Matemātisku attiecību tipi mainīguma dēļ: teorija, pārbaude un pielietojumi

Sākums » Nekategorizēts » Padomi par matemātiskām attiecībām starp mainīgajiem: teorija, testēšana un pielietojumi

Capire che type di legam c'è tra due variabili è una delle domande più frequencyi in statistica applicata, scienza dei dati e ricerca sperimentale e ricerca quantitative . Citādi attiecības ir lineāras un vienmēr ir kogliere daļa, cits atpakaļceļš ir monotons, bet nelineārs, oppure coinvolge kategorija un non numeri, enkurs ir atkarīgs no trešā mainīgā, kas confonde le acque: insomma, non è una passeggiata.

Šajā praktiskajā un teorētiskajā rokasgrāmatā itāļu valodā mēs organiskā režīmā aplūkojam galveno matemātisko sakarību starp mainīgajiem lielumus , piemēram, vizuālu diagnostiku un formālu testu, izmantojot kvalitatīvos koeficientus (Pīrsons, Spīrmens, Kendals), ar vairākiem mainīgajiem lielumiem (neatkarības hi-kvadrāts, Fišera noteiktais tests, V di Krāmera tests, nejaušības koeficients, fi), kā es piekrītu vērtībai ar Kappa un kā pārvaldīt vienošanās mainīgumu , lai apstrādātu korelāciju starp mainīgajiem lielumiem. Es vēlos sasniegt sakarību algebras (siemistiskā un skaitļošanas nozīmē) labāko variantu , kas ir būtisks tādu jēdzienu kā domēns, kompozīcija, inversa un funzioni formalizācijai.

Ko mēs vēlamies “relazione” ziņā mainīguma dēļ

Matemātiskajā valodā attiecības R starp A un B ir Dekarta prodota A×B sottoinsieme : kopiju ordināta (a, b), kas redzama R, norāda, ka elements a di A ir “attiecībā” ar elementu b di B. In termini applicati, attiecības può essere deterministica (funzione ) pirmajā gadījumā ad ogni a sarakste esattamente un b, otrajā mēs apkalpojām tendenci (più vai mazāk spēcīgu), nevis legam uno-a-uno.

Visas iekšējās algebras attiecības (insīmiskā nozīmē) ir interesantas īpašības, piemēram, bezsimetrija (ogni a è attiecībā pret šo attiecību), simetrija ((a, b) nozīmē (b, a)), antisimetrija (ja (a, b) un (b, a), tad a = b) un tranzitivitāte (da (a, b) un (b, c) seko (a, w)). Šī īpašība ir izšķiroša: ja attiecība ir sarežģīta, simetriska un tranzitīva , tā atklāj ekvivalences attiecību , kas "sadala" A ekvivalences elementu klasēs. Ja attiecība ir bezsimetriska, antisimetriska un tranzitīva, mēs iegūstam kārtas attiecību.

Šajā analīzē mēs tulkojam šo ideju praksē: novērtējot mainīguma veidu (kvantitatīvā kontinua, ordinali, nominali/dicotomiche) e la classificazione nalle statistiche e scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, zinot, ka “relazione” ne vienmēr nozīmē “cēlonis”.

Vizuālā ispezione: ēdiet riconoscere modeli un virzienu

Prima di buttarsi nei numeri, un graphico a dispersione è spesso la demossa più intelligente. Mākonis pa taisnu līniju liecina par lineāru sakarību (pozitīvu vai negatīvu); strukturējiet līkni, norādot nelineāras attiecības (bet monotoni). Ja jūs neieviesīsit modeli, lineārā sakarība var iznīcināt piekrišanu.

Izmantojot mainīgās vērtības, izkliedes diagramma pannelli (un piemērs R ar pairs(dati) ) un smussate tendences līnija (geom_smooth ggplot2) var palīdzēt atzīmēt asociācijas, kopas un novirzes . Uzmanību: gli outlier podeno influenzare moltissimo i coefficienti, suga Pearson.

Piemēram, R valodā jūs varat sākt šādi: pairs(dati)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Pirmā vizuālā pārbaude, kas koriģēta ar skaitli, palīdz uzraudzīt testu, pamatojoties uz formu, monotoniju un šķietamo linearitāti.

Pārbaudiet tā normalitāti: pasniedzot davvero

Parametru tests (kā arī Pīrsona tests) dažos gadījumos pieņem normālu vai simetrisku struktūru bez smaga koda. Per controllare l'ipotesi, si parte spesso da strumenti grafici como istogrammi con densità e QQ-plot.

R valodā minimālais akumulators var ietvert:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Lai salīdzinātu novērotos lielumus ar normālu standartu, QQ diagramma nav uzticama:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

Ņemot to vērā, ja es nevaru izmantot formālo normalitātes testu pierādījumu uzkrāšanai: Kolmogorova–Smirnova tests ar statistiskiem parametriem, Liliforsa, Krāmera–fon Misesa, Šapiro–Vilka, Šapiro–Franss, Andersona–Dārlinga un Pīrsona (hi-kvadro) normalitātes tests.

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Ja es datētu atpakaļ uz normālu līmeni un sakarība ir lineāra , Pīrsona koeficients ir labs scelta prima; pretējā gadījumā ir prātīgi dot priekšroku basate sui ranghi jaukšanai ar Spearman vai Kendall.

Kvantitatīvās mainības saistība: kovariācija un korelācija

Kovariācija starp Problēma ir kovariācija, kas ir atkarīga no jauktās vienības , kas ir maz salīdzināma.

Pīrsona lineārā korelācija atrisina standartizācijas problēmu standartnovirzei: koeficients r mainās no -1 līdz 1, dodot vērtības no ±1, kas norāda uz spēcīgu lineāru sakarību (pozitīvu vai negatīvu), līdz 0, kas norāda uz linearitāti. Uzmanību: r = 0 neizslēdz nelineāras sakarības.

Aprēķins pēc korelācijas R:

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Ja attiecības ir monotonas, bet nelineāras vai ja tās nav normālas (ārējais rādītājs), ir jēga izmantot Spīrmenu (ranghi; robusts un pielāgots vidēji lieliem campioni) vai Kendall τ (basato su concordanze/discordanze; priekšroka ir su campioni piccoli vai con molti pareggi):

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Noderīga ideja: koeficients R² noteikšanai lineārā modelī, neatjaunojot Y mainīgo ātrumu lineāri no X. R modelī:

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

Dihotomijas un kvantitatīvās mainības gadījumā punktu biseriālais koeficients sakrīt ar Pīrsona aprēķinu ar kodētu mainīgo 0/1; praksē cor(dihotomisks, kvantitatīvs) ar metodi = “pīrsona”.

Mainīgās kategorijas: indipendenza, asociācijas stiprums un piccoli campioni

Kad ienāk nominālā vai ordinālā miega mainīgums , sakarība tiek pētīta ar kontingences tabulu (biežums ar doppia klasifikāciju). Tipiskā saistība ir: H0 = indipendenza (nepieciešamā saistība), kontroles H1 = dipendenza.

Atšķirības tests ir indipendenza chi-ietvars . Ja jūsu miega līmenis bieži ir zemāks par to (parasti < 5), ja izmantojat Jeitsa korelāciju 2×2 vai izturat Fišera testu , tas ir īpaši ieteicams ar campioni piccoli.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Lai kvantificētu asociācijas intensitāti I×J tabulā, ja izmantojat: V di Cramér (0–1), kontingences koeficientu (0–1, ierobežojums) un 2×2 il phi (φ) , kas formāli ir Pīrsona r pielietojums binārajai tabulai.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Ja interese ir salīdzināt grupas ar kvantitatīviem mainīgajiem (reddit katrai profesijai), ja tests tiek vērtēts , ANOVA un riskantālā alternatīva ir neparametriska, nav konfidenciāla intervāla. Kopumā tas atbilst mainīguma veidam, un metode ir pamatprincipiāla.

Accordo tra valutatori: Kappa di Cohen

Ja due (più) giudici klasificē gli stessi oggetti kategorijā, nepietiek ar sakritības procentuālo attiecību jaukšanu, šajā gadījumā perché a quota può essere dovuta . Il Kappa di Cohen kvantificē pareizo vienošanos gadījuma līgumam: es to vērtēju tālāk par 0, norādot vienošanos pari al caso, es vērtēju to kā maggiori ieteikt pieaugošajā līgumā (interpretazioni comuni: scarso, diskrēts, moderato, labs, molto labs).

R ir iespējams novērtēt Kappa anche in versione ponderata (katrai kategorijai ordinali):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Ja kategorija nav neparasti dabiska (un dažreiz viegla/vidēja/smaga), Kappa uzskata sodu par mazāku domstarpību gadījumā “tuvicini” un mazāku “lontani”, kā rezultātā sods ir daudz informatīvāks.

Relazioni e variabili di confusione: la correlazione parziale

Può capitare che due variabile Jautājums, ja jūs aprēķināt korelāciju starp X un Y, kas kontrolē Z.

In R, ar ggm::pcor si ottiene la correlazione parziale di primo ordine e si può testne la significatività. Ir lietderīgi salīdzināt klasisko un parziale per capire kā Z “spiega” del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

Ja krāns kontrolē “griežas”, svarīgs partneris bija allora Z. Ja kontroles mainīgais ir kategorija (t. i., professione), es nevaru izmantot līdzīgas pieejas vai modeļus, kas ietver kategoriju kā faktoru.

Korelācijas izmantošanas robeža un laba prakse

Pīrsona koeficients apvieno tikai linearitāti . Ja sakarība ir nelineāra (kvadrātiska, sponēziska, logaritmiska), spēcīgas atkarības gadījumā tā var iegūt vērtību 0. Šajā gadījumā Spīrmena vērtības ir , kas attiecīgi pārveido nelineāro modeli.

Gli anomālijas nedrīkst kropļot rezultātu. Šī iemesla dēļ, pirmkārt, ir ērti pārbaudīt grafiku un, ja nepieciešams, veikt robustu analīzi vai pārbaudīt rezultāta jutīgumu, izslēdzot ekstremālos punktus.

Vēl viena klasika: korelācija ≠ cēloņsakarība . Mainīguma dēļ nevaru korelēt perché miega influenzāts dod trešo fattore, tikai sakritība vai apgriezta mehānisma ietekme. Servono disegni sperimentali, strumenti causali o modeli appropriati per parlare di causa-effetto.

Attiecību veids: lineārs, monotons, nulle, kategorisks

Tas bieži tiek sajaukts (kvantitatīvs pret dihotomu/nominālu/parastu), ja tas kļūst par grupu salīdzināšanas testu, biseriali/point-biserial korelāciju vai modeli (un regresijas piemēru ar prognozēšanas faktoriem). Ar variabili enterbe categoriali , ci si affida a chi-quadro/Fisher e all misure di force dell'associazione già viste.

Funzioni ēd īpašas attiecības

Funkcija ir sakarība , kas ar katru domēna elementu cieši saista vienu kodēna elementu. Galu galā tā ir A×B sakarība, kas apvieno A vienu voltu ar pirmo komponentu. Citas svarīgas darbības šīs sakarības algebrā ir: apvienošana (R1 ∪ R2), intersekcija (R1 ∩ R2), salikšana (R2 ∘ R1) un apgrieztā darbība (R^{-1}, kas ir vienkārša (a, b) kopija (b, a)).

Questi mattoni conceptuali tornano utili sia nella matematica pure (equivalenze, ordini, classi di equivalenza) sia in applicazioni betona balodis serves formalizzare relazioni fra entità.

Es devu attiecību algebru un zinātni

Datu bāzu pasaulē relatīvā algebra ir SQL teorētiskā struktūra: tādas operācijas kā atlase, izveide, apvienošana, apvienošana un intersekcija . Šī formalizācija ir spēcīgs ierocis lietu ātrai aprakstīšanai, optimizēšanai un manipulēšanai.

Mākslīgā intelekta un mašīnmācīšanās kontekstā attiecību modelēšanas spēja starp entītijām ļauj rentabli veidot zināšanas, sistēmas saskaņošanai un integrācijas kanālus; šī vērtība ir spēkā ekonomikā, biostatistikā un sociālajās zinātnēs, gandrīz vienmēr tā ir “ kas ir likumīgs, e. kā ir ”.

Klasiski attiecību piemēri insiemi teorijā

Ekvivalences saistība : reālistisks, simetrisks un pārejošs miegs. Esempi tipici includono “avere lo stesso valore assoluto” sui reali o la congruenza modulo n sugli interi. Ogni ekvivalences attiecība inducē classi di equivalenza that ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relazioni d' ordine : šautenes, pretsimmetrisks un tranzitīvs. Esempi: ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), o “sadalīt” (|) sui naturali. Sono fondamentali per definee ordinamenti totali o parziali e per ragionare su massimi, minimi, catene e antichains.

Kārtības lesikogrāfija : tas, ko es teicu. Tā ir secība secībā (virkne, skaitlis, kas ierakstīts secībā), kas salīdzina elementu pa elementam; Šajā struktūrā ir svarīgs troksnis, un es neņemu vērā algoritmus.

Šī sadaļa ir noderīga perché cirda, ka “relazione” matemātikā ir galvenais vienīgās korelācijas jēdziens : ietver uguaglianze, ordini, kompozīciju un daudz ko citu, kas viss ir nepieciešams modelare sistemi complessi.

Praktiska darbplūsma: kontrolējiet savus rezultātus

Darbu ir iespējams plūst, to nezaudējot konstrukcijas laikā, un dažreiz:

• Grafiskā pārbaude: izkliedes diagramma, izlīdzināšana, istogrammi, QQ-grafika. Occhio a outlier e forma non lineari.
• PārbaudietJa tas darbojas, pārbaudiet normalitāti; Ja paredzēts lineārs modelis, kontrolējiet omaskedastiskumu.
• Koeficienta skala: Pīrsons (lineārs, aptuveni normāli dati), Spīrmens/Kendāls (monotons/nenormāls/pikoli kampieni).
• Kategorisks: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Grupu salīdzināšanai t-tests/ANOVA vai alternatīva.
• Konfundenti: korelē parziale vai daudzfaktoru modeli (ieskaitot kategoriju fattori).

Qualunque sia la scelta, interpretae nel contesto è la chiave: grandezza dell'effetto, significatività statistica, ampiezza del campione e qualità dei dati contano como (se non più) del numero finale.

R koda ierakstu piemēri

Īsāk sakot, šo metodi var izmantot , lai precīzāk analizētu mainīgo lielumu savstarpējās attiecības un pēc tam pielāgotu to savam datu kopumam:

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Praktiska piezīme : vislielākās vērtības ir atkarīgas no datiem. Ir vērts apstiprināt hipotēzi, salīdzināt metodi un, ja tā darbojas, izveidot pikolo skriptu, lai ātri un uzticamā veidā diagnosticētu jautājumu.

Abbiamo redzēja, ka “relazione” biežāk var nozīmēt: lineāro formu ar Pīrsonu, monotoniju ar Spīrmenu/Kendālu, vāju visu asociāciju kategorijā ar chi-quadro/Fisher un misure ar V di Cramér un φ; senza dimenticare vienošanos starp giudici (Kappa) un vadību es sniedzu confondenti ar parziale korelāciju. Tāpēc relāciju algebra fornisce i mattoni concettuali per definējošais domēns, apgrieztais un sastāvs, starp relāciju algebru vada režīmu, kurā es arhivēju un interroghiamo i dati nei datubāzi. Chiave ideja ir scegliere lo strumento in base al type di variabili, alla forma del legam e agli obiettivi dell'analisi , ricordandoci che nessun coefficiente, da solo, può raccontare tutta la storia.