"Pakāpju rindas: piemēri un vingrinājumi" ir grāmata, kas piedāvā praktisku un dinamisku pieeju darbam ar pakāpeniskām rindām. Ar skaidriem piemēriem un soli pa solim sniegtiem vingrinājumiem grāmata palīdz gan studentiem, gan profesionāļiem izprast un pielietot pakāpenisko rindu pamatjēdzienus, padarot mācīšanos pieejamāku un efektīvāku. Šis darbs, kas rakstīts vienkāršā, objektīvā valodā, ir neaizstājams instruments tiem, kas vēlas padziļināt savas zināšanas šajā matemātikas jomā.
Varas un ietekmes demonstrēšana dažādos sociālajos, kultūras un politiskajos kontekstos.
Varas un ietekmes demonstrēšana ir izplatīta dažādos sociālajos, kultūras un politiskajos kontekstos. Piemēram, seriālos, kuru tēma ir vara, mēs varam skaidri redzēt, kā varoņi izmanto savu ietekmi, lai sasniegtu savus mērķus.
Sociālā kontekstā autoritāti var demonstrēt ar žestiem, ķermeņa valodu un pat cilvēka ģērbšanās veidu. Noteiktā kultūrā daži varas simboli var tikt vērtēti augstāk nekā citi, kas tieši ietekmē to, kā tiek uztverta autoritāte.
Politiskajā sfērā autoritāte un ietekme ir vēl izteiktāka. Politiskie līderi izmanto pārliecinošas runas, stratēģiskas alianses un pat spēku, lai saglabātu savas varas pozīcijas. Dažos gadījumos autoritāte tiek leģitimizēta ar demokrātisku procesu palīdzību, savukārt citos politiskajos režīmos ietekme tiek īstenota autoritārākā veidā.
Ir svarīgi saprast, kā šie elementi izpaužas dažādās situācijās, lai labāk izprastu varas dinamiku mūsu sabiedrībā.
Dažādas varas izpausmes mūsdienu sabiedrībās.
Mūsdienu sabiedrībās mēs varam novērot dažādas varas izpausmes, kas caurstrāvo sociālās un politiskās attiecības. Vara var izpausties dažādos veidos, vai nu caur valdības institūcijām, starptautiskiem uzņēmumiem, organizētām sociālajām grupām vai pat ietekmīgām personām.
Spilgts varas izpausmes piemērs ir lielo korporāciju kontrole pār valsts ekonomiku un politiku. Uzņēmumi starptautiskajiem uzņēmumiem Tām bieži vien ir lielāka ietekme nekā vietējām pašvaldībām, jo tās spēj diktēt politiku un lēmumus, kas tieši ietekmē cilvēku dzīvi. Šāda veida ekonomiskā vara ir viena no redzamākajām varas izpausmēm mūsdienu sabiedrībā.
Turklāt vara var izpausties arī caur organizētām sociālām grupām, piemēram, sociālajām kustībām, arodbiedrībām un nevalstiskajām organizācijām. Šīm grupām bieži vien izdodas mobilizēt lielu skaitu cilvēku konkrētu mērķu sasniegšanai, spiežot valdības un iestādes veikt pasākumus, kas dod labumu noteiktām sabiedrības grupām.
Visbeidzot, vara var pastāvēt arī individuālā līmenī, caur cilvēkiem, kuri ieņem vadošus amatus savās kopienās vai organizācijās. Šīs ietekmīgās personas var pieņemt lēmumus, kas tieši ietekmē daudzu cilvēku likteņus, tādējādi īstenojot sava veida varu pār viņiem.
Varas definīcija filozofijā: tās būtība, jēdzieni un pārdomas par tās dabu.
Vara ir filozofijas pamatjēdziens, kas plaši apspriests visā vēsturē. Tās būtība ir saistīta ar spēju ietekmēt un kontrolēt citus indivīdus, grupas vai situācijas. Varu var īstenot dažādos veidos – piespiedu, pārliecināšanas vai leģitimizācijas ceļā.
Filozofijā vara bieži tiek analizēta saistībā ar sabiedrībā pastāvošajām dominēšanas un pakļaušanās struktūrām. Tādi filozofi kā Mišels Fuko un Frīdrihs Nīče pētīja varas būtību, izceļot tās saistību ar zināšanām, morāli un varas attiecībām.
Pastāv dažādi varas jēdzieni, piemēram, politiskā vara, ekonomiskā vara un simboliskā vara. Katram no šiem varas veidiem ir savas īpašības un sekas, kas ietekmē sociālās attiecības un varas dinamiku sabiedrībā.
Varas rindas ir konkrēti piemēri tam, kā vara izpaužas dažādos kontekstos. Klasisks varas rindas piemērs ir militārā hierarhija, kur indivīdiem ir dažādi varas un ietekmes līmeņi. Vēl viens piemērs būtu varas dinamika uzņēmumā, kur vadītāji īsteno varu pār darbiniekiem.
Lai labāk izprastu varas būtību, ir svarīgi veikt praktiskus vingrinājumus, kas pēta varas attiecības dažādās situācijās. Tas varētu ietvert analīzi par to, kam pieder vara, kā tā tiek īstenota un kādas ir šo varas attiecību sekas iesaistītajām personām.
Pārdomājot varas būtību un izpētot varas sērijas dažādos kontekstos, mēs varam paplašināt savu izpratni par varas attiecībām sabiedrībā un to ietekmi uz sabiedrības dzīvi.
Dažādas ietekmes un autoritātes formas dažādos kontekstos un starppersonu attiecībās.
Dažādos kontekstos un starppersonu attiecībās mēs varam novērot dažādas ietekmes un autoritātes formas, kas īsteno varu pār iesaistītajām personām. Neatkarīgi no tā, vai tā ir organizācijā, ģimenē vai draugu grupā, varas dinamika vienmēr ir klātesoša un var izpausties dažādos veidos.
Spilgts varas īstenošanas piemērs ir uzņēmumā pastāvošā hierarhija. Priekšniekam ir vara pār saviem padotajiem un viņš var ietekmēt viņu lēmumus, uzvedību un darba sniegumu. Ar atlīdzību, sodu un atgriezeniskās saites palīdzību viņš īsteno savu ietekmi un saglabā savu varu pār komandu.
Citu ietekmes veidu var novērot draugu grupā, kur harizmātisks un pārliecinošs indivīds var īstenot varu pār citiem dalībniekiem. Viņu viedokļi un izvēles var ietekmēt grupas lēmumus un veidot viņu mijiedarbību un aktivitātes kopā.
Ģimenē vecāku vara pār bērniem ir klasisks varas īstenošanas piemērs. Ar noteikumu, ierobežojumu un vērtību palīdzību vecāki ietekmē savu bērnu uzvedību un attīstību, vadot viņus identitātes un vērtību veidošanā.
Šo varas formu atpazīšana un izpratne ir būtiska veselīgai un līdzsvarotai līdzāspastāvēšanai dažādos sociālajos kontekstos.
Power Series: piemēri un vingrinājumi
Uma pakāpes sērija sastāv no terminu summas mainīgā lieluma pakāpju veidā x vai vispārīgāk, no xc , Kur c ir konstants reāls skaitlis. Summēšanas pierakstā pakāpju rindu izsaka šādi:
Na n (x-c) n = a o + a 1 (x – c) + a 2 (x – c) 2 + a 3 (x – c) 3 +… + a n (x – c) n
Kur koeficienti a o , 1 , 2 ... ir reāli skaitļi, un sērija sākas ar n = 0.
Šī sērija ir vērsta uz vērtībām c kas ir nemainīgs, bet jūs to varat izvēlēties c ir vienāds ar 0; šajā gadījumā pakāpju rinda tiek vienkāršota šādi:
Na n x n = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n
Seriāls sākas ar um o (xc) 0 e a ou x 0, attiecīgi. Bet mēs zinām, ka:
(xc) 0 = X. 0 = 1
Tāpēc um o (xc) 0 = um ou x 0 = um o (neatkarīgs termins)
Jauki, ka pakāpju rindās var izteikt funkcijas, un tam ir daudz priekšrocību, īpaši, ja vēlaties strādāt ar sarežģītu funkciju.
Šajā gadījumā funkcijas tiešas izmantošanas vietā tiek izmantota tās izstrāde pakāpes rindā, ko var vieglāk atvasināt, integrēt vai apstrādāt skaitļiem.
Protams, viss ir atkarīgs no rindas konverģences. Rinda konverģē, ja tiek pievienots liels skaits locekļu, iegūstot fiksētu vērtību. Un, ja pievienosim vēl vairāk locekļu, mēs turpināsim iegūt šo vērtību.
Funkcijas kā pakāpes rindas
Kā piemēru funkcijai, kas izteikta kā pakāpes rinda, ņemsim f (x) = e x .
Šo funkciju var izteikt pakāpes rindas veidā šādi:
e x ≈ 1 + x + (x 2 /2!) + (x 3 /3!) + (x 4 /4!) + (x 5 / 5!) + …
Kur ! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … un jūs iegūstat 0 ! = 1.
Izmantosim kalkulatoru, lai pārbaudītu, vai sērija patiešām atbilst skaidri norādītajai funkcijai. Piemēram, sāksim, iestatot x = 0.
Mēs to zinām, un 0 = 1. Apskatīsim, ko dara sērija:
e 0 ≈ 1 + 0 + (0 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 / 5!) + … = 1
Un tagad mēģināsim x = 1 Kalkulators rāda, ka e 1 = 2,71828 un tad mēs to salīdzinām ar sēriju:
e uma ≈ 1 + 1 + (1 2 /2!) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 / 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0,0083 + … ≈ 2.7167
Ar tikai 5 terminiem mums jau ir precīza atbilstība e 2.71 Mūsu sērijai nedaudz pietrūkst vairāk elementu, bet, pievienojot vairāk locekļu, tā noteikti konverģē uz precīzu vērtību e Attēlojums ir precīzs, ja n → ∞ .
Ja iepriekšējā analīze tiek atkārtota attiecībā uz n = 2 , tiek iegūti ļoti līdzīgi rezultāti.
Tādā veidā mēs esam pārliecināti, ka eksponenciālā funkcija f(x) = e x var attēlot ar šo pakāpju virkni:
Ģeometriskā pakāpes sērija
Funkcija f(x) = e x nav vienīgā funkcija, kas atbalsta pakāpes rindas attēlojumu. Piemēram, funkcija f ( x) = 1/1 – x izskatās ļoti līdzīgs labi pazīstamajam konverģējoša ģeometriskā sērija :
granātābols n = a / 1 – r
Vienkārši iestatiet a = 1 un r = x, lai iegūtu šai funkcijai piemērotu virkni, kuras centrs ir c = 0:
Tomēr ir zināms, ka šī rinda ir konverģenta, ja │r│ <1, tāpēc attēlojums ir derīgs tikai intervālā (-1,1), pat ja funkcija ir derīga visiem x, izņemot x = 1.
Ja vēlaties definēt šo funkciju citā diapazonā, vienkārši koncentrējieties uz piemērotu vērtību, un viss ir izdarīts.
Kā atrast funkcijas pakāpju secīgu attīstību
Jebkuru funkciju var attīstīt par pakāpes virkni ar centru pie c, ja vien tai ir visu pakāpju atvasinājumi pie x = c. Procedūrā tiek izmantota šāda teorēma, ko sauc par Teilora teorēma:
Lai f ir funkcija (x) ar atvasinājumiem noteiktā secībā n , norādīts kā f (n) , kas atbalsta virkni enerģijas attīstības diapazonā no I Tās attīstība Teilora sērija Tas ir:
Tātad, lai:
f(x) = f(c) + f'(c), (xc) + f''(c)(XC) 2 /2 + f”' (c) (XC) 3 /6 + … R n
Kur R n , kas ir sērijas n-tais loceklis, tiek saukts par rezerves :
Kad c = 0, sēriju sauc par Maklaurina sērija .
Šeit attēlotā sērija ir identiska sākumā attēlotajai sērijai, taču tagad mums ir veids, kā skaidri atrast katra termina koeficientus, ko izsaka:
Tomēr jānodrošina, lai rinda konverģētu uz attēlojamo funkciju. Izrādās, ka ne visas Teilora rindas obligāti konverģē uz f(x), kas tika ņemts vērā koeficientu aprēķināšanā. a n .
Tas notiek tāpēc, ka, iespējams, funkcijas atvasinājumi, kas novērtēti pie x = c, sakrīt ar tādu pašu vērtību kā cita atvasinājumi, arī iekš x = c Šajā gadījumā koeficienti būtu vienādi, bet attīstība būtu neskaidra, jo nebija skaidrības par to, kurai funkcijai tas atbilst.
Par laimi, ir veids, kā to noskaidrot:
Konverģences kritēriji
Lai izvairītos no neskaidrībām, ja R n → 0, ja n → ∞ visiem x intervālā I, tad sērija konverģē uz f(x).
Vingrojiet
– Atrisināts 1. uzdevums
Atrodiet funkcijas ģeometrisko pakāpes rindu f(x) = 1/2 – x centrēts pie c = 0.
Risinājums
Dotā funkcija jāizsaka tā, lai tā pēc iespējas precīzāk atbilstu 1/1 x, kura virkne ir zināma. Tāpēc pārrakstīsim skaitītāju un saucēju, nemainot sākotnējo izteiksmi:
1/2 – x = (1/2) / [1 – (x / 2)]
Tā kā ½ ir konstante, tā iziet no summēšanas un tiek pierakstīta jaunā mainīgā x / 2 izteiksmē:
Ņemiet vērā, ka x = 2 nepieder funkcijas apgabalam un saskaņā ar sadaļā doto konverģences kritēriju Ģeometriskā pakāpes sērija , attīstība ir derīga, ja │x / 2│ <1 vai līdzvērtīgi -2
– Atrisināts 2. uzdevums
Atrodiet funkcijas f(x) = sin x Maklarina rindas attīstības pirmos 5 locekļus.
Risinājums
1. solis
Vispirms atrodam atvasinājumus:
-0. kārtas atvasinājums: tā ir tā pati funkcija f(x) = sin x
-Pirmais atvasinājums: (sin x) ´ = cos x
-Otrais atvasinājums: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = – sin x
-Trešais atvasinājums: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = –cos x
-Piektais atvasinājums: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x
2. solis
Tad katrs atvasinājums tiek novērtēts pie x = c, tāpat kā Maklorina attīstības gadījumā, c = 0:
grēks 0 = 0; cos 0 = 1; – grēks 0 = 0; -cos 0 = -1; grēks 0 = 0
3. posms
Koeficienti a n ir uzbūvēti ;
a o = 0/0! = 0; a 1 = 1/1! = 1; a 2 = 0/2! = 0; a 3 = -1 / 3! a 4 = 0/4! = 0
4. solis
Visbeidzot, sērija tiek salikta saskaņā ar:
sin x ≈ 0,x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2 – (1/3!) x 3 + 0 x 4 … = x – (1/3!)) x 3 +…
Vai lasītājam ir nepieciešami vēl citi termini? Jo vairāk to ir, jo tuvāk sērija ir funkcijai.
Ievērojiet, ka koeficientos ir noteikta shēma, nākamais nenonnulles loceklis ir 5 un visi nepāra skaitļi atšķiras arī no 0, mainīgas zīmes, piemēram:
sin x ≈ x – (1/3!)) x 3 + (1/5!)) x 5 – (1/7!) x 7 +….
Atliek tikai pārbaudīt, vai tas konverģē, kritērijs do koeficients var izmantot virkņu konverģencei.
Atsauces
- CK-12 pamatprincips. Pakāpju sērija: funkciju un operāciju attēlošana. Iegūts no: ck12.org.
- Engler, A. 2019. Integrālais aprēķins. Piekrastes Nacionālā universitāte.
- Larsons, R. 2010. Viena mainīgā aprēķins. 9. izdevums. Makgrovs Hils.
- Bezmaksas matemātikas teksti. Power sērija. Iegūts no: math.liibretexts.org.
- Vikipēdija. Paueru sērija. Iegūts no: es.wikipedia.org.