Kādas ir varbūtības aksiomas? Pilns skaidrojums.

Sākums » Zinātne » Matemātika » Statistika » Kādas ir varbūtības aksiomas? Pilns skaidrojums.

Jautājums "kādas ir varbūtības aksiomas?" šķiet vienkāršs, taču atbilde noved pie ļoti stabilas matemātiskas konstrukcijas., kas tika stingri organizēta 20. gadsimtā, pateicoties Andreja Kolmogorova darbam. Šīs aksiomas ir praktiski visas mūsdienu varbūtību teorijas pamatā, sākot no azartspēļu izpētes līdz sarežģītiem statistikas modeļiem, ko izmanto datu zinātnē, finansēs un inženierzinātnēs.

Pirms tam Kolmogorova formalizācijaToreiz varbūtība tika saprasta intuitīvāk, saistot to ar frekvences vai nejaušības ideju.Un dažādi matemātiķi izmantoja dažādas interpretācijas. Mūsdienās, runājot par varbūtības aksiomām, mēs domājam minimālu noteikumu kopumu, kam jāpakļaujas jebkurai varbūtības funkcijai, lai mēs varētu veikt saskaņotus aprēķinus, izvairīties no pretrunām un konstruēt spēcīgas teorēmas.

Pamata intuīcija: nejauša pieredze un notikumi

Lai izprastu varbūtības aksiomas, pirmais solis ir zināt, kas ir nejaušs eksperiments un ko mēs saucam par notikumu.Nejaušs eksperiments ir jebkura procedūra, kuras iznākumu nevar paredzēt ar pārliecību, pat ja mēs zinām visus iespējamos rezultātus; klasiski piemēri ir monētas mešana vai kauliņa ripināšana.

Izlases telpu, ko parasti apzīmē ar Ω, mēs saucam par visu iespējamo šī eksperimenta rezultātu kopu.Piemēram, ja mēs metam monētu, izlases telpu var uzrakstīt kā Ω = {H, T}, kur H apzīmē "galvas" un T apzīmē "astes". Katru Ω elementu sauc par elementāru iznākumu.

Notikums ir jebkura Ω apakškopa, kuru mēs vēlamies novērot.Tādējādi, ja eksperiments ir monētas mešana, kopa {H} ir notikums "uzkrīt ģerbonis", kopa {T} ir notikums "uzkrīt astes", un pati Ω ir notikums "uzkrīt ģerbonis vai astes", tas ir, noteikts notikums.

Daži notikumi ir īpaši svarīgi: neiespējamais notikums, elementārais notikums un drošais notikums.Tukša kopa ∅ apzīmē neiespējamo notikumu, jo tā nesatur iznākumu; kopa ar vienu elementu {ω}, kur ω ir Ω, apzīmē elementāru notikumu; un pati Ω ir drošais notikums, tas, kas vienmēr notiek, veicot eksperimentu.

Kopu teorijas valoda ir ļoti noderīga varbūtības pētīšanā.Ja A un B ir notikumi, tad A ∩ B apzīmē A un B vienlaicīgu rašanos, A ∪ B apzīmē vismaz viena no tiem rašanos un A papildinājums, bieži rakstīts kā ̄A vai Ω \ A, apzīmē “A nepastāvību”. Šī apzīmējuma un kopu īpašības tiks izmantotas tieši aksiomu formulējumā.

Varbūtības jēdziena interpretācijas

Lai gan Kolmogorova aksiomas nodrošina varbūtības matemātisko pamatu, pašu vārdu "varbūtība" var interpretēt dažādi.Vēsturiski ir radušās dažādas interpretācijas par to, ko nozīmē piešķirt notikumam A skaitli P(A).

Laplasa klasiskajā interpretācijā, kas ir derīga galīgām telpām ar vienādi varbūtīgiem rezultātiem, A varbūtība ir attiecība starp labvēlīgo gadījumu skaitu un iespējamo gadījumu skaitu.Ja izlases telpā ir n vienlīdz ticami iznākumi (t. i., #Ω = n) un notikums A satur n_A no šiem iznākumiem (#A = n_A), tad varbūtību izsaka ar P(A) = n_A / n. Šī formula ir diezgan intuitīva, ja visiem iznākumiem ir vienāda iespējamība iestāties.

Jau frekventistu interpretācija Tas saista varbūtību ar relatīvo biežumu, kas novērots eksperimenta atkārtojumos.No šī viedokļa mēs atkārtojam nejaušo eksperimentu n reizes un saskaitām, cik reižu notiek notikums A, saucot šo skaitli par n_A; pēc tam, pieaugot n, aplūkojam daļskaitļa n_A / n robežu. A varbūtība būtu P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), ja vien šī robeža pastāv.

Pastāv arī subjektīvā interpretācija, ko plaši izmanto Beijesa statistikā, kurā varbūtība ir saistīta ar racionāla subjekta ticības pakāpi.Šajā pieejā P(A) kvantificē, cik pārliecināts kāds ir par A notikuma iestāšanos, ņemot vērā pieejamās zināšanas. Varbūtību "nes" nevis pieredze, bet gan subjekts, kurš sakarīgi novērtē nenoteiktību.

Neskatoties uz šīm dažādajām interpretācijām, tās visas var pastāvēt līdzās Kolmogorova aksiomatiskajā ietvarā.Citiem vārdiem sakot, neatkarīgi no tā, vai dodat priekšroku klasiskajam, frekventiskajam vai subjektīvajam viedoklim, galu galā varbūtību matemātiski modelēs funkcija P, kas pakļaujas nelielam aksiomu kopumam par notikumu telpu.

Formāla konstrukcija: varbūtību telpas un σ-algebras

Kolmogorovs aprakstīja varbūtību ar trijnieka (Ω, F, P) palīdzību, ko sauc par varbūtības telpu.Šajā trijniekā Ω ir izlases telpa, F ir iespējamo notikumu kopa (tehniski Ω apakškopu σ-algebra) un P ir varbūtības funkcija.

Σ-algebra F ir īpaša Ω apakškopu kopa, kas atbilst dažām īpašībām.Vispārīgi runājot, F ir jāietver tukša kopa, tai jābūt slēgtai pret papildinājumu (ja A atrodas F, tad tās papildinājums atrodas arī F) un slēgtai pret saskaitāmām apvienojumiem (ja A₁, A₂, ... atrodas F, tad visu to apvienojums atrodas arī F). Šī struktūra nodrošina, ka mēs varam strādāt ar kopu darbībām, neizejot no notikumu kopas, kuriem ir precīzi definēta varbūtība.

Formāli F ir σ-algebra virs Ω, ja: Tukšā kopa ∅ pieder kopai F; ja A atrodas kopā F, tad A papildinājums kopā Ω arī pieder kopai F; un, ja A₁, A₂, … ir (galīga vai saskaitāmi bezgalīga) kopas F elementu virkne, tad apvienojums A₁ ∪ A₂ ∪ … arī atrodas kopā F. Daudzos kontekstos F sauc arī par Borela lauku vai σ-lauku.

Varbūtības funkcija P ir definēta funkcijā F un katram notikumam E funkcijā F piešķir nenegatīvu reālu skaitli.Tad mēs sakām, ka P(E) atrodas ℝ un P(E) ≥ 0 visiem E F. Vispārīgajā mēru teorijā mēri var iegūt bezgalīgas vērtības, bet standarta varbūtību teorijā P(E) vienmēr ir galīgs, kas rada dažas atšķirības attiecībā pret vispārīgākiem mēriem.

Šo struktūru (Ω, F, P) ar P(Ω) = 1 mēs saucam par varbūtības telpu.Nosacījums P(Ω) = 1 ir būtisks, jo tas atspoguļo ideju, ka, veicot eksperimentu, noteikti rodas kāds rezultāts Ω; ārpus parauga telpas nav "slēptu rezultātu".

Kolmogorova trīs aksiomas

Kolmogorova aksiomatiskā teorija balstās uz trim fundamentālām aksiomām, kurām jāatbilst jebkurai varbūtības funkcijai.Tos ir vienkārši formulēt, taču tie ir ārkārtīgi spēcīgi, jo no tiem ir atvasinātas praktiski visas parastās varbūtības īpašības.

Pirmā aksioma — nenegatīvums: Jebkuram notikumam A, kas pieder σ-algebrai F, mums ir P(A) ≥ 0. Tas nozīmē, ka varbūtības nekad nav negatīvas. Dažās eksotiskākās teorijās tiek runāts par "negatīvām varbūtībām", taču šīs idejas atšķiras no Kolmogorova klasiskā ietvara.

Otrā aksioma — Normalizācija: Noteikta notikuma varbūtība ir vienāda ar 1, tas ir, P(Ω) = 1. Šī aksioma nosaka konvenciju, ka 1 atbilst 100% noteiktībai, bet 0 atbilst neiespējamībai. Vienkāršākās versijās šo aksiomu var saprast arī kā tādu, kas visu Ω elementāro iznākumu varbūtību summu ir vienāda ar 1.

Trešā aksioma — σ-additivitāte: Ja A₁, A₂, … ir pāri nesavienotu (sauktu arī par savstarpēji izslēdzošiem) notikumu virkne, tad P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Tas attiecas gan uz galīgu, gan saskaitāmi bezgalīgu notikumu kopumu. Šī saskaitāmās aditivitātes īpašība ir galvenā atšķirība salīdzinājumā ar vienkāršu galīgu aditivitāti.

Vienkāršākos kontekstos daži autori strādā tikai ar galīgu aditivitāti., pieprasot, lai P(A ∪ B) = P(A) + P(B) nesavienotiem notikumiem A un B, un lai tas attiecas uz galīgu kopu skaitu. Šajā gadījumā pietiek strādāt ar kopu algebru, ne obligāti ar σ-algebru, bet standarta pieeja mūsdienu varbūtības aditivitātes pieprasīšanai.

No šīs trešās aksiomas izriet vairākas svarīgas sekas, piemēram, vienādības, nevienādības un varbūtības likumi.Viņš ir arī varbūtību un mēru teorijas saiknes centrā, kas diezgan vispārīgi pēta mērus kopās.

No aksiomām atvasinātās īpašības

Balstoties uz Kolmogorova trim aksiomām, mēs varējām pierādīt vairākas pamata un ārkārtīgi noderīgas īpašības.Šīs īpašības netiek pieņemtas iepriekš: tās ir loģiskas aksiomu sekas.

Viena no pirmajām īpašībām ir varbūtības monotonitāte.Ja A un B ir notikumi F un A ir ietverts B (A ⊆ B), tad P(A) ≤ P(B). Ideja ir intuitīva: ja B ietver visu, kas var notikt A, un varbūt pat vairāk, tad B varbūtība nevar būt mazāka nekā A.

Vēl viena fundamentāla īpašība ir tā, ka neiespējama notikuma varbūtība ir nulle.No formālā viedokļa, izmantojot σ-additivitāti, mēs aplūkojam virkni, kur E₁ = A, E₂ = B \ A un Eᵢ = ∅, ja i ≥ 3, scenārijā, kur A ⊆ B. Tā kā Eᵢ ir nesavienotas un to apvienojums ir B, varbūtību summai ir jākonverģē uz P(B). Ja mēs pieņemam, ka P(∅) = a > 0, tad P(∅) summa bezgalīgi daudzas reizes pieaugtu līdz bezgalībai, kas nav savienojams ar galīgo P(B). Līdz ar to mēs secinām, ka P(∅) = 0.

Tāpēc jebkuram notikumam E funkcijā F varam formulēt nevienādību 0 ≤ P(E) ≤ 1.No pirmās aksiomas mēs jau zinājām, ka P(E) ≥ 0. Zinot, ka P(Ω) = 1, un izmantojot monotonitāti ar E ⊆ Ω, izriet, ka P(E) ≤ P(Ω) = 1. Tādējādi katra varbūtība vienmēr ir starp 0 un 1 (ieskaitot).

Bieži izmantota identitāte ir tā sauktais aditīvais likums jebkuriem diviem notikumiem.Notikumiem A un B formulā F ir spēkā, ka P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Šī formula izlabo kopīgā notikuma A ∩ B "dubulto skaitīšanu", kas tiek summēta divreiz, ja P(A) un P(B) tiek summēti bez korekcijas.

Vēl viena svarīga sekas ir saistība starp notikumu un tā papildinājumu.Ja A papildinājumu apzīmējam ar ̄A, tad P(̄A) = 1 − P(A). Šī vienādība pauž domu, ka "vai nu A notiek, vai A nenotiek", un Ω ietvaros nav citas iespējas.

No tā arī kļūst skaidrs, ka P(A) = 0 ne vienmēr nozīmē, ka A ir neiespējamais notikums.Matemātiskā izteiksmē ir iespējams, ka notikumam ir nulles varbūtība, nebūdams tukšs kopums (tas parādās, piemēram, nepārtrauktās telpās), bet visvienkāršākajā līmenī P(A) = 0 parasti ir saistīts ar praktiski neiespējamiem notikumiem.

Praktisks piemērs: monētas mešana

Klasisks un ļoti didaktisks piemērs Kolmogorova aksiomu vizualizēšanai ir monētas mešana.Pieņemsim, ka sākumā monēta var nonākt tikai uz "cilvēka" (H) vai "astes" (T), un ka šie ir vienīgie iespējamie iznākumi.

Tad mēs definējam izlases telpu kā Ω = {H, T}Iespējamie notikumi veido σ-algebru F, kas sastāv no {∅, {H}, {T}, {H, T}}. Šajā kontekstā neiespējamais notikums ir ∅, elementārie notikumi ir {H} un {T}, un drošais notikums ir {H, T}.

No Kolmogorova aksiomām mēs zinām, ka P(∅) = 0 un P(Ω) = 1Ja pieņemam, ka monēta ir taisnīga, tas ir, tā nedod priekšroku nevienai no pusēm, tad simetrija liek domāt, ka P({H}) = P({T}). Tā kā summai P({H}) + P({T}) jābūt vienādai ar 1, mēs secinām, ka abas ir 1/2 vērtas.

Tāpēc varbūtība iegūt "cilvēku vai asti" ir P({H, T}) = 1"Galvas" iegūšanas varbūtība ir P({H}) = 1/2, un "astes" iegūšanas varbūtība ir P({T}) = 1/2. Elementāro notikumu varbūtību summa izsmeļ telpas kopējo varbūtību.

Šis modelis, lai arī vienkāršs, ilustrē, kā aksiomas uzvedas praksē un kā tās novērš neatbilstības varbūtību aprēķinos.Ja mēs rūpīgi nedefinēsim izlases telpu, mēs varam pieļaut nopietnas kļūdas, jo jebkurš notikums vienmēr ir Ω apakškopa; ja apakškopa neietilpst Ω, tā varbūtība pat nav definēta.

Varbūtība galīgās un saskaitāmās telpās

Ja izlases telpa ir galīga vai saskaitāma, varbūtību var aprakstīt ļoti konkrētā veidā.Pieņemsim, ka Ω = {ω₁, ω₂, …} ir galīga jeb saskaitāma iespējamo iznākumu kopa.

Ja A ir notikums, kas satur dažus no šiem rezultātiem, piemēram, A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Tāpēc A varbūtību var uzskatīt par atbilstošo elementāro notikumu varbūtību summu: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Šis ir tiešs aditivitātes (vai σ-additivitātes) pielietojums nesavienotām kopām.

Konkrētajā gadījumā, kad izlases telpa ir galīga, kur #Ω = n, un visi rezultāti ir vienādi ticamiMums ir P({ωᵢ}) = 1/n katram i. Ja A satur k atšķirīgus rezultātus Ω, tad P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Šī ir tieši klasiskā Laplasa formula, kas pārinterpretēta mūsdienu aksiomatiskajā ietvarā.

Kad izlases telpa ir saskaitāmi bezgalīga, elementāro notikumu varbūtību summai joprojām ir jākonverģē uz 1.Tas ir, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Šeit σ-additivitāte parāda savu spēku, ļaujot mums strādāt ne tikai ar galīgām summām, bet arī ar bezgalīgu notikumu virkni.

Nosacītā varbūtība un aksiomu loma.

Teorijas centrālais aspekts ir izpratne par to, kā mainās varbūtība, kad zinām, ka noteikts notikums jau ir noticis.Šeit noder nosacītā varbūtība, ko parasti rakstā kā P(A | B), kas nozīmē "A varbūtība, ņemot vērā, ka B ir noticis".

Nosacītās varbūtības pamatformula ir P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), ar nosacījumu, ka P(B) > 0Šī definīcija atbilst Kolmogorova aksiomām, un faktiski katram B, kur P(B) > 0, funkcija A ↦ P(A | B) atkal apmierina visas trīs aksiomas, ja notikumu telpu ierobežojam līdz B.

Tas nozīmē, ka P(· | B) pati par sevi ir varbūtības funkcija “jaunajā” izlases telpā B.Tā rezultātā nosacītajām varbūtībām ir spēkā visas pamatīpašības: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, nosacītā monotonitāte (ja A₁ ⊆ A₂, tad P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) un formula P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Svarīgā sakarība P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), kad P(A) > 0, arī izriet no nosacītās varbūtības definīcijas.Simetriski mēs varam rakstīt P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), ar nosacījumu, ka P(B) > 0. Šīs vienādības palīdz sadalīt kopīgās varbūtības un ir pamats vairākiem rezultātiem, piemēram, Beijesa teorēmai.

Interesanti atzīmēt, ka "beznosacījuma" varbūtību var uzskatīt par nosacītas varbūtības īpašu gadījumu.Patiešām, mēs varam rakstīt P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), jo P(Ω) = 1. Tas pastiprina domu, ka konceptuāli visa varbūtība ir atkarīga no kādas fona informācijas, pat ja tās ir tikai zināšanas, ar kurām mēs strādājam Ω ietvaros.

Notikumu neatkarība

Vēl viens svarīgs jēdziens, kas balstās uz aksiomām, ir notikumu neatkarība.Divi notikumi A un B ir neatkarīgi, ja viena notikuma iestāšanās nemaina otra notikuma varbūtību.

Formālā valodā A un B ir neatkarīgi, ja P(A ∩ B) = P(A) un P(B)Nosacītās varbūtības izteiksmē tas nozīmē, ka, ja P(B) > 0, tad P(A | B) = P(A), un, ja P(A) > 0, tad P(B | A) = P(B). Tas nozīmē, ka zināšanas par B notikuma esamību nemaina A notikuma varbūtību un otrādi.

Katrs notikums ir neatkarīgs no neiespējamā notikuma ∅ un noteiktā notikuma Ω.Tukšai kopai P(A ∩ ∅) = 0 un P(∅) = 0, tātad sakarība triviāli ir spēkā. Noteiktam notikumam P(A ∩ Ω) = P(A) un P(Ω) = 1, tāpēc P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Bieži uzdots jautājums ir, vai divi savstarpēji nesaistīti notikumi var būt neatkarīgi.Vispārīgi runājot, ja A un B ir savstarpēji nesaistīti un abiem ir pozitīva varbūtība, tad P(A ∩ B) = 0, bet P(A) P(B) > 0, kas pārkāpj neatkarības definīciju. Tādējādi daudzos gadījumos divi savstarpēji nesaistīti notikumi ar varbūtību, kas nav nulle, nav neatkarīgi, jo viena no tiem iestāšanās izslēdz otra iespējamību.

Strādājot ar vairāk nekā diviem notikumiem, rodas vairāki dažādi neatkarības jēdzieni.Mums var būt pāru neatkarība, kopīga neatkarība un citi veidi. Tomēr visos šajos gadījumos sākumpunkts joprojām ir sakarība P(A ∩ B) = P(A) P(B), kuras pamatā ir Kolmogorova aksiomas un nosacītās varbūtības definīciju.

Praktiskie noteikumi un klasiskie varbūtības likumi

Papildus formālajām īpašībām aksiomas ļauj formulēt operacionālākus likumus, kas ir noderīgi ikdienas darbā tiem, kas veic varbūtību aprēķinus.Viens no tiem ir tā sauktais saskaitīšanas likums, kas jau minēts formā P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ko var attiecināt uz lielāku notikumu skaitu, izmantojot iekļaušanas-izslēgšanas principu.

Vēl viens bieži izmantots noteikums ir saistība starp notikumu un tā "ārējo" daļu citā notikumā.A un B elementiem F ir spēkā sekojošais: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Tas vienkārši sadala A divās daļās: daļā, kas rodas kopā ar B (A ∩ B), un daļā, kas rodas bez B (A ∩ ̄B). Šīs divas daļas ir atdalītas, un to apvienojums ir A, kas noved pie iepriekšējās vienādības, izmantojot aditivitāti.

Pilnīgās varbūtības likums un Bejesa teorēma, lai gan šeit nav pilnībā detalizēti aprakstīti, arī tieši balstās uz aksiomām.Pilnīgās varbūtības likums apvieno nosacītās varbūtības izlases telpas sadalījumā, savukārt Bejesa teorēma "invertē" nosacītās varbūtības, ļaujot atjaunināt varbūtības, pamatojoties uz jauniem pierādījumiem.

Didaktiskās versijās ir uzskaitītas arī dažas viegli iegaumējamas "praktiskas aksiomas".Piemēram: maksimālā varbūtība ir 1 (100%); visu izlases telpas elementu varbūtību summa ir vienāda ar 1; un notikuma X varbūtība, pieskaitīta "ne X" varbūtībai, vienmēr ir 1. Šie apgalvojumi ir tieši formālo aksiomu atspoguļojumi.

Ar šo likumu kopumu kļūst iespējams risināt problēmas, sākot no vienkāršām azartspēlēm līdz sarežģītiem modeļiem ar daudziem mainīgajiem.Lielā priekšrocība ir tā, ka aiz visām formulām un aprēķinu trikiem loģiskais atbalsts joprojām ir tas pats aksiomātiskais trijkājis.

Kolmogorova varbūtības aksiomas nodrošina stingru, bet elastīgu pamatu nenoteiktības risināšanai.Balstoties uz trim vienkāršiem principiem — nenegatīvismu, normalizāciju un σ-additivitāti —, ir konstruēta vesela bagāta teorija, kas spēj iekļaut klasiskās, frekventistiskās un subjektīvās interpretācijas, apstrādāt galīgas vai bezgalīgas telpas, aprakstīt nosacītas varbūtības un neatkarību, kā arī atbalstīt pielietojumu praktiski visās zinātnes un tehnoloģiju jomās.