių tarpusavio ryšio nustatymas: priklausomybė ar nepriklausomumas tikimybinėse situacijose.
Nagrinėjant tikimybines situacijas, norint tinkamai atlikti analizę, labai svarbu nustatyti įvykių tarpusavio ryšį. Yra du pagrindiniai įvykių ryšių tipai: priklausomybė ir nepriklausomybė.
Nepriklausomi įvykiai yra tokie, kai vieno įvykio įvykis neturi įtakos kito įvykio įvykimui. Kitaip tariant, vieno įvykio tikimybė nepriklauso nuo kito įvykio įvykimo. Pavyzdžiui, ridenant kauliuką, o po to metant monetą, rezultatai yra vienas nuo kito nepriklausomi.
Norėdami parodyti įvykių nepriklausomumą, galime naudoti formulę: P(A ir B) = P(A) * P(B), kur P reiškia įvykio tikimybę. Kitaip tariant, abiejų įvykių įvykimo tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugai.
Paprastas nepriklausomų įvykių pavyzdys yra dviejų kauliuko ridenimas. Tikimybė, kad pirmuoju kauliuku iškris 4, yra 1/6, o antruoju – 3. Padauginę šias tikimybes, gauname 1/6, t. y. tikimybę, kad pirmuoju kauliuku iškris 1, o antruoju – 36.
Norint praktikuotis atpažinti ir apskaičiuoti nepriklausomus įvykius, svarbu išspręsti keletą pratimų. Pavyzdžiui, apskaičiuoti tikimybę, kad iš kaladės ištrauktos dvi kortos bus širdys, arba tikimybę, kad iš urnos atsitiktinai ištrauktos dvi kortos bus raudonos.
Nepriklausomi įvykiai yra tokie, kai vieno įvykio įvykis neturi įtakos kito įvykio įvykimui, o abiejų įvykių įvykimo tikimybė yra atskirų tikimybių sandauga.
Sužinokite, kaip nustatyti dviejų vienas nuo kito nepriklausomų įvykių tikimybę.
Norint nustatyti dviejų vienas nuo kito nepriklausomų įvykių tikimybę, svarbu suprasti nepriklausomų įvykių sąvoką. Du įvykiai laikomi nepriklausomais, kai vieno įvykis neturi įtakos kito įvykimui.
Norint apskaičiuoti dviejų nepriklausomų įvykių tikimybę, tiesiog padauginkite kiekvieno atskiro įvykio tikimybes. Tai yra, jei A ir B yra du nepriklausomi įvykiai, abiejų įvykimo tuo pačiu metu tikimybė apskaičiuojama pagal formulę P(A ir B) = P(A) * P(B).
Pavyzdžiui, jei tikimybė, kad tam tikrą dieną lis, yra 30 % (P(A) = 0.3), o tikimybė, kad tą pačią dieną kažkas naudosis skėčiu, yra 40 % (P(B) = 0.4), tai tikimybė, kad tuo pačiu metu lis ir kažkas naudosis skėčiu, yra 30 % * 40 % = 12 %.
Pasipraktikavimui išspręskime uždavinį. Jei futbolo komandos laimėjimo tikimybė yra 60 %, o lietaus tikimybė rungtynių dieną yra 20 %, kokia tikimybė, kad komanda laimės rungtynes, o rungtynių dieną lis? Naudojant formulę P(A ir B) = P(A) * P(B), gauname, kad atsakymas yra 60 % * 20 % = 12 %.
Tai paprastas ir efektyvus būdas apskaičiuoti nepriklausomų įvykių tikimybę.
Įvykių nepriklausomumo konkrečiose porose analizė.
Įvykių nepriklausomumo konkrečiose porose analizė yra svarbi tikimybių teorijos dalis. Du įvykiai laikomi nepriklausomais, kai vieno įvykis neturi įtakos kito įvykimo tikimybei. Norėdami parodyti įvykių nepriklausomumą konkrečiose porose, galime naudoti sąlyginės tikimybės apibrėžimą.
Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai abiejų įvykių įvykimo tuo pačiu metu tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio individualių tikimybių sandaugai. Tai yra, P(A ir B) = P(A) * P(B).
Klasikinis nepriklausomų įvykių pavyzdys yra monetos metimas ir kauliuko ridenimas. Tikimybė, kad ant monetos iškris herbas, neturi jokios įtakos tikimybei, kad ant kauliuko iškris konkretus skaičius.
Norėdami praktikuotis analizuoti įvykių nepriklausomumą konkrečiose porose, galime išspręsti keletą uždavinių. Pavyzdžiui, apskaičiuokite tikimybę, kad dviejuose iš eilės einančiuose įvykiuose iš kortų kaladės be pakeitimo bus ištrauktas tūzas. Įvykiai yra nepriklausomi, nes tūzo ištraukimo tikimybei antrajame įvykyje neturi įtakos tai, kad tūzas buvo ištrauktas pirmajame įvykyje.
Norint atlikti tikslius skaičiavimus ir priimti pagrįstus sprendimus neapibrėžtose situacijose, būtina žinoti, kaip atpažinti nepriklausomus įvykius.
Nepriklausomi įvykiai: demonstravimas, pavyzdžiai, pratimai
Du įvykiai yra nepriklausomi , kai vieno iš jų įvykimo tikimybei įtakos neturi tai, ar įvyks kitas, ar ne, atsižvelgiant į tai, kad šie įvykiai įvyksta atsitiktinai.
Ši aplinkybė susidaro tada, kai procesas, sukeliantis 1 įvykio rezultatą, jokiu būdu nekeičia 2 įvykio galimų rezultatų tikimybės. Tačiau jei taip neįvyksta, sakoma, kad įvykiai yra priklausomi.
Nepriklausomų įvykių situacija yra tokia: tarkime, kad ridenami du šešiakampiai kauliukai, vienas mėlynas ir vienas rožinis. Tikimybė, kad mėlynas kauliuko rezultatas bus 1, nepriklauso nuo tikimybės, kad rožinis kauliuko rezultatas bus 1 arba ne.
Kitas dviejų nepriklausomų įvykių pavyzdys yra monetos metimas du kartus iš eilės. Pirmojo metimo rezultatas nepriklausys nuo antrojo rezultato ir atvirkščiai.
Pažvelkime į šį įvykių pavyzdį nepriklausomas Maišelis su dviem baltais ir dviem juodais kamuoliukais. Tikimybė ištraukti baltą arba juodą kamuoliuką iš pirmo karto yra tokia pati.
Tarkime, kad rezultatas buvo baltas kamuoliukas. Jei ištrauktas kamuoliukas įdedamas atgal į maišelį, pradinė situacija kartojasi: du balti kamuoliukai ir du juodi kamuoliukai.
Taigi, antro įvykio arba lygiųjų atveju balto arba juodo kamuoliuko ištraukimo tikimybė yra tokia pati kaip ir pirmą kartą. Todėl tai yra nepriklausomi įvykiai.
Tačiau jei per pirmąjį įvykį ištrauktas baltas kamuoliukas nėra atstatomas, antrojo traukimo metu yra didesnė tikimybė, kad ištrauktas juodas kamuoliukas. Tikimybė, kad per antrąjį traukimą vėl bus ištrauktas baltas kamuoliukas, skiriasi nuo pirmojo įvykio ir priklauso nuo ankstesnio rezultato.
Dviejų nepriklausomų įvykių demonstravimas
Norėdami patikrinti, ar du įvykiai yra nepriklausomi, apibrėšime vieno įvykio sąlyginės tikimybės sąvoką kito įvykio atžvilgiu. Tam turime atskirti išimtinius ir įtraukiuosius įvykius:
Du įvykiai yra išskirtiniai, jei galimos įvykio A reikšmės arba elementai neturi nieko bendro su įvykio B reikšmėmis arba elementais.
Todėl dviejų išskirtinių įvykių atveju A ir B sankirtos aibė yra tuščia:
Išskirti įvykiai: A∩B = Ø
Ir atvirkščiai, jei įvykiai yra įtraukūs, gali atsitikti taip, kad įvykio A rezultatas sutampa su kito įvykio B rezultatu, o A ir B yra skirtingi įvykiai. Šiuo atveju:
Įtraukiantys įvykiai: A∩B ≠ Ø
Tai leidžia mums apibrėžti dviejų įtraukiančių įvykių sąlyginę tikimybę, t. y. įvykio A tikimybę, kai įvyksta įvykis B:
P(A¦B) = P(A∩B) / P(B)
Todėl sąlyginė tikimybė yra tikimybė, kad įvyks ir A, ir B, padalyta iš tikimybės, kad įvyks B. Taip pat galite apibrėžti tikimybę, kad B įvyks su sąlyga, kad A įvyks:
P(B¦A) = P(A∩B) / P(A)
Kriterijai, skirti nustatyti, ar du įvykiai yra nepriklausomi
Žemiau pateiksime tris kriterijus, pagal kuriuos nustatoma, ar du įvykiai yra nepriklausomi. Pakanka, kad būtų įvykdytas vienas iš trijų, kad būtų įrodytas įvykių nepriklausomumas.
1. Jei įvykio B įvykimo tikimybė yra lygi įvykio A tikimybei, tai jie yra nepriklausomi įvykiai:
P(A¦B) = P(A) => A nepriklauso nuo B
2. Jei įvykio B tikimybė, turint A, yra lygi įvykio B tikimybei, tada yra nepriklausomi įvykiai:
P(B¦A) = P(B) => B nepriklauso nuo A
3. Jei įvykių A ir B įvykimo tikimybė yra lygi įvykių A ir B įvykimo tikimybės sandaugai, tai šie įvykiai yra nepriklausomi. Taip pat teisinga ir atvirkštinė versija.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A ir B yra nepriklausomi įvykiai.
Nepriklausomų įvykių pavyzdžiai
Lyginami dviejų skirtingų tiekėjų pagaminti guminiai padai. Kiekvieno gamintojo pavyzdžiai yra tikrinami keliais bandymais, siekiant nustatyti, ar jie atitinka specifikacijas.
Gauta 252 pavyzdžių santrauka yra tokia:
1 gamintojas; 160 atitinka specifikacijas; 8 neatitinka specifikacijų.
2 gamintojas; 80 atitinka specifikacijas; 4 neatitinka specifikacijų.
Įvykis A: „Kad pavyzdys priklauso gamintojui 1“.
B įvykis: „Kad pavyzdys atitiktų specifikacijas.“
Norime sužinoti, ar šie įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tam taikome vieną iš trijų ankstesniame skyriuje paminėtų kriterijų.
Kriterijai: P(B¦A) = P(B) => B nepriklauso nuo A
P(B) = 240/252 = 0,9523
P(B¦A) = P(A ⋂ B) / P(A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Išvada: Įvykiai A ir B yra nepriklausomi.
Tarkime, įvykis C: „kad pavyzdys yra iš 2-ojo gamintojo“
Ar įvykis B bus nepriklausomas nuo įvykio C?
Mes taikome vieną iš kriterijų.
Kriterijai: P(B¦C) = P(B) => B nepriklauso nuo C
P(B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P(B)
Todėl, remiantis turimais duomenimis, atsitiktinai parinkto guminio pado atitikimo specifikacijoms tikimybė nepriklauso nuo gamintojo.
Pratimai
– 1 pratimas
Į dėžutę dedame 10 rutuliukų, pavaizduotų 1 paveiksle, iš kurių 2 yra žali, 4 mėlyni ir 4 balti. Atsitiktinai parenkami du rutuliukai – vienas iš pradžių, o kitas – vėliau. Jūsų prašoma rasti
tikimybė, kad nė vienas iš jų nėra mėlynas, esant šioms sąlygoms:
a) Su pakeitimu, t. y. grąžinant pirmąjį rutuliuką į dėžutę prieš antrąjį pasirinkimą. Nurodykite, ar tai nepriklausomi, ar priklausomi įvykiai.
b) Be grąžinimo, kad pirmasis ištrauktas rutuliukas būtų už dėžutės ribų, kai atliekamas antrasis pasirinkimas. Taip pat nurodykite, ar tai priklausomi, ar nepriklausomi įvykiai.
Sprendimas
Apskaičiuojame tikimybę, kad pirmasis ištrauktas rutuliukas nėra mėlynas, kuri yra 1 minus tikimybė, kad jis bus mėlynas P(A), arba tiesiogiai, kad jis nėra mėlynas, nes buvo žalias arba baltas:
P(A) = 4/10 = 2/5
P (ne mėlyna) = 1 – (2/5) = 3/5
Gerai:
P (žalia arba balta) = 6/10 = 3/5.
Jei ištrauktas rutuliukas bus grąžintas, viskas liks kaip anksčiau. Antrojo ištraukimo metu taip pat yra 3/5 tikimybė, kad ištrauktas rutuliukas nebus mėlynas.
P(ne mėlyna, ne mėlyna) = (3/5).(3/5) = 25/9.
Įvykiai yra nepriklausomi, nes ištrauktas marmuras buvo grąžintas į dėžę, o pirmasis įvykis neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.
Sprendimas b
Pirmą kartą traukdami, atlikite veiksmus, kaip ir ankstesniame skyriuje. Tikimybė, kad jis nebus mėlynas, yra 3/5.
Antram ištraukimui maišelyje turime 9 rutuliukus, nes pirmasis negrįžo, bet jis nebuvo mėlynas; todėl maišelyje yra 9 rutuliukai ir 5 ne mėlyni:
P (žalia arba balta) = 5/9.
P(nė vienas nėra mėlynas) = P(pirmas ne mėlynas). P(antras ne mėlynas / pirmas nebuvo mėlynas) = (3/5). (5/9) = 1/3
Šiuo atveju tai nėra nepriklausomi įvykiai, nes pirmasis įvykis sąlygoja antrąjį.
– 2 pratimas
Parduotuvėje yra 15 marškinėlių, kurių kiekvienas yra trijų dydžių: 3 maži, 6 vidutiniai ir 6 dideli. Atsitiktinai parenkami 2 marškinėliai.
a) Kokia tikimybė, kad abu pasirinkti marškinėliai bus maži, jei vieni išimami pirmiausia ir kiti nepakeičiami?
b) Kokia tikimybė, kad abu pasirinkti marškinėliai bus maži, jei vieni išimami pirmiausia, pakeičiami partijoje, o antrieji išimami?
Sprendimas
Štai du įvykiai:
Įvykis A: Pirmieji pasirinkti marškinėliai yra mažo dydžio
B įvykis: Antrieji pasirinkti marškinėliai yra mažo dydžio
Įvykio A tikimybė yra: P(A) = 3/15
Įvykio B tikimybė yra: P(B) = 2/14, nes vieni marškinėliai jau nuimti (liko 14), bet įvykis taip pat turi įvykti. Pirmieji nuimti marškinėliai turi būti maži, o maži liko 2.
Kitaip tariant, tikimybė, kad A ir B yra tikimybių sandauga, yra:
P(A ir B) = P(B¦A) P(A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Todėl įvykių A ir B tikimybė yra lygi įvykio A ir įvykio B tikimybės sandaugai, jei įvykis A įvykis įvyks.
Atkreipkite dėmesį, kad:
P (B¦A) = 2/14
Įvykio B tikimybė, nepriklausomai nuo to, ar įvykis A įvyks, ar ne, bus:
P(B) = (2/14), jei pirmasis yra mažas, arba P(B) = 3/14, jei pirmasis nėra mažas.
Apskritai galima daryti tokias išvadas:
P(B¦A) nėra lygus P(B) => B nėra nepriklausomas nuo A
Sprendimas b
Vėlgi, yra du įvykiai:
Įvykis A: Pirmieji pasirinkti marškinėliai yra mažo dydžio
B įvykis: Antrieji pasirinkti marškinėliai yra mažo dydžio
P (A) = 3/15
Atminkite, kad bet kokiu atveju, iš partijos pašalinti marškinėliai yra pakeičiami, ir vėl marškinėliai atsitiktinai pašalinami. Įvykio B tikimybė, jei įvyktų įvykis A, yra:
P (B¦A) = 3/15
Įvykių A ir B tikimybė bus:
P(A ir B) = P(B¦A) P(A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Prisimink tai:
P(B¦A) yra lygus P(B) => B nepriklauso nuo A.
– 3 pratimas
Panagrinėkime du nepriklausomus įvykius A ir B. Yra žinoma, kad įvykio A tikimybė yra 0,2, o įvykio B tikimybė – 0,3. Kokia bus abiejų įvykių tikimybė?
2 sprendimas
Žinant, kad įvykiai yra nepriklausomi, žinoma, kad abiejų įvykių tikimybė yra atskirų tikimybių sandauga. Kitaip tariant,
P(A∩B) = P(A), P(B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Atkreipkite dėmesį, kad tai yra daug mažesnė tikimybė nei tikimybė, kad kiekvienas įvykis įvyks nepriklausomai nuo kito įvykio baigties. Kitaip tariant, daug mažesnė nei individualios tikimybės.
Nuorodos
- Berenson, M. 1985. Administravimo ir ekonomikos statistika. „Interamericana SA“ 126–127.
- Monterėjaus institutas. Nepriklausomų įvykių tikimybė. Gauta iš: monterreyinstitute.org
- Nepriklausomi matematikos mokytojų renginiai. Gauta iš: youtube.com
- „Superprof“ įvykių tipai, priklausomi įvykiai. Gauta iš: superprof.es
- Virtualus korepetitorius Tikimybė Gauta iš: vitutor.net
- Vikipedijos nepriklausomybė (tikimybė). Gauta iš: wikipedia.com