Diskrētie varbūtību sadalījumi ir matemātiski modeļi, kas apraksta notikumu rašanos ar diskrētām, galīgām vērtībām. Šos sadalījumus raksturo to īpašības, piemēram, visu iespējamo iznākumu varbūtību summa, kas vienāda ar 1, un parametra klātbūtne, kas nosaka sadalījuma formu. Šajā rakstā mēs izpētīsim visbiežāk sastopamo diskrēto varbūtību sadalījumu, piemēram, Bernulli sadalījuma, binomiālā sadalījuma, Puasona sadalījuma un ģeometriskā sadalījuma, raksturlielumus, kā arī sniegsim dažus praktiskus vingrinājumus, lai labāk izprastu šos jēdzienus.
Diskrētās varbūtības sadalījuma jēdziena izpratne: vienkāršs un skaidrs skaidrojums.
Lai izprastu diskrētā varbūtības sadalījuma jēdzienu, ir svarīgi saprast, ka tā ir matemātiska funkcija, kas saista varbūtību ar katru iespējamo nejauša eksperimenta iznākumu. Citiem vārdiem sakot, diskrētais varbūtības sadalījums ļauj mums noteikt katra iznākuma iespējamību galīgā vai uzskaitāmā iespēju kopā.
Diskrēto varbūtības sadalījumu raksturo tā varbūtības funkcija, kas katram rezultātam piešķir nenegatīvu vērtību, un visu varbūtību summa ir vienāda ar 1. Turklāt iespējamie rezultāti ir atšķirīgi un izolēti, bez starpvērtību rašanās iespējas.
Klasisks diskrētā varbūtības sadalījuma piemērs ir Puasona sadalījums, ko plaši izmanto skaitīšanas procesos, piemēram, notikumu skaita noteikšanai noteiktā laika periodā. Vēl viens izplatīts piemērs ir binomiālais sadalījums, kas modelē eksperimentus tikai ar diviem iespējamiem rezultātiem, piemēram, panākumiem vai neveiksmi.
Lai pielietotu diskrēto varbūtību sadalījumu teoriju, ir nepieciešams izprast to specifiskās īpašības un raksturlielumus, kā arī spēt aprēķināt varbūtības un interpretēt rezultātus. Praktiski vingrinājumi ir būtiski, lai padziļinātu izpratni un attīstītu prasmes šajā varbūtību jomā.
Uzziniet par galvenajiem diskrētajiem sadalījumiem, ko izmanto statistikā un varbūtību analīzē.
Uzziniet par galvenajiem diskrētajiem sadalījumiem, ko izmanto statistikā un varbūtību analīzē. Diskrētie varbūtību sadalījumi ir svarīgi statistiskās analīzes rīki, kas ļauj modelēt un prognozēt nejaušus notikumus. Starp galvenajiem diskrētajiem sadalījumiem ir Bernulli sadalījums, binomiālais sadalījums, ģeometriskais sadalījums, Puasona sadalījums un hiperģeometriskais sadalījums.
A Bernulli sadalījums tiek izmantots, lai modelētu eksperimentus, kuros ir tikai divi iespējamie iznākumi, piemēram, panākumi un neveiksmes. binomiālais sadalījums To piemēro situācijās, kad ir noteikts skaits neatkarīgu izmēģinājumu, un katrā izmēģinājumā ir tikai divi iespējamie rezultāti, piemēram, panākumi un neveiksmes.
A ģeometriskais sadalījums tiek izmantots, lai modelētu mēģinājumu skaitu līdz pirmajam veiksmīgajam rezultātam neatkarīgu eksperimentu secībā. Puasona sadalījums tiek izmantots, lai modelētu retu notikumu rašanos noteiktā laika vai telpas intervālā.
Visbeidzot hiperģeometriskais sadalījums To izmanto, lai modelētu eksperimentus, kuros notiek elementu atlase bez aizvietošanas no galīgas populācijas, interesējoties par veiksmes gadījumu skaitu konkrētā izlasē.
Lai labāk izprastu šos diskrētos sadalījumus un to pielietošanu, ir svarīgi praktizēties, veicot vingrinājumus. Problēmu risināšana, kas saistītas ar šiem sadalījumiem, var palīdzēt nostiprināt zināšanas un uzlabot statistikas un varbūtību aprēķināšanas prasmes.
Tāpēc, studējot statistiku un varbūtību, ir svarīgi zināt galveno diskrēto sadalījumu, piemēram, Bernulli sadalījuma, binomiālā sadalījuma, ģeometriskā sadalījuma, Puasona sadalījuma un hiperģeometriskā sadalījuma, raksturlielumus un pielietojumu.
Varbūtību sadalījumu veidi: uzziniet par dažādām statistisko sadalījumu formām.
Varbūtību sadalījumi ir matemātiski modeļi, kas apraksta parādības nejaušu uzvedību. Pastāv dažādi varbūtību sadalījumu veidi, katram ar savām īpašībām un pielietojumu. Šajā rakstā mēs pievērsīsimies diskrētiem varbūtību sadalījumiem, kas ir saistīti ar diskrētiem mainīgajiem — tiem, kas var pieņemt noteiktas, saskaitāmas vērtības.
Daži no visizplatītākajiem diskrētajiem varbūtību sadalījumiem ir vienmērīgais sadalījums, binomiālais sadalījums, Puasona sadalījums un ģeometriskais sadalījums. Katram no šiem sadalījumiem ir savas īpašības un tas tiek izmantots dažādos statistikas kontekstos.
Piemēram, vienmērīgo sadalījumu raksturo vienādas varbūtības piešķiršana visām iespējamām diskrētā mainīgā vērtībām. Binomiālais sadalījums tiek izmantots, lai modelētu veiksmes gadījumu skaitu neatkarīgu mēģinājumu secībā, katram no kuriem ir vienāda veiksmes varbūtība. Savukārt Puasona sadalījums tiek izmantots, lai modelētu reto notikumu skaitu laika vai telpas intervālā. Savukārt ģeometriskais sadalījums tiek izmantots, lai modelētu mēģinājumu skaitu, kas nepieciešams līdz pirmajam veiksmīgajam rezultātam neatkarīgu mēģinājumu secībā.
Lai labāk izprastu, kā šie sadalījumi darbojas, ir svarīgi praktizēties ar vingrinājumiem. Piemēram, mēs varam aprēķināt varbūtību iegūt tieši 3 ģerbonis 5 godīgas monētas metienos, izmantojot binominālo sadalījumu. Vai arī mēs varam noteikt vismaz 2 notikumu iespējamību noteiktā laika intervālā, izmantojot Puasona sadalījumu.
Izprotot šo sadalījumu raksturlielumus un pielietojumu, statistikas un saistīto zinātņu speciālisti var pieņemt pamatotākus un precīzākus lēmumus, pamatojoties uz varbūtības datiem.
Kuri mainīgie varbūtības aprēķinā tiek uzskatīti par diskrētiem?
Varbūtības aprēķinā diskrētie mainīgie ir tie, kas var pieņemt galīgu vai saskaitāmu vērtību skaitu. Tas nozīmē, ka diskrētie mainīgie ir tie, kurus var saskaitīt, parasti attēlojot ar veseliem skaitļiem. Piemēram, automašīnu skaits autostāvvietā, skolēnu skaits klasē un metamā kauliņa skaldņu skaits ir diskrētu mainīgo piemēri.
Šie mainīgie atšķiras no nepārtrauktajiem mainīgajiem, kas noteiktā diapazonā var pieņemt bezgalīgu vērtību skaitu. Kamēr diskrētajiem mainīgajiem ir noteiktas, diskrētas vērtības, nepārtrauktie mainīgie var pieņemt jebkuru vērtību nepārtrauktā diapazonā. Piemēram, cilvēka augums, uzdevuma izpildei nepieciešamais laiks un istabas temperatūra ir nepārtraukto mainīgo piemēri.
Tāpēc varbūtības diskrētie mainīgie ir tie, kurus var saskaitīt un kuriem var būt noteiktas, atsevišķas vērtības, atšķirībā no nepārtrauktiem mainīgajiem, kas var iegūt jebkuru vērtību noteiktā diapazonā.
Diskrēto varbūtību sadalījumu raksturojums, vingrinājumi
As diskrēti varbūtību sadalījumi ir funkcija, kas katram X(S) = {x1, x2, …, xi, …} elementam, kur X ir dots diskrēts nejaušs mainīgais un S ir izlases telpa, saista šī notikuma varbūtību. Šī X(S) funkcija f, kas definēta kā f(xi) = P(X = xi), dažreiz tiek saukta par masas varbūtības funkciju.
Šo varbūtības masu parasti attēlo tabulas veidā. Tā kā X ir diskrēts nejaušs mainīgais, X(S) ir vai nu galīgs, vai bezgalīgs notikumu skaits. Starp visizplatītākajiem diskrētajiem varbūtības sadalījumiem ir vienmērīgais sadalījums, binomiālais sadalījums un Puasona sadalījums.
Karakteristikas
Varbūtības sadalījuma funkcijai jāatbilst šādiem nosacījumiem:
Turklāt, ja X pieņem tikai galīgu vērtību skaitu (piemēram, x1, x2, …, xn), tad p(xi) = 0, ja i > n, un tāpēc bezgalīgā nosacījumu rinda b kļūst par galīgo virkni
Šī funkcija atbilst arī šādām īpašībām:
Pieņemsim, ka B ir notikums, kas saistīts ar nejaušo mainīgo X. Tas nozīmē, ka B ir ietverts X(S). Konkrēti, pieņemsim, ka B = {xi1, xi2,…}. Tāpēc:
Citiem vārdiem sakot: notikuma B varbūtība ir vienāda ar ar B saistīto individuālo iznākumu varbūtību summu.
No tā mēs varam secināt, ka, ja
Veidi
Vienmērīgs sadalījums n punktos
Nejaušo mainīgo X sauc par sadalījumu, ko raksturo vienmērīgums n punktos, ja katrai vērtībai ir piešķirta vienāda varbūtība. Tā varbūtības masas funkcija ir:
Pieņemsim, ka mums ir eksperiments ar diviem iespējamiem rezultātiem: tā varētu būt monētas mešana, kuras iespējamie rezultāti ir ģerbonis vai aste, vai vesela skaitļa izvēle, kura rezultāts varētu būt nepāra vai pāra skaitlis; Šāda veida eksperimentu sauc par Bernulli testu.
Vispārīgi runājot, divus iespējamos iznākumus sauc par panākumiem un neveiksmēm, kur p ir panākumu varbūtība un 1-p ir neveiksmes varbūtība. Mēs varam noteikt x panākumu varbūtību n neatkarīgos Bernulli mēģinājumos ar šādu sadalījumu.
Binomiālais sadalījums
Šī funkcija attēlo x veiksmes varbūtību n neatkarīgos Bernulli mēģinājumos, kuru veiksmes varbūtība ir p. Tās varbūtības masas funkcija ir:
Šis grafiks attēlo varbūtības masas funkciju dažādām binomālā sadalījuma parametru vērtībām.
Šis sadalījums savu nosaukumu ir ieguvis franču matemātiķa Simeona Puasona (1781–1840) vārdā, kurš to ieguva kā binomiālā sadalījuma robežu.
Puasona sadalījums
Nejaušajam mainīgajam X sauc par parametra λ Puasona sadalījumu, ja tas var saņemt pozitīvas veselas vērtības 0,1,2,3, … ar šādu varbūtību:
Šajā izteiksmē λ ir notikuma vidējais reižu skaits katrā laika vienībā, un x ir notikuma rašanās reižu skaits.
Tās masas varbūtības funkcija ir:
Zemāk ir grafiks, kas attēlo varbūtības masas funkciju dažādām Puasona sadalījuma parametru vērtībām.
Ņemiet vērā, ka, kamēr vien izdošanos skaits ir mazs un veikto testu skaits binomiālajam sadalījumam ir liels, mēs vienmēr varam tuvināti noteikt šos sadalījumus, jo Puasona sadalījums ir binomiālā sadalījuma robeža.
Galvenā atšķirība starp šiem diviem sadalījumiem ir tā, ka, kamēr binomiālais sadalījums ir atkarīgs no diviem parametriem – nep –, Puasona sadalījums ir atkarīgs tikai no λ, ko dažreiz sauc par sadalījuma intensitāti.
Līdz šim mēs esam runājuši tikai par varbūtības sadalījumiem gadījumos, kad dažādi eksperimenti ir neatkarīgi viens no otra; tas ir, kad viena iznākumu neietekmē otra iznākums.
Ja eksperimenti nav neatkarīgi, hiperģeometriskais sadalījums ir ļoti noderīgs.
Hiperģeometriskais sadalījums
Apzīmēsim N kopējo objektu skaitu galīgā kopā, no kurām k kaut kādā veidā varam identificēt, veidojot apakškopu K, kuras papildinājumu veido atlikušie Nk elementi.
Ja nejauši izvēlamies n objektus, nejaušajam mainīgajam X, kas attēlo K piederošo objektu skaitu šajā izvēlē, būs hiperģeometrisks parametru N, n un k sadalījums. Tā masas varbūtības funkcija ir:
Šis grafiks attēlo varbūtības masas funkciju dažādām hiperģeometriskā sadalījuma parametru vērtībām.
Atrisinātie vingrinājumi
Pirmais vingrinājums
Pieņemsim, ka varbūtība, ka radiolampa (ievietota noteikta veida iekārtā) darbosies ilgāk par 500 stundām, ir 0,2. Ja tiek pārbaudītas 20 lampas, kāda ir varbūtība, ka tieši k no tām darbosies ilgāk par 500 stundām, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Risinājums
Ja X ir to lampu skaits, kas darbojas ilgāk par 500 stundām, mēs pieņemsim, ka X ir binomiālais sadalījums. Tad
Un tā:
Ja k≥11, izredzes ir mazākas par 0,001.
Tādējādi mēs varam novērot, kā palielinās varbūtība, ka k no šiem cilvēkiem strādās vairāk nekā 500 stundas, līdz tā sasniedz maksimālo vērtību (ar k = 4) un pēc tam sāk samazināties.
2. vingrinājums
Monēta tiek mesta 6 reizes. Ja rezultāts ir ģerbonis, mēs to saucam par veiksmi. Kāda ir tieši divu ģerbonu varbūtība?
Risinājums
Šajā gadījumā mums ir n = 6, un veiksmes un neveiksmes varbūtība ir p = q = 1/2.
Tāpēc varbūtība, ka ir dotas divas skaldnes (t. i., k = 2), ir
Trešais vingrinājums
Kāda ir varbūtība atrast vismaz četras sejas?
Risinājums
Šajā gadījumā mums ir k = 4, 5 vai 6
Trešais vingrinājums
Pieņemsim, ka 2% no rūpnīcā saražotajām precēm ir defektīvas. Aprēķiniet varbūtību P, ka 100 preču izlasē ir trīs defektīvas preces.
Risinājums
Šajā gadījumā mēs varam piemērot binominālo sadalījumu, ja n = 100 un p = 0,02, iegūstot rezultātu:
Tomēr, tā kā p ir mazs, mēs izmantojam Puasona aproksimāciju ar λ = np = 2. Tādējādi
Atsauces
- Kai Lai Čungs: Elementārā varbūtību teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenets H. Rozens – Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Pols L. Mejers. Varbūtību teorija un statistikas pielietojumi. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seimūrs Lipšucs, doktora grāds, 2000. g. Atrisinātās problēmas diskrētajā matemātikā. Makgrovs-Hils
- Seimūrs Lipšucs, doktora grāds. Problēmas teorijā un varbūtībās. Makgrovs-Hils